专题03离散型随机变量及其分布列（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（吉林专用）

专题03 离散型随机变量及其分布列 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量 题型04两点分布 ( 题型01 ) 集条件概率 1.（23-24高二下·吉林延边·期中）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中机会均等），则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一个人被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·吉林·期中）设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则＝(　　) A． B． C． D． 3.（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则A与B相互独立 B．若，则 C．若，则可能为0.15 D．若X服从两点分布，且，则 4.（23-24高二下·吉林长春·期中）有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，.随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则下列结论： ① ② ③ ④ 其中正确的序号为 . 5.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 ． 6.（23-24高二下·吉林·期中）盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求； (1)取两次，两次都取得二等品的概率； (2)取两次，第二次取得二等品的概率； (3)取两次，已知第一次取得二等品的条件下，第二次取得的是一等品的概率． ( 题型0 2 ) 全概率公式 1.（23-24高二下·吉林·期中）小华在周六和周日的早餐后会从阅读和书法两项活动中选择一项参与，如果周六早餐后选择阅读，那么他周日早餐后也选择阅读的概率为，如果周六早餐后选择书法，那么他周日早餐后选择阅读的概率为，若小华周六早餐后选择阅读的概率为，则他周日早餐后选择阅读的概率为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·吉林延边·期中）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A．0.132 B．0.112 C． D．0.888 3.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数量之比为1：3，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客车中有一辆中途停车维修的概率为 . 4.（23-24高二下·吉林长春·期中）为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 (1)求图1中的值； (2)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数恰为1人的概率. 附： ( 题型0 3 ) 离散型随机变量及其分布列 1.（23-24高二下·吉林松原·期中）在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（23-24高二下·吉林白山·期中）设随机变量等可能取值为，如果，那么（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林·期中）随机变量的分布列为 1 3 P m 则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·吉林长春·期中）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 6．（23-24高二下·吉林通化市·期中）随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列 2 4 6 则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·吉林四平市·期中）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 3 4 5 A． B． C． D． 8.（23-24高二下·吉林·期中）不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从袋子中随机取出4个小球． (1)求取出的红球个数大于黄球个数的概率； (2)记取出的红球个数为X，求X的分布列与期望． 9．（23-24高二下·吉林长春·期中）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业､礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望. ( 题型0 4 ) 两点分布 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 2.（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 3．（23-24高二下·吉林·期中）若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 4.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙罐中有5个红球，2个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立；                ②，，是两两互斥的事件； ③；                    ④； ⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南玉溪·期中）随机变量的分布列如表格所示，若构成等差数列，则（    ） 0 1 A． B． C． D． 5．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·吉林长春·期中）（多选）已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，Y的均值为 D．当（且）时， 9．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·吉林通化·期中）甲、乙两人玩一个掷骰子游戏，游戏规则如下：两人轮流掷骰子，甲先掷，规定甲、乙各掷一次为一个回合．个回合之后，先掷出点数之和为3的倍数的人获胜；若同时掷出3的倍数，则甲、乙平局．如：若甲第一次掷出2，乙第一次掷出3，则乙获胜；若甲第一次掷出2，第二次掷出4，乙第一次掷出1，第二次掷出5，则甲乙平局．若分出胜负或平局，则游戏结束． (1)试计算恰好3个回合之后甲乙平局的概率； (2)若两人约定最多只玩2个回合，2个回合之后，无论游戏结果如何，都结束游戏．试计算游戏回合数的数学期望． 11．（22-23高二下·吉林长春·期中）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习.甲组一共有人，其中男生人，女生人；乙组一共有人，其中男生人，女生人.现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛. (1)设事件为“选出的这个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率； (2)用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列. 12．（23-24高二下·吉林通化·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌． (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率． (2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列． 13．（23-24高二下·吉林长春·期中）夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 14．（23-24高二下·吉林通化·期中）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为0.3，0.4，0.5，且每次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为0.1，0.2，0.3；考试前复习的概率为0.5，试求： (1)小明通过第一次考试的概率； (2)小明在一年内参加考试次数的分布列. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 离散型随机变量及其分布列 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量 题型04两点分布 ( 题型01 ) 集条件概率 1.（23-24高二下·吉林延边·期中）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中机会均等），则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一个人被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记“男生甲被选中”为事件，“男生乙和女生丙至少一个人被选中“为事件， 则，， 所以. 所以在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一个人被选中的概率是. 故选：A. 2.（23-24高二下·吉林·期中）设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则＝(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由“”“”组成的三位数组共有：个 第一位数字为“”的三位数有：个，则 第一位和第二位数字均为“”的三位数有：个，则 本题正确选项： 3.（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则A与B相互独立 B．若，则 C．若，则可能为0.15 D．若X服从两点分布，且，则 【答案】AD 【详解】对于A，根据事件独立性的定义，若，则A与B相互独立，A正确； 对于B，，，得，B错误； 对于C，，所以，C错误； 对于D，，D正确， 故选：AD. 4.（23-24高二下·吉林长春·期中）有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，.随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则下列结论： ① ② ③ ④ 其中正确的序号为 . 【答案】①②③ 【详解】因为，故①正确； 因为，故②正确； 因为，， 所以，故③正确； 由③可得， 又因为，故④错误． 故答案为：①②③. 5.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 ． 【答案】 【详解】已知他第一次拿到白球，那么现在还剩下9个球，包含3个红球，1个白球，5个黑球，则第二次拿到红球的概率. 故答案为： 6.（23-24高二下·吉林·期中）盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求； (1)取两次，两次都取得二等品的概率； (2)取两次，第二次取得二等品的概率； (3)取两次，已知第一次取得二等品的条件下，第二次取得的是一等品的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). （2）利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】（1）取产品两次的基本事件总数为，两次都取得二等品的事件含有个基本事件， 所以取两次，两次都取得二等品的概率. （2）取产品两次的基本事件总数为，第二次取得二等品的事件含有个基本事件， 所以取两次，第二次取得二等品的概率. （3）取两次，第一次取得二等品的条件下，还有4个产品，3个一等品，1个二等品， 所以第二次取得的是一等品的概率是. ( 题型0 2 ) 全概率公式 1.（23-24高二下·吉林·期中）小华在周六和周日的早餐后会从阅读和书法两项活动中选择一项参与，如果周六早餐后选择阅读，那么他周日早餐后也选择阅读的概率为，如果周六早餐后选择书法，那么他周日早餐后选择阅读的概率为，若小华周六早餐后选择阅读的概率为，则他周日早餐后选择阅读的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设周日早餐后选择阅读为事件A，周六早餐后选择阅读为事件B， 则 故选：D 2.（23-24高二下·吉林延边·期中）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ） A．0.132 B．0.112 C． D．0.888 【答案】C 【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件， 事件表示提出的一台是第车间生产的，， 由题意可得，，， 由全概率公式得 所以该产品合格的概率为 故选：C. 3.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数量之比为1：3，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客车中有一辆中途停车维修的概率为 . 【答案】0.0125 【详解】设表示中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车， 则，，，， 则由全概率公式，可知一辆车中途停车修理的概率为. 故答案为： 4.（23-24高二下·吉林长春·期中）为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.    数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 不经常整理 合计 (1)求图1中的值； (2)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数恰为1人的概率. 附： 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得，解得； （2）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人， 不经常整理错题的有2人， 则（为经常整理数学错题且数学成绩优秀的人数）可能取为0，1，2， 经常整理错题的3名学生中， 恰抽到人记为事件，则 参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件 则，，， . ( 题型0 3 ) 离散型随机变量及其分布列 1.（23-24高二下·吉林松原·期中）在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】依题意每题回答正确得分，回答不正确得分， 则选手甲回答这三个问题的总得分的可能取值为，，，共种情况. 故选：D 2.（23-24高二下·吉林白山·期中）设随机变量等可能取值为，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：B. 3．（23-24高二下·吉林·期中）随机变量的分布列为 1 3 P m 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得， 故选：A 4．（23-24高二下·吉林长春·期中）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，． 故选：A． 5．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 【答案】C 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：C 6．（23-24高二下·吉林通化市·期中）随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列 2 4 6 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，成等差数列，所以， 由分布列知，所以，解得， 所以， 故选：D. 7．（23-24高二下·吉林四平市·期中）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 3 4 5 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据概率和为1， 得， 解得， 故选：A． 8.（23-24高二下·吉林·期中）不透明的袋子中装有6个红球，3个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从袋子中随机取出4个小球． (1)求取出的红球个数大于黄球个数的概率； (2)记取出的红球个数为X，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【详解】（1）一个口袋里装有大小相同袋子中装有6个红球，3个黄球，现从中任意取出4个小球，基本事件总数， 其中红球个数大于黄球个数的基本事件个数， 红球个数大于黄球个数的概率是； （2）若变量为取出的四个小球中红球的个数，则的可能取值为1，2，3，4， ，，， 1 2 3 4 数学期望． 9．（23-24高二下·吉林长春·期中）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业､礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【详解】（1）设甲测试合格为事件，则. （2）甲答对的试题数可以为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . ( 题型0 4 ) 两点分布 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 【答案】C 【详解】. 故选：C 2.（23-24高二下·河北邢台·期中）已知服从两点分布，若，则（    ） A．0.48 B．0.52 C．0.24 D．0.26 【答案】B 【详解】由服从两点分布，，得. 故选：B 3．（23-24高二下·吉林·期中）若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 【答案】B 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 4.（23-24高二下·吉林长春·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 1.（23-24高二下·吉林长春·期中）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙罐中有5个红球，2个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立；                ②，，是两两互斥的事件； ③；                    ④； ⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，，而，①错误，②正确； ，，所以，③正确；，， ④正确； ，⑤正确，综上：结论正确个数为4. 故选：B 2．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由分布列的性质，得，解得． 故选:D. 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 故，A正确， 其他选项，均不合要求. 故选：A 4．（23-24高二下·云南玉溪·期中）随机变量的分布列如表格所示，若构成等差数列，则（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为构成等差数列，所以， 又，所以，，所以. 故选：C 5．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 6．（24-25高二下·吉林长春·期中）（多选）已知随机事件满足，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，， ， 又，所以， 故，A正确； 对于BCD，，结合， 则，而， 所以，B正确，C错误，D正确； 故选：ABD 8．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，Y的均值为 D．当（且）时， 【答案】ABD 【详解】对于A：当时，，，则，选项A正确； 对于B，当时，由，，可得X=4,Y=1或，， 所以，选项B正确； 对于C，当时，Y的可能取值为1，2， 则， ，则Y的均值为，选项C错误； 对于D，当（且）时，，，则，选项D正确. 故选：ABD. 9．（23-24高二下·吉林长春·期中）（多选）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确； 选项B，，故该选项正确； 选项C，，故该选项正确； 选项D，，故该选项错误. 故选：ABC. 10．（23-24高二下·吉林通化·期中）甲、乙两人玩一个掷骰子游戏，游戏规则如下：两人轮流掷骰子，甲先掷，规定甲、乙各掷一次为一个回合．个回合之后，先掷出点数之和为3的倍数的人获胜；若同时掷出3的倍数，则甲、乙平局．如：若甲第一次掷出2，乙第一次掷出3，则乙获胜；若甲第一次掷出2，第二次掷出4，乙第一次掷出1，第二次掷出5，则甲乙平局．若分出胜负或平局，则游戏结束． (1)试计算恰好3个回合之后甲乙平局的概率； (2)若两人约定最多只玩2个回合，2个回合之后，无论游戏结果如何，都结束游戏．试计算游戏回合数的数学期望． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，，则3个回合之后，每人恰好第一次出现3的倍数的情况为三次都掷出，三次都掷出，或者，，各掷出一次，且在第二次， 所以3个回合之后，每人恰好第一次出现3的倍数的概率为， 所以3个回合后恰好平局的概率． （2）设游戏回合数为随机变量，则的可取值为1，2， 则， ， 则． 11．（22-23高二下·吉林长春·期中）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习.甲组一共有人，其中男生人，女生人；乙组一共有人，其中男生人，女生人.现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛. (1)设事件为“选出的这个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率； (2)用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）. （2）可能取值为，                  ，                 ，                ，              ，        的分布列为 0 1 2 3 12．（23-24高二下·吉林通化·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌． (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率． (2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则 ．则小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为 . （2）X的可能所有取值为:1,2,3,4,5． ， ， ， ， ， 则X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 13．（23-24高二下·吉林长春·期中）夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）因两局比赛后盒中恰有3个新球，两局第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球. 两次取球总情况数为，第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球的情况数为， 则相应概率为： . （2）三局比赛后盒中新球的个数可能为1，2，3，4. 三局比赛取球包含种情况， 当三局比赛后剩1个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩2个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取新球，第二次取旧球，第三次取新球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩3个新球时，那么第一次取新球，第二次取旧球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； 当三局比赛后剩4个新球时，那么第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取旧球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况； ； ； ； ； 则分布列如下： 1 2 3 4 14．（23-24高二下·吉林通化·期中）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小明决定参加考试，如果考试前复习了，每次参加考试通过的概率依次为0.3，0.4，0.5，且每次考试是否通过相互独立.如果考试前不复习，每次参加考试通过的概率依次为0.1，0.2，0.3；考试前复习的概率为0.5，试求： (1)小明通过第一次考试的概率； (2)小明在一年内参加考试次数的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）记事件A为考前复习，事件为第i次通过， 则小明通过第一次考试的概率； （2）易知可取，则由上知：， 则 ， ， 所以分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.24 0.56 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$