精品解析：福建省福州现代中学2024-2025学年八年级上学期中考试数学试卷

福建省福州现代中学2024-2025学年八年级上学期中考试数学试卷 （时间120分钟，总分150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 研究表明，甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选C． 3. 若分式 的值为0， 则x的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了分式的值为0，正确把握相关定义是解题关键． 利用分式的值为0，则其分子为零，进而求出答案． 【详解】解：若分式 的值为0， 则且， 解得：， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则及完全平方公式分别判断得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，,故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、积的乘方运算及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 下列分式的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．依据分式的基本性质回答即可． 【详解】解：A．由左到右的变形符合分式的基本性质，故A正确； B．，不成立，故B错误； C．，故C错误； D．，不成立，故D错误． 故选：A． 6. 如图，两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据图形确定的对应角，再根据全等三角形对应角相等即可得到答案，解题的关键是利用全等三角形对应角相等解答． 【详解】解：∵两个三角形全等，根据全等三角形对应角相等， ∴， 故选：B． 7. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式可求出的面积，即可求出的面积，即可求出答案． 【详解】解：过D作于F， 是的角平分线，，， ， ， 的面积为9， 的面积为， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵ 又， ， ∴ ∴， 故选：C． 10. 根据，，，的规律，则的个位数字是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，根据进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：1 12. 分式和的最简公分母为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键． 【详解】解：分式，的最简公分母为， 故答案为：． 13. 化简的结果是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式混合运算， 熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先算括号里面的，然后按照分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则___________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】证明，得到，推出，由是等腰直角三角形，得到，进而求出答案． 【详解】解：如图， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理：是解题的关键． 15. 等腰三角形的两边满足，则这个三角形的周长为______． 【答案】17 【解析】 【分析】已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出与的值，即可确定出等腰三角形周长． 【详解】解：， ， ， ∴，， ∴，， 当3是腰时，三边长为3，3，7，不符合三角形三边关系； 当3是底边时，三边长为3，7，7，符合三角形三边关系，周长为． 则这个三角形的周长为17． 故答案为：17． 【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16. 如图，中，的角平分线于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，延长交于点H．设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点H．设交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式的运算法则计算，即可作答． （2）根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，进行因式分解， 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 先化简再求值：，其中a＝﹣3． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： =， 当a=时，原式=． 【点睛】本题考查分式的运算，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 20. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程）： 已知： 求证： 证明： 【答案】已知：在△ABC和中，，，AD与分别是边上的中线，且AD=，求证：． 证明：∵分别是和边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后用数学语言叙述命题，然后根据题意求证即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键． 22. 如图所示，在中，． （1）实践与操作： 尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①在边上求作一点，使得，连接； ②作边的垂直平分线，交于点，交于点． （2）猜想与证明： 试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） ①如图1，点即为所求； ②如图2，即为所求． （2） ，理由如下： 过点作于点，连接，如图3， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①以点为圆心，以BA为半径，画弧，交于点，则点D即为所求作的点； ②根据线段垂直平分线的基本作图要领规范作图即可． （2）过点作于点，连接，根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，根据，即可证明结论． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本作图，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 23. 【示例】（1）在等腰三角形中，若，求的度数． 分析：都可能是顶角或底角，因此需要分类，据此可求出___________． 【应用】（2）若等腰三角形周长为，则__________． 【拓展】（3）如图，将一个边长为、、的直角三角形与另一个三角形拼成一个等腰三角形，图就是其中的一种拼法，请你画出其他可能的情形（不少于种），并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度（每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号） 【答案】（1）； （2）、或； （3）如图所示，共有6种情况． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角、等边对等角等知识点，理解题意、弄清问题中对所作图形的要求成为解答本题的关键． （1）都可能是顶角或底角，因此需要分是顶角、为底角且为顶角、为底角且为底角三种情况解答； （2）都可能是底或腰，因此需要分为底、为腰且为腰、为腰且为底三种情况解答即可； （2）将一个边长为、、的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形，据此画出图形即可． 【详解】解：（1）当为顶角时， 当为底角且为顶角时， 为底角且为底角时， 故答案为：或； （2）当为底边，为腰时，； 当为腰，为腰时，； 当为腰，为底边时，； 综上所述，的长度是、或， 故答案为：、或； （3）略 24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以， 所以，解得，所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的和的形式， 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值为_________； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的值； （3）利用分离常数法，求分式的取值范围． 【答案】（1）、、、； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的运算、阅读理解能力，解决本题的关键是读懂材料中的解题方法，仿照材料中提供的思路解题． 根据分离常数法，可得：，根据分式值为整数，可得为整数，所以可得或，分情况求出的值即可； 首先把拆成，根据拆成的形式为，可得，，把、用含的代数式表示出来，然后再整体代入求值即可； 首先利用分离常数法把分离成，根据平方的非负性可得，根据不等式的性质可得． 【小问1详解】 解：由分离常数法可得：， 若分式值为整数，即为整数，亦即为整数， 故或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 即可取、、、； 【小问2详解】 解：， ，， ，， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， 即． 25. 在平面直角坐标系中，点、点分别在轴和轴的正半轴上，并且．点在第一象限，，且． （1）如图1，直接写出点的坐标． （2）如图2，若点A运动到的位置，点运动到的位置，保持，求的值； （3）如图3，若点不变，点，点分别运动至轴，轴，点A关于轴的对称点为点，点A关于直线PB的对称点为点C，点是直线上的动点，作，，连接，当取最小值时，求点坐标． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由非负数的性质以及坐标与图形可得求出，如图1：过点作于轴于，则四边形是矩形，再证明可得，进而得到即可解答； （2）由证得可得，进而得到，然后代入数据即可解答； （3）如图3：连接，证明可得；如图4，作直线于x轴交于点D，证明可得，进而得到；如图5，作H关于的对称点，连接，根据轴对称的性质可得；如图6，当三点共线时，取得最小值为，再证明可得，最后根据中点的性质即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 如图1：过点作于轴于，则四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）得， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图3：连接， 点A，点分别运动至轴，轴， 点A关于x轴的对称点为点，点A关于直线PB的对称点为点C ， ， ， 在和中， ， ， ； 如图4，作直线于x轴交于点D， ， ， 在和中， ， 点R在直线上运动 ， ， ， 如图5，作H关于的对称点，连接， ， ， 又关于的对称点， ， ， 如图6，当三点共线时，取得最小值为， ∵， ， 在和中， ， ，即点是的中点 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州现代中学2024-2025学年八年级上学期中考试数学试卷 （时间120分钟，总分150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 研究表明，甲型流感球形病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式 的值为0， 则x的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列分式的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3 10. 根据，，，的规律，则的个位数字是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算：_____． 12. 分式和的最简公分母为______． 13. 化简的结果是____． 14. 如图，在的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则___________． 15. 等腰三角形的两边满足，则这个三角形的周长为______． 16. 如图，中，的角平分线于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为_____． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 19. 先化简再求值：，其中a＝﹣3． 20. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程）： 已知： 求证： 证明： 22. 如图所示，在中，． （1）实践与操作： 尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①在边上求作一点，使得，连接； ②作边的垂直平分线，交于点，交于点． （2）猜想与证明： 试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明你的结论． 23. 【示例】（1）在等腰三角形中，若，求的度数． 分析：都可能是顶角或底角，因此需要分类，据此可求出___________． 【应用】（2）若等腰三角形周长为，则__________． 【拓展】（3）如图，将一个边长为、、的直角三角形与另一个三角形拼成一个等腰三角形，图就是其中的一种拼法，请你画出其他可能的情形（不少于种），并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度（每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号） 24. 阅读下面的材料，并解答后面的问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以， 所以，解得，所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的和的形式， 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值为_________； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的值； （3）利用分离常数法，求分式的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，点、点分别在轴和轴的正半轴上，并且．点在第一象限，，且． （1）如图1，直接写出点的坐标． （2）如图2，若点A运动到的位置，点运动到的位置，保持，求的值； （3）如图3，若点不变，点，点分别运动至轴，轴，点A关于轴的对称点为点，点A关于直线PB的对称点为点C，点是直线上的动点，作，，连接，当取最小值时，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $