1.3 两条直线的平行与垂直 课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

1.3直线的平行与垂直 2025/4/10 复习巩固 我们前面学习了直线的哪几种方程？ 形式 条件 直线方程 应用范围 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 在y轴上的截距为b, 且斜率为k 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) 不含与x轴垂直的直线 不含与x轴垂直的直线 不含与x, y轴垂直的直线 不含过原点和与x, y轴垂直的直线 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 A x +B y + C=0 (其中A, B不同时为0) 表示任一直线 新知探索 1. 倾斜角 直线的确定： 一个点和一个方向确定一条直线. x o α l 2. 斜率： 直线的方向 3. 斜率公式： 倾斜角与斜率的对应关系 k=tanα (α≠90°). （x1≠x2） 数 直线相对于x轴的倾斜程度 转化 几何问题 代数问题 直线的位置关系 ？ 两直线平行 → 倾斜程度相同→ 倾斜角相同 →斜率相同 新知探索 问题2：在前面的学习中怎么定义两条直线平行？ 问题1：平面间中的直线位置关系有哪些？ 平行 相交 重合 1 4 3 2 两条直线被第三条直线所截 ∠1=∠2 同位角相等，两条直线平行 ∠2=∠3 内错角相等，两条直线平行 ∠3=∠4 同旁内角相等，两直线平行 平行线的性质定理和判定定理 （三线八角） 新知探索 问题 ： 平面中两条直线 已知两条直线l1与直线l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系? O y x l1∥l2 tanα1=tanα2 α1=α2 k1=k2 ⇔ ⇔ ⇔ 两直线平行 → 倾斜程度相同→ 倾斜角相同 →斜率相同 判断：平面中两条直线l1与直线l2平行时，它们的斜率一定相等 （ ） × 概念形成 当两条直线斜率都存在时，如果它们互相平行，则斜率相等. 一、两条直线平行的判定 注意: k1，k2 均存在 ②当斜率不存在时, 它们的倾斜角都为 90°, 显然有l1 // l2. ③若直线l1, l2重合，此时仍然有k1 =k2. 用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论 . l1∥l2 ⇔ k1=k2 无特别说明，说“两条直线l1, l2”时，指两条不重合的直线. 课堂练习 √ √ × B、D 课堂练习 3.已知A(2, 3), B(-4, 0), P(-3, 1), Q(-1, 2), 试判断直线AB与PQ的位置关系, 并证明你的结论. O y x • B(-4,0) A(2,3) • P(-3,1) • Q(-1,2) • 结论：利用直线的斜率判断两直线平行 直线AB与直线PQ平行 证明： 课堂练习 4.已知四边形 ABCD的四个顶点分别为A(0, 0), B(2, -1), C(4, 2), D(2, 3),试判断四边形ABCD的形状, 并给出证明. O y x • A B(2,-1) • C(4,2) • D(2,3) • 平行四边形 证明： 平行四边形 证明： 同理可得： 新知探索 问题 2：当两条直线相交时, 它们的斜率有何关系？ 反之呢? k1 ≠ k2 相交 追问：在相交关系中, 垂直是最特殊的情形, 当直线l1, l2垂直时, 它们的倾斜角有什么关系? O y x └ 倾斜角之间相差90° 新知探索 追问 当直线l1, l2垂直时, 它们的斜率是否还有特殊的数量关系? O y x └ 已知一条直线的倾斜角是 ，另一条直线与它垂直倾斜角是 tan α2＝tan(90°＋α1) α2＝90°＋α1 新知探索 追问 在相交关系中, 垂直是最特殊的情形, 当直线l1, l2垂直时, 它们的斜率是否还有特殊的数量关系? O y x └ 设两条直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则直线l1, l2的方向向量分别是 , 于是 也就是说 当直线l1或l2的倾斜角为90°时, 若l1⊥l2, 则另一条 直线的倾斜角为0°; 反之亦然. 如果两条直线都有斜率, 概念形成 当两条直线斜率都存在时，如果它们互相垂直，则斜率之积为-1. 二、两条直线垂直的判定 注意: k1，k2 均存在（成立的条件是两条直线的斜率都存在.） l1⊥l2 ⇔ k1k2＝－1 概念辨析 当直线l1⊥l2时，其中一条直线垂直于x轴， 另一条直线垂直于y轴； 若k1不存在，k2＝0，则一定有l1⊥l2. 问题：如果两条直线l1, l2中的一条直线斜率不存在，一条斜率为0.那么 , 它们的位置关系如何？ 当直线其中一条斜率不存在时，若两条直线垂直。 则另一条直线斜率为0 课堂练习 1.判断下列各对直线是否平行或垂直: (1) 经过A(2, 3), B(-1, 0)两点的直线l1, 与经过点P(1, 0)且斜率为1的直线l2; (2) 经过C(3, 1), D(-2, 0)两点的直线l3, 与经过点M(1, -4)且斜率为-5的直线l4. 课堂练习 2.知A(-6, 0), B(3, 6), P(0, 3), Q(6, -6), 试判断直线AB与PQ的位置关系. 平行四边形 证明： 3.试确定m的值, 使过A(m, 1), B(-1, m)两点的直线与过P(1, 2), Q(-5, 0)两点的直线:(1) 平行； (2)垂直. 课堂练习 新知探索 直线 讨论：(1) 的条件是什么？ (2) 的条件是什么？ 三、由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 课堂小结 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 图示 k1＝k2 不存在 α1＝α2≠90° l1∥l2 l1∥l2 ⇔ α1＝α2＝90° ⇔两直线的斜率都 2．两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 k1k2＝－1 l1⊥l2 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ⇔ ⇔ 课堂小结 课堂小结 几何问题 代数问题 几何对象的性质 代数问题的解 坐标系 解释 3. 利用代数方法研究几何问题是解析几何的基本方法. 4.判断方法的证明过程 等价关系的证明 数与形结合 归纳、猜想、证明 分类讨论 （1）阅读教材，记忆知识点 （2）完成配套的同步作业 作业布置 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2.( ) (2)若两直线l1∥l2，则k1＝k2.( ) (3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( ) 即tan α2tan α1＝－1，所以k1·k2＝－1. $$