周测培优卷九：从力的做功到向量的数量积-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

必修第二册·周测卷九 测试内容：从力的做功到向量的数量积 建议用时：60分钟 试卷满分：80分 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（2024湖南长沙月考）已知非零向量，则下列命题错误的是（    ） A． B． C．与向量共线的单位向量为 D．记，则向量在向量上的投影向量为 2．（2025广东佛山月考）已知平面向量，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 3．已知等边的边长为2，则（ ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京调研）已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 6．（2025河南质检）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7．（2025江苏苏州调研）下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．已知为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是锐角 8．（2025河南驻马店联考）已知是边长为的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影向量的模为 B． C． D．若为外接圆上任意一点，则 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（2024天津和平期末）设向量，，若与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 ． 10．（2023山东滨州期中）定义：，两个向量的叉乘的模.若点､，为坐标原点，则 . 四、解答题：本题共2小题，共28分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 11．（13分）（2025北京石景山月考）已知是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与 的夹角. 12．（15分）（2025云南联考）在平面四边形中，已知，且， ，是线段（包括端点）上的一个动点. (1)当时，①求的值；②若，求； (2)求的最小值. 【附加题】 13．（2025山东青岛质检）假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·周测培优卷九 测试内容：从力的做功到向量的数量积 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C C D BC ACD 1．C 【详解】对于选项A：故A正确； 对于选项B：当不共线时，由向量加法的三角形法则，可得；当反向共线时，可得；当同向共线时，可得；综合可得，故B正确； 对于选项C：与向量共线的单位向量为，故C错误； 对于选项由，易知，所以向量在向量上的投影向量为；故D正确.故选：C. 2．C 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，整理得，解得或. 故选：C. 3．A 【详解】由题得= 故答案为：A 4．C 【详解】在上的投影向量. 故选：C. 5．C 【详解】由题意知，即为的外心； ，则为的重心； ， 即有， 即，同理，即为的垂心； 由解析题中向量式中有两共起点的向量， 于是，， 令，则是以为起点， 向量与所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量， 即在的平分线上, 共线, 所以点的轨迹一定通过的内心, 由欧拉线定理知，欧拉线一定过. 故选：C. 6．D 【详解】因为，分别为，的中点，所以，， 有，所以， 分别过作，则， 所以，在直角三角形中，易得， 设， 因为D，O，F三点共线，所以，即， 故， ，故选：D. 7．BC 【详解】因为，所以，即，不一定得出，A不正确； 在上的投影向量为，B正确； 若存在负数，使得，则，若，则，不能得出“存在负数，使得”，C正确； 若，则，与的夹角不一定是锐角，D不正确. 故选：BC 8．ACD 【详解】对A，因为是边长为的正三角形，内心为点，所以可得， 则在方向上的投影向量的模为，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，根据题意可知也为的外心，所以， 故D正确.故选：ACD    9． 【详解】因为与夹角为钝角， 可以得出, 且不平行，则 即且.即得. 故答案为： 10．1 【详解】因为、，所以、， 所以，，，所以， 因为，所以， 所以.故答案为： 11．【详解】（1）设，因为，所以．① 又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或． （2）由， 得， 又，解得，所以， 所以与的夹角. 12．【详解】（1）①因为，且， 所以，且，，所以四边形为直角梯形. 以A为原点，所在直线分别为轴，轴， 建立如图所示的平面直角坐标系.，   当时，因为， 所以，，，， 所以，， 因此； ②设，即点P的坐标为， 则，， 因为， 所以当时，，即； （2）设，，又， 则， 所以，当时取到等号， 因此的最小值为3. 13．【详解】（1）设所求向量为，则， ， ， 联立解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. （2）①， ， . ②由①知，， 当时，， 所以. （3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立仿射坐标系，设， 则，， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$