串讲03 三角恒等变换（考点串讲）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

高一数学下学期期中考点大串讲 串讲03 三角恒等变换 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点、明确复习目标 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期中真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　两角和与差的正切公式 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　二倍角公式的简单应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　利用半角公式化简求值问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　三角恒等式的证明 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　辅助角公式的应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 技巧点拨 举一反三 题型九　利用两角和与差的余弦进行证明 题型剖析 技巧点拨 举一反三 题型十　三角恒等变换在实际问题中的应用 题型剖析 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　忽视角的范围致错 03易错易混 易错点2　对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负 03易错易混 易错点3　含参问题忽视对参数的讨论致错 针对训练 04押题预测 C D B B B 谢谢观看！ 【解析】 . 故选：C 【解析】因为，所以（1）， 因为，所以（2）， （1）+（2）得， ∴. 故选：A． 【解析】. 故选：C. 公式的变形应予以灵活运用． 【变式】的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】， ，. 故选：B. 例3、若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】， 分子分母同时除以，得． 故选：D. 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【变式】若，则=（    ） A． B． C． D． 【解析】 . 故选：D. 例4、的值为（    ） A．0 B． C． D． 【解析】① ② 得： ． 故选：D 给角求值的解题策略 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【变式】若，，且，，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【解析】，又∵，∴. 又∵，∴， 于是 ，易得，则. 故选：B. 例5、若，是第三象限角，则___________. 【解析】， ，， 为第三象限角，，故答案为： 1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【变式】已知，．（1）求的值； （2）若，，求的值． 【解析】（1）因为，所以， 又因为，所以．因为，且， 所以． （2）由（1）中，，可得． 因为，所以，而，所以， 又因为，所以，且， 于是． 例6、已知，，通过观察等式的规律，写出一般性规律的命题，并给出证明． 【解析】一般形式：， 证明：左边      右边 ，原式得证． 三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简； （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【变式】证明： 【解析】左边= = = 右边= = = 左边=右边，所以原等式得证. 例7、要使有意义，则实数m的取值范围为____________． 【解析】因，因此，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【变式】若函数取最小值时，则___________. 【解析】，其中 时取最小值，， 故答案为：. 例8、已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1） 所以的最小正周期 （2）由，，得，． 故函数的单调递增区间为，． （3）当时， ∴∴ 故在区间上的最大值为，最小值为. 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质． 【变式】已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围. 【解析】（1）由得，故最小正周期为, （2）由，解得，故的单调递增区间为 （3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故 例9、如图，矩形中，两点分别在边上，，设，. （1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式； （2）若，且，求的值. 【解析】（1） 由已知， ，，. （2）由已知， 从而， ， ， . 根据题干条件用三角函数定义证明 【变式】阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:， ，由得，令,,有，，代入得. (1)利用上述结论，试求的值； (2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:. 【解析】（1）； （2）因为……①， ……②， 由①②得 ……③， 令， ，有，，代入③得 . 例10、已知矩形内接于半径为1的圆． （1）求矩形面积的最大值； （2）当矩形的面积最大时，矩形的周长也最大吗？说明理由． 【解析】（1）如图所示，设，在中，，，， 矩形的面积是， 当时，矩形的面积取得最大值2． （2）矩形的周长是，当时，矩形的周长取得最大值； 综上，时，矩形面积与周长同时取得最大值，即当矩形的面积最大时，矩形的周长也最大 解决这类问题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用． 【变式】如图，在扇形OAB中，，半径.在上取一点M，连接，过M点分别向半径OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF. （1）设，将四边形MEOF的面积S表示成的函数，并写出的取值范围； （2）求四边形MEOF的面积S的最大值. 【解析】（1）， ， 由题意要得到四边形MEOF，则. （2）由（1）知：，因为，所以， 所以当，即时，四边形MEOF的面积S的最大值为. 1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则cos α等于(　 ) A．－eq \f(12,13) B．－eq \f(5,13) C.eq \f(5,13) D. eq \f(12,13) 【错解】选D，因为 ，又sin α＝eq \f(5,13)，∴cos α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(12,13). 【错因】没有注意条件α是第二象限角， 【正解】选A　∵α是第二象限角，则cos α>0，∴cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(12,13). 2．化简：2eq \r(sin 8＋1)＋eq \r(2cos 8＋2)＝(　 ) A．4cos 4 B．－2sin 4－4cos 4 C．4sin 4 D．2sin 4+4cos 4 【错解】选D　原式＝2eq \r(1＋2sin 4cos 4)＋eq \r(4cos24)＝2eq \r(sin24＋cos24＋2sin 4cos 4)＋2cos 4 ＝2sin 4＋2cos 4＋2cos 4=2sin 4＋4cos 4. 【错因】开方时没有考虑2cos 4、sin 4＋cos 4的正负， 【正解】选B　原式＝2eq \r(1＋2sin 4cos 4)＋eq \r(4cos24)＝2eq \r(sin24＋cos24＋2sin 4cos 4)＋2|cos 4| ＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，∵π＜4＜eq \f(3π,2)，∴sin 4＋cos 4＜0，cos 4＜0， ∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4. 3.已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 【错解】易知OP＝eq \r((－4m(2＋(3m(2)＝5m，则sin α＝ ，cos α＝ . 故2sin α＋cos α＝eq \f(2,5). 答案：eq \f(2,5) 【错因】没有对参数m分情况讨论， 【正解】易知OP＝eq \r((－4m(2＋(3m(2)＝5|m|，则sin α＝eq \f(3m,5|m|)，cos α＝eq \f(－4m,5|m|). 当m>0时，sin α＝eq \f(3,5)，cos α＝－eq \f(4,5)，2sin α＋cos α＝eq \f(2,5)； 当m<0时，sin α＝－eq \f(3,5)，cos α＝eq \f(4,5)，∴2sin α＋cos α＝－eq \f(2,5). 故2sin α＋cos α＝±eq \f(2,5). 答案：±eq \f(2,5) 1．已知A＝eq \f(sin(kπ＋α(,sin α)＋eq \f(cos(kπ＋α(,cos α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是________． 【错解】A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cos α,cos α)＝2. 答案：{2} 【错因】没有对k分情况讨论， 【正解】当k为奇数时：A＝eq \f(－sin α,sin α)－eq \f(cos α,cos α)＝－2.当k为偶数时：A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cos α,cos α)＝2. 答案：{－2,2} 1．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知是的外心，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． $$