高一下学期物理期中复习（易错60题22大考点）-2024-2025学年高中物理同步知识点解读与专题训练（人教版2019必修第二册）

高一下学期物理期中复习（易错60题22大考点） 训练范围：人教版（2019）： 必修第二册第5~7章。 一．合运动与分运动的关系（共4小题） 二．关联速度问题（共3小题） 三．小船过河问题（共2小题） 四．平抛运动速度的计算（共4小题） 五．平抛运动与斜面的结合（共2小题） 六．斜抛运动（共2小题） 七．传动问题（共2小题） 八．牛顿第二定律与向心力结合解决问题（共5小题） 九．水平转盘上物体的圆周运动（共2小题） 十．车辆在道路上的转弯问题（共2小题） 十一．绳球类模型及其临界条件（共3小题） 十二．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共1小题） 十三．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共2小题） 十四．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共3小题） 十五．近地卫星（共6小题） 十六．卫星或行星运行参数的计算（共2小题） 十七．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共3小题） 十八．卫星的发射及变轨问题（共2小题） 十九．卫星的追及相遇问题（共2小题） 二十．双星系统及相关计算（共2小题） 二十一．探究平抛运动的特点（共4小题） 二十二．探究圆周运动的相关参数问题（共2小题） 一．合运动与分运动的关系（共4小题） 1．（2024春•西安期中）竖直放置两端封闭的玻璃管内注满清水和一个用红蜡做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速运动，已知圆柱体运动的速度大小为5cm/s，与水平方向成θ＝53°，如图所示，则玻璃管水平方向运动的速度为（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（　　） A．5cm/s B．4cm/s C．3cm/s D．无法确定 【答案】C 【解答】解：合速度可以分解成竖直方向的匀速上升和水平方向的匀速运动，其中在水平方向上有： vx＝vsinα＝5×cos53°＝5×0.6 cm/s＝3cm/s，故C正确，ABD错误。 故选：C。 2．（2024春•温州期中）汽艇在宽300m的河中横渡，河岸笔直，河水流速是4m/s汽艇在静水中的航速是5m/s，则下列说法正确的是（　　） A．汽艇不可能垂直于河岸航行 B．要使汽艇渡河的时间最短，渡河航行的位移大小是300m C．要使汽艇渡河的位移最短，渡河所需的时间是100s D．如果河水流速增大为6m/s，汽艇渡河所需的最短时间将增大 【答案】C 【解答】解：A、由于河水流速4m/s小于汽艇在静水中的航速5m/s，依据运动的合成与分解，则有汽艇的合速度可以垂直河岸，因此汽艇可能垂直于河岸航行，故A错误； B、当汽艇头垂直指向对岸时，渡河时间最短，最短时间为：tmins＝60s，汽艇沿着水流的位移为：s＝vst＝4×60m＝240m， 根据矢量的合成法则，则渡河航行的位移大小是xm＞300m，故B错误； C、汽艇在静水中的航速大于河水流速，所以当合速度的方向与河岸垂直时，渡河位移最短，设汽艇头与上游河岸方向的夹角为θ， 则有：cosθ 所以θ＝37° 渡河的位移为： x＝d＝400m 根据矢量合成法则有： v合m/s＝3m/s 渡河时间为： ts＝100s，故C正确； D、如果河水流速增大为6m/s，汽艇渡河所需的最短时间与水流速度无关，因此最短时间仍将不变，故D错误。 故选：C。 3．（2024春•广州期中）如图所示，小明将玩具电动车放在跑步机上做游戏，跑步机履带外侧机身上有正对的A、B两点，在慢跑模式下履带以v0＝3m/s的速度运行。已知电动小车能以v＝5m/s的速度匀速运动，履带宽度为50cm，小车每次都从A点出发，下列说法正确的是（　　） A．无论玩具车车头指向何方，小车运动的合速度始终大于5m/s B．玩具小车到达对面的最短时间为0.125s C．玩具小车从A点出发到达正对面的B点，车头需与A点左侧履带边缘成53°夹角 D．玩具小车从A点出发到达正对面的B点用时为0.1s 【答案】C 【解答】解：A、由矢量合成的平行四边形法则，合速度可能等于分速度，可能大于分速度，也可能小于分速度，故A错误； B、当玩具小车的车头垂直于履带运动时，小车到达对面的时间最短，此时最短时间为：，故B错误； C、若玩具小车从A点出发到达正对面的B点，则速度方向与履带边缘成θ角，且有： 所以：θ＝53°，所以车头需与A点左侧履带边缘成53°夹角，故C正确； D、玩具小车从A点出发到达正对面的B点所用时间为：，故D错误。 故选：C。 4．（2024春•禄劝县期中）（多选）如图所示，物体A和B的质量均为m，分别与跨过定滑轮的轻绳连接（不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦）。现用水平变力F拉着物体A沿水平方向向右做匀速直线运动。则下列说法中正确的是（　　） A．物体B做匀速直线运动 B．物体B做加速直线运动 C．绳子对物体B的拉力等于mg D．绳子对物体B的拉力大于mg 【答案】BD 【解答】解：AB、将物体A的速度vA沿着绳子和垂直于绳子方向进行分解如图所示。 则有vB＝vAcosα α减小，cosα增大，而vA不变，则vB逐渐增大，说明B物体向上做加速运动，故A错误，B正确； CD、物体B加速上升，处于超重状态，根据牛顿第二定律可知绳子对物体B的拉力大于mg，故C错误，D正确。 故选：BD。 二．关联速度问题（共3小题） 5．（2024春•泉州期中）如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，当拉船的绳与水平方向的夹角为30°时船的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设船的速度为v′。 将小船的速度沿着绳子和垂直绳子方向进行分解，如图所示。 沿着绳子的分速度等于汽车拉绳子的速度，即 v′cosθ＝v 所以v′v，故ABD错误，C正确。 故选：C。 6．（2024春•光明区校级期中）如图所示，图甲为吊威亚表演者的照片，图乙为其简化示意图。工作人员A以速度v沿直线水平向左拉轻绳，此时绳与水平方向的夹角为θ，此时表演者B速度大小为（　　） A．vsinθ B．vcosθ C． D． 【答案】B 【解答】解：将工作人员A的速度v沿着平行绳子和垂直绳子方向进行分解，如图所示： 则v'＝vcosθ，故ACD错误，B正确。 故选：B。 7．（2024春•顺庆区期中）（多选）如图，跨过光滑轻质小定滑轮的轻绳，一段系一质量为m的小球，另一端系一质量为2m的重物，小球套在竖直固定的光滑直杆上，滑轮与杆的距离为d．现将小球从与滑轮等高的A处由静止释放，下滑过程中经过B点，A、B两点间距离也为d，重力加速度为g，则小球（　　） A．刚释放时的加速度为g B．过B处后还能继续下滑 C．在B处的速度与重物此时的速度大小之比为 D．在B处的速度与重物此时的速度大小之比为 【答案】ABD 【解答】解：A、小球刚开始释放时，竖直方向只受重力，根据牛顿第二定律可知其加速度为g，故A正确； B、设小球下降的最大高度为h，根据系统机械能守恒定律，有： mgh﹣2mg（d）＝0 解得：h 故过B处后还能继续下滑，故B正确； CD、由于绳子不可伸长，故球与重物在沿着绳子方向的分速度相等，在B处，绳子与竖直方向的夹角为45°，故： v球cos45°＝v重 故，故C错误，D正确； 故选：ABD。 三．小船过河问题（共2小题） 8．（2024春•兰州期中）若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小．现假设河的宽度为120m．河中心水的流速大小为4m/s，船在静水中的速度大小为3m/s，要使船以最短时间渡河，则（　　） A．船渡河的最短时间是24 s B．在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度为7 m 【答案】B 【解答】解：A、当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，ts＝40s。故A错误，B正确。 C、船在垂直河岸方向做匀速直线运动，在沿河岸方向，由于水流速在变，做变速运动，两合运动的轨迹是曲线。故C错误。 D、根据运动的合成，可知船在河水中的最大速度为m/s＝5m/s。故D错误。 故选：B。 9．（2024春•莱芜区校级期中）如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸成θ的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过t时间正好到达正对岸的B处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种（　　） A．只要增大v1大小，不必改变θ角 B．只要增大θ角，不必改变v1大小 C．在增大v1的同时，也必须适当增大θ角 D．在增大v1的同时，也必须适当减小θ角 【答案】C 【解答】解：A、若只增大υ1大小，不必改变θ角，则船在水流方向的分速度增大，因此船不可能垂直达到对岸，故A错误； B、若只增大θ角，不必改变υ1大小，同理可知，水流方向的分速度在减小，而垂直河岸的分速度在增大，船不可能垂直到达对岸，故B错误； C、若在增大υ1的同时，也必须适当增大θ角，这样才能保证水流方向的分速度不变，而垂直河岸的分速度在增大，则船还能垂直达到对岸，且时间更短，故C正确； D、若增大υ1的同时，也必须适当减小θ角，则水流方向的分速度增大，不能垂直到达对岸，故D错误。 故选：C。 四．平抛运动速度的计算（共4小题） 10．（2024春•番禺区校级期中）（多选）水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某水车模型，从槽口水平流出的水初速度大小为v0，垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，忽略空气阻力，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．水从槽口运动到水轮叶面的时间为 B．水从槽口运动到水轮叶面的时间为 C．水垂直打在水轮叶面上的速度大小为2v0 D．水垂直打在水轮叶面上的速度大小为 【答案】BC 【解答】解：AB、水从槽口水平流出后做平抛运动，水垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上时，有，解得水从槽口运动到水轮叶面的时间为，故A错误，B正确； CD、水垂直打在水轮叶面上的速度大小为，故C正确，D错误。 故选：BC。 11．（2024春•仓山区校级期中）（多选）如图所示，在M点分别以不同的速度将两小球水平抛出．两小球分别落在水平地面上的P点、Q点．已知O点是M点在地面上的竖直投影，OP：PQ＝1：3，且不考虑空气阻力的影响．下列说法中正确的是（　　） A．两小球的下落时间之比为1：1 B．两小球的下落时间之比为1：4 C．两小球的初速度大小之比为1：3 D．两小球的初速度大小之比为1：4 【答案】AD 【解答】解：A、两球的抛出高度相同，故下落时间相同，故A正确，B错误； C、两小球的水平位移分别为OP和OQ，故水平位移之比为1：4；故由x＝vt可知两小球的初速度之比为1：4，故D正确，C错误； 故选：AD。 12．（2024春•大兴区校级期中）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。将运动员视为质点、坡面近似视为斜面，测得ab间的距离为s＝40m，斜坡与水平方向的夹角为θ＝30°，不计空气阻力，g取10m/s2。试求： （1）运动员在空中飞行的时间t； （2）运动员从a处水平飞出的速度大小v0。 （3）试以a为原点，竖直向下为y轴正方向，水平向左为x轴正方向，写出运动员在空中的轨迹方程。 【答案】（1）运动员在空中飞行的时间t为2s； （2）运动员从a处水平飞出的速度大小v0为10m/s。 （3）运动员在空中的轨迹方程为。 【解答】解：（1）运动员在空中做平抛运动，竖直方向有： s•sin30° 解得：t＝2s （2）水平方向有：s•cos30°＝v0t 解得：v0＝10m/s （3）根据平抛运动的规律得： y，x＝v0t 联立消去t得： 答：（1）运动员在空中飞行的时间t为2s； （2）运动员从a处水平飞出的速度大小v0为10m/s。 （3）运动员在空中的轨迹方程为。 13．（2024春•碑林区校级期中）一小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为v0、方向与水平方向成30°角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角。不计空气阻力，重力加速度为g，求小球由A到B的运动时间及A、B两点间的距离。 【解答】解：小球做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上做匀速直线运动。 A点的竖直分速度：vAy＝v0sin30°， 水平分速度vAx＝v0cos30° 在B点，根据平行四边形定则知，tan60°， 则B点的竖直分速度：vBy＝vAxtan60° 则小球由A到B运动的时间：t。 A、B间的高度差h 水平距离：x＝vAxt， 则A、B两点间的距离：s。 答：小球由A到B的运动时间为，A、B两点间的距离为。 五．平抛运动与斜面的结合（共2小题） 14．（2024春•重庆期中）如图所示，从倾角为θ的足够长斜面上的A点将﹣小球以初速度v0水平抛出，空气阻力不计，小球落在斜面上，则（　　） A．平抛运动可以分解为沿斜面向下的匀速直线运动和垂直于斜面的匀减速直线运动 B．小球离斜面距离最大和刚接触斜面时，沿斜面方向的位移之比为1：4 C．小球在空中运动的时间为 D．小球离斜面的最大距离为 【答案】D 【解答】解：AD、采用正交分解法，将平抛运动分解到沿斜面和垂直于斜面两个方向上，沿x轴方向做匀加速直线运动，沿y轴方向做匀减速直线运动，有： v0x＝v0cosθ，v0y＝v0sinθ， ax＝gsinθ ay＝gcosθ 设最远距离为h，则有：h 联立解得：h．故A错误，D正确。 BC、将平抛运动分解为水平方向和竖直方向，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动。 球落在斜面上时，有 tanθ，得 t 小球离斜面距离最大速度与斜面平行，设所用时间为t′，则有 vy′＝v0tanθ＝gt′ 得 t′ 可知 t′ 根据上面分析知，小球沿斜面向下做初速度不为零的匀加速直线运动，所以小球离斜面距离最大和刚接触斜面时，沿斜面方向的位移之比不为1：4．故BC错误。 故选：D。 15．（2024春•禄劝县期中）从光滑水平平台上的P点以大小不同的初速度平抛一个可视为质点的小球，小球分别落在平台下方倾角为θ的斜面上的两点。设落在A、B两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为αA、αB，如图所示，则关于αA、αB的关系正确的是（ ） A．αA＞αB B．αA＜αB C．αA＝αB D．无法确定 【答案】A 【解答】解：如图甲所示，小球从斜面上P点水平又落回到斜面上，其速度方向与斜面间的夹角为α， 则 而tanθ 即有tan（θ+α）＝2tanθ 可见小球落在斜面上时速度方向都相同，与初速度大小无关。 如图乙所示，连接P点到落点构造斜面，可得 tan（θA+αA'）＝2tanθA＝tan（θ+αA）、tan（θB+α'B）＝2tanθB＝tan（θ+αB） 因为θA＞θB 则tan（θ+αA）＞tan（θ+αB） 可得αA＞αB，故A正确，BCD错误。 故选：A。 六．斜抛运动（共2小题） 16．（2024春•永川区校级期中）以大小相同的初速度、不同的抛射角同时从地面抛出3个小球A、B、C，3球从抛出到落地在空中的运动轨迹如图所示，下列叙述正确的是（　　） A．A、B、C三球在运动过程中，A球的加速度最大 B．B球的射程最远，所以B最后落地 C．A、C两球的射程相等，所以它们的水平分速度相等 D．B球的射程最远，B抛出时速度与水平方向的夹角最接近45° 【答案】D 【解答】解：A、A、B、C三球在运动过程中，只受重力作用，加速度均为重力加速度g，故A错误； B、从最高点到落地可看作平抛运动，根据可知，最大高度越大，则运动时间越长，结合对称性可知，A运动的时间最长，所以A最后落地，故B错误； C、A、C两球的射程相等，但是A球运动时间较长，根据可知A的水平初速度较小，故C错误； D、根据射程可知，当θ＝45°时射程最大，因B球的射程最远，B抛出时速度与水平方向的夹角最接近45°，故D正确。 故选：D。 17．（2024春•江津区期中）如图所示是一运动员抛出的铅球的轨迹，A，B，C是轨迹上的三个点，其中B是最高点，不计空气阻力，若在抛出点铅球的初速度大小是20m/s，与水平的方向夹角是53°．已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6．则铅球在最高点B的速度为多大？ 【解答】解：将初速度沿着水平和竖直方向正交分解，最高点速度等于初速度的水平分速度，故： vB＝vAx＝vAcos53°＝20×0.6＝12m/s 答：铅球在最高点B的速度为12m/s． 七．传动问题（共2小题） 18．（2024春•芦淞区校级期中）如图所示在皮带传动中，两轮半径不等，下列说法正确的是（　　） A．两轮角速度相等 B．两轮周期相等 C．两轮边缘上的点线速度的大小相等 D．两轮边缘向心加速度的大小相等 【答案】C 【解答】解：A、B、C、靠皮带传动，轮子边缘上的点的线速度大小相等，根据v＝rω，知半径大的角速度小，故周期也不同。故A错误，B错误，C正确。 D、根据a知线速度相等，半径大的，向心加速度小。所以大轮边缘一点的向心加速度小于小轮边缘一点的向心加速度。故D错误。 故选：C。 19．（2024春•城中区校级期中）（多选）如图所示的皮带传动装置中，甲、乙、丙三轮的轴均为水平轴，其中甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半．A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮的边缘点，若传动中皮带不打滑，则（　　） A．A、B两点的线速度大小之比为2：1 B．A、C两点的角速度大小之比为1：2 C．A、B两点向心加速度大小之比为2：1 D．A、C两点的向心加速度大小之比为1：4 【答案】BD 【解答】解：A、由于甲、乙两轮是皮带传动，皮带传动的特点是两轮与皮带接触点的线速度的大小与皮带的线速度大小相同， 故vA＝vB ∴vA：vB＝1：1 由角速度和线速度的关系式v＝ωR可得 ωA：ωB＝RB：RA＝1：2 而向心加速度an， 得向心加速度与半径成反比， 即A、B两点向心加速度大小之比1：2；故AC均错误； B、由于乙、丙两轮共轴，故两轮角速度相同， 即ωB＝ωC， ωA：ωB：ωC＝1：2：2 所以A、C两点的角速度大小之比为1：2；故B正确； D、而向心加速度an， 得向心加速度与半径成反比， 即A、C两点的向心加速度大小之比为1：4；故D正确； 故选：BD。 八．牛顿第二定律与向心力结合解决问题（共5小题） 20．（2024春•西城区校级期中）如图所示，把一个长为20cm、倔强系数为360N/m的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50kg的小球，当小球以转/分的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为（　　） A．5.2cm B．5.3cm C．5.0cm D．5.4cm 【答案】C 【解答】解：根据题意可知：ω＝2πn＝2π12rad/s 设转动时弹簧的长度为L，则弹簧形变量为：x＝L﹣0.2，由胡克定律得： F＝kx① 球做匀速圆周运动时需要的向心力由弹簧的弹力提供， F＝mLω2② 由①②代入数据得：360（L﹣0.2）＝0.5×L×（12）2 解得：L＝0.25m 所以弹簧的伸长应量为25﹣20cm＝5cm 故选：C。 21．（2024春•温州期中）如图所示，A、B两物块置于绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，两物块始终相对圆盘静止，已知两物块的质量mA＜mB，运动半径rA＞rB，则下列关系一定正确的是（　　） A．角速度ωA＜ωB B．线速度vA＜vB C．向心加速度aA＞aB D．向心力FA＞FB 【答案】C 【解答】解： A、两物体相对于圆盘静止，它们做圆周运动的角速度ω相等，则ωA＝ωB，故A错误； B、物体的线速度v＝ωr，由于ω相等，rA＞rB，则vA＞vB，故B错误； C、向心加速度a＝ω2r，ω相同，rA＞rB，则aA＞aB，故C正确； D、向心力F＝mω2r，ω相等，rA＞rB，mA＜mB，不能确定两物体向心力大小，故D错误； 故选：C。 22．（2024春•永川区校级期中）如图所示，内壁光滑半径为r的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，绳与竖直方向的夹角为θ，物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，重力加速度取g，则（　　） A．桶对物块的弹力不可能为零 B．转动的角速度的最小值为 C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变 D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大 【答案】C 【解答】解：AB、物块在水平面内做匀速圆周运动，由于桶的内壁光滑，绳的拉力沿竖直向上的分力与重力平衡，若绳的拉力沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力恰好为零，由牛顿第二定律有mgtanθ＝mωmin2r，解得转动的角速度的最小值为，故AB错误； CD、由题图知，若它们以更大的角速度一起转动，则绳子与竖直方向的夹角θ不变，竖直方向满足：Tcosθ＝mg，可知T不变，即绳子的张力保持不变，故C正确，D错误。 故选：C。 23．（2024春•和平区校级期中）如图所示，A和B两物块（可视为质点）放在转盘上，A的质量为m。B的质量为2m。两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l。两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求： （1）角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力； （2）角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。 【解答】解：（1）两木块都靠静摩擦力提供向心力，B先到达最大静摩擦力，当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，则： μ2mg＝2m•2Lω2 解得：ω 知ω时，绳子出现拉力。 （2）当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动， 对A有：μmg﹣T＝mlω2 对B有：T+μ2mg＝2m•2lω2 解得：ω 故当ω时，A、B相对于转盘会滑动。 答：（1）角速度ω为时，绳上刚好出现拉力； （2）角速度ω为时，A、B开始与转盘发生相对滑动。 24．（2024春•番禺区校级期中）动画片“熊出没”中有这样一个情节：某天熊大和熊二中了光头强设计的陷阱，被挂在了树上（如图甲），聪明的熊大想出了一个办法，让自己和熊二荡起来使绳断裂从而得救，其过程可简化如图乙所示，设悬点为O，整个装置可视为质点且总质量为m，绳长为L且保持不变，绳子能承受的最大张力为Fm＝3mg，不计一切阻力，重力加速度为g，求： （1）设熊大和熊二刚好在向右摆到最低点时绳子恰好断裂，求他们在最低点的速度vm的大小； （2）若绳长改为2L，两熊在水平面内做匀速圆周运动，如图丙。若两熊做圆锥摆运动时绳子与竖直方向的夹角为θ＝60°，求此时绳子受到的拉力F的大小以及两熊的速度v的大小。 【解答】解：（1）熊大和熊二刚好在向右摆到最低点时绳子恰好断裂，绳子拉力达到最大值Fm＝3mg，由牛顿第二定律得 Fm﹣mg＝m 解得：vm （2）两熊在水平面内做匀速圆周运动，受力如图所示。由合外力提供向心力，则 F2mg 根据牛顿第二定律得 mgtanθ＝m 解得：v 答：（1）他们在最低点的速度vm的大小为； （2）此时绳子受到的拉力F的大小为2mg，两熊的速度v的大小为。 九．水平转盘上物体的圆周运动（共2小题） 25．（2024春•渝北区校级期中）如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，在圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动过程中，下列说法正确的是（　　） A．当角速度为时，绳子张力为 B．当角速度为时，A所受摩擦力方向沿半径指向圆心O C．当两物体刚要发生滑动时，圆盘的角速度为 D．当两物体刚要发生滑动时，绳子上的张力大小为2μmg 【答案】C 【解答】解：CD、当两物体刚要发生滑动时，A、B与圆盘间静摩擦力都达到最大值，则由牛顿第二定律得 对A有：T﹣μmg＝mω2r 对B有：T+μmg＝mω2•2r 解得：T＝3μmg，，故C正确，D错误； A、当角速度为时，A、B一起做圆周运动，A所需要的向心力 B所需要的向心力，故此时绳子的拉力为零，故A错误； B、当角速度为时，A、B一起做圆周运动，对A设所受摩擦力指向圆心，则由牛顿第二定律得 对滑块B，由牛顿第二定律得 解得：f＝﹣0.5μmg 则说明A所受摩擦力方向沿半径指向圆外，故B错误。 故选：C。 26．（2024春•庐阳区校级期中）（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上且木块A、B与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，以下说法不正确的是（　　） A．当时，绳子一定有弹力 B．当时，A、B会相对于转盘滑动 C．当ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 D．当ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大 【答案】CD 【解答】解：开始阶段，装置的角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，由Fn＝mω2r知B先到达最大静摩擦力，角速度继续增大，则绳子出现拉力，角速度继续增大，A的静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动。 A、当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，对B，由牛顿第二定律有 kmg＝m•2Lω2 解得： 则知时，绳子具有弹力，故A正确； B、当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，对A，由牛顿第二定律有 kmg﹣T＝mLω2 对B，由牛顿第二定律有 kmg+T＝m•2Lω2 解得： 当时，A、B相对于转盘会滑动，故B正确； D、当角速度在范围内增大时，B所受的摩擦力变大，在范围内增大时，B所受摩擦力不变，故D错误； C、当角速度在范围内增大时，A所受摩擦力一直增大，故C错误。 本题选不正确的，故选：CD。 十．车辆在道路上的转弯问题（共2小题） 27．（2024春•西城区校级期中）在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动。设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L．已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设路面的斜角为θ，作出汽车的受力图，如图 根据牛顿第二定律，得 mgtanθ＝m 又由数学知识得到 tanθ 联立解得 v 故选：B。 28．（2024春•黄浦区校级期中）汽车在水平地面上转弯时，是 　静摩擦　 力提供向心力；转弯时车速不能太快，当速度为v时，安全转弯的半径最小为R，若当转弯半径为3R时，该汽车安全转弯的最大速度为 　v　 ． 【解答】解：汽车在水平地面上转弯做圆周运动，汽车转弯时受重力、支持力和摩擦力作用，重力和支持力二力平衡，所以汽车做圆周运动所需要的向心力由静摩擦力提供． 设最大静摩擦力为f，则有： f＝m 当半径为3R时，则有 f＝m 联立解得：v′v 故答案为：静摩擦，v． 十一．绳球类模型及其临界条件（共3小题） 29．（2024春•滨海新区校级期中）质量为m的小球，用一条绳子系在竖直平面内做圆周运动，小球到达最高点时的速度为v，到达最低点时的速变为，则两位置处绳子所受的张力之差是（　　） A．6mg B．5mg C．4mg D．2mg 【答案】A 【解答】解：在最高点，小球受重力和绳子的拉力T1，合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： mg+T1＝m ① 在最低点，重力和拉力T2，合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： T2﹣mg＝m ② 最低点速度为：v′ ③ 两位置处绳子所受的张力之差为：ΔT＝T2﹣T1 ④ 联立解得：ΔT＝6mg 故选：A。 30．（2024春•黄埔区校级期中）如图所示，在竖直平面内的圆周轨道半径为r，质量为m的小物块以速度v通过轨道的最高点P．已知重力加速度为g，则小物块在P点受到轨道对它的压力大小为（　　） A．m B．mmg C．mg﹣m D．mmg 【答案】B 【解答】解：小物块以速度v通过轨道的最高点P，合力提供向心力，有：mg+F＝m，解得轨道的压力为：F＝mmg，故B正确，ACD错误。 故选：B。 31．（2024春•市北区校级期中）如图是由弧形轨道、圆轨道（轨道底端B略错开，图中未画出）、水平直轨道平滑连接而成的力学探究装置。水平轨道AC右端装有理想轻弹簧（右端固定），圆轨道与水平直轨道相交于B点，且B点位置可改变，现将B点置于AC中点，质量m＝2kg的滑块（可视为质点）从弧形轨道高H＝0.6m处静止释放。已知圆轨道半径R＝0.1m，水平轨道长LAC＝1.0m，滑块与AC间动摩擦因数μ＝0.2，弧形轨道和圆轨道均视为光滑，不计其他阻力与能量损耗，求： （1）滑块第一次滑至圆轨道最高点时对轨道的压力大小； （2）轻弹簧获得的最大弹性势能； （3）若H＝0.4m，改变B点位置，使滑块在整个滑动过程中不脱离轨道，求BC长度满足的条件。 【答案】（1）滑块第一次滑至圆轨道最高点时对轨道的压力大小为100N； （2）轻弹簧获得的最大弹性势能为8J； （3）若H＝0.4m，改变B点位置，使滑块在整个滑动过程中不脱离轨道，BC长度满足的条件是：0.5m≤L≤1m。 【解答】解：（1）从出发到第一次滑至圆轨道最高点过程，由动能定理可得： 在圆轨道最高点，由牛顿第二定律可得： 联立解得：FN＝100N 由牛顿第三定律得：滑块对轨道的压力大小为100N； （2）弹射器第一次压缩时弹性势能有最大值，有能量守恒可知：EP＝mgH﹣μmgLAC 解得：EP＝8J （3）①若滑块恰好到达圆轨道的最高点，在最高点根据牛顿第二定律有： 从开始到圆轨道最高点，有动能定理可知： 解得：s1＝0.75m 而LBC＝LAC﹣s1 要使滑块不脱离轨道，BC之间的距离应该满足：LBC≥0.25m ②若滑块刚好达到圆轨道的圆心等高处，此时的速度为零有动能定理可知：mg（H﹣R）﹣μmgs2＝0 解得：s2＝1.5ms2＝1.5m＝1m+0.5m 而：L'BC＝s2﹣LAC 即反弹时恰好上到圆心等高处，如果反弹距离更大，则上升的高度更小，更不容易脱离轨道，所以L'BC≥0.5m 考虑到AC的总长度等于1m，所以L'BC≤1m 结合①②两种情况，符合条件的BC长度L为：0.5m≤L≤1m 答：（1）滑块第一次滑至圆轨道最高点时对轨道的压力大小为100N； （2）轻弹簧获得的最大弹性势能为8J； （3）若H＝0.4m，改变B点位置，使滑块在整个滑动过程中不脱离轨道，BC长度满足的条件是：0.5m≤L≤1m。 十二．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共1小题） 32．（2024春•昌乐县期中）我国正在攻关的JF﹣22超高速风洞，是研制新一代飞行器的摇篮，它可以复现40到100公里高空、时速最高达10公里/秒（相当于约30倍声速）的飞行条件。现有一小球从模拟的风洞中的M点以10m/s的速度竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，A点为轨迹的最高点，小球从A点进入竖直放置的半圆形轨道，小球沿轨道内侧运动，过A点时恰好对轨道没有压力，AB为半圆轨道的直径，AB竖直且B与M等高。其运动轨迹如图所示，g＝10m/s2。求： （1）小球到达A点时的速度大小； （2）小球所受的重力和风力大小之比； （3）若撤去右侧圆形轨道，求小球以上述条件抛出后，运动到M等高处时的速度大小。 【答案】（1）小球到达A点时的速度大小为5m/s； （2）小球所受的重力和风力大小之比为2：1； （3）小球以上述条件抛出后，运动到M等高处时的速度大小为。 【解答】解：（1）A点为轨迹的最高点，设小球在A点速度为vA，将小球的运动分解为水平方向为匀加速直线运动，竖直方向为竖直上抛运动（将竖直方向看作反向自由落体运动）。 设半圆轨道的半径为R，小球从M点到A点，竖直方向有2R 解得：R＝2.5m 在A点，由牛顿第二定律有 mg＝m 解得：vA＝5m/s （2）设MB间的距离为x。 小球从M点到A点，根据平均速度的推论与位移—时间公式得 竖直方向有 水平方向有 x 结合vA，对比可得：x＝R 小球从M点到A点，根据位移与时间的关系得 竖直方向有 水平方向有 解得： 根据牛顿第二定律，可得小球所受的重力和风力大小之比为 （3）若撤去右侧圆形轨道，小球运动到M等高处时所需要的时间为 t总＝2s 又因为，则a＝5m/s2 小球运动到M等高处时水平方向的速度为 vx＝at总＝5×2m/s＝10m/s 运动到M等高处时竖直方向的速度为 vy＝v0＝10m/s 所以运动到M等高处时的速度大小为 vm/s＝10m/s 答：（1）小球到达A点时的速度大小为5m/s； （2）小球所受的重力和风力大小之比为2：1； （3）小球以上述条件抛出后，运动到M等高处时的速度大小为。 十三．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共2小题） 33．（2024春•顺庆区期中）如图所示，轨道ABCD固定在竖直面内，AB为倾角α＝37°的粗糙斜面，BCD为半径R＝0.4m的光滑圆管轨道，两者在B处光滑连接，O为圆心，BOD在同一竖直线上，OC在同一水平线上。一个质量为m＝0.1kg的小物块（可看成质点），从斜面上由静止滑下，进入光滑圆管轨道继续滑行，与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.3，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）若小物块从斜面上h高处由静止释放，恰能到达D处，求： ①小物块通过B处时的速度大小； ②释放点的高度h。 （2）若小物块从斜面上的某处释放，通过D处时的速度大小为3m/s，求： ①小物块通过D处时受到的弹力的大小和方向； ②小物块通过C时受到的弹力的大小。 （3）若小物块从斜面上某处释放，到达D处时对轨道的压力为零，求： ①小物块通过D处时的速度大小； ②小物块落在斜面上距B点的距离L。 【答案】（1）①小物块通过B处时的速度大小为4m/s； ②释放点的高度h为1.33m。 （2）①小物块通过D处时受到的弹力的大小为1.25N和方向竖直向下； ②小物块通过C时受到的弹力的大小为4.25N。 （3）①小物块通过D处时的速度大小为2m/s； ②小物块落在斜面上距B点的距离L为0.69m。 【解答】解：（1）①因恰能到达光滑圆管轨道的D处，所以v＝0，B到D过程，只有重力做功，由机械能守恒定律得： 解得：vB＝4m/s ②A到B，受力分析如图 由动能定理得 代入数据得： （2）①小物块在D处受力如上图所示，由牛顿第二定律得 解得：ND＝1.25N 方向竖直向下。 ②C到D，只有重力做功，由机械能守恒定律得 解得 小物块在C处受力如上图所示，由牛顿第二定律得 解得：NC＝4.25N （3）①因通过D处，N＝0，由牛顿第二定律得 解得：vD＝2m/s ②离开D点后，做平抛运动，水平位移为： x＝vDt 由几何知识得： x＝Lcosα 竖直位移为： 由几何知识得： y＝2R﹣Lsinα 联立解得：L＝0.69m 答：（1）①小物块通过B处时的速度大小为4m/s； ②释放点的高度h为1.33m。 （2）①小物块通过D处时受到的弹力的大小为1.25N和方向竖直向下； ②小物块通过C时受到的弹力的大小为4.25N。 （3）①小物块通过D处时的速度大小为2m/s； ②小物块落在斜面上距B点的距离L为0.69m。 34．（2024春•北碚区校级期中）如图所示，一游戏装置由安装在水平台面上的高度h可调的斜轨道AB、竖直圆轨道（在最低点E分别与水平轨道AE和EG相连）、细圆管道GHIJ（HI和IJ为两段四分之一圆弧）和与J相切的水平直轨道JK组成。可认为所有轨道均处在同一竖直平面内，连接处均平滑。已知，滑块质量为m＝30g且可视为质点，竖直圆轨道半径为r＝0.45m小圆弧管道HI和大圆弧管道IJ的半径之比为1：4，L1＝1.5m不变，L2＝0.5m，滑块与AB、EG及JK间摩擦因数均为μ＝0.5，其他轨道均光滑，不计空气阻力，忽略管道内外半径差异。现调节h＝2m，滑块从B点由静止释放后，贴着轨道恰好能滑上水平直轨道JK，求： （1）大圆弧管道IJ的半径R； （2）滑块经过竖直圆轨道与圆心O等高的P点时对轨道的压力F1与运动到圆弧管道最低点H时对轨道的压力F2大小之比； （3）若在水平轨道JK上某一位置固定一弹性挡板，当滑块与之发生弹性碰撞后能以原速率返回，若第一次返回时滑块不脱轨就算游戏闯关成功。调节斜轨道的高度为h＝3m，仍让滑块从B点由静止滑下，问弹性挡板与J的间距L满足什么条件时游戏能闯关成功。 【答案】（1）大圆弧管道IJ的半径为0.8m； （2）滑块经过竖直圆轨道与圆心O等高的P点时对轨道的压力F1与运动到圆弧管道最低点H时对轨道的压力F2大小之比为32：99； （3）弹性挡板与J的间距L满足满足L≤0.625m或者L≥1.3m才能闯关成功。 【解答】解：（1）物块从B点开始下滑，恰能达到水平直轨道JK，根据动能定理得： 解得：R＝0.8m （2）运动到P点时，根据动能定理得： 在P点时， 解得：vP＝4m/s； 运动到H点时 解得：F2＝3.3N 因此 （3）要想让物块无挡板碰后不脱离圆轨道，当L最大时对应于物块恰能达到与圆轨道圆心O等高的位置，则由动能定理得： mgh﹣μmg（L1+2L2+2Lmax）﹣mgr＝0 解得：Lmax＝1.3m 当L最小时对应于物块恰能达到与圆轨道最高点的位置，此时 则由动能定理得： 解得：Lmin＝0.625m 则弹性挡板与J的间距L满足L≤0.625m或者L≥1.3m才能闯关成功。 答：（1）大圆弧管道IJ的半径为0.8m； （2）滑块经过竖直圆轨道与圆心O等高的P点时对轨道的压力F1与运动到圆弧管道最低点H时对轨道的压力F2大小之比为32：99； （3）弹性挡板与J的间距L满足满足L≤0.625m或者L≥1.3m才能闯关成功。 十四．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共3小题） 35．（2024春•天山区校级期中）2023年10月26日消息，韦伯望远镜首次检测到恒星合并后啼（tellurium）等重元素的存在，可以帮助天文学家探究地球生命起源的奥秘。韦伯望远镜位于“拉格朗日L2点”上，跟随地球一起围绕太阳做圆周运动，图中的虚线圆周表示地球和韦伯望远镜绕太阳运动的轨道，韦伯望远镜和地球相对位置总是保持不变。已知太阳质量为M1、地球质量为M2，地球到太阳的距离为R，用l表示韦伯望远镜到地球的距离，把太阳、地球都看作是质点。由于的值很小，根据数学知识可以解出，你可能不知道这个解是用怎样的数学方法求出的，但根据物理知识你可以得出这个解对应的方程式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：以地球为研究对象，设地球围绕太阳运转的角速度为ω，地球和太阳之间的万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律得到： 以韦伯望远镜为研究对象，由题意知，韦伯望远镜跟随地球一起围绕太阳做圆周运动，所以韦伯望远镜的角速度也等于ω，太阳和地球对韦伯望远镜引力之和等于韦伯望远镜的向心力，根据牛顿第二定律： 联立两个方程消去ω，化简可得到：，故BCD错误，A正确。 故选：A。 36．（2024春•万州区校级期中）在某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。假设某种四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则（　　） A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关 B．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为 C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍 D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍 【答案】B 【解答】解：A、根据几何知识可得每颗星轨道半径为 每颗星受到的万有引力的合力为 由万有引力提供向心力，得 解得位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小为：，可知向心加速度与质量m有关，故A错误； B、由万有引力提供向心力，得 解得： 即位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为，故B正确； CD、由万有引力提供向心力，得 解得： 若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的；若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则周期变为原来的倍，角速度变为原来的倍，故CD错误。 故选：B。 37．（2024春•南岗区校级期中）（多选）2018年7月27日，天宇上演“火星冲日”天象，此时火星离地球最近，是发射火星探测器的最佳时段。为此，洞察号火星探测器于2018年5月5日发射升空，飞行205天，于11月27日成功着陆火星。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，公转周期约为地球公转周期的2倍，则（　　） A．火星公转轨道的半径约为地球公转轨道半径的2倍 B．火星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的 C．洞察号绕火星做匀速圆周运动的最大运行速度约为地球第一宇宙速度的 D．下一个火星探测器的最佳发射期最早将出现在2020年 【答案】BCD 【解答】解：A、对于地球和火星绕太阳公转时，都是由太阳的万有引力提供向心力，即 可得：r，故火星公转轨道的半径约为地球公转轨道半径的倍，故A错误； B．星球表面，万有引力近似等于重力，即mg，故g，代入数据可知火星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，故B正确； C．洞察号绕火星做匀速圆周运动的最大运行速度即为火星的第一宇宙速度，根据第一宇宙速度的定义式：v，代入数据可得洞察号绕火星做匀速圆周运动的最大运行速度约为地球第一宇宙速度的，故C正确； D．设经时间t，地球周期为T0，火星和地球再次相距最近，则有（）t＝2π，解得t＝2T0，故下一个火星探测器的最佳发射期最早将出现在2020年，故D正确。 故选：BCD。 十五．近地卫星（共6小题） 38．（2024春•任丘市校级期中）中国计划2023年5月发射天舟六号货运飞船和神舟十六号载人飞船，并形成三舱三船组合体，此次任务将上行航天员驻留和消耗物资、维修备件、推进剂和应用任务载荷样品，并下行在轨废弃物。飞船发射后会在停泊轨道（Ⅰ）上进行数据确认，后择机经转移轨道（Ⅱ）完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，则（　　） A．飞船在停泊轨道上的速度大于第一宇宙速度 B．飞船在转移轨道上P、Q两点的速率之比为R：（R+h） C．飞船应提前时间于P点点火加速进而在Q点完成交会对接 D．中国空间站的物品或宇航员可以漂浮，说明此时它们或他们不受地球引力作用 【答案】C 【解答】解：A、由题意知，停泊轨道半径近似为地球半径R，所以飞船在停泊轨道上的速度近似等于第一宇宙速度，故A错误； B、由开普勒第二定律可知，飞船在转移轨道（Ⅱ）上P、Q附近极短时间内扫过的面积相等，由近似扇形的面积公式有： 变形后得到两点的速率之比为：，故B错误； C、设飞船在转移轨道运行的周期为T2，结合飞船在停泊轨道的参数，由开普勒第三定律可得 变形整理可得： 故飞船在转移轨道上从P点飞到Q点所需的时间为： 所以飞船应提前时间于P点点火加速进而在Q点完成交会对接，故C正确； D、中国空间站的物品或宇航员可以“漂浮”，说明此时它们或他们受到的万有引力提供向心力了，处于完全失重状态，并不是不受万有引力，故D错误。 故选：C。 39．（2024春•西湖区校级期中）2023年3月10日6时41分，我国在太原卫星发射中心使用长征四号丙运载火箭，成功将“天绘六号A/B星”发射升空，卫星顺利进入预定轨道。现将卫星的发射简化为如下过程：先将卫星发射到近地圆轨道1，在位置P点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后在位置Q再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相切于Q点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道3上经过Q点时的加速度小于它在轨道2上经过Q点时的加速度 B．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 C．卫星在轨道2上从P点向Q点运动的过程中受到的万有引力逐渐增大 D．卫星在轨道1上经过P点时的速率小于它在轨道2上经过P点时的速率 【答案】D 【解答】解：A、根据牛顿第二定律得 可得，轨道3上的Q点与轨道2上的Q点到地心的距离相等，则卫星在轨道3上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，故A错误； B、卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，有 可得，卫星的轨道半径越大，运行速率越小，则卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率，故B错误； C、由万有引力定律可知，卫星在轨道2上从P点向Q点运动的过程中，r逐渐增大，因此卫星受到的万有引力逐渐减小，故C错误； D、在轨道1上经过P点时，做圆周运动，满足 在轨道2上经过P点后做离心运动，满足 可知卫星在轨道1上经过P点时的速率小于它在轨道2上经过P点时的速率，故D正确。 故选：D。 40．（2024春•庐阳区校级期中）2023年5月30日，搭载“神舟十六号”载人飞船的“长征二号”F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利送入太空，与“神舟十五号”乘组胜利会师。若宇航员在空间站中测得空间站对地球的张角为2θ，如图所示，已知地球的近地卫星（可视为贴地面运行）的运动周期为T，则空间站在轨绕地球做圆周运动的周期大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据几何关系可得空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为： 由于空间站和近地卫星均绕地球做转动，所以根据开普勒第三定律可得： 联立可得：，故BCD错误，A正确。 故选：A。 41．（2024春•青羊区校级期中）北京时间2022年6月5日10时44分，搭载“神舟十四号”载人飞船的“长征二号”F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577s后，“神舟十四号”载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。北京时间2022年6月5日17时42分，“神舟十四号”成功对接“天和”核心舱径向端口，整个对接过程历时约7h。对接后组合体在距地面高为h的轨道上做匀速圆周运动，环绕的向心加速度为a，环绕的线速度为v，引力常量为G，则下列判断正确的是（　　） A．组合体环绕的周期为 B．地球的平均密度为 C．地球的第一宇宙速度大小为 D．地球表面的重力加速度大小为 【答案】C 【解答】解：A、组合体的向心加速度为： 联立解得：，故A错误； D、由向心加速度公式a，所以组合体的轨道半径： 组合体做圆周运动时，由万有引力提供向心力有： m′在地面上有： 由几何关系可知：R＝r﹣h 联立解得：，故D错误； B、由密度定义可得地球的密度为：，故B错误； C、根据第一宇宙速度的意义有： 所以地球的第一宇宙速度：，故C正确。 故选：C。 42．（2024春•江阴市期中）2019年1月15日，“嫦娥四号”生物科普试验载荷项目团队发布消息称停留在月球上的“嫦娥四号”探测器上的一颗棉花种子已经发芽，这是人类首次在月球上进行生物生长试验。如图所示，“嫦娥四号”先在环月圆轨道Ⅰ上运动，接着在Ⅰ上的P点实施变轨进入近月椭圆轨道Ⅱ，再由近月点Q实施近月制动，最后成功登陆月球，下列说法正确的（　　） A．“嫦娥四号”绕轨道Ⅱ运行的周期大于绕轨道Ⅰ运行的周期 B．“嫦娥四号”沿轨道Ⅰ运动至P时，需要制动减速才能进入轨道Ⅱ C．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大小大于在Q点的加速度大小 D．“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程，速度逐渐减小 【答案】B 【解答】解：A、根据开普勒第三定律k，可得半长轴a越大，运动周期越大，显然轨道Ⅰ的半长轴（半径）大于轨道Ⅱ的半长轴，故沿轨道Ⅱ运动的周期小于沿轨道Ⅰ运动的周期，故A错误； B、沿轨道Ⅰ运动至P时，制动减速，万有引力大于向心力做向心运动，做近心运动才能进入轨道Ⅱ．故B正确； C、根据ma得：a，沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，故C错误； D、在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力方向与速度方向成锐角，万有引力对其做正功，速度逐渐增大，故D错误。 故选：B。 43．（2024春•沙坪坝区校级期中）（多选）“北斗系统”的卫星由若干地球静止轨道卫星（如图中A）、倾斜轨道卫星（如图中B）和极地轨道卫星（如图中C）三种轨道卫星组成，若它们都绕地心做匀速圆周运动，轨道半径关系为RA＝RB＞RC。则下列说法中正确的是（　　） A．三种卫星的线速度大小关系为vA＝vB＜vC B．三种卫星的角速度大小关系为ωA＝ωB＜ωC C．三种卫星的周期大小关系为TA＝TB＞TC D．三种卫星的加速度大小关系为aA＝aB＞aC 【答案】ABC 【解答】解：卫星绕地球做圆周运动，其向心加速度由万有引力产生，根据牛顿第二定律列式 A、根据万有引力提供向心力可知： 解得线速度： 由此可知三种卫星的线速度大小关系为vA＝vB＜vC，故A正确； B、根据万有引力提供向心力可知： 解得角速度： 由此可知三种卫星的角速度大小关系ωA＝ωB＜ωC，故B正确； C、根据万有引力提供向心力可知： 解得周期为： 由此可知三种卫星的周期大小关系为TA＝TB＞TC，故C正确； D、根据万有引力提供向心力可知： 解得加速度： 由此可知三种卫星的加速度大小关系为aA＝aB＜aC，故D错误。 故选：ABC。 十六．卫星或行星运行参数的计算（共2小题） 44．（2024春•道里区校级期中）为了粗略测量月球的直径，小月同学在满月的夜晚取来一枚硬币并放置在合适的位置，使之恰好垂直于视线且刚刚遮住整个月亮，然后测得此时硬币到眼睛的距离为x，硬币的直径为d，若已知月球的公转周期为T，地表的重力加速度g和地球半径R，以这种方法测得的月球直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由月球的公转周期为T，地表的重力加速度g和地球半径R， 在地球表面不考虑自转时有： 月球绕地球公转时，所受的万有引力提供向心力，可得： 可得月球公转的轨道半径为： 根据题意可作出视线刚刚遮住整个月亮的光路如图所示 则AB＝d，OE＝x，月球的直径为d1＝CD，而OF为地球到月球的距离约等于月球公转的轨道半径r，由两直角三角形相似，RT△OEA∽RT△OFC，可知： 联立各式可解得月球直径为：，故BCD错误，A正确。 故选：A。 45．（2024春•渝中区校级期中）（多选）宇宙中有两颗相距较远、质量均匀分布的行星A、行星B，其星球半径分别为RA和RB，周围都有卫星环绕，如图甲所示，纵轴表示卫星做匀速圆周运动的线速度大小的平方，横轴表示圆周运动的半径，两图线左端的纵坐标相同。若将卫星的运动周期T、圆周运动半径r取对数，可以得到如图乙所示的拟合直线（线性回归），两直线平行，纵截距分别为bA、bB。已知题中所给物理量均采用国际单位，bB﹣bA＝lg，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．行星A、B的质量之比MA：MB＝1：6 B．图乙中两条直线的斜率均为1.5 C．行星A、B的第一宇宙速度之比为1：1 D．行星A、B的星球半径之比为1：4 【答案】AC 【解答】解：AB、卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 解得 两边取对数得 可知图乙中两条直线的斜率均为。 根据已知条件bB﹣bA＝lg，得 ，化简得到行星A、B的质量之比为MA：MB＝1：6，故A正确，B错误； CD、根据，解得第一宇宙速度为，由图甲可知，两行星的第一宇宙速度相等，则行星A、B的第一宇宙速度之比为1：1；两行星的第一宇宙速度相等，则有，解得行星A、B的星球半径之比为RA：RB＝1：6，故C正确，D错误。 故选：AC。 十七．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共3小题） 46．（2024春•皇姑区校级期中）随着科技的发展，载人飞船绕太阳运行终会实现。如图所示，Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，Ⅱ轨道假设是载人飞船的椭圆轨道，其中点A、C分别是近日点和远日点，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则（　　） A．载人飞船的运动周期小于1年 B．载人飞船由A到C的过程中速率不变 C．载人飞船在C的速率小于火星绕日的速率 D．只要绕行时间相同，载人飞船在Ⅱ轨道扫过的面积就等于火星在Ⅲ轨道扫过的面积 【答案】C 【解答】解：A、根据开普勒第三定律，由于轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径，所以载人飞船的运动周期大于地球的公转周期，即载人飞船的运动周期大于1年，故A错误； B、根据开普勒第二定律可知，近日点的速度大于远日点的速度，可知载人飞船由A到C的过程中速率变小，故B错误； C、假设飞船在C处变轨到绕太阳做匀速圆周运动的轨道上，则飞船在C处需要点火加速，即载人飞船在C的速率小于C处绕太阳做匀速圆周运动的速率。 根据万有引力提供向心力得 可得 可知火星绕日的速率大于C处绕太阳做匀速圆周运动的速率，所以载人飞船在C的速率小于火星绕日的速率，故C正确； D、根据开普勒第二定律可知，同一轨道上运行的行星在相同时间内，行星与太阳连线扫过的面积相等，但不同轨道的行星，在相同时间内扫过的面积不一定相等，故D错误。 故选：C。 47．（2024春•西山区校级期中）a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星的发射速度小于7.9km/s B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc＜Tb D．在a、b、c中，b的线速度最大 【答案】D 【解答】解：A、第一宇宙速度7.9km/s是卫星最小的发射速度，所以b卫星的发射速度大于7.9km/s，故A错误； B、a、c的角速度相等，根据a＝ω2r可知，aa＜ac。 对b、c两颗卫星，根据万有引力提供向心力得 Gma 可得 可知ab＞ac，故a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab＞ac＞aa，故B错误； C、a、c的角速度相等，周期相等，即Ta＝Tc 对b、c两颗卫星，根据万有引力提供向心力得 Gmr 可得T＝2π 可知Tc＞Tb，故a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc＞Tb，故C错误； D、a、c的角速度相等，根据v＝ωr可知，va＜vc 对b、c两颗卫星，根据万有引力提供向心力得 Gm 可得 可知vb＞vc，故a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab＞ac＞aa，故D正确。 故选：D。 48．（2024春•海淀区校级期中）我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，极大丰富了我国自主对地观测数据源，为现代农业、防灾减灾、环境监测等领域提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的“高分三号”的轨道高度约为755km，“高分四号”的轨道为高度约3.6×104km的地球同步轨道。若将卫星的运动均看作是绕地球的匀速圆周运动，则（　　） A．“高分三号”的运行周期大于24h B．“高分三号”的运行周期等于24h C．“高分三号”的运行角速度大于地球自转的角速度 D．“高分三号”的运行速度小于“高分四号”的运行速度 【答案】C 【解答】解：AB、“高分四号”是地球同步卫星，运行周期等于地球自转周期24h。卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可知 可得 轨道半径越大，周期越长，因“高分三号”的轨道半径比“高分四号”的小，则“高分三号”的运行周期小于“高分四号”，即小于24h，故AB错误； C、根据 可得 轨道半径越大，角速度越小，则“高分三号”的运行角速度大于“高分四号”的运行角速度，即大于地球自转的角速度，故C正确； D、根据 可得 因“高分三号”的轨道半径比“高分四号”的小，则“高分三号”的运行速度大于“高分四号”的运行速度，故D错误。 故选：C。 十八．卫星的发射及变轨问题（共2小题） 49．（2024春•锡山区校级期中）载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹如图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上经过O点的速度为v。下列说法正确的有（　　） A．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度小于v B．在相等时间内，轨道I上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等 C．探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动时，经过O点的加速度均相同 D．在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是9：1 【答案】C 【解答】解：A、探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点减速变轨到轨道Ⅱ，则探测器在轨道Ⅰ运动时经过O点的速度大于在轨道Ⅱ上经过O点的速度v，故A错误； B、根据开普勒第二定律，在同一轨道上探测器与火星中心的连线在相时间内扫过的相等的面积，在两个不同的轨道上，开普勒第二定律不适用，不具备上述关系，即在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积不相等，故B错误； C、探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动时，经过O点时万有引力相同，天体运行时仅受万有引力F作用，由牛顿第二定律F＝ma可知，探测器在O点时加速度相等，故C正确； D、根据题意知轨道Ⅱ的半径为r3R，探测器在轨道Ⅱ与轨道Ⅲ上运行时，根据开普勒第三定律得 可得探测器在轨道Ⅱ与轨道Ⅲ上的周期之比为 则探测器在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是 ，故D错误。 故选：C。 50．（2024春•市南区校级期中）（多选）2022年1月22日，我国将一颗失效的北斗二号G2卫星从轨道半径为R1的地球同步轨道上变轨后运行到轨道半径为R2的“墓地轨道”上，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行。该过程的简化示意图如图所示。已知椭圆形转移轨道与同步轨道和“墓地轨道”分别相切于P、Q两点，则北斗二号G2卫星（　　） A．在转移轨道上Q点的加速度小于在“墓地轨道”上Q点的加速度 B．在转移轨道上Q点的速度小于在“墓地轨道”上Q点的速度 C．在转移轨道上P点的速度与Q点速度之比为R1：R2 D．沿转移轨道从P点运动到Q点所用的时间为天 【答案】BD 【解答】解：A、根据牛顿第二定律可得 解得 因卫星在两轨道上Q点离地心的距离相同，故其所处位置的加速度相同，则卫星在转移轨道上Q点的加速度和“墓地轨道”上Q点的加速度相同，故A错误； B、卫星在转移轨道上Q点必须点火加速，使其自身做离心运动才能进入“墓地轨道”轨道，可知，卫星在转移轨道上Q点的速度小于在“墓地轨道”上Q点的速度，故B正确； C、根据开普勒第二定律可知，卫星在同一轨道上环绕中心天体运行时，在相同时间内与地心连线扫过的面积相等。设卫星分别在远地点Q和在近地点P分别运行极短时间Δt，则有 可得，故C错误； D、根据几何关系可得转移轨道的半长轴为 将卫星在转移轨道上的运行过程和地球同步卫星的运行过程比较，根据开普勒第三定律可得 其中地球同步卫星的运行周期T1＝1天 解得天 则卫星从P运动到Q的时间为半个周期为，故D正确。 故选：BD。 十九．卫星的追及相遇问题（共2小题） 51．（2024春•浦东新区校级期中）我国开展的火星和空间探测。卓有成就。 （1）两个人造卫星在同一圆形轨道上绕火星运行，它们的质量关系为M1＝2M2，则它们运行的线速度大小关系为 　B　 。 A.v1＝2v2 B.v1＝v2 C.v1v2 D.v2v1 （2）两火星卫星公转的明分别是Ta、Tb，轨道视为圆，引力常量为G、则a、b公转半径之比为 　　 ，据上述信息 　B　 （选填：A.能，B、不能）求出火星的质量。 （3）（多选）“天问一号”被火星捕获后，经一系列变轨进入如图的椭圆停泊轨道。P为椭圆的近火点，Q为远火点，关于探测器在停泊轨道上的运动（忽略其他天体的影响），下列说法正确的有 　ABC　 。 A.探测器的机械能守恒 B.探测器经过P点时的速度最大 C.探测器经过Q点时的加速度最小 D.探测器经过Q点时做离心运动 （4）小明乘速度为0.9c（c为光速）的宇宙飞船追赶正前方的小军，小军的飞行速度为0.5c，小明向小军发出一束光进行联络，则小明观测到该光束的传播速度为 　D　 。 A.0.4c B.0.5c C.0.9c D.1.0c （5）（论证）元元查资料发现，在地球上可以探测到μ子、μ子自身的平均寿命为Δr＝3×10﹣6s。地球大气层的厚度l0＝9500m。请你帮元元证明：寿命如此短的μ子以速度v＝0.998c（c是真空中光速）运动时，可以穿过如此厚的大气层。 【答案】（1）B； （2）、B；（3）ABC；（4）D； （5）证明见解析。 【解答】解：（1）两个人造卫是在同一圆形轨道上绕火星运行，轨道半径相等，由万有引力提供向心力，对两颗卫星分别有：， 整理解得：，故ACD错误，B正确； 故选：B。 （2）、两火星卫星公转的周期分别是Ta、Tb，轨道视为圆，根据开普勒第三定律有： 变形整理解得： 卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有： 解得： 由于轨道半径不知道，则据上述信息不能求出火星的质量。 故选：B。 （3）A、天问一号在椭圆停泊轨道上运动，仅仅有万有引力做功，探测器的机械能守恒，故A正确； B、P为椭圆的近火点，Q为远火点。从近火点到远火点，万有引力做负功，探测器动能减小，可知，探测器经过P点时的速度最大，故B正确； C、根据牛顿第二定律有： 解得： 由此可知，探测器经过Q点时，距离火星间距最大，则加速度最小，故C正确； D、探测器经过Q点，随后在万有引力作用下靠近火星，可知探测器做近心运动，故D错误。 故选：ABC。 （4）、根据爱因斯坦相对论原理可知，光速不变，即小明观测到该光束的传播速度为1.0c，故ABC错误，D正确； 故选：D。 （5）、若根据狭义相对论，从地面观察μ子的“运动寿命”为： 则μ子在大气中运动的距离为：x＝0.998ct 结合上述解得：x＝14191.56m＞l0＝9500m 证明μ子可以穿越大气层。 故答案为：（1）B； （2）、B；（3）ABC；（4）D； （5）证明见解析。 52．（2024春•莱芜区校级期中）2023年5月17日，中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，地球的体积，求： （1）同步卫星距地面的高度h； （2）地球的密度ρ； （3）两颗人造地球卫星，在同一平面上沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为2R，8R，如果我们把两卫星相距最近称为两卫星相遇，这两颗卫星每隔多长时间相遇一次。 【答案】（1）同步卫星距地面的高度h为； （2）地球的密度ρ为； （3）这两颗卫星每隔时间相遇一次。 【解答】解：（1）地球同步卫星运行周期与地球自转周期相等，对同步卫星，根据万有引力提供向心力有 在地球表面有 联立解得 （2）根据可得地球的质量为 M 则地球的密度为 联立解得 （3）对这两颗人造地球卫星进行分析，根据万有引力提供向心力得 ， 令两颗卫星每隔Δt时间相遇一次，则有 解得 答：（1）同步卫星距地面的高度h为； （2）地球的密度ρ为； （3）这两颗卫星每隔时间相遇一次。 二十．双星系统及相关计算（共2小题） 53．（2024春•沙坪坝区校级期中）（多选）天文望远镜观测发现，大量的恒星以“双星系统”的形式存在，一般的双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的测量，确定该系统中两星体质量之和为M，两者中心相距L。两星体绕连线上某点做匀速圆周运动，则（　　） A．双星系统做匀速圆周运动的角速度为 B．若两星的质量之比为1：2，则两星公转的半径之比为1：2 C．若两星的质量之比为1：2，则两星公转的线速度之比为2：1 D．若两星的质量之比为1：2，则两星公转的向心加速度之比为1：2 【答案】AC 【解答】解：由万有引力定律及牛顿第二定律得：， 又双星的总质量：M＝m1+m2 由双星之间的几何关系有：L＝r1+r2 A、联立以上各式并代入可得，双星系统做匀速圆周运动的角速度为：，故A正确； BCD．两者之间的引力提供各自向心力，可以得到： 由此可知，两星公转的半径之比： 又有公式v＝ωr得，两星公转的线速度之比： 又有公式得，两星公转的向心加速度之比：，故BD错误，C正确。 故选：AC。 54．（2024春•高青县期中）人类首次发现了双中子星合并产生引力波的事件，引力波开启宇宙研究新时代，如图甲所示，这是一对相互环绕旋转的质量不等的双中子星系统，其示意图如图乙所示，双中子星A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动。已知中子星的质量分别为mA、mB，它们之间的距离为L，引力常量为G，求： （1）中子星A做圆周运动的半径rA； （2）中子星A、B做圆周运动的线速度大小之和。 【答案】（1）中子星A做圆周运动的半径rA为； （2）中子星A、B做圆周运动的线速度大小之和为； 【解答】解：（1）根据牛顿第二定律和万有引力定律 对A星： 对B星： 由几何关系有：rA+rB＝L 联立可得：rA，ω （2）同样的道理可以求得：rB 所以两星的线速度之和：vA+vB＝ω（rA+rB）（rA+rB） 答：（1）中子星A做圆周运动的半径rA为； （2）中子星A、B做圆周运动的线速度大小之和为； 二十一．探究平抛运动的特点（共4小题） 55．（2024春•滨海新区校级期中）如图所示，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，两轨道上端分别装有电磁铁C、D．调C、D高度，使AC＝BD，将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，P、Q从弧形轨道滚下，改变弧形轨道M的高度，再进行若干次实验，经过多次实验发现，P、Q两球总是在水平面相遇．上述实验说明（　　） A．竖直方向的运动是自由落体运动 B．竖直方向的运动是匀速直线运动 C．水平方向的运动是匀速直线运动 D．水平方向的运动是变速直线运动 【答案】C 【解答】解：平抛运动水平方向做匀速直线运动，根据实验可知，P球从M点平抛，而Q球从N点在水平面上匀速运动，二者运动轨迹虽然不同，但是水平方向的运动规律相同，因此P球会砸中Q球； 故选：C。 56．（2024春•蓝田县期中）某同学用图甲装置及频闪照相的方法研究A、B两球的运动。用小锤轻击弹性金属片，A球向右水平飞出，同时B球被松开，竖直向下运动。图乙是小球A运动过程中用频闪相机拍下的四个连续的不同位置的照片，并取A点为坐标原点建立直角坐标系，已知背景方格纸每小格的边长为2.5cm，g取10m/s2。请完成下列填空。 （1）小球A在竖直方向做 　自由落体　 运动，频闪照相相邻闪光的时间间隔为 　0.05　 。 （2）小球A水平抛出的初速度为 　1.5m/s　 ，抛出点的坐标为 　（﹣3.8cm，﹣0.31cm）　 。（保留两位有效数字） 【答案】（1）自由落体、0.05s、1.5m/s；（2）（﹣3.8cm，﹣0.31cm）。 【解答】解：（1）由题图甲知，小球A在竖直方向初速度为零，且只受重力作用，所以小球A在竖直方向做自由落体运动； 由逐差公式：Δs＝g（Δt）2 代入数据可得频闪照相相邻闪光的时间间隔：Δts＝0.05s （2）由水平方向的规律：x0＝v0Δt 代入数据得小球A水平抛出的初速度：v0m/s＝1.5m/s 小球在B点时竖直方向的速度为：vBym/s＝0.75m/s 由竖直方向：vBy＝gt 得到到达B点的时间：t＝0.075s 所以抛出点的横坐标为：x＝xB﹣v0t≈3×2.5×10﹣2cm﹣1.5×0.075×100cm＝﹣3.8cm 纵坐标为：y＝yB2.5cm100cm＝﹣0.31cm 所以抛出点坐标为（﹣3.8cm，﹣0.31cm）。 故答案为：（1）自由落体、0.05s、1.5m/s；（2）（﹣3.8cm，﹣0.31cm）。 57．（2024春•惠安县校级期中）用如图甲所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上、由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 （1）下列实验条件必须满足的有 　BD　 。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末端水平 C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 （2）为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图乙所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则 　＞　 （选填“＞”、“＜”或者“＝”）。可求得钢球平抛的初速度大小为 　　 （已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示）。 【答案】（1）BD；（2）＞；（3）。 【解答】解：（1）A、斜槽轨道不一定要光滑，只要小球到达底端时速度相等即可，故A错误； B、本实验研究平抛运动，斜槽轨道必须末端水平，以保证小球离开斜槽后能做平抛运动，故B正确； C、挡板高度不一定要等间距变化，故C错误； D、每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球，以保证小球到达底端时速度相等，故D正确。 故选：BD。 （2）由AB和BC的水平间距相等，则时间相等，在竖直方向钢球做匀变速直线运动，若竖直初速度为零，竖直间距的比值应该是1：3：5，而A点不是抛出点，比值应该更大，则。 由x＝v0t，y2﹣y1＝gt2 可得： 故答案为：（1）BD；（2）＞；（3）。 58．（2024春•西安期中）在一个未知星球上，用如图甲所示装置研究平抛运动的规律．悬点O正下方P点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被瞬间烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动．现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄．在有坐标纸的背景屏前，拍下了小球在做平抛运动过程中的多张照片，经合成后，照片如图乙所示．a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔是0.10s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：1，则： （1）a点　是　 （选填“是”或“不是”）小球的抛出点； （2）该星球表面的重力加速度为　8　 m/s2； （3）小球平抛的初速度是　0.8　 m/s； （4）小球在b点时的速度是　　 m/s． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为竖直方向上相等时间内的位移之比为1：3：5：7，符合初速度为零的匀变速直线运动特点，因此可知a点的竖直分速度为零，a点为小球的抛出点． （2）由照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：4可得乙图中正方形的边长l＝4cm； 竖直方向上有：Δy＝2L＝g′T2， 解得：g′8m/s2； （3）水平方向小球做匀速直线运动，因此小球平抛运动的初速度为： v00.8m/s． （4）b点的竖直分速度大小为 vym/s＝0.8m/s 所以小球在b点时的速度是 vbm/s 故答案为：（1）是；（2）8； （3）0.8；（4）． 二十二．探究圆周运动的相关参数问题（共2小题） 59．（2024春•海淀区校级期中）如图所示，是探究向心力大小F与质量m角速度ω和半径r之间关系的实验装置图。转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5分别随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂6的杠杆作用使弹簧测力筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间的等分格子可以计算出两个球所受向心力的比值，那么： （1）现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法中正确的是 　A　 。 A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验 B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验 C．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验 D．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验 （2）当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度大小之比为 　1：2　 。 【答案】（1）A；（2）1：2 【解答】解：（1）根据F＝mrω2，要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变，所以要在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验。 故选A； （2）标尺格子数与向心力成正比，右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，有F左：F右＝1：2，左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，即半径关系有：r右：r左＝1：2 根据F＝mω2r，可得： 代入数据解得左边塔轮与右边塔轮之间的角速度大小之比为1：2。 故答案为：（1）A；（2）1：2 60．（2024春•兰州期中）利用如图所示装置验证向心加速度an与线速度v的关系，圆弧轨道固定在水平桌面上，末端上表面与很小的压力传感器表面相切，水平地面上依次铺放好木板、白纸、复写纸。将小球从圆折轨道某一点由静止释放，经轨道末端飞出，落到铺着复写纸和白纸的木板上，在白纸上留下点迹，小球由同一位置重复释放几次，记录每次压力传感器的示数，改变小球在圆弧轨道上的释放位置，重复上述实验步骤。（当地的重力加速度为g） （1）为了完成实验，下列操作正确的是 　BD　 。（填正确答案标号） A．必须选择光滑的圆弧轨道 B．固定圆弧轨道时，末端必须水平 C．实验中应选择密度小的小球 D．确定小球在白纸上的落点时，用尽可能小的圆把所有落点圈住，圆心即为平均落点 （2）某次实验时记录的压力传感器示数为F，并测出小球的质量为m，小球的向心加速度an＝　　 。 （3）又测出轨道末端距地面高度h、平抛的水平位移x、则小球在圆弧轨道最低点的线速度v＝　　 。最后测出圆弧轨道半径R，则可验证是否在误差允许的范围内满足。 【答案】（1）BD；（2）；（3）。 【解答】解：（1）A、这个实验验证向心加速度an与线速度v的关系，而线速度v由平抛运动来进行测量，不用考虑圆弧轨道是否光滑，故A错误； B、线速度v由平抛运动来进行测量，平抛运动要求初速度方向必须水平，所以固定圆弧轨道时，末端必须水平，故B正确； C、实验过程为了减小空气阻力的影响，应用质量大体积小的球，即选择密度大的小球，故C错误； D、确定小球在白纸上的落点时，用尽可能小的圆把所有落点圈住，圆心即为平均落点，这样可以减小实验的偶然误差，故D正确。 故选：BD。 （2）根据题意，小球运动到圆弧轨道最低点，由牛顿第二定律有 F﹣mg＝man 解得： （3）根据题意可知，小球离开圆弧轨道最低点做平抛运动。 竖直方向上，有 可得小球的飞行时间为 水平方向上，有x＝vt 可得小球在圆弧轨道最低点的线速度为 故答案为：（1）BD；（2）；（3）。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期物理期中复习（易错60题22大考点） 训练范围：人教版（2019）： 必修第二册第5~7章。 一．合运动与分运动的关系（共4小题） 二．关联速度问题（共3小题） 三．小船过河问题（共2小题） 四．平抛运动速度的计算（共4小题） 五．平抛运动与斜面的结合（共2小题） 六．斜抛运动（共2小题） 七．传动问题（共2小题） 八．牛顿第二定律与向心力结合解决问题（共5小题） 九．水平转盘上物体的圆周运动（共2小题） 十．车辆在道路上的转弯问题（共2小题） 十一．绳球类模型及其临界条件（共3小题） 十二．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共1小题） 十三．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共2小题） 十四．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共3小题） 十五．近地卫星（共6小题） 十六．卫星或行星运行参数的计算（共2小题） 十七．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共3小题） 十八．卫星的发射及变轨问题（共2小题） 十九．卫星的追及相遇问题（共2小题） 二十．双星系统及相关计算（共2小题） 二十一．探究平抛运动的特点（共4小题） 二十二．探究圆周运动的相关参数问题（共2小题） 一．合运动与分运动的关系（共4小题） 1．（2024春•西安期中）竖直放置两端封闭的玻璃管内注满清水和一个用红蜡做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速运动，已知圆柱体运动的速度大小为5cm/s，与水平方向成θ＝53°，如图所示，则玻璃管水平方向运动的速度为（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（　　） A．5cm/s B．4cm/s C．3cm/s D．无法确定 2．（2024春•温州期中）汽艇在宽300m的河中横渡，河岸笔直，河水流速是4m/s汽艇在静水中的航速是5m/s，则下列说法正确的是（　　） A．汽艇不可能垂直于河岸航行 B．要使汽艇渡河的时间最短，渡河航行的位移大小是300m C．要使汽艇渡河的位移最短，渡河所需的时间是100s D．如果河水流速增大为6m/s，汽艇渡河所需的最短时间将增大 3．（2024春•广州期中）如图所示，小明将玩具电动车放在跑步机上做游戏，跑步机履带外侧机身上有正对的A、B两点，在慢跑模式下履带以v0＝3m/s的速度运行。已知电动小车能以v＝5m/s的速度匀速运动，履带宽度为50cm，小车每次都从A点出发，下列说法正确的是（　　） A．无论玩具车车头指向何方，小车运动的合速度始终大于5m/s B．玩具小车到达对面的最短时间为0.125s C．玩具小车从A点出发到达正对面的B点，车头需与A点左侧履带边缘成53°夹角 D．玩具小车从A点出发到达正对面的B点用时为0.1s 4．（2024春•禄劝县期中）（多选）如图所示，物体A和B的质量均为m，分别与跨过定滑轮的轻绳连接（不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦）。现用水平变力F拉着物体A沿水平方向向右做匀速直线运动。则下列说法中正确的是（　　） A．物体B做匀速直线运动 B．物体B做加速直线运动 C．绳子对物体B的拉力等于mg D．绳子对物体B的拉力大于mg 二．关联速度问题（共3小题） 5．（2024春•泉州期中）如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，当拉船的绳与水平方向的夹角为30°时船的速度为（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•光明区校级期中）如图所示，图甲为吊威亚表演者的照片，图乙为其简化示意图。工作人员A以速度v沿直线水平向左拉轻绳，此时绳与水平方向的夹角为θ，此时表演者B速度大小为（　　） A．vsinθ B．vcosθ C． D． 7．（2024春•顺庆区期中）（多选）如图，跨过光滑轻质小定滑轮的轻绳，一段系一质量为m的小球，另一端系一质量为2m的重物，小球套在竖直固定的光滑直杆上，滑轮与杆的距离为d．现将小球从与滑轮等高的A处由静止释放，下滑过程中经过B点，A、B两点间距离也为d，重力加速度为g，则小球（　　） A．刚释放时的加速度为g B．过B处后还能继续下滑 C．在B处的速度与重物此时的速度大小之比为 D．在B处的速度与重物此时的速度大小之比为 三．小船过河问题（共2小题） 8．（2024春•兰州期中）若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小．现假设河的宽度为120m．河中心水的流速大小为4m/s，船在静水中的速度大小为3m/s，要使船以最短时间渡河，则（　　） A．船渡河的最短时间是24 s B．在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度为7 m 9．（2024春•莱芜区校级期中）如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸成θ的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过t时间正好到达正对岸的B处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种（　　） A．只要增大v1大小，不必改变θ角 B．只要增大θ角，不必改变v1大小 C．在增大v1的同时，也必须适当增大θ角 D．在增大v1的同时，也必须适当减小θ角 四．平抛运动速度的计算（共4小题） 10．（2024春•番禺区校级期中）（多选）水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某水车模型，从槽口水平流出的水初速度大小为v0，垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，忽略空气阻力，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．水从槽口运动到水轮叶面的时间为 B．水从槽口运动到水轮叶面的时间为 C．水垂直打在水轮叶面上的速度大小为2v0 D．水垂直打在水轮叶面上的速度大小为 11．（2024春•仓山区校级期中）（多选）如图所示，在M点分别以不同的速度将两小球水平抛出．两小球分别落在水平地面上的P点、Q点．已知O点是M点在地面上的竖直投影，OP：PQ＝1：3，且不考虑空气阻力的影响．下列说法中正确的是（　　） A．两小球的下落时间之比为1：1 B．两小球的下落时间之比为1：4 C．两小球的初速度大小之比为1：3 D．两小球的初速度大小之比为1：4 12．（2024春•大兴区校级期中）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。将运动员视为质点、坡面近似视为斜面，测得ab间的距离为s＝40m，斜坡与水平方向的夹角为θ＝30°，不计空气阻力，g取10m/s2。试求： （1）运动员在空中飞行的时间t； （2）运动员从a处水平飞出的速度大小v0。 （3）试以a为原点，竖直向下为y轴正方向，水平向左为x轴正方向，写出运动员在空中的轨迹方程。 13．（2024春•碑林区校级期中）一小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为v0、方向与水平方向成30°角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角。不计空气阻力，重力加速度为g，求小球由A到B的运动时间及A、B两点间的距离。 五．平抛运动与斜面的结合（共2小题） 14．（2024春•重庆期中）如图所示，从倾角为θ的足够长斜面上的A点将﹣小球以初速度v0水平抛出，空气阻力不计，小球落在斜面上，则（　　） A．平抛运动可以分解为沿斜面向下的匀速直线运动和垂直于斜面的匀减速直线运动 B．小球离斜面距离最大和刚接触斜面时，沿斜面方向的位移之比为1：4 C．小球在空中运动的时间为 D．小球离斜面的最大距离为 15．（2024春•禄劝县期中）从光滑水平平台上的P点以大小不同的初速度平抛一个可视为质点的小球，小球分别落在平台下方倾角为θ的斜面上的两点。设落在A、B两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为αA、αB，如图所示，则关于αA、αB的关系正确的是（ ） A．αA＞αB B．αA＜αB C．αA＝αB D．无法确定 六．斜抛运动（共2小题） 16．（2024春•永川区校级期中）以大小相同的初速度、不同的抛射角同时从地面抛出3个小球A、B、C，3球从抛出到落地在空中的运动轨迹如图所示，下列叙述正确的是（　　） A．A、B、C三球在运动过程中，A球的加速度最大 B．B球的射程最远，所以B最后落地 C．A、C两球的射程相等，所以它们的水平分速度相等 D．B球的射程最远，B抛出时速度与水平方向的夹角最接近45° 17．（2024春•江津区期中）如图所示是一运动员抛出的铅球的轨迹，A，B，C是轨迹上的三个点，其中B是最高点，不计空气阻力，若在抛出点铅球的初速度大小是20m/s，与水平的方向夹角是53°．已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6．则铅球在最高点B的速度为多大？ 七．传动问题（共2小题） 18．（2024春•芦淞区校级期中）如图所示在皮带传动中，两轮半径不等，下列说法正确的是（　　） A．两轮角速度相等 B．两轮周期相等 C．两轮边缘上的点线速度的大小相等 D．两轮边缘向心加速度的大小相等 19．（2024春•城中区校级期中）（多选）如图所示的皮带传动装置中，甲、乙、丙三轮的轴均为水平轴，其中甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半．A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮的边缘点，若传动中皮带不打滑，则（　　） A．A、B两点的线速度大小之比为2：1 B．A、C两点的角速度大小之比为1：2 C．A、B两点向心加速度大小之比为2：1 D．A、C两点的向心加速度大小之比为1：4 八．牛顿第二定律与向心力结合解决问题（共5小题） 20．（2024春•西城区校级期中）如图所示，把一个长为20cm、倔强系数为360N/m的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50kg的小球，当小球以转/分的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长应为（　　） A．5.2cm B．5.3cm C．5.0cm D．5.4cm 21．（2024春•温州期中）如图所示，A、B两物块置于绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，两物块始终相对圆盘静止，已知两物块的质量mA＜mB，运动半径rA＞rB，则下列关系一定正确的是（　　） A．角速度ωA＜ωB B．线速度vA＜vB C．向心加速度aA＞aB D．向心力FA＞FB 22．（2024春•永川区校级期中）如图所示，内壁光滑半径为r的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，绳与竖直方向的夹角为θ，物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，重力加速度取g，则（　　） A．桶对物块的弹力不可能为零 B．转动的角速度的最小值为 C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变 D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大 23．（2024春•和平区校级期中）如图所示，A和B两物块（可视为质点）放在转盘上，A的质量为m。B的质量为2m。两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l。两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求： （1）角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力； （2）角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。 24．（2024春•番禺区校级期中）动画片“熊出没”中有这样一个情节：某天熊大和熊二中了光头强设计的陷阱，被挂在了树上（如图甲），聪明的熊大想出了一个办法，让自己和熊二荡起来使绳断裂从而得救，其过程可简化如图乙所示，设悬点为O，整个装置可视为质点且总质量为m，绳长为L且保持不变，绳子能承受的最大张力为Fm＝3mg，不计一切阻力，重力加速度为g，求： （1）设熊大和熊二刚好在向右摆到最低点时绳子恰好断裂，求他们在最低点的速度vm的大小； （2）若绳长改为2L，两熊在水平面内做匀速圆周运动，如图丙。若两熊做圆锥摆运动时绳子与竖直方向的夹角为θ＝60°，求此时绳子受到的拉力F的大小以及两熊的速度v的大小。 九．水平转盘上物体的圆周运动（共2小题） 25．（2024春•渝北区校级期中）如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，在圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动过程中，下列说法正确的是（　　） A．当角速度为时，绳子张力为 B．当角速度为时，A所受摩擦力方向沿半径指向圆心O C．当两物体刚要发生滑动时，圆盘的角速度为 D．当两物体刚要发生滑动时，绳子上的张力大小为2μmg 26．（2024春•庐阳区校级期中）（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上且木块A、B与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，以下说法不正确的是（　　） A．当时，绳子一定有弹力 B．当时，A、B会相对于转盘滑动 C．当ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 D．当ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大 十．车辆在道路上的转弯问题（共2小题） 27．（2024春•西城区校级期中）在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动。设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L．已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于（　　） A． B． C． D． 28．（2024春•黄浦区校级期中）汽车在水平地面上转弯时，是 　 　 力提供向心力；转弯时车速不能太快，当速度为v时，安全转弯的半径最小为R，若当转弯半径为3R时，该汽车安全转弯的最大速度为 　 　 ． 十一．绳球类模型及其临界条件（共3小题） 29．（2024春•滨海新区校级期中）质量为m的小球，用一条绳子系在竖直平面内做圆周运动，小球到达最高点时的速度为v，到达最低点时的速变为，则两位置处绳子所受的张力之差是（　　） A．6mg B．5mg C．4mg D．2mg 30．（2024春•黄埔区校级期中）如图所示，在竖直平面内的圆周轨道半径为r，质量为m的小物块以速度v通过轨道的最高点P．已知重力加速度为g，则小物块在P点受到轨道对它的压力大小为（　　） A．m B．mmg C．mg﹣m D．mmg 31．（2024春•市北区校级期中）如图是由弧形轨道、圆轨道（轨道底端B略错开，图中未画出）、水平直轨道平滑连接而成的力学探究装置。水平轨道AC右端装有理想轻弹簧（右端固定），圆轨道与水平直轨道相交于B点，且B点位置可改变，现将B点置于AC中点，质量m＝2kg的滑块（可视为质点）从弧形轨道高H＝0.6m处静止释放。已知圆轨道半径R＝0.1m，水平轨道长LAC＝1.0m，滑块与AC间动摩擦因数μ＝0.2，弧形轨道和圆轨道均视为光滑，不计其他阻力与能量损耗，求： （1）滑块第一次滑至圆轨道最高点时对轨道的压力大小； （2）轻弹簧获得的最大弹性势能； （3）若H＝0.4m，改变B点位置，使滑块在整个滑动过程中不脱离轨道，求BC长度满足的条件。 十二．物体在圆形竖直轨道内的圆周运动（共1小题） 32．（2024春•昌乐县期中）我国正在攻关的JF﹣22超高速风洞，是研制新一代飞行器的摇篮，它可以复现40到100公里高空、时速最高达10公里/秒（相当于约30倍声速）的飞行条件。现有一小球从模拟的风洞中的M点以10m/s的速度竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，A点为轨迹的最高点，小球从A点进入竖直放置的半圆形轨道，小球沿轨道内侧运动，过A点时恰好对轨道没有压力，AB为半圆轨道的直径，AB竖直且B与M等高。其运动轨迹如图所示，g＝10m/s2。求： （1）小球到达A点时的速度大小； （2）小球所受的重力和风力大小之比； （3）若撤去右侧圆形轨道，求小球以上述条件抛出后，运动到M等高处时的速度大小。 十三．物体在环形竖直轨道内的圆周运动（共2小题） 33．（2024春•顺庆区期中）如图所示，轨道ABCD固定在竖直面内，AB为倾角α＝37°的粗糙斜面，BCD为半径R＝0.4m的光滑圆管轨道，两者在B处光滑连接，O为圆心，BOD在同一竖直线上，OC在同一水平线上。一个质量为m＝0.1kg的小物块（可看成质点），从斜面上由静止滑下，进入光滑圆管轨道继续滑行，与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.3，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）若小物块从斜面上h高处由静止释放，恰能到达D处，求： ①小物块通过B处时的速度大小； ②释放点的高度h。 （2）若小物块从斜面上的某处释放，通过D处时的速度大小为3m/s，求： ①小物块通过D处时受到的弹力的大小和方向； ②小物块通过C时受到的弹力的大小。 （3）若小物块从斜面上某处释放，到达D处时对轨道的压力为零，求： ①小物块通过D处时的速度大小； ②小物块落在斜面上距B点的距离L。 34．（2024春•北碚区校级期中）如图所示，一游戏装置由安装在水平台面上的高度h可调的斜轨道AB、竖直圆轨道（在最低点E分别与水平轨道AE和EG相连）、细圆管道GHIJ（HI和IJ为两段四分之一圆弧）和与J相切的水平直轨道JK组成。可认为所有轨道均处在同一竖直平面内，连接处均平滑。已知，滑块质量为m＝30g且可视为质点，竖直圆轨道半径为r＝0.45m小圆弧管道HI和大圆弧管道IJ的半径之比为1：4，L1＝1.5m不变，L2＝0.5m，滑块与AB、EG及JK间摩擦因数均为μ＝0.5，其他轨道均光滑，不计空气阻力，忽略管道内外半径差异。现调节h＝2m，滑块从B点由静止释放后，贴着轨道恰好能滑上水平直轨道JK，求： （1）大圆弧管道IJ的半径R； （2）滑块经过竖直圆轨道与圆心O等高的P点时对轨道的压力F1与运动到圆弧管道最低点H时对轨道的压力F2大小之比； （3）若在水平轨道JK上某一位置固定一弹性挡板，当滑块与之发生弹性碰撞后能以原速率返回，若第一次返回时滑块不脱轨就算游戏闯关成功。调节斜轨道的高度为h＝3m，仍让滑块从B点由静止滑下，问弹性挡板与J的间距L满足什么条件时游戏能闯关成功。 十四．万有引力与重力的关系（黄金代换）（共3小题） 35．（2024春•天山区校级期中）2023年10月26日消息，韦伯望远镜首次检测到恒星合并后啼（tellurium）等重元素的存在，可以帮助天文学家探究地球生命起源的奥秘。韦伯望远镜位于“拉格朗日L2点”上，跟随地球一起围绕太阳做圆周运动，图中的虚线圆周表示地球和韦伯望远镜绕太阳运动的轨道，韦伯望远镜和地球相对位置总是保持不变。已知太阳质量为M1、地球质量为M2，地球到太阳的距离为R，用l表示韦伯望远镜到地球的距离，把太阳、地球都看作是质点。由于的值很小，根据数学知识可以解出，你可能不知道这个解是用怎样的数学方法求出的，但根据物理知识你可以得出这个解对应的方程式为（　　） A． B． C． D． 36．（2024春•万州区校级期中）在某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。假设某种四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则（　　） A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关 B．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为 C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍 D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍 37．（2024春•南岗区校级期中）（多选）2018年7月27日，天宇上演“火星冲日”天象，此时火星离地球最近，是发射火星探测器的最佳时段。为此，洞察号火星探测器于2018年5月5日发射升空，飞行205天，于11月27日成功着陆火星。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，公转周期约为地球公转周期的2倍，则（　　） A．火星公转轨道的半径约为地球公转轨道半径的2倍 B．火星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的 C．洞察号绕火星做匀速圆周运动的最大运行速度约为地球第一宇宙速度的 D．下一个火星探测器的最佳发射期最早将出现在2020年 十五．近地卫星（共6小题） 38．（2024春•任丘市校级期中）中国计划2023年5月发射天舟六号货运飞船和神舟十六号载人飞船，并形成三舱三船组合体，此次任务将上行航天员驻留和消耗物资、维修备件、推进剂和应用任务载荷样品，并下行在轨废弃物。飞船发射后会在停泊轨道（Ⅰ）上进行数据确认，后择机经转移轨道（Ⅱ）完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，则（　　） A．飞船在停泊轨道上的速度大于第一宇宙速度 B．飞船在转移轨道上P、Q两点的速率之比为R：（R+h） C．飞船应提前时间于P点点火加速进而在Q点完成交会对接 D．中国空间站的物品或宇航员可以漂浮，说明此时它们或他们不受地球引力作用 39．（2024春•西湖区校级期中）2023年3月10日6时41分，我国在太原卫星发射中心使用长征四号丙运载火箭，成功将“天绘六号A/B星”发射升空，卫星顺利进入预定轨道。现将卫星的发射简化为如下过程：先将卫星发射到近地圆轨道1，在位置P点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后在位置Q再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相切于Q点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道3上经过Q点时的加速度小于它在轨道2上经过Q点时的加速度 B．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 C．卫星在轨道2上从P点向Q点运动的过程中受到的万有引力逐渐增大 D．卫星在轨道1上经过P点时的速率小于它在轨道2上经过P点时的速率 40．（2024春•庐阳区校级期中）2023年5月30日，搭载“神舟十六号”载人飞船的“长征二号”F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利送入太空，与“神舟十五号”乘组胜利会师。若宇航员在空间站中测得空间站对地球的张角为2θ，如图所示，已知地球的近地卫星（可视为贴地面运行）的运动周期为T，则空间站在轨绕地球做圆周运动的周期大小为（　　） A． B． C． D． 41．（2024春•青羊区校级期中）北京时间2022年6月5日10时44分，搭载“神舟十四号”载人飞船的“长征二号”F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约577s后，“神舟十四号”载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功。北京时间2022年6月5日17时42分，“神舟十四号”成功对接“天和”核心舱径向端口，整个对接过程历时约7h。对接后组合体在距地面高为h的轨道上做匀速圆周运动，环绕的向心加速度为a，环绕的线速度为v，引力常量为G，则下列判断正确的是（　　） A．组合体环绕的周期为 B．地球的平均密度为 C．地球的第一宇宙速度大小为 D．地球表面的重力加速度大小为 42．（2024春•江阴市期中）2019年1月15日，“嫦娥四号”生物科普试验载荷项目团队发布消息称停留在月球上的“嫦娥四号”探测器上的一颗棉花种子已经发芽，这是人类首次在月球上进行生物生长试验。如图所示，“嫦娥四号”先在环月圆轨道Ⅰ上运动，接着在Ⅰ上的P点实施变轨进入近月椭圆轨道Ⅱ，再由近月点Q实施近月制动，最后成功登陆月球，下列说法正确的（　　） A．“嫦娥四号”绕轨道Ⅱ运行的周期大于绕轨道Ⅰ运行的周期 B．“嫦娥四号”沿轨道Ⅰ运动至P时，需要制动减速才能进入轨道Ⅱ C．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大小大于在Q点的加速度大小 D．“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程，速度逐渐减小 43．（2024春•沙坪坝区校级期中）（多选）“北斗系统”的卫星由若干地球静止轨道卫星（如图中A）、倾斜轨道卫星（如图中B）和极地轨道卫星（如图中C）三种轨道卫星组成，若它们都绕地心做匀速圆周运动，轨道半径关系为RA＝RB＞RC。则下列说法中正确的是（　　） A．三种卫星的线速度大小关系为vA＝vB＜vC B．三种卫星的角速度大小关系为ωA＝ωB＜ωC C．三种卫星的周期大小关系为TA＝TB＞TC D．三种卫星的加速度大小关系为aA＝aB＞aC 十六．卫星或行星运行参数的计算（共2小题） 44．（2024春•道里区校级期中）为了粗略测量月球的直径，小月同学在满月的夜晚取来一枚硬币并放置在合适的位置，使之恰好垂直于视线且刚刚遮住整个月亮，然后测得此时硬币到眼睛的距离为x，硬币的直径为d，若已知月球的公转周期为T，地表的重力加速度g和地球半径R，以这种方法测得的月球直径为（　　） A． B． C． D． 45．（2024春•渝中区校级期中）（多选）宇宙中有两颗相距较远、质量均匀分布的行星A、行星B，其星球半径分别为RA和RB，周围都有卫星环绕，如图甲所示，纵轴表示卫星做匀速圆周运动的线速度大小的平方，横轴表示圆周运动的半径，两图线左端的纵坐标相同。若将卫星的运动周期T、圆周运动半径r取对数，可以得到如图乙所示的拟合直线（线性回归），两直线平行，纵截距分别为bA、bB。已知题中所给物理量均采用国际单位，bB﹣bA＝lg，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．行星A、B的质量之比MA：MB＝1：6 B．图乙中两条直线的斜率均为1.5 C．行星A、B的第一宇宙速度之比为1：1 D．行星A、B的星球半径之比为1：4 十七．不同轨道上的卫星或行星（可能含赤道上物体）运行参数的比较（共3小题） 46．（2024春•皇姑区校级期中）随着科技的发展，载人飞船绕太阳运行终会实现。如图所示，Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，Ⅱ轨道假设是载人飞船的椭圆轨道，其中点A、C分别是近日点和远日点，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则（　　） A．载人飞船的运动周期小于1年 B．载人飞船由A到C的过程中速率不变 C．载人飞船在C的速率小于火星绕日的速率 D．只要绕行时间相同，载人飞船在Ⅱ轨道扫过的面积就等于火星在Ⅲ轨道扫过的面积 47．（2024春•西山区校级期中）a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　） A．b卫星的发射速度小于7.9km/s B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc＜Tb D．在a、b、c中，b的线速度最大 48．（2024春•海淀区校级期中）我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高，极大丰富了我国自主对地观测数据源，为现代农业、防灾减灾、环境监测等领域提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的“高分三号”的轨道高度约为755km，“高分四号”的轨道为高度约3.6×104km的地球同步轨道。若将卫星的运动均看作是绕地球的匀速圆周运动，则（　　） A．“高分三号”的运行周期大于24h B．“高分三号”的运行周期等于24h C．“高分三号”的运行角速度大于地球自转的角速度 D．“高分三号”的运行速度小于“高分四号”的运行速度 十八．卫星的发射及变轨问题（共2小题） 49．（2024春•锡山区校级期中）载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹如图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆。探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点。已知火星的半径为R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上经过O点的速度为v。下列说法正确的有（　　） A．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度小于v B．在相等时间内，轨道I上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等 C．探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动时，经过O点的加速度均相同 D．在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是9：1 50．（2024春•市南区校级期中）（多选）2022年1月22日，我国将一颗失效的北斗二号G2卫星从轨道半径为R1的地球同步轨道上变轨后运行到轨道半径为R2的“墓地轨道”上，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行。该过程的简化示意图如图所示。已知椭圆形转移轨道与同步轨道和“墓地轨道”分别相切于P、Q两点，则北斗二号G2卫星（　　） A．在转移轨道上Q点的加速度小于在“墓地轨道”上Q点的加速度 B．在转移轨道上Q点的速度小于在“墓地轨道”上Q点的速度 C．在转移轨道上P点的速度与Q点速度之比为R1：R2 D．沿转移轨道从P点运动到Q点所用的时间为天 十九．卫星的追及相遇问题（共2小题） 51．（2024春•浦东新区校级期中）我国开展的火星和空间探测。卓有成就。 （1）两个人造卫星在同一圆形轨道上绕火星运行，它们的质量关系为M1＝2M2，则它们运行的线速度大小关系为 　 　 。 A.v1＝2v2 B.v1＝v2 C.v1v2 D.v2v1 （2）两火星卫星公转的明分别是Ta、Tb，轨道视为圆，引力常量为G、则a、b公转半径之比为 　 　 ，据上述信息 　 　 （选填：A.能，B、不能）求出火星的质量。 （3）（多选）“天问一号”被火星捕获后，经一系列变轨进入如图的椭圆停泊轨道。P为椭圆的近火点，Q为远火点，关于探测器在停泊轨道上的运动（忽略其他天体的影响），下列说法正确的有 　 　 。 A.探测器的机械能守恒 B.探测器经过P点时的速度最大 C.探测器经过Q点时的加速度最小 D.探测器经过Q点时做离心运动 （4）小明乘速度为0.9c（c为光速）的宇宙飞船追赶正前方的小军，小军的飞行速度为0.5c，小明向小军发出一束光进行联络，则小明观测到该光束的传播速度为 　 　 。 A.0.4c B.0.5c C.0.9c D.1.0c （5）（论证）元元查资料发现，在地球上可以探测到μ子、μ子自身的平均寿命为Δr＝3×10﹣6s。地球大气层的厚度l0＝9500m。请你帮元元证明：寿命如此短的μ子以速度v＝0.998c（c是真空中光速）运动时，可以穿过如此厚的大气层。 52．（2024春•莱芜区校级期中）2023年5月17日，中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，地球的体积，求： （1）同步卫星距地面的高度h； （2）地球的密度ρ； （3）两颗人造地球卫星，在同一平面上沿相同绕行方向绕地球做匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为2R，8R，如果我们把两卫星相距最近称为两卫星相遇，这两颗卫星每隔多长时间相遇一次。 二十．双星系统及相关计算（共2小题） 53．（2024春•沙坪坝区校级期中）（多选）天文望远镜观测发现，大量的恒星以“双星系统”的形式存在，一般的双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的测量，确定该系统中两星体质量之和为M，两者中心相距L。两星体绕连线上某点做匀速圆周运动，则（　　） A．双星系统做匀速圆周运动的角速度为 B．若两星的质量之比为1：2，则两星公转的半径之比为1：2 C．若两星的质量之比为1：2，则两星公转的线速度之比为2：1 D．若两星的质量之比为1：2，则两星公转的向心加速度之比为1：2 54．（2024春•高青县期中）人类首次发现了双中子星合并产生引力波的事件，引力波开启宇宙研究新时代，如图甲所示，这是一对相互环绕旋转的质量不等的双中子星系统，其示意图如图乙所示，双中子星A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动。已知中子星的质量分别为mA、mB，它们之间的距离为L，引力常量为G，求： （1）中子星A做圆周运动的半径rA； （2）中子星A、B做圆周运动的线速度大小之和。 二十一．探究平抛运动的特点（共4小题） 55．（2024春•滨海新区校级期中）如图所示，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，两轨道上端分别装有电磁铁C、D．调C、D高度，使AC＝BD，将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，P、Q从弧形轨道滚下，改变弧形轨道M的高度，再进行若干次实验，经过多次实验发现，P、Q两球总是在水平面相遇．上述实验说明（　　） A．竖直方向的运动是自由落体运动 B．竖直方向的运动是匀速直线运动 C．水平方向的运动是匀速直线运动 D．水平方向的运动是变速直线运动 56．（2024春•蓝田县期中）某同学用图甲装置及频闪照相的方法研究A、B两球的运动。用小锤轻击弹性金属片，A球向右水平飞出，同时B球被松开，竖直向下运动。图乙是小球A运动过程中用频闪相机拍下的四个连续的不同位置的照片，并取A点为坐标原点建立直角坐标系，已知背景方格纸每小格的边长为2.5cm，g取10m/s2。请完成下列填空。 （1）小球A在竖直方向做 　 运动，频闪照相相邻闪光的时间间隔为 　 　 。 （2）小球A水平抛出的初速度为 　 　 ，抛出点的坐标为 　 　 。（保留两位有效数字） 57．（2024春•惠安县校级期中）用如图甲所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上、由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 （1）下列实验条件必须满足的有 　 　 。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末端水平 C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 （2）为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图乙所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则 　 　 （选填“＞”、“＜”或者“＝”）。可求得钢球平抛的初速度大小为 　 　 （已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示）。 58．（2024春•西安期中）在一个未知星球上，用如图甲所示装置研究平抛运动的规律．悬点O正下方P点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被瞬间烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动．现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄．在有坐标纸的背景屏前，拍下了小球在做平抛运动过程中的多张照片，经合成后，照片如图乙所示．a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔是0.10s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：1，则： （1）a点　 　 （选填“是”或“不是”）小球的抛出点； （2）该星球表面的重力加速度为　 　 m/s2； （3）小球平抛的初速度是　 　 m/s； （4）小球在b点时的速度是　 　 m/s． 二十二．探究圆周运动的相关参数问题（共2小题） 59．（2024春•海淀区校级期中）如图所示，是探究向心力大小F与质量m角速度ω和半径r之间关系的实验装置图。转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5分别随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂6的杠杆作用使弹簧测力筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间的等分格子可以计算出两个球所受向心力的比值，那么： （1）现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法中正确的是 　 　 。 A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验 B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验 C．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验 D．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验 （2）当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度大小之比为 　 　 。 60．（2024春•兰州期中）利用如图所示装置验证向心加速度an与线速度v的关系，圆弧轨道固定在水平桌面上，末端上表面与很小的压力传感器表面相切，水平地面上依次铺放好木板、白纸、复写纸。将小球从圆折轨道某一点由静止释放，经轨道末端飞出，落到铺着复写纸和白纸的木板上，在白纸上留下点迹，小球由同一位置重复释放几次，记录每次压力传感器的示数，改变小球在圆弧轨道上的释放位置，重复上述实验步骤。（当地的重力加速度为g） （1）为了完成实验，下列操作正确的是 　 　 。（填正确答案标号） A．必须选择光滑的圆弧轨道 B．固定圆弧轨道时，末端必须水平 C．实验中应选择密度小的小球 D．确定小球在白纸上的落点时，用尽可能小的圆把所有落点圈住，圆心即为平均落点 （2）某次实验时记录的压力传感器示数为F，并测出小球的质量为m，小球的向心加速度an＝　 　 。 （3）又测出轨道末端距地面高度h、平抛的水平位移x、则小球在圆弧轨道最低点的线速度v＝　 　 。最后测出圆弧轨道半径R，则可验证是否在误差允许的范围内满足。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$