1.2.1 直线点斜式方程与斜截式方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

1.2.1直线点斜式与斜截式方程 2025/4/10 复习回顾 直线l与x轴相交时，以x轴绕着交点按逆时针方向旋转到直线重合时，所转过的最小正角α 直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k 表示，即 k=tan 倾斜角越大，斜率越大 ； （x1≠x2） 倾斜角为锐角，斜率大于0；倾斜角为钝角，斜率小于0 直线的倾斜角 斜率的定义： 直线的斜率公式 直线的斜率与倾斜角的关系： 新知探索 飞逝的流星形成了一条美丽的弧线,这条弧线可以看做是满足某种运动规律的点的集合. 在平面直角坐标系中,直线也可以看做是满足某种条件的点的集合 新知探索 y x O P(x1,y1) Q(x2,y2) 问题1：在直角坐标系内确定一条直线的几何要素有哪些？ 一点 倾斜角 点的坐标 斜率 两点 点的坐标 新知探索 问题2.已知过点A（2,1），点B的直线斜率k为1，你能不能把所有的B点的 坐标找出来呢？ B（3,2） B（4,3） B（6,5）...... B（5,4） 设点B(x,y)在直线l上运动时，直线斜率等于1， =1 追问：点B(x,y)在直线l上运动，那么点B的坐标x和y之间 满足什么关系？ 新知探索 问题3：你能否用点P0(, )坐标和斜率k ，将直线上所有点的坐标（x,y） 满足的关系式表示出来呢？ y x O P(x1,y1) Q(x2,y2) R(x3,y3) 已知直线上一点P0 的坐标和斜率k,就能唯一确定一条直线。 由斜率公式得 （1） 方程（1）能否表示直线上所有点？ 点P（x,y）是直线上不同于点P0(, )的任意一个点 思考：点P0的坐标(x0，y0)满足方程（2）吗？ 直线确定 斜率确定 K值确定 新知探索 可以验证：直线l上的每个点（包括点P1 ）的坐标都是这个方程的解； 反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上。 由此，这个方程 就是过点P1 ，斜率为k的直线l的方程。 思考：点P0的坐标(x0，y0)满足方程（2）y-y0=k(x-x0)吗？ 结论： 几何 代数 坐标系 c c 得直线的方程，就是在坐标系确定直线位置的几何要素， 建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式． 概念形成 方程由直线上一个定点P0(x0, y0)及该直线的斜率k确定, 我们把它叫做直线的点斜式方程, 简称点斜式. 一、直线的点斜式方程 方程 叫做直线的点斜式方程。 注意: 概念辨析 若直线l 经过点P0(x0, y0), 且斜率为k, 则直线l 的点斜式方程为 问题 2 (1) 当直线l的倾斜角为0°时, l的方程是什么? 为什么? x y O P0(x0, y0) l tan0°=0, 即k=0, l与x轴平行或重合, 直线l的斜率不存在，l与y轴平行或重合, l的方程不能用点斜式表示, 特别地 x轴: 特别地y轴: (2) 当直线l的倾斜角为90°时, l的方程如何表示? 为什么? (3) 直线y－2＝k(x－3)恒过哪个点? （3，2） 直线l的方程为 直线l的方程为 y=0. x=0. 课堂练习 1.直线l经过点P0(－2, 3), 倾斜角α=45°, 求这条直线的方程, 并画出直线l . x y O P0(-2,3) • l • P1(-1,4) 课堂练习 2. 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－1，4)，倾斜角为45°； (2)经过点B(4，2)，倾斜角为90°； (3)经过原点，倾斜角为60°； (4)经过D(－1，1)，与x轴平行． y－4＝x+1 x＝4 y＝1 3.写出下列直线的点斜式方程: (1) 经过点A(3, －1), 斜率是 ; (2) 经过点B(－ , 2), 倾斜角是30°; (3) 经过点C(0, 3), 倾斜角是0° ; (4) 经过点D(－4,－2), 倾斜角是 = 新知探索 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) ,求直线的点斜式方程. 解：∵直线l的斜率为k，且过点(0, b), ∴直线的点斜式方程 即 x y O P0(0,b) • l 斜率 截距 其中，b为直线与y轴交点的纵坐标。 我们称b为直线l 在y轴上的截距。 概念形成 x y O P0(0,b) • l 二、直线的斜截式方程 方程由直线 l 的斜率 k 和它在 y 轴上的截距确定，这个方程叫做直线的斜截式方程 ，简称斜截式. 方程 叫做直线的斜截式方程。 注意: ① 斜率必须存在 ②截距是实数，可正，可负，可为零。 概念辨析 交流讨论 1.斜截式方程 它的形式具有什么特点？ 左端y的系数恒为1 右端x的系数k是直线的斜率， 常数项b 是直线在y轴上的截距 2.直线的截距是距离吗？ 【解析】 不是，直线在y轴上的截距是它与y轴的交点的纵坐标，是一个实数， 可正、可负、可为0. 当截距非负时，它等于直线与y轴的交点到原点的距离； 当截距为负时，它等于直线与y轴的交点到原点距离的相反数． x y O P0(0,b) • l 概念辨析 一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率k可以是0, 但一次函数系数比例k不能为0(否则就不是一次函数). 一次函数y=2x-1图象是斜率为2>0,直线斜向上； 在y轴上的截距为-1的直线. 一次函数y=3x 图象是斜率为3>0,直线斜向 上； 在y轴上的截距为0的直线. 一次函数y=-x+3图象是斜率为-1<0,直线斜向下； 在y轴上的截距为3的直线. 问题：方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似. 一次函数是直线方程吗？ 直线方程是一次函数吗？ 问题：从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k和b的几何 意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3图象的特点吗？ 【解析】 一次函数y＝kx＋b，表示斜率为k，纵截距为b的直线．一次函数中k不能为0， b可取任何值 课堂练习 2..根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 1. 写出下列直线的斜截式方程: (1) 斜率是 ，在y轴上的截距是－2; (2) 斜率是－2，在y轴上的截距是4. 课堂练习 B 课堂练习 课堂练习 课堂小结 本节课，你有哪些收获呢？ 形式 条件 直线方程 应用范围 注：使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否无法直接确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况考虑。 不含与x轴垂直的直线 不含与x轴垂直的直线 点斜式 斜截式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 在y轴上的截距为b,且斜率为k （1）阅读教材，记忆知识点 （2）完成配套的同步作业 作业布置 k为任意常数时，下列方程所表示的直线有什么特点？ 直线 是过定点（0，2）的中心直线束； 直线 表示斜率为2的一系列平行直线束. k为定值时，下列方程所表示的直线有什么特点？ (1)直线l上每一个点的坐标(x，y)都满足方程y-y0 = k (x-x0)； (2)坐标满足方程y-y0 = k (x-x0)的每一个点都在直线l上. 3.直线方程y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的直线可能是(　　) 又直线l不经过第四象限，∴b≥0. 令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝－eq \f(b,2). 由已知，可得eq \f(1,2)·|b|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))＝4，即|b|2＝16，∴b＝4(负值已舍去)． 故直线l的方程为y＝2x＋4. 4.已知斜率为2的直线l不经过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形， 求直线l的方程． 【解析】　依题意，设直线l的方程为y＝2x＋b， ∴倾斜角为45°，即∠MNP＝45°. 由物理学知识，得∠M′NP＝45°， 即反射线的倾斜角为135°，其斜率为－1. ∴反射线所在直线的方程为y－1＝－1(x－0)，即x＋y－1＝0. 5.光线自点M(2，3)射到y轴的点N(0，1)后被y轴反射，求反射光线所在直线的方程． 入射线经过M，N点，其斜率是k＝eq \f(3－1,2－0)＝1， $$