串讲02 向量的数量积（考点串讲）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

高一数学下学期期中考点大串讲 串讲02 向量的数量积 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 常考点、明确复习目标 题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 易错易混经典例题+针对训练 精选期中真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　求两向量的数量积 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　向量的模和夹角的计算问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　与垂直有关的问题 技巧点拨 举一反三 题型四　数量积的坐标运算 题型剖析 技巧点拨 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 举一反三 题型五　利用向量解决平面几何求值问题 题型剖析 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　忽略向量共线致误 03易错易混 易错点3　对两两夹角相等理解不准确 针对训练 04押题预测 A D D B A 谢谢观看！ 例1、已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【解析】由，且与的夹角为， 所以 . 故选：B. 求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【变式】已知是边长为的等边三角形，则________． 解析： 故答案为： 例2、已知与的夹角为． 求的值； 【解析】由已知，得：， ∴， ∴； （1）求解向量模的问题就是要灵活应用 ，即 ，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式 求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出 的值及 的值，然后代入求解，也可以寻找 三者之间的关系，然后代入求解． 【变式】已知向量､的夹角为，且，设，. (1)求； (2)试用来表示的值； (3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围. 【解析】（1）. （2）. （3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行. 其中，而，于是实数的取值范围是. 例3、已知，，与的夹角是． (1)计算； (2)当为何值时，？ 【解析】（1）由已知， 所以． （2）若，则， ，则，． 解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【变式】已知单位向量，，且，则___________. 【解析】因为单位向量，，且， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 例4、已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设. (1)求； (2)求满足的实数m，n的值． 【解析】(1)因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 所以==(5，－5)，==(－6，－3)，==(1，8)． =3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)=(6，－42)． (2)因为=(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以解得 【变式】已知，若,, （1）求点的坐标及向量的坐标； （2）求证：. 【解析】（1）设点的坐标为,点的坐标为, 由得所以 故 由得所以 故 所以 （2）所以且 满足,所以 例5、如下图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为. (1)求的模长 (2)求的值. 【解析】（1）因为，所以， 因为，与的夹角为， 所以， 所以； （2） （1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【变式】如图，在中，已知，，，且.求. 【解析】由题意得，的夹角为，，则， 又，所以，故，同理 于是，， ， . 1、已知向量 的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________． 【错解】因为向量 的夹角为钝角，所以 ， 即 ，解得 ， 【错因】概念模糊，错误地认为 为钝角 ，实际上， 为钝角 不共线 。 【正解】因为向量 的夹角为钝角，所以 且 不共线， 即 ，解得 ， 所以实数x的取值范围为 。 3.若单位向量 两两夹角相等,则 的模为 . 【错解】因为单位向量 两两夹角相等,则夹角为 ,所以 + = + EMBED Equation.DSMT4 =0, 所以 的模为0。 【错因】忽略了夹角为零度的情况 【正解】当 的夹角为 时 的模为3,当 夹角为 时, + = + EMBED Equation.DSMT4 =0, 的模为0. 1．已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________． 【错解】∵cos θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)).因θ为锐角,有cos θ>0, ∴eq \f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))>0⇒2λ＋1>0, 得λ>－eq \f(1,2),λ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)). 【错因】当向量a,b同向时,θ＝0,cos θ＝1满足cos θ>0,但不是锐角． 【正解】∵θ为锐角,∴0<cos θ<1.又∵cos θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)), ∴0<eq \f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))且eq \f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))≠1,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2λ＋1>0，,2λ＋1≠\r(5)·\r(λ2＋1))),解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ>－\f(1,2)，,λ≠2.)) ∴λ的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ|λ>－\f(1,2)且λ≠2)). 1．已知向量，，若向量，则（　　） A． B． C．8 D． 2．已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C．1 D． 5．已知向量、满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． $$