第12讲：一元线性回归模型及其应用【八大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第12讲：一元线性回归模型及其应用 【考点梳理】 · 考点一：散点图相关问题 · 考点二：回归方程的理解 · 考点三：根据回归方程求原数据的值 · 考点四：样本中心问题 · 考点五：根据回归方程进行数据估计 · 考点六：最少二乘法的理解 · 考点七：回归方程的计算 · 考点八：最小乘二法和统计的综合 【知识梳理】 知识点一：一元线性回归模型 称为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 知识点二：最小二乘法 将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中 ，＝－. 知识点三：残差与残差分析 1．残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四：对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． 2．残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好． 3．R2法：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差． 【题型归纳】 题型一：散点图相关问题 1．（23-24高二下·浙江·期中）如下表给出5组数据，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据，则应去掉（    ） 1 2 3 4 5 5 4 3 2 3 2 7 1 A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京房山·期末）如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广西·期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型二：回归方程的理解 4．（2025高二下·全国）由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法不正确的是（ ） A．直线至少经过点中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 5．（23-24高二下·海南·期末）以下关于一元线性回归模型的说法中，错误的是（    ） A．相关系数的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 C．点一定在经验回归直线上 D．若经验回归方程为，则每增加1个单位，的值就增加10个单位 6．（23-24高二下·北京房山·期末）为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 父亲身高的平均数记为，儿子身高的平均数记为，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为.则下列结论中正确的是（    ） A．与正相关，且相关系数为 B．点不在回归直线上 C．每增大一个单位，增大个单位 D．当时，.所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm 题型三：根据回归方程求原数据的值 7．（23-24高二下·广东东莞·期末）两个相关变量满足如下关系： 2 3 4 5 6 25 ● 46 58 65 根据表格已得经验回归方程为.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（    ） A．35.5 B．36 C．36.5 D．37 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（    ） A．11 B．13 C．63 D．78 9．（2023·江西景德镇·一模）对某位运动员近5次比赛成绩统计如下表： 比赛次数x 1 2 3 4 5 得分y 39 40 48 48 50 根据表可得y关于x的线性回归方程为：，则下列说法不正确的是（    ） A． B．y与x的相关系数 C．得分y的方差为22.8 D．预测第6次比赛成绩约为54 题型四：样本中心问题 10．（24-25高二上·山东日照·期末）已知之间的一组数据： 1 2 3 4 5.5 4 3.5 3 若与满足回归方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·天津·期末）已知具有线性相关关系的变量，，设其样本点为（），经验回归方程为，若，，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·江苏）已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 题型五：根据回归方程进行数据估计 13．（24-25高二下·江西·阶段练习）某市卫健委为了研究本市初中男生的脚长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关系，从该市随机抽取100名初中男生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设其经验回归方程为，，，若该市某位初中男生的脚长为25cm，据此估计其身高为（   ） A．166cm B．168cm C．170cm D．172cm 14．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（    ）千人. 参考数据： A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2 15．（23-24高二下·天津西青·期末）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·早麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量，通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：），绘制对应散点图（图2）如下：    计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为．根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花萼长度与花瓣长度不存在相关关系； B．花萼长度与花瓣长度负相关； C．花萼长度为的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为； D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642． 题型六：最少二乘法的理解 16．（22-23高二下·上海奉贤·期中）用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 17．（22-23高二下·陕西西安·期末）一组成对数据样本中心点为，由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使（    ）最小. A．总偏差平方和 B．残差平方和 C．回归平方和 D．竖直距离和 18．（2023·上海杨浦·二模）对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 题型七：回归方程的计算 19．（24-25高二下·辽宁本溪）下表为2018年~2024年某公司年利润（单位：亿元）的统计表，其中2018年~2024年对应的年份代码依次为1~7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年利润 2.2 2.5 2.9 3.6 4.1 4.6 5.3 (1)由上表数据，是否可用线性回归模型拟合与之间的关系？请用相关系数加以说明； (2)求关于的线性回归方程. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度高； 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 20．（2025·河北秦皇岛·一模）近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 (1)计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量； 参考数据：.参考公式：. 21．（24-25高二下·全国·课后作业）随着经济的发展某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表： 时间代号 1 2 3 4 5 0 1 2 3 5 (1)求关于的经验回归方程； (2)通过（1）中的方程，求出关于的经验回归方程； (3)用所求经验回归方程预测到2021年年底，该银行储蓄存款可达多少？ 附：对于经验回归方程，其中，． 题型八：最小乘二法和统计的综合 22．（24-25高三下·重庆）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 (1)请用相关系数说明该组数据中变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，. 23．（24-25高二下·河南驻马店）某平台统计了某地区一家新能源汽车销售店2024年8月至2024年12月份每月的汽车销售量Y（单位：万辆），得到如下数据： 月份 8月 9月 10月 11月 12月 月份代码X 1 2 3 4 5 销售量Y 1 1.6 1.8 2.6 3 (1)根据表中数据可知，Y与X具有较强的线性相关关系，求Y关于X的经验回归方程． (2)该销售店为了提高销售量，2025年1月开展优惠活动月．该店设置了一个抽奖箱，箱内放有分别标有字母A，B，C，D的4个小球，且小球的质地、大小均相同．店家准备了两种摸球方案，每位客户自主选择一个方案抽奖： 方案一：客户从抽奖箱内随机抽取1个小球，若小球标有字母A，则获得购车优惠，抽奖结束；否则，不能获得优惠，并将抽出的小球放回抽奖箱内，摇匀后继续随机抽取1个小球，且每位客户至多抽取3次． 方案二：客户从抽奖箱内有放回地抽取k（，）次，每次抽取1个小球，放回摇匀后再进行下一次抽取，若至少出现两次小球标有字母A或B，则获得购车优惠；否则，不能获得优惠． （ⅰ）已知客户甲选择方案一抽奖，设表示甲抽取小球的次数，求的分布列与数学期望； （ⅱ）若客户选择方案二获得购车优惠的概率比方案一获得购车优惠的概率大，求k的最小值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，． 24．（24-25高二上·四川眉山·期中）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：    令，数据经过初步处理得：，，，，，，，现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附： ①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高二下·河南南阳）有一散点图如图所示，在六组数据中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．样本数据的两变量正相关 B．相关系数的绝对值更接近于0 C．去掉点后，回归直线的效果变弱 D．变量与变量相关性变强 2．（2025·广东·模拟预测）已知变量与的取值如下表： 1 2 3 4 5 5 8 11 且对呈现线性相关关系，则与的经验回归方程必经过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西九江·二模）植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：）与氮元素吸收量（单位：天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及线性回归方程为，则（    ） A． B．变量与的相关系数 C．在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加 D．若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变 4．（2025·湖北·模拟预测）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图（1）所示.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图（2）所示，则（    ） A．模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 5．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 6．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表： 根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（   ） A．，具有负相关关系，相关系数 B．每增加一个单位，平均减少个单位 C．第二个样本点对应的残差 D．第三个样本点对应的残差 7．（24-25高二下·全国）为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·北京·专题练习）如图是根据一组观测数据得到海拔千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法错误的是（    ） A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B．由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低kPa C．由方程可知，样本点的残差为 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好 二、多选题 9．（2025·湖南·模拟预测）小王经过调查获得如下数据： 2 4 7 17 30 1 2 3 4 5 参考公式：相关系数，，． 下列说法正确的有（   ） A．该数据组的线性回归方程（系数精确到0.01）为 B．该数据组的相关系数，很接近1说明该数据组拟合效果很好 C．所有数据点中残差最小的是 D．去掉数据点后，回归直线会向下移动 10．（2025·河北秦皇岛·二模）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（   ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量万次 5 4.5 4 3.5 2.5 A．与负相关 B． C．第7个月的下载量估计为1.8万次 D．残差绝对值的最大值为0.2 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量/千辆 21 52 109 若与线性相关，且经验回归方程为，则（   ） A． B．样本相关系数在内 C．相对于点的残差为 D．2025年2月份的销量一定为13.42万辆 12．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）国家统计局月日发布数据显示，年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（   ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A．， B．由散点图知变量和正相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 13．（24-25高二下·江苏南京）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：关于的回归直线方程中， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 14．（2025·广东·一模）一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（   ） A．     样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 三、填空题 15．（24-25高三下·四川南充·阶段练习）近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元／吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为，则的值为 ． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 17．（24-25高二下·全国·课后作业）党的二十大报告指出，坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位．为此某市大力发展科技创新，其科技创新投入资金x（单位：百万元）与回报资金（单位：百万元）满足一元线性回归模型，已知投入200万元时，回报450万元，且每多投入100万元，回报资金多130万元．若2023年该市计划科技创新投入350万，则预估回报资金为 万元． 18．（24-25高二下·全国）某地为响应“绿水青山”的号召，经过多年的环境治理，将荒山改造成了林区．为了解该林区某种树木的材积量与根部横截面面积之间的关系，随机选取了一定量的这种树木进行测量，得到每棵树的根部横截面面积x（单位：）和对应的平均材积量y（单位：）如下表所示，则y关于x的经验回归方程为 ． 根部横截面面积 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 材积量 0.25 0.34 0.40 0.46 0.50 附：经验回归方程，其中． 19．（24-25高二下·全国·课后作业）近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元/吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本中心点处的残差为，则决定系数的值为 （结果保留两位小数）． 四、解答题 20．（24-25高三下·重庆沙坪坝）2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． (1)求的值(结果精确到0.1)； (2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 21．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据. x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 14 20 37 74 108 203 (1)根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）； (2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差. 参考数据：，其中； 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 22．（2025高三·全国·专题练习）党的二十大报告明确指出，“必须完整、准确、全面贯彻新发展理念，坚持社会主义市场经济改革方向，坚持高水平对外开放，加快构建以国内大循环为主体、国内国际双循环相互促进的新发展格局”.某部门在对新发展理念组织了全面学习后，对同一工作小组中的5名员工采取如下考核措施： ①在本季度末，从部门中另抽120人，每人1票，对这5名员工进行投票； ②在本季度末，统计这5名员工本季度创造的营业收入. 现将5人的得票数与本季度创造的营业收入（万元）情况用数对表示：，，，，.记本季度创造的营业收入（万元）关于所得票数的样本相关系数为，为确保小组员工均贯彻新发展理念，部门规定：若，则该工作小组通过考核.若该工作小组未通过考核，则需将本季度创造的营业收入最少的员工移出小组. (1)判断该工作小组是否通过考核； (2)求该工作小组在考核后关于的经验回归方程（精确到个位）； (3)某员工获得31票，预测该员工本季度创造的营业收入. 附：对于一组数据，，…，， ①经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； ②样本相关系数. 23．（24-25高二下·河北衡水）随机选取变量和变量的5对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示： 编号i 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 75 95 110 135 150 参考数据：，，． 假设变量关于的一元线性回归模型为． (1)求关于的经验回归方程； (2)设为时该回归模型的残差，求、、、、的方差． 参考公式：， 24．（24-25高二下·江西）记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人数y 1200 1062 956 902 954 (1)根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值） (2)从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据与公式：回归方程中，相关系数． 25．（24-25高三下·云南昆明）云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一､从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩.目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右.近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图 (1)经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.3 165.0 204 17.5 42 3.5 6448.3 1901.5 其中. (2)运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究.一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占，存活天数为1的样本在全体样本中占. ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望. 附：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲：一元线性回归模型及其应用 【考点梳理】 · 考点一：散点图相关问题 · 考点二：回归方程的理解 · 考点三：根据回归方程求原数据的值 · 考点四：样本中心问题 · 考点五：根据回归方程进行数据估计 · 考点六：最少二乘法的理解 · 考点七：回归方程的计算 · 考点八：最小乘二法和统计的综合 【知识梳理】 知识点一：一元线性回归模型 称为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 知识点二：最小二乘法 将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中 ，＝－. 知识点三：残差与残差分析 1．残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四：对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． 2．残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好． 3．R2法：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差． 【题型归纳】 题型一：散点图相关问题 1．（23-24高二下·浙江·期中）如下表给出5组数据，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据，则应去掉（    ） 1 2 3 4 5 5 4 3 2 3 2 7 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出散点图，根据线性相关性与偏离程度判断即可. 【详解】根据表格数据，得到散点图如下所示： 由散点图可知数据偏离程度最高，故应该去掉数据. 故选：B 2．（23-24高二下·北京房山·期末）如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由散点图图形趋势可判断大小关系. 【详解】因③图形比较分散，则；因①②④相较③接近于一条直线附近，则， 又②为下降趋势，则，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，则. 综上，最大. 故选：A 3．（23-24高二下·广西·期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图和相关系数的知识即可求解. 【详解】由散点图可知，图①，③是正相关，图②，④是负相关， 且图①，②比③，④的线性相关性更强，所以. 故选：A. 题型二：回归方程的理解 4．（2025高二下·全国）由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法不正确的是（ ） A．直线至少经过点中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 【答案】A 【分析】根据回归直线性质、相关系数、回归系数的概念逐项分析可得答案. 【详解】回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A错误，B正确. 样本相关系数为正时，两个变量为正相关，回归系数为正；样本相关系数为负时，两个变量为负相关，回归系数为负. 故样本相关系数与回归系数同号，C正确. 样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，D正确. 故选：A. 5．（23-24高二下·海南·期末）以下关于一元线性回归模型的说法中，错误的是（    ） A．相关系数的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 C．点一定在经验回归直线上 D．若经验回归方程为，则每增加1个单位，的值就增加10个单位 【答案】D 【分析】由相关系数的定义求解选项A.由残差图的含义求解选项B.由线性回归方程的性质知点一定在经验回归直线上求解选项C.由经验回归方程的性质和意义求解选项D. 【详解】选项A：由相关系数的绝对值越接近0，则两个变量的线性相关程度越弱，可知选项A正确； 选项B：由在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好可知选项B正确; 选项C：由点一定在经验回归直线上知选项C正确; 选项D:由回归方程的性质可知；若经验回归方程为，则每增加1个单位，的值就平均增加3个单位，可知D选项C错误. 故选：D. 6．（23-24高二下·北京房山·期末）为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 父亲身高的平均数记为，儿子身高的平均数记为，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为.则下列结论中正确的是（    ） A．与正相关，且相关系数为 B．点不在回归直线上 C．每增大一个单位，增大个单位 D．当时，.所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm 【答案】C 【分析】由回归方程意义及性质可判断选项正误. 【详解】A选项，因，则与正相关，但相关系数不是，故A错误； B选项，回归方程过定点，故B错误； C选项，由回归方程可知每增大一个单位，增大个单位，故C正确； D选项，回归方程得到的为预测值，不一定满足实际情况，故D错误. 故选：C 题型三：根据回归方程求原数据的值 7．（23-24高二下·广东东莞·期末）两个相关变量满足如下关系： 2 3 4 5 6 25 ● 46 58 65 根据表格已得经验回归方程为.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（    ） A．35.5 B．36 C．36.5 D．37 【答案】B 【分析】应用回归直线过样本中心点代入求参即可. 【详解】因为，代入, 所以. 故选：B. 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（    ） A．11 B．13 C．63 D．78 【答案】D 【分析】根据线性回归方程为一定过点，先求出，代入回归方程即可得出，进而可得的值. 【详解】依题意， 因为，所以， 因为线性回归方程为一定过点， 所以， 所以. 故选：D. 9．（2023·江西景德镇·一模）对某位运动员近5次比赛成绩统计如下表： 比赛次数x 1 2 3 4 5 得分y 39 40 48 48 50 根据表可得y关于x的线性回归方程为：，则下列说法不正确的是（    ） A． B．y与x的相关系数 C．得分y的方差为22.8 D．预测第6次比赛成绩约为54 【答案】C 【分析】由数据求得、，由样本中心在回归直线上求得，进而估计对应y，应用方差公式求得分y的方差、相关系数公式判断的符号. 【详解】由表格数据，，， 所以，故，当，则，A、D对； ，C错； ，B对. 故选：C 题型四：样本中心问题 10．（24-25高二上·山东日照·期末）已知之间的一组数据： 1 2 3 4 5.5 4 3.5 3 若与满足回归方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求，结合线性回归方程必过样本中心点运算求解. 【详解】由表可得， 因为线性回归方程过样本中心点， 则，解得. 故选：B. 11．（24-25高三上·天津·期末）已知具有线性相关关系的变量，，设其样本点为（），经验回归方程为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出样本中心点，利用经验回归直线必过样本中心点求解. 【详解】依题意，，， 由经验回归方程为经过点，得. 故选：B 12．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 【答案】D 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得. 【详解】， 增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：， 新的经验回归方程为：， 则当时，， 故选：D. 题型五：根据回归方程进行数据估计 13．（24-25高二下·江西·阶段练习）某市卫健委为了研究本市初中男生的脚长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关系，从该市随机抽取100名初中男生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设其经验回归方程为，，，若该市某位初中男生的脚长为25cm，据此估计其身高为（   ） A．166cm B．168cm C．170cm D．172cm 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出样本的中心点并求出经验回归方程，进而求出身高的估计值. 【详解】由，，得样本的中心点为， 则，解得，因此经验回归方程为， 当时，（cm）. 故选：C 14．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（    ）千人. 参考数据： A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2 【答案】B 【分析】令，由，求出，得回归方程，可求预测值. 【详解】令，则， ，又， 由，得，所以， 则， 下午2点时对应，可得. 故选：B. 15．（23-24高二下·天津西青·期末）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·早麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量，通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：），绘制对应散点图（图2）如下：    计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为．根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花萼长度与花瓣长度不存在相关关系； B．花萼长度与花瓣长度负相关； C．花萼长度为的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为； D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642． 【答案】C 【分析】利用散点图可知花萼长度与花瓣长度存在正相关关系，可判断AB错误；将代入回归方程可得C正确；选取其他品种鸢尾花进行抽样相关系数不一定为0.8642. 【详解】由散点图可知，花萼长度与花瓣长度存在正相关关系，可得A错误；B错误； 由经验回归方程可得，当花萼长度为时， 花瓣长度为，可得C正确； 若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数不一定为0.8642，可得D错误. 故选：C 题型六：最少二乘法的理解 16．（22-23高二下·上海奉贤·期中）用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】由最小二乘法的定义判断即可. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 即残差平方和最小. 故选：D 17．（22-23高二下·陕西西安·期末）一组成对数据样本中心点为，由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使（    ）最小. A．总偏差平方和 B．残差平方和 C．回归平方和 D．竖直距离和 【答案】B 【分析】使用最小二乘法的定义进行求解. 【详解】最小二乘法求回归方程，是为了使残差平方和最小，B正确；其他选项错误. 故选：B 18．（2023·上海杨浦·二模）对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 【答案】D 【分析】由最小二乘法的求解即可知. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 故选：D 题型七：回归方程的计算 19．（24-25高二下·辽宁本溪）下表为2018年~2024年某公司年利润（单位：亿元）的统计表，其中2018年~2024年对应的年份代码依次为1~7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年利润 2.2 2.5 2.9 3.6 4.1 4.6 5.3 (1)由上表数据，是否可用线性回归模型拟合与之间的关系？请用相关系数加以说明； (2)求关于的线性回归方程. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度高； 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)可用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的数据，利用相关系数公式求出相关系数，即可判断. （2）根据给定的数据，利用最小二乘法公式求出回归直线方程. 【详解】（1）依题意，，， 则相关系数 ，与的线性相关程度高， 所以可用线性回归模型拟合与之间的关系. （2）依题意，， 由（1）得，， 所以关于的线性回归方程为. 20．（2025·河北秦皇岛·一模）近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 新增新能源汽车万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 (1)计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量； 参考数据：.参考公式：. 【答案】(1)可以用线性回归模型拟合与的关系. (2)，估计该市2026年新增燃油车5.14万辆. 【分析】（1）根据题意求相关系数r，结合相关系数的性质分析理解； （2）根据题意求得回归方程为，令，代入运算即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 则 ， 因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）由题意可得：，， 则，当时，， 所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆. 21．（24-25高二下·全国·课后作业）随着经济的发展某地居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表： 时间代号 1 2 3 4 5 0 1 2 3 5 (1)求关于的经验回归方程； (2)通过（1）中的方程，求出关于的经验回归方程； (3)用所求经验回归方程预测到2021年年底，该银行储蓄存款可达多少？ 附：对于经验回归方程，其中，． 【答案】(1) (2) (3)14.4千亿元 【分析】（1）利用最小二乘法求出z关于t的线性回归方程； （2）通过，代入，把z关于t的线性回归方程化成y关于x的回归方程； （3）利用回归方程代入求值． 【详解】（1）设关于的线性回归方程为， 经计算得：，， ， ， ∴，， ∴； （2）将，代入得：， 即； （3）时，（千亿元）， 预测到年年底，该银行储蓄存款额可达千亿元． 题型八：最小乘二法和统计的综合 22．（24-25高三下·重庆）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 (1)请用相关系数说明该组数据中变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，. 【答案】(1)答案见解析， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由已知求出，，再公式求出，即可说明相关性很强，因此变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合；利用公式求出，即可得到关于的线性回归方程； （2）由回归方程求出预测值，可得残差的绝对值，判断是否为“次数据”，可得“次数据”和非“次数据”个数，“次数据”个数为，求出对应概率，即可列出分布列求出数学期望. 【详解】（1）由已知，， ， ， 则 ， 因为，说明相关性很强，因此变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合. 因为， ， 所以关于的线性回归方程为. （2）由（1）回归方程为，样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”， 则由题意，列出下表： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为“次数据” 否 是 是 否 否 则“次数据”共有2个，非“次数据”共有3个， 从这5个数据中任取3个，“次数据”个数为， 则，，， 分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为. 23．（24-25高二下·河南驻马店）某平台统计了某地区一家新能源汽车销售店2024年8月至2024年12月份每月的汽车销售量Y（单位：万辆），得到如下数据： 月份 8月 9月 10月 11月 12月 月份代码X 1 2 3 4 5 销售量Y 1 1.6 1.8 2.6 3 (1)根据表中数据可知，Y与X具有较强的线性相关关系，求Y关于X的经验回归方程． (2)该销售店为了提高销售量，2025年1月开展优惠活动月．该店设置了一个抽奖箱，箱内放有分别标有字母A，B，C，D的4个小球，且小球的质地、大小均相同．店家准备了两种摸球方案，每位客户自主选择一个方案抽奖： 方案一：客户从抽奖箱内随机抽取1个小球，若小球标有字母A，则获得购车优惠，抽奖结束；否则，不能获得优惠，并将抽出的小球放回抽奖箱内，摇匀后继续随机抽取1个小球，且每位客户至多抽取3次． 方案二：客户从抽奖箱内有放回地抽取k（，）次，每次抽取1个小球，放回摇匀后再进行下一次抽取，若至少出现两次小球标有字母A或B，则获得购车优惠；否则，不能获得优惠． （ⅰ）已知客户甲选择方案一抽奖，设表示甲抽取小球的次数，求的分布列与数学期望； （ⅱ）若客户选择方案二获得购车优惠的概率比方案一获得购车优惠的概率大，求k的最小值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析；期望为；（ⅱ）4 【分析】（1）先计算，得出回归方程； （2）（ⅰ）先应用独立事件概率乘积求出概率，再写出分布列计算数学期望即可；（ⅱ）先分别求出方案一及方案二概率再作商比较大小得出函数单调性即可求出参数的最小值. 【详解】（1）由表中数据可知，， ， ， ，所以， 则， 故Y关于X的经验回归方程为． （2）（ⅰ）由题意可知，的可能取值为1，2，3， ，，． 所以的分布列为 1 2 3 P 则． （ⅱ）客户从抽奖箱内随机抽取1个小球，抽出标有字母A或B的概率为， 客户选择方案一获得购车优惠的概率为， 客户选择方案二获得购车优惠的概率为， 由题意可知，，整理得． 令，，则， 所以数列为递减数列． 又，，故k的最小值为4． 24．（24-25高二上·四川眉山·期中）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：    令，数据经过初步处理得：，，，，，，，现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）. 附： ①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，，. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)，13（百万辆） (3)0.3 【分析】（1）分别求得模型①和②的相关系数，，然后比较得出结论； （2）利用最小二乘法求解； （3）由净利润为，求解. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，， 由题意可得：， , 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. （3）净利润为，， 令， 所以， 可得在上为增函数，在上为减函数， 所以， 由题意得：，即， ， 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3. 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高二下·河南南阳）有一散点图如图所示，在六组数据中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．样本数据的两变量正相关 B．相关系数的绝对值更接近于0 C．去掉点后，回归直线的效果变弱 D．变量与变量相关性变强 【答案】D 【分析】根据散点图分析回归直线的拟合效果. 【详解】对A：由图可知，样本数据的两变量负相关，故A错误； 对B：由图可知，点相对于其它点，偏离直线远，故去掉点后，回归直线的拟合效果会更好，相关系数的绝对值更接近于1，故B错误； 对C：去掉点后，回归直线的效果变强，故C错误； 对D：正确. 故选：D 2．（2025·广东·模拟预测）已知变量与的取值如下表： 1 2 3 4 5 5 8 11 且对呈现线性相关关系，则与的经验回归方程必经过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线性回归方程必过样本中心点求解即可. 【详解】由于， 则线性回归方程必过定点. 故选：C. 3．（2025·江西九江·二模）植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：）与氮元素吸收量（单位：天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及线性回归方程为，则（    ） A． B．变量与的相关系数 C．在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加 D．若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变 【答案】C 【分析】根据样本中心在方程上可求解A，进而可判断B，根据回归方程的含义即可求解CD. 【详解】由线性回归方程过样本中心点知，，故A错误； 小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系，故相关系数，故B错误； 由线性回归方程可得，在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加，故C正确； 若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，回归方程可能发生改变，故D错误. 故选：C. 4．（2025·湖北·模拟预测）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图（1）所示.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图（2）所示，则（    ） A．模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 【答案】A 【分析】根据已知残差散点的分布图，结合一元线性回归模型中对随机误差的假定的含义，即可判断答案. 【详解】对于残差图（1）对应的散点，随机误差满足的假设，但是方差随着的变化而变化，不满足的假设； 对图（2）对应的散点，均匀分布在水平带状区域内，随机误差满足的假设，方差不随的变化而变化，满足的假设. 故选：A. 5．（2025·上海浦东新·二模）研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差变大 【答案】C 【分析】设变量，的平均数分别为，，分析可知，.对于AB：根据相关系数的计算公式和性质分析判断；对于CD：根据回归方程和拟合误差的性质分析判断. 【详解】设变量，的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 对于AB：可得， 同理可得， 则相关系数， 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故AB错误； 对于C：因为，且线性回归方程过样本中心点， 即均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变， 所以拟合误差不变，故D错误； 故选：C. 6．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表： 根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（   ） A．，具有负相关关系，相关系数 B．每增加一个单位，平均减少个单位 C．第二个样本点对应的残差 D．第三个样本点对应的残差 【答案】C 【分析】根据相关系数的绝对值不超过1可得选项A错误；根据回归直线方程可得选项B错误；根据残差的概念可得选项C正确，选项D错误. 【详解】A.相关系数的绝对值不超过1，A错误； B.由回归直线方程知，每增加一个单位，平均减少个单位，B错误； C.第二个样本点对应的残差，C正确； D.第三个样本点对应的残差，D错误． 故选：C. 7．（24-25高二下·全国）为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，若已知与之间存在线性相关关系，现取了8组观察值，计算知，，，，则关于的经验回归方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式可求得结果. 【详解】由题可得，， 由， ， 所以所求经验回归方程为． 故选：A. 8．（2025高三·北京·专题练习）如图是根据一组观测数据得到海拔千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法错误的是（    ） A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B．由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低kPa C．由方程可知，样本点的残差为 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好 【答案】B 【分析】根据散点图即可得出A项；根据回归方程的含义可判断B项；根据残差计算公式求出残差，可判断C项；根据实际大气压强不能为负，可判断D项. 【详解】对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低， 所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确； 对于B，经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误； 对于C，当时， ， 所以样本点的残差为，故C正确； 对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数， 因此方程的预报效果更好，故D正确． 故选：B． 二、多选题 9．（2025·湖南·模拟预测）小王经过调查获得如下数据： 2 4 7 17 30 1 2 3 4 5 参考公式：相关系数，，． 下列说法正确的有（   ） A．该数据组的线性回归方程（系数精确到0.01）为 B．该数据组的相关系数，很接近1说明该数据组拟合效果很好 C．所有数据点中残差最小的是 D．去掉数据点后，回归直线会向下移动 【答案】ACD 【分析】根据给出的相关系数公式，以及回归直线斜率和截距的最小二乘法公式求出线性回归方程，结合残差的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，，， ， ， 所以，， 所以该数据组的线性回归方程为，故A正确； 对于B，由， 则，很接近1说明两个变量相关性越强，与拟合效果无关，故B错误； 对于C，由残差绝对值，结合A项的回归方程可得， ，，， ，，所有数据点中残差最小的是，故C正确； 对于D，，故点在回归直线上方，故去掉该点后，回归直线下移，故D正确． 故选：ACD． 10．（2025·河北秦皇岛·二模）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（   ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量万次 5 4.5 4 3.5 2.5 A．与负相关 B． C．第7个月的下载量估计为1.8万次 D．残差绝对值的最大值为0.2 【答案】ABD 【分析】根据回归方程的增减性，可得A的正误；取得样本中心代入方程，可得B的正误，利用回归方程，代入求值，可得C的正误；由题意列表求得每个月的残差，可得D的正误. 【详解】对于A，由，则回归直线斜向下，故A正确； 对于B，由，，即样本中心为， 则，解得，故B正确； 对于C，将代入回归方程，解得，故C错误； 对于D，由题意可得下表： 则最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11．（2025·甘肃白银·模拟预测）为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量/千辆 21 52 109 若与线性相关，且经验回归方程为，则（   ） A． B．样本相关系数在内 C．相对于点的残差为 D．2025年2月份的销量一定为13.42万辆 【答案】AB 【分析】先根据样本中心点的计算方法求出和，再利用样本中心点在经验回归直线上求出的值；然后根据经验回归方程的性质判断样本相关系数的范围；接着根据残差的定义计算相对于点的残差；最后根据经验回归方程的预测性质判断2025年2月份的销量情况. 【详解】根据题意得，， 又必过样本中心点，所以，解得，故A正确； 因为，具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为， 所以，具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故B正确； 当时，，故残差为，故C错误； 当时，， 故2025年2月份的销量约为13.42万辆，故D错误． 故选：AB． 12．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）国家统计局月日发布数据显示，年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（   ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A．， B．由散点图知变量和正相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 【答案】ABC 【分析】根据平均数的概念可得选项A正确；画出散点图可得选项B正确；根据变量和正相关可得选项C正确；根据回归直线过样本中心点得选项D错误. 【详解】A.，，A正确； B.根据表格作出散点图，因为散点图的分布从左下到右上，所以和正相关，B正确； C.由选项B可知相关系数，故C正确； D.由题意得，样本中心点的坐标为，即，回归直线过点. 当时，，故D错误. 故选：ABC. 13．（24-25高二下·江苏南京）某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：关于的回归直线方程中， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，根据条件，直接求出，即可求解；对于B和C，根据条件，画出散点图，即可求解；对于D，利用线性回归直线方程过样中心，代入计算，即可求解. 【详解】对于选项A，由题知，，故选项A正确， 对于选项B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，所以选项B错误， 对于选项C，由选项B知变量和正相关，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为样本中心点为，又， 所以不是关于的线性回归直线方程，故选项D错误， 故选：AC. 14．（2025·广东·一模）一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（   ） A．     样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【分析】根据回归方程判断A，根据样本中心点计算判断B，根据图象由波动性判断C，根据图象的波动性判断D. 【详解】由经验回归方程单调递减，可知样本负相关，故A正确； 由题意样本均值分别为， 由样本中心在经验回归直线上，代入回归直线解得，故B正确： 由图一的数据波动较大可得比更集中，所以，故C错误； 由图一的残差平方和较图二的残差平方和大可知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故D正确． 故选：ABD 三、填空题 15．（24-25高三下·四川南充·阶段练习）近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元／吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为，则的值为 ． 【答案】0.25 【分析】由残差定义可得，再由回归方程过点可得m，即可得答案. 【详解】由题知，可得． 又， 由，可得．故. 故答案为：0.25 16．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为 . 【答案】 【分析】求出的值，求出去除偏离点后，剩余数据的样本中心点的坐标，代入新的回归直线方程，求出的值，将代入新的回归直线方程，结合残差的定义可求得结果. 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得， 所以，新的回归直线方程为， 当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 17．（24-25高二下·全国·课后作业）党的二十大报告指出，坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位．为此某市大力发展科技创新，其科技创新投入资金x（单位：百万元）与回报资金（单位：百万元）满足一元线性回归模型，已知投入200万元时，回报450万元，且每多投入100万元，回报资金多130万元．若2023年该市计划科技创新投入350万，则预估回报资金为 万元． 【答案】645 【分析】由已知条件通过方程组解出和的值，得到回归方程，由方程进行数据预测. 【详解】由题可知投入资金与回报资金满足一元线性回归模型， 而当时，，故． 又每多投入100万元，回报资金多130万元，故，． 所以．当时，．故回报资金为645万元． 故答案为：645. 18．（24-25高二下·全国）某地为响应“绿水青山”的号召，经过多年的环境治理，将荒山改造成了林区．为了解该林区某种树木的材积量与根部横截面面积之间的关系，随机选取了一定量的这种树木进行测量，得到每棵树的根部横截面面积x（单位：）和对应的平均材积量y（单位：）如下表所示，则y关于x的经验回归方程为 ． 根部横截面面积 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 材积量 0.25 0.34 0.40 0.46 0.50 附：经验回归方程，其中． 【答案】 【分析】由最小二乘法的计算公式即可求解. 【详解】由于，， ， ，所以，， 所以关于的经验回归方程为． 故答案为： 19．（24-25高二下·全国·课后作业）近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元/吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本中心点处的残差为，则决定系数的值为 （结果保留两位小数）． 【答案】 【分析】先根据数据在样本中心点处的残差求，再根据回归直线方程必过样本中心点，求出，做出残差表，根据公式求决定系数的值. 【详解】由题知，可得． 又， 由，可得． 列出残差表： 0.1 0.1 0.2 0 0 所以． 故答案为： 四、解答题 20．（24-25高三下·重庆沙坪坝）2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 销量 42 53 66 109 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差． (1)求的值(结果精确到0.1)； (2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差． 附： 回归系数，相关系数 ． 【答案】(1) (2)；残差为 【分析】（1）根据题中数据可得，，，代入即可求的值； （2）根据线性回归方程必过样本中心点求的值，令，可得，即可得残差. 【详解】（1）由表可得：，， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以. （2）由表可知：， 由（1）可知回归直线方程为，且， 则，解得， 此时，，可得，符合题意， 所以， 对于回归直线方程，令，可得， 所以5月销售量的残差. 21．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据. x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 14 20 37 74 108 203 (1)根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）； (2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差. 参考数据：，其中； 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)平均数为167.5，方差为42.6 【分析】（1）利用对数变换将非线性回归模型转化为线性回归模型，再根据给定的参考公式求出线性回归方程的系数，进而得到与的回归方程； （2）根据分层抽样的性质，利用平均数和方差的计算公式来求解全体学生身高的平均数和方差. 【详解】（1）已知，两边取常用对数可得， 设，，，则回归方程变为. 先计算，，，. 根据参考公式，，将，，，代入可得： . . 则， 因为，，所以，则；，则. 所以与的回归方程为. 即 （2）全体学生身高的平均数. 根据方差公式（其中为各层人数，为各层方差，为各层平均数，为总平均数）. 将，，，，，，代入可得： 则全体学生身高的平均数为167.5，方差为42.6. 22．（2025高三·全国·专题练习）党的二十大报告明确指出，“必须完整、准确、全面贯彻新发展理念，坚持社会主义市场经济改革方向，坚持高水平对外开放，加快构建以国内大循环为主体、国内国际双循环相互促进的新发展格局”.某部门在对新发展理念组织了全面学习后，对同一工作小组中的5名员工采取如下考核措施： ①在本季度末，从部门中另抽120人，每人1票，对这5名员工进行投票； ②在本季度末，统计这5名员工本季度创造的营业收入. 现将5人的得票数与本季度创造的营业收入（万元）情况用数对表示：，，，，.记本季度创造的营业收入（万元）关于所得票数的样本相关系数为，为确保小组员工均贯彻新发展理念，部门规定：若，则该工作小组通过考核.若该工作小组未通过考核，则需将本季度创造的营业收入最少的员工移出小组. (1)判断该工作小组是否通过考核； (2)求该工作小组在考核后关于的经验回归方程（精确到个位）； (3)某员工获得31票，预测该员工本季度创造的营业收入. 附：对于一组数据，，…，， ①经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； ②样本相关系数. 【答案】(1)未通过考核 (2) (3)88万元 【分析】（1）由公式求得相关系数，即可判断； （2）由公式直接代入数据计算即可； （3）由（2）代入数据计算即可. 【详解】（1），， ， ， . ， 所以该工作小组未通过考核. （2）将本季度创造的营业收入最少，即营业收入为75万元的员工移出小组， 剔除数据后的，. ，，，， 所以，故. 故经验回归方程为. （3）由题可得，，代入（2）中经验回归方程，则（万元）， 故预测该员工本季度创造的营业收入为88万元. 23．（24-25高二下·河北衡水）随机选取变量和变量的5对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示： 编号i 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 75 95 110 135 150 参考数据：，，． 假设变量关于的一元线性回归模型为． (1)求关于的经验回归方程； (2)设为时该回归模型的残差，求、、、、的方差． 参考公式：， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出变量和变量的平均值，结合参考数据代入最小二乘法公式求出、的值即可求解. （2）计算出、、、、，再利用方差公式求得结果即可. 【详解】（1）由题意得，， 代入公式得， 则， 所以关于的经验回归方程为. （2）由，计算得该回归模型的残差如下表所示： 而、、、、的平均数为， 则由方差公式得残差的方差为. 24．（24-25高二下·江西）记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国出生人数y（单位：万人）与年份代码x的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人数y 1200 1062 956 902 954 (1)根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求x与y的相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值：（若，则认为经验回归方程有价值） (2)从表中第2行的5个数据中任取3个数据，记取到大于1000的数据个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据与公式：回归方程中，相关系数． 【答案】(1)，有价值 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题干中的条件和公式，将数值代入即可求得线性回归方程与相关系数./ （2）由表中第2行的5个数据中任取3个数据，且大于1000，故X的取值可为0，1，2， 根据离散型随机变量求出各个的概率，即可求出分布列和期望. 【详解】（1）由x的取值依次为1，2，3，4，5，得， 因为经验回归方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． （2）X的取值依次为0，1，2， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以． 25．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一､从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩.目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右.近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图 (1)经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.3 165.0 204 17.5 42 3.5 6448.3 1901.5 其中. (2)运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究.一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占，存活天数为1的样本在全体样本中占. ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望. 附：. 【答案】(1)更适合， (2)①；② 【分析】（1）根据散点图，确定更适合，再利用换元法，以及题中的数据，代入公式求回归方程； （2）①根据条件概率，以及递推关系，可证明数列是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列，再根据分段函数的形式列出解析式；②根据①的结果，列式，再利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）由散点图可知，更适合作为云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程类型. 令，所以. 因为，，，， 所以. 所以， 所以. 云南省花卉种植面积y关于年份代码x的回归方程为. （2）①由题可得，， 当时，， 又，即， 同理可得，当时，， 两式相减得， 即，，， 因为， 所以，当时，是以0.18为首项，0.8为公比的等比数列， 当时，， 所以. ② ， 令， 则， 两式相减得， ， 所以， 则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由条件概率，以及公式，从而列出数列的递推关系式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$