3.2.4 离散型随机变量的方差 课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2.4 离散型随机变量的方差 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握二项分布的方差. 2.能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题. 学习目标 情境：某省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加全国运动会(简称“全运会”)，根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下 甲的环数X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 乙的环数X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 试根据分布列求出X1、X2的均值，由此可以决定选谁参加全运会吗？ E(X1)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，E(X2)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，所以E(X1)=E(X2)，即从平均水平的角度，是不能决定选谁参加的. 仅从平均水平的角度考虑，是不能决定选谁参加，怎样来衡量它们的稳定性呢？ 新课导入 提示：设甲、乙两人每人都重复设计足够多次(设为n次)，求两组数的方差. 设甲、乙两人每人都重复设计足够多次(设为n次)， 甲所得环数可估计为 乙所得环数可估计为 甲的环数X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 乙的环数X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 课题探究 两组数据的平均数均为9，则甲这组数据的方差为 类似地，乙这组数的方差为 由于0.4<0.8，因此可以认为甲的发挥更稳定，从这一角度来说，应该排甲参加全运会. 如果设离散型随机变量X的分布列如下表所示: X x1 x2 ... xk ... xn P p1 p2 ... pk ... pn 因为X的均值为E(X)，所以 能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.一般地， 称为离散型随机变量X的标准差. 课题探究 例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小质地相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差. 解：X可能取值为1，2，3，4，5. 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 由定义知，E(X)=0.2×(1+2+3+4+5)=3.D(X)=0.2×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2. (1)确定随机变量的所有可能的取值； (2)求出随机变量各个取值对应的概率； (3)利用公式 求出方差. 归纳总结 求离散型随机变量X的方差的一般步骤： 课题探究 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. X x1 x2 ... xk ... xn P p1 p2 ... pk ... pn 设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b.(1)D(X)，D(Y)如何表示？(2)D(Y)与D(X)之间有什么联系？ 课题探究 思考：(1)若Y=aX，D(Y)与D(X)有什么关系？(2)若Y=X+b，D(Y)与D(X)有什么关系？ 课题探究 离散型随机变量的方差的性质： 特别的(1)当a=1，D(X+b)=D(X);(2)当b=0，D(aX)=a2D(X);(3)当a，b均为非零常数时，随机变量Y=aX+b，则D(aX+b)=a2D(X). 归纳总结 两点分布与二项分布的方差 X X服从两点分布 X～B(n，p) D(X) p(1－p) np(1－p) 思考：两点分布与二项分布的方差. 课题探究 例2 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数. (1)求D(X)； (2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y). 解：(1) 因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即 X~B(50，0.02)， 所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98.(2) D(Y) =D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98. 课题探究 归纳总结 两点分布与二项分布方差的计算步骤 (1)判断：判断随机变量服从什么分布.(2)计算：直接代入相应的公式求解方差. 课题探究 例3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． 课题探究 解：(1)依据题意知，0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1. ∵乙射中10,9,8环的概率分别为:0.3,0,3,0.2, ∴乙射中7环的概率为1一(0.3+0.3+0.2)=0.2. ∴ξ，η的分布列分别为 课题探究 (2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得 E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. ∵E(ξ)＞E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高． 又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． ∴甲的射击技术好，选择甲． 课题探究 1.已知随机变量X满足E(1-X)=5，D(1-X)=5，则下列说法正确的是( )A.E(X)=-5，D(X)=5B.E(X)=-4，D(X)=-4C.E(X)=-5，D(X)=-5D.E(X)=-4，D(X)=5 D 当堂检测 2.有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，则 的稳定性较好. 甲 当堂检测 课后小结 $$