7.4　勾股定理的逆定理 同步练 2024—2025学年青岛版数学八年级下册

1．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是( ) 第1题图 A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于180° D．勾股定理 2．[2024·临沂期中]下列四组数中，勾股数是( ) A.，， B．9，40，41 C．0.3，0.4，0.5 D．1，，2 3．[2024·临沂期中]如图，正方形网格中的△ABC，点A，B，C都在网格点上，则△ABC的形状为( ) 第3题图 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都有可能 4．[2024·济宁期末]如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为( ) 第4题图 A．140° B．142° C．150° D．152° 5．(多选)[2024·潍坊二模]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，可以由该勾股数计算公式直接得出的是( ) A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 6．(多选)[2023春·虞城县期末]将一根24 cm长的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h可以是( ) 第6题图 A．7 B．15 C．16 D．17 7．五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ) 8．[2024·济宁期中]如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 第8题图 9．[2024·青岛期末]如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，D为BC延长线上一点，BE⊥AD.若CD＝6，则BE的长为 ． 第9题图 10．[2023·深圳期末]如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是3 m/s，乙客轮航行的速度是4 m/s，5分钟后甲到达A地，乙到达B地．若A，B两地的直线距离为1 500 m，甲客轮沿着北偏东35°的方向航行，则乙客轮的航行方向是 ． 第10题图 11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则∠CAB＋∠CBA＝ °. 第11题图 12．如图，已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－EA2＝AC2. (1)判断△ABC的形状并说明理由； (2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 第12题图 13．[2024·聊城期中]为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，AB＝AD＝13 m，BC＝8 m，CD＝6 m，且BD＝10 m．该校计划在此空地(阴影部分)上种植花卉，若每种植1 m2花卉需要花费100元，则此块荒地全部种植花卉共需花费多少元？ 第13题图 14．[2024·潍坊期中]如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库，无法直达．A村村民需要乘车经公路AB和高速路段BC才能到达县城C，为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路AD.测得AC＝BC，AB＝60千米，BD＝36千米，AD＝48千米． (1)新公路AD是否为村庄A到高速公路的最近路？请通过计算加以说明； (2)求村庄A到县城C的直线距离(即线段AC的长)． 第14题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是( B ) 第1题图 A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于180° D．勾股定理 2．[2024·临沂期中]下列四组数中，勾股数是( B ) A.，， B．9，40，41 C．0.3，0.4，0.5 D．1，，2 3．[2024·临沂期中]如图，正方形网格中的△ABC，点A，B，C都在网格点上，则△ABC的形状为( A ) 第3题图 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都有可能 4．[2024·济宁期末]如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为( B ) 第4题图 A．140° B．142° C．150° D．152° 5．(多选)[2024·潍坊二模]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，可以由该勾股数计算公式直接得出的是( ABD ) A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 6．(多选)[2023春·虞城县期末]将一根24 cm长的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h可以是( ABC ) 第6题图 A．7 B．15 C．16 D．17 7．五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( C ) 8．[2024·济宁期中]如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则点A到直线BC的距离是2． 第8题图 9．[2024·青岛期末]如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，D为BC延长线上一点，BE⊥AD.若CD＝6，则BE的长为9.6． 第9题图 10．[2023·深圳期末]如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是3 m/s，乙客轮航行的速度是4 m/s，5分钟后甲到达A地，乙到达B地．若A，B两地的直线距离为1 500 m，甲客轮沿着北偏东35°的方向航行，则乙客轮的航行方向是北偏西55°． 第10题图 11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则∠CAB＋∠CBA＝45°. 第11题图 12．如图，已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－EA2＝AC2. (1)判断△ABC的形状并说明理由； (2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 第12题图 解：(1)△ABC是直角三角形，理由： 连接CE，如图， 第12题图 ∵D是BC的中点， DE⊥BC， ∴CE＝BE， ∵BE2－EA2＝AC2， ∴CE2－EA2＝AC2， ∴EA2＋AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形， 即∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形； (2)∵DE⊥BC，DE＝3，BD＝4， ∴BE＝＝5＝CE， ∴AC2＝EC2－AE2＝25－EA2， ∵D是BC的中点， BD＝4， ∴BC＝2BD＝8， 在Rt△BAC中， BC2－BA2＝64－(5＋EA)2＝AC2， ∴64－(5＋AE)2＝25－EA2， 解得AE＝. 13．[2024·聊城期中]为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，AB＝AD＝13 m，BC＝8 m，CD＝6 m，且BD＝10 m．该校计划在此空地(阴影部分)上种植花卉，若每种植1 m2花卉需要花费100元，则此块荒地全部种植花卉共需花费多少元？ 第13题图 解：如图，过A作AE⊥BD于点E， 第13题图 ∵AB＝AD＝13 m， BD＝10 m， ∴BE＝DE＝BD＝5 m， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AE＝＝＝12(m)． ∵BC＝8 m，CD＝6 m，BD＝10 m， 82＋62＝102， ∴BC2＋CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴S阴影＝S△ABD－S△BCD＝BD·AE－BC·CD＝×10×12－×8×6 ＝60－24 ＝36(m2)， ∴100×36＝3 600(元)． 答：此块空地全部种植花卉共需花费3 600元． 14．[2024·潍坊期中]如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库，无法直达．A村村民需要乘车经公路AB和高速路段BC才能到达县城C，为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路AD.测得AC＝BC，AB＝60千米，BD＝36千米，AD＝48千米． (1)新公路AD是否为村庄A到高速公路的最近路？请通过计算加以说明； (2)求村庄A到县城C的直线距离(即线段AC的长)． 第14题图 解：(1)∵AD2＋BD2＝482＋362＝3 600， ∴AB2＝3 600＝AD2＋BD2， ∴△ABD是直角三角形， ∴AD⊥BD， 故新公路AD是村庄A到高速公路的最近路； (2)∵AC＝BC， ∴CD＝BC－BD＝AC－BD＝AC－36， ∵AC2＝AD2＋CD2， ∴AC2＝482＋(AC－36)2， 解得AC＝50， ∴村庄A到县城C的直线距离为50 km. 学科网（北京）股份有限公司 $$