精品解析：辽宁省东北育才学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

东北育才高中2024-2025学年度下学期 高二年级数学科第一次月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题及校对人：陈永余 杨冠男 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设A，B为两个事件，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ） A. 36 B. 30 C. 20 D. 18 3. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 7 5. 若随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若等比数列的前n项和为，则，，，…也是等比数列 B. 常数列既成等差数列又成等比数列 C. “”是“成等比数列”必要不充分条件 D. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件 8. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ） A. B. C. 505 D. 1013 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X，且，则（ ） A. B. 若则 C. 若，则 D. 10. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若是等差数列， ，若，则 D. 若，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为__________. 14. 已知函数的定义域为，且对任意的非零实数x，y，都有，若，则下面四个结论中： ①； ②数列中不存在大于的项； ③数列为递减数列； ④. 所有正确的结论的序号为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 504 70308 （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ （2）求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 16. 设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为． （1）若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率． （2）若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率． 17. 已知数列满足. （1）求； （2）若，数列的前n项和为 ①求； ②对于任意的，均有恒成立，求m的范围. 18. 目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2×2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性用户 200 300 女性用户 合计 500 （1）根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； （2）从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率； （3）用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列. 参考公式：，其中. 参考数据： 0100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 若各项为正的无穷数列满足:对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列;若数列满足:，且时，有，则称数列为凹形数列. （1）若，判断数列是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由; （2）若，证明指形数列也是凹形数列; （3）若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北育才高中2024-2025学年度下学期 高二年级数学科第一次月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题及校对人：陈永余 杨冠男 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设A，B为两个事件，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件公式直接代入运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ） A. 36 B. 30 C. 20 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和求和公式求解，即可得到答案. 【详解】由等差数列得，故，即， 故选：B 3. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：C 4. 已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列前项和列出与，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，即可列式，代入值即可解出答案. 【详解】法一：因为等比数列的公比为， 则，， 所以，解得. 法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为， 所以，即，解得.. 故选：C 5. 若随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性可计算概率. 【详解】因为，所以． 因为，所以，，所以A，D错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确． 故选：C． 6. 已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和判断的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，单调递减， 此时，； 当时，，单调递减， 此时，， 所以取到最小值时的值是. 故选：B. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 若等比数列的前n项和为，则，，，…也是等比数列 B. 常数列既成等差数列又成等比数列 C. “”是“成等比数列”的必要不充分条件 D. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，通过举反例可判断选项正误；对于CD，由等比数列概念结合必要，充分条件概念可判断选项正误. 【详解】对于A，考虑数列，其中，则当为偶数时， ，此时，不是等比数列，故A错误； 对于B，考虑数列，其中，则仅是等差数列，不是等比数列，故B错误； 对于C，当成等比数列，则；当，取 ， 则不成等比数列，则“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，时，若，则为递减数列；若为递增数列，则， ，则“”是“为递增数列”的即不充分也不必要条件，故D错误. 故选：C 8. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ） A. B. C. 505 D. 1013 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可. 【详解】设首项为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前2025项和为， . 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X，且，则（ ） A. B. 若则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质、期望及方差的性质逐项分析判断即可. 【详解】由题知，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 由正态分布密度曲线关于对称， 利用对称性知，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归直线的性质即可判断选项A，C，利用线性相关系数的性质即可判断选项B，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错； 对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确； 对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选： BCD. 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若是等差数列， ，若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求. 【详解】对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列， 所以，即，解得，故A错误； 对于B，因为，所以，所以是等差数列， 由得， 所以 ，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以，故C正确； 对于D， 因为，所以， 所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用概率乘法公式将算两次，建立方程求解即可. 【详解】由概率乘法公式可知， ， 已知，代入上式 则， 解得. 故答案为：. 13. 袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设黄色小球有个，则，则，代入计算可得的最大值. 【详解】设黄色小球有个，则， 则， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，且对任意的非零实数x，y，都有，若，则下面四个结论中： ①； ②数列中不存在大于的项； ③数列为递减数列； ④. 所有正确的结论的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用赋值法可判断①；令，，可得数列是以为首项，以1为公差的等差数列，计算可判断②③；由，计算可判断④. 【详解】因为，所以， 对于①，令，得，得， 令，，得，故①正确； 对于②③，令，，因， 得， 所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列， 所以，即，令， 由得，当时，，， 当时，，此时数列是递减数列， 所以的最大值为， 所以数列中不存在大于项，也不是递减数列，故②正确，③不正确； 对于④，因为，所以， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 可求得，故④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】关键点睛：对于抽象函数问题，常根据题目要求，适当赋值，从而达到求值，消元，简化条件等目的. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ （2）求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 【答案】（1）模型①； （2） 【解析】 【分析】（1）根据残差点的分布情况分析即可. （2）取对数，将非线性回归转化为线性回归，然后根据所给数据代入公式即可得回归方程. 【小问1详解】 模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． 【小问2详解】 令与温度x可以用线性回归方程来拟合，则． 于是， ， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为． 16. 设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为． （1）若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率． （2）若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式与全概率公式计算即可得； （2）借助全概率公式与条件概率公式计算即可得. 【小问1详解】 记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件、、、， “取到的电子元件是次品”为事件， 由题意得， 又， 所以 ； 【小问2详解】 由题意，得， 又， 所以 ， 所以， 故若取到的电子元件是次品，则该电子元件是乙生产线生产的概率为． 17. 已知数列满足. （1）求； （2）若，数列的前n项和为 ①求； ②对于任意的，均有恒成立，求m的范围. 【答案】（1），；（2）①；②． 【解析】 【分析】 （1）由写出时，，相减可得，注意求出检验； （2）①用错位相减法求；②把不等式变形为恒成立，设，用作差法求出的最大项，可得的范围． 【详解】（1）因为，（i） 所以时，（ii） （i）－（ii）得．所以， 又时，，适合此式， 所以，； （2）由（1）知， ①，所以， 两式相减得， ； ②由①不等式恒成立化为恒成立， 设，则， 时，，时，，即数列前4项递增，从第4项开始递减， 所以的最大值是． 所以． 【点睛】方法点睛：本题考查类似由求的方法，考查错位相减法求和，以及数列的恒成立问题．解题方法如下： （1）由计算时，，需要另外求解，解法不相同， （2）设是等差数列，是等比数列，则数列需用错位相减法求和，数列求和还有裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等针对特殊数列的特殊方法； （3）数列恒成立问题的常用方法是分离参数后转化为求数列的最大项（或最小项），一般可利用作差法（或作商法）研究数列的单调性，得到数列的最大项． 18. 目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2×2列联表： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性用户 200 300 女性用户 合计 500 （1）根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关； （2）从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率； （3）用样本频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能 （2） （3）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）由题意直接确定列联表，计算，对比数据即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求解； （3）女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为，可能取值为0，1，2，3，根据二项分布对应的概率，即可求分布列. 【小问1详解】 被调查的女性市民人数为， 其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为. 偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为， 所以2×2列联表为： 偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计 男性市民 200 100 300 女性市民 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关， 根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关. 【小问2详解】 因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为， 所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人， 设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有两名女性市民参加座谈”为事件B， 则，， 所以. 【小问3详解】 根据频率估计概率知，女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为， 偏好铅酸电池电动车的概率为， 参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 故X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 19. 若各项为正的无穷数列满足:对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列;若数列满足:，且时，有，则称数列为凹形数列. （1）若，判断数列是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由; （2）若，证明指形数列也是凹形数列; （3）若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数. 【答案】（1）是，证明见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数运算得，即证明其为指形数列； （2）根据指形数列的概念求得，再计算，结合基本不等式即可证明其为凹形数列； （3）根据指形数列的定义得，再利用其为递减数列得，从而求得，再利用等比数列求和公式得，最后引入高斯函数，分类讨论即可. 【小问1详解】 数列是指形数列. 当时，， ， 即数列是指形数列. 【小问2详解】 若是指形数列，且，则， 此时数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当，且时， 等号不成立，，即若， 则指形数列也是凹形数列. 【小问3详解】 若是指形数列，且，则， 此时数列是以为首项，为公差的等差数列， ，. 该指形数列是递减数列， ，即，得， . . ，， ，. 令等于不大于的最大正整数， 当时，； 当时，，以上. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用等差数列性质和对数运算得，再结合等比数列求和得，最后分类讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$