高二下学期期中真题百题大通关（压轴版）（范围：坐标平面上的直线、圆锥曲线）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

高二下学期期中真题百题大通关（压轴版） （范围：坐标平面上的直线、圆锥曲线） 一、单选题 1．（22-23高二下·上海宝山·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 3．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（    ）. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点C是双曲线右支上异于顶点的点，点D在直线上，且满足，．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（21-22高二上·上海闵行·期末）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 6．（22-23高二上·上海嘉定·期末）对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论： ①点的轨迹是一个圆；    ②点的轨迹是一条直线； ③当时，有最大值；    ④当，时，． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（22-23高二下·上海浦东新·期中）小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（22-23高二下·上海虹口·期中）已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为；     ②的取值范围为； ③不存在点，使得；     ④的取值范围为. 则上述命题正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24高三上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（       ）. A． B． C． D． 10．（23-24高二下·上海·期中）已知曲线，对于命题：（1）垂直于x轴的直线与曲线C有且只有一个交点;（2）若点 为曲线C上任意两点，则有下列判断正确的是（     ） A．（1）和（2）均为真命题 B．（1）和（2）均为假命题 C．（1）为真命题，（2）为假命题 D．（1）为假命题，（2）为真命题 11．（23-24高二下·上海金山·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．（23-24高二下·上海·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①②③ C．①② D．①③ 13．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（22-23高二下·上海宝山·期中）等轴双曲线的焦点，圆，则（    ） A．对于任意，存在，使圆与双曲线右支恰有两个公共点 B．对于任意，存在，使圆与双曲线右支恰有三个公共点 C．存在，使对于任意，圆与双曲线右支至少有一个公共点 D．存在，使对于任意，圆与双曲线右支至多有两个公共点 三、填空题 15．（21-22高二下·上海奉贤·期中）在抛物线上，到的距离是到的距离是，求的最小值 ． 16．（22-23高二上·上海普陀·期末）如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为 . 17．（22-23高二下·上海静安·期末）类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 ． 18．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为 . 19．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为 . 20．（23-24高二上·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 21．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为 . 22．（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 23．（24-25高三上·上海·期中）如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为50万元/ km. 选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元. 24．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    25．（22-23高二下·上海·期中）已知点和曲线上的点．若成等差数列且公差，则的最大值为 ． 26．（21-22高二下·上海浦东新·期中）已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是 ． 27．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知点M、N分别是椭圆上两动点，且直线的斜率的乘积为，若椭圆上任一点P满足，则的值为 . 28．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知点满足方程，则使得恒成立的实数的取值范围是 . 29．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是 . 30．（22-23高二下·上海浦东新·期中）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似“伯努利双纽线”，在平面直角坐标系中，到两定点，的距离之积等于的点的轨迹C就是一条伯努利双纽线．已知点是双纽线C上的一点，下列说法中正确的序号是 ．    ①双纽线C关于x轴、y轴对称；     ②双纽线C上满足的点P有两个； ③；                 ④的最大值为． 31．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 32．（23-24高二下·上海·期中）已知曲线与曲线，且曲线和恰有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 . 33．（23-24高二下·上海·期中）已知是曲线上的动点，则的取值范围是 . 34．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，满足，则的取值范围是 . 35．（23-24高二下·上海黄浦·期中）若曲线 与曲线 恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为 36．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为 . 37．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是 . （1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）. 38．（23-24高二下·上海·期中）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 . 39．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则 . 41．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是 ． 四、解答题 42．（21-22高三下·上海宝山·期中）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为． (1)求实数，的值及助滑道曲线的长度． (2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）． 43．（21-22高二下·上海杨浦·期中）我国计划发射火星探测器天问一号，该探测器的运行轨道是以火星（其半径百公里）的中心F为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点），A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里. (1)请求出天问一号运行轨道的椭圆标准方程； (2)假定该探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a､b分别为椭圆的长半轴､短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）. 45．（21-22高二下·上海黄浦·期末）已知抛物线过点. (1)求抛物线的方程，并求其准线方程; (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度. 46．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线． (1)求曲线C的方程； (2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点； (3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由． 47．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 48．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 49．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为． (1)若三角形的面积为2，求点的坐标； (2)若，证明：直线过定点； (3)若，求满足的关系式． 50．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 51．（24-25高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线: 的焦点为，点 是抛物线上的一点.    (1)若 求点A的坐标； (2)已知是轴上的点，若线段的最小值为4，求实数的值； (3)如图，已知 点在抛物线上，满足 作 ，为垂足. 问：是否存在定点，使得为定值? 若存在，求出点坐标以及的值； 若不存在，说明理由. 52．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 53．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 54．（22-23高二上·上海宝山·期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程； (2)求△AOB面积的最小值； (3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 55．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 56．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知双曲线：，满足离心率为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且与双曲线右支交于，两点，求直线的斜率的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在以为直径的圆经过坐标原点﹖若存在，请求出此时的直线；若不存在，请说明理由． 57．（21-22高三下·上海宝山·期中）设椭圆Γ：的左、右焦点分别为．直线l若与椭圆Γ只有一个公共点P，则称直线l为椭圆Γ的切线，P为切点． (1)若直线l：y＝x+2与椭圆相切，求椭圆的焦距； (2)求证：椭圆Γ上切点为的切线方程为； (3)记到直线l的距离为，到直线l的距离为，判断“”是“直线l与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由． 58．（23-24高二下·上海金山·期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上.过点的直线交椭圆于、两个不同的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围； (3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围. 59．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点 (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且． （i）设直线的方程为，求证：； （ii）求的取值范围． 60．（23-24高三下·上海·期中）在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为. (1)若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求； (2)若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围； (3)若，过点的直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 61．（21-22高二下·上海杨浦·期中）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆相似.如图，椭圆、是两个相似的椭圆，椭圆的长半轴长是4，短半轴长是2，且的左､右焦点、都在椭圆上. (1)求、的方程； (2)在上是否存在点P满足，线段的中点在上，如有请求出P的坐标，否则请说明理由； (3)如图，若Q是上异于、的任意一点，直线与交于A､B两点，直线与交于D､E两点，求证：为定值. 62．（21-22高二下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点 (1)求椭圆的方程 (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由； (3)若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值. 63．（22-23高三上·上海普陀·期中）已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 64．（22-23高二上·上海杨浦·期中）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点. (1)求、的方程； (2)若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)求四边形面积的最小值. 65．（21-22高二下·上海奉贤·期中）中心在原点的椭圆的两个焦点是、，且、与椭圆短轴一个顶点构成边长为2的正三角形．直线与椭圆相切于点，过作直线的垂线与轴交于，直线与轴交于，点关于轴的对称点是． (1)求椭圆的方程； (2)求； (3)求证：、、、、、六点在同一个圆上． 66．（22-23高二上·上海闵行·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点. (1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标； (2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率； (3)设的斜率为，且，求双曲线的离心率. 67．（21-22高三上·上海浦东新·期中）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且. (1)求抛物线的方程； (2)设抛物线上的点在其准线上的射影分别为，若的面积是的面积的2倍，求线段中点的轨迹方程. (3)设过点的直线交抛物线于两点，斜率为的直线与直线轴依次交于点且，求直线在轴上截距的范围. 68．（22-23高三下·上海虹口·期中）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点. (1)求曲线的方程； (2)若，求直线的方程； (3)已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点. 69．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的右顶点为，短轴长为是椭圆的两个焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知P是椭圆C上的点，且，求△的面积； (3)若过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于M、N两点，O为坐标原点.问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立.若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 70．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作拋物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别为、． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)计算的值； (3)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； 71．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两个不同点、，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； (3)设、为椭圆的左、右顶点，为椭圆上除、外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值． 72．（22-23高二下·上海普陀·期中）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.    (1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率为，证明：为定值； (3)过点作直线垂直于直线，在上任取一点，对于（2）中的两点，试证明：直线的斜率成等差数列. 73．（22-23高二下·上海黄浦·期中）如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．    (1)当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离； (2)当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由. 74．（23-24高三上·上海松江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (3)若，求面积的取值范围． 75．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当椭圆，的离心率相等时，称曲线为“猫眼曲线”    (1)求椭圆的方程； (2)任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦AB的中点为M，交椭圆所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为、，试问：是否为与k无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； (3)若斜率为的直线l为椭圆的切线，且交椭圆于点A，B，N为椭圆上的任意一点（点N与点A，B不重合），求面积的最大值． 76．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知直线与椭圆有且只有一个公共点. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值. 77．（23-24高三上·上海·期中）双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； (3)设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 78．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆：，是其左顶点，过点且不与轴重合的直线与交于、两点. (1)若直线垂直于轴，求线段的长度； (2)若，且点在轴上方，求、两点的坐标； (3)设直线与轴交于点，直线与轴交于点，是否存在直线，使得的面积是的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 79．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 80．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值； (3)设和的面积分别为、，求的最大值． 81．（23-24高二下·上海·期中）已知曲线． (1)当时，若曲线交轴于、两点，为曲线上异于、的点，求直线、的斜率之积； (2)若直线与曲线交于、两点， ①当时，求面积的最大值； ②当实数为何值时，对任意，都有为定值？并求出的值． 82．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左,右焦点分别为，下顶点为A，点M在直线上. (1)若，线段AM 的中点在x轴上，求M 的坐标； (2)若直线l与y轴交于B，直线AM 经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为 ，求b的值; (3)若，直线 l与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点，，点P到l的距离为d，且，当a变化时，求d的取值范围. 83．（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K， P是曲线K上一点. (1)当时，求曲线K的轨迹方程; (2)已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B，C 两点，若且直线与直线交于Q点.求证: 为定值： (3)若且点 D，E在y轴上，的内切圆的方程为求面积的最小值. 84．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的交点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由； (3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点. 85．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点. (1)求双曲线的方程； (2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积； (3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程. 86．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 87．（23-24高二下·上海·期中）已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设圆心的轨迹为 (1)求的方程 (2)若直线过点，且与交于两点 ①若直线与轴交于点，满足，试探究与的关系； ②过点分别作曲线的切线相交于点，求面积的最小值. 88．（23-24高二下·上海·期中）阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如椭圆的光学性质：（如图1）从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．在对该性质证明的过程中（如图2），他还特别用到了“角平分线性质定理”：，从而得到，而性质得证 根据上述材料回答以下问题 (1)如图3，已知椭圆的左右焦点分别为，一束光线从射出，经椭圆上点反射：处法线（与椭圆在处切线垂直的直线）与轴交于点，已知，求椭圆方程（直接写出结果） (2)已知椭圆，长轴长为，焦距为，若一条光线从左焦点射出，经过椭圆上点若干次反射，第一次回到左焦点所经过的路程为，求椭圆的离心率 (3)对于抛物线，猜想并证明其光线性质． 89．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点. (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长; (2)当且直线过点时，设，求证:为定值，并求出该值; (3)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值;并求此时面积的最大值. 90．（23-24高二下·上海·期中）设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心. (1)求椭圆的方程； (2)求点到直线的距离的最大值； (3)判断的面积是否为定值，并说明理由. 91．（23-24高二下·上海·期中）已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的两点. (1)当且的斜率为1时，求； (2)当时，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得对于任意的直线、都不是直角三角形.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 92．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆：的左右焦点为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的点． (1)求的周长； (2)若过的直线与椭圆交于、两点，且，求的值； (3)若直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明． 93．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”． (1)求椭圆的离心率； (2)直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程； (3)已知点，，证明：过点存在与的“等弦线”． 94．（23-24高三上·上海·期中）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 95．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 96．（22-23高二下·上海虹口·期中）有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    97．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为.椭圆上有互异的且不在轴上的三点满足直线经过，直线经过. (1)若椭圆的长轴长为4，离心率为，求的值； (2)若点的坐标为的面积，求的值； (3)若，直线经过点，求的坐标. 98．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. (1)若点M的坐标为，求的面积； (2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； (3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程. 99．（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，为上的动点. (1)若，设点的横坐标为，试用解析式将表示成的函数； (2)过点的直线与的另一个交点为，为关于轴的对称点，直线与轴交于点，求关于的表达式； (3)试根据的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数. 100．（23-24高二下·上海·期中）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：的交点的纵坐标为定值； (3)求直线围成的三角形面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期期中真题百题大通关（压轴版） （范围：坐标平面上的直线、圆锥曲线） 一、单选题 1．（22-23高二下·上海宝山·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或， 把代入得，解得， 因为直线与曲线恰有两个公共点， 由图可得，即的取值范围是． 故选：B． 2．（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】D 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设A，B的坐标，设M的坐标，由题意可得N的坐标，求出3个向量，由向量的关系求出M的轨迹方程. 【详解】解：建立以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴的直角坐标系， 设，，， 设M的坐标为，由题意可得， 则，，， 所以，， 由，可得， 整理可得：，所以，， 故动点M的轨迹是双曲线.    故选：D. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（    ）. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【知识点】求平面轨迹方程、判断方程是否表示双曲线 【分析】设出点坐标，结合，将点坐标代入椭圆方程，求出点的轨迹方程即可得. 【详解】设，，则， 由及椭圆对称性，可取、， 故有、， 消去，可得，即， 即，则点为双曲线上一点. 故选：C. 4．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点C是双曲线右支上异于顶点的点，点D在直线上，且满足，．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据得在的角平分线上，进而根据双曲线的定义以及切线长性质可判断为的内心，结合重心的向量表示以及重心的性质，即可得，进而由离心率公式即可求解. 【详解】由于点D在直线上，且满足，可知在的角平分线上， 设的内切圆分别与边相切于点,（如图1）则有切线长定理可得, 结合双曲线的定义可得,所以的内心在直线上，故为的内心， 由得,　由于是的中点,所以, 因此, 分别延长至,使得,如图2 故，因此是的重心， 设由是的重心，所以， 又，同理即，故 由于为的内心，故到三条边的距离相等，可得, 因此为直角三角形，所以， 因此离心率, 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，以及三角形内心，重心的性质，综合性较强.对于离心率问题，要充分挖掘几何性质和图形中体现的等量关系，建立出的关系系，从而求解离心率. 5．（21-22高二上·上海闵行·期末）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点与圆的位置关系求参数、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，，然后整理换元转化为二次函数求最值. 【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点， 该抛物线的准线方程为，设， 由抛物线的定义得，要使最小，则需最大， 如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1， ，且， 所以，令，则， 所以，由， 而， 得，取得最小值，则的最小值为． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求圆上的动点到一定点的距离之和最大（小）转化为求圆心到定点的距离的加半径（减半径）. 6．（22-23高二上·上海嘉定·期末）对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论： ①点的轨迹是一个圆；    ②点的轨迹是一条直线； ③当时，有最大值；    ④当，时，． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、轨迹问题——圆、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由，将已知条件看作到直线、距离之和的倍， 且已知圆在平行线、之间得，再结合各项描述分析正误. 【详解】令，可看作到直线、距离之和的倍， 由的值与无关， 所以距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线、之间， 而两线距离为， 当时，的轨迹是平行于、直线，①错误； 当时,的轨迹不是直线,②错误 ③时，，即有最大值，正确； ④时，则，故，④错误. 所以正确的有③. 故选： 7．（22-23高二下·上海浦东新·期中）小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是；③的取值范围是；④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】由方程研究曲线的性质、圆锥曲线新定义 【分析】设，由题设可得曲线C为，将、、代入即可判断①；令，由在上有解，结合二次函数性质求P的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得，进而求范围判断③；由基本不等式、余弦定理确定范围，再根据三角形面积公式求最值判断④. 【详解】令，则， 所以，则， 将、、代入上述方程后，均有， 所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确； 令，则， 对于，对称轴为， 所以在上递增，要使在上有解，只需， 所以，即，可得，②正确； 由，由中，， 所以，其中负值舍去， 综上，，又，即， 所以，则，③正确； 由，仅当时等号成立， 的面积， 而，所以， 所以的面积的最大值为1，④正确. 综上，正确结论的个数为4个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：②③通过换元，构造，利用根的分布求P的横坐标、的取值范围. 8．（22-23高二下·上海虹口·期中）已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为；     ②的取值范围为； ③不存在点，使得；     ④的取值范围为. 则上述命题正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求椭圆中的最值问题、求双曲线中的最值问题 【分析】对于①，分段化简方程，得到图形，数形结合得到①错误；对于②，数形结合，结合椭圆性质得到②正确；对于③，根据渐近线性质及图形可得③正确；对于④，利用的几何意义，结合三角换元得到的取值范围. 【详解】对于①，曲线得到， 画出图形如下：其中为渐近线，    由曲线和图形可知，故①错误； 对于②，可看做曲线上的点到原点的距离，显然无最大值， 当点位于椭圆上时，距离原点的距离取得最小值， 则，故当时，取得最小值，最小值为1， 则的取值范围为，②正确； 对于③，因为直线与渐近线平行，故不存在点，使得，③正确； 对于④，表示点到直线的距离的倍， 又直线与渐近线平行，且距离为， 故， 由图形可知，在上时，到直线的距离取得最大值， 设，则到直线的距离为 ， 当且仅当时等号成立， 故的取值范围为，④正确. 故选：C 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 9．（23-24高三上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（       ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】先求出点的轨迹方程为，设，整理可得，从而将所求转化为点到点和点的距离之和的一半，再结合图象进行求解即可. 【详解】设， 由， 得，化简整理得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， 设，则， 故， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    【点睛】关键点点睛：设，得出，将问题转化为点到点和点的距离之和的一半是解决本题的关键. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知曲线，对于命题：（1）垂直于x轴的直线与曲线C有且只有一个交点;（2）若点 为曲线C上任意两点，则有下列判断正确的是（     ） A．（1）和（2）均为真命题 B．（1）和（2）均为假命题 C．（1）为真命题，（2）为假命题 D．（1）为假命题，（2）为真命题 【答案】A 【知识点】由方程研究曲线的性质、由方程求曲线的图形 【分析】先逐个象限判断方程轨迹，大致画出图象，结合图象分析. 【详解】设P是曲线上的点， 当时， , 即 轨迹为双曲线的一部分，渐近线为 ； 当时， 等式不成立，故第二象限无轨迹； 当时， 即 ，轨迹为双曲线的一部分，渐近线为 ； 当时， ，即 轨迹为椭圆的一部分, 根据分析，可画出图象如图所示．    由图可知，垂直于x轴的直线与曲线只有一个交点，故（1）正确； 由图可以看出，轨迹为递增函数，故斜率 恒成立，故（2）正确． 故选:A 【点睛】方法点睛：对方程的处理办法通过讨论的符号去绝对值号，得到各象限内不同的曲线. 11．（23-24高二下·上海金山·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由方程研究曲线的性质 【分析】对①：计算出所有整点即可得；对②：借助基本不等式即可得；对③：借助割补法计算即可得. 【详解】根据题意，曲线， 当时，曲线的方程为， 当时，曲线的方程为， 则曲线关于轴对称， 对于①，曲线， 当时，，所以，即曲线经过，； 当时，方程为，有， 解得，所以只能取整数1， 当时，有，解得或，即曲线经过，， 根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，①正确； 对于②，当时，曲线的方程为， 则有，变形可得，当且仅当时等号成立， 又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足， 即曲线上任意一点到原点的距离都不超过，②正确； 对于②因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，， ，围成的矩形面积， 在轴下方，图形面积大于三点，， 围成的等腰直角三角形的面积， 故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误 故选：A． 【点睛】关键点点睛：判断结论③的关键在于结合所得整点坐标，借助割补法得到在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，，，围成的矩形面积，在轴下方，图形面积大于三点，，围成的等腰直角三角形的面积. 12．（23-24高二下·上海·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3. 【详解】对于①，将换成，方程不变，所以图形关于轴对称， 当时，，即曲线经过，， 当时，方程变为， 由解得， 所以只能取整数解1， 当时，方程变为， 解得或，即曲线经过，， 由对称性得曲线还经过，， 故曲线一共经过6个整点，，，，，，，故①正确； 对于②，当时，由得， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过， 由对称性可得曲线上任意一点到原点的距离不超过，故②错误； 对于③，如图： 在轴上方图形面积大于矩形面积， 在轴下方图形面积大于等腰直角三角形面积， 因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键. 13．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】建立如图平面直角坐标系，求出点M、E的坐标，代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求出余弦值即可. 【详解】设交于， 以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系， 因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面， 所以，所以，又因为底面圆半径， 所以，，所以， 设双曲线方程为，将代入， 得，解得，则双曲线的两条渐近线方程为， 由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是在求得双曲线渐近线方程后，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值. 二、多选题 14．（22-23高二下·上海宝山·期中）等轴双曲线的焦点，圆，则（    ） A．对于任意，存在，使圆与双曲线右支恰有两个公共点 B．对于任意，存在，使圆与双曲线右支恰有三个公共点 C．存在，使对于任意，圆与双曲线右支至少有一个公共点 D．存在，使对于任意，圆与双曲线右支至多有两个公共点 【答案】AD 【知识点】求函数零点或方程根的个数、二次函数的图象分析与判断、利用双曲线定义求方程 【分析】联立方程可得，构建，根据二次函数讨论在上的零点分布，并结合对称性分析与右支的交点个数. 【详解】设双曲线方程为：，联立方程， 消去y得， 由圆可知：x的取值范围为， 构建，， 则的对称轴， 且， 当即时有且只有一个零点， 当即时有且只有一个零点. 当即时无零点. 当即时有且只有两个零点. 当即时有且只有两个零点. 当即时有且只有一个零点. 注意到当，与的交点坐标为，当时，与的交点坐标有，即会出现交点在对称轴上，结合与的对称性可得： 当时，使与没有公共点，即与的右支没有公共点； 当时，使与有且仅有一个公共点，即与的右支有且仅有一个公共点； 当时，使与有两个公共点，此时与有且仅有两个公共点； 当时，使与有三个公共点，此时与有且仅有两个公共点； 当时，使与有四个公共点，此时与有且仅有两个公共点. 对A：对于任意，存在，使得，此时圆与双曲线右支恰有两个公共点，A正确； 对B：对于任意，存在，使得，此时圆与双曲线右支至多有两个公共点，B错误； 对C：存在，使对于任意，使得，此时圆与双曲线右支没有公共点，C错误； 对D：存在，使对于任意，使得，此时圆与双曲线右支至多有两个公共点，D正确. 故选：AD. 三、填空题 15．（21-22高二下·上海奉贤·期中）在抛物线上，到的距离是到的距离是，求的最小值 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、抛物线中的参数范围问题、求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】作辅助线，设到直线的距离为，将变为，结合抛物线的定义确定的最小值，可得答案. 【详解】设抛物线的焦点为F,则, 则F到的距离为 ， 作垂直于，垂足为A,则 , 设到直线的距离为，则， 由于在抛物线上，故, 故当三点共线时，的值最小，即为F到的距离， 所以，当三点共线时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 16．（22-23高二上·上海普陀·期末）如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、椭圆定义及辨析 【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围. 【详解】为椭圆右焦点，连接，如图所示： 分别为的中点，，为直径，， ， 所以点轨迹是以为圆心2为半径的圆，在圆内， 所以的最小值为，最大值为，即的取值范围为. 故答案为： 17．（22-23高二下·上海静安·期末）类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 ． 【答案】关于轴对称，， 【知识点】圆的对称性的应用、由方程研究曲线的性质、双曲线的对称性、双曲线中x、y的取值范围 【分析】根据有意义得出的范围，再根据的范围得出的范围；分别以代，以代，及以代，代，判断与原方程的关系即可得出对称性． 【详解】由得， 因为， 所以，即， 在曲线方程中，以代，得，与方程相同，所以曲线关于轴对称； 以代，得，与原方程不同，所以曲线不关于轴对称； 以代，代，得，与原方程不同，所以曲线不是中心对称图形， 故答案为：关于轴对称，，． 18．（23-24高三上·上海浦东新·期中）设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为 . 【答案】 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】如图，设直线l与圆C的切点为，过点作于点Q，则，由题意求出，进而求出、，结合双曲线的定义化简计算即可求解. 【详解】设直线l与圆C的切点为，则，， 由，得， 过点作于点Q，则， 由O为的中点，得， 因为为锐角，所以， 有，得， 所以，由双曲线的定义知， ，即，解得， 又，所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：.    19．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据椭圆定义确定，结合条件，利用余弦定理求出，进而利用面积公式求出的面积. 【详解】 根据椭圆方程，有，，因为点在椭圆上，所以有 ，， 在中，由余弦定理有 ，所以，所以的面积为： 故答案为： 20．（23-24高二上·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【答案】/0.8 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得，再根据双曲线的定义化简可求. 【详解】设的内切圆半径为， 由双曲线的定义得 由题意得， 故， 又双曲线的， 代入上式得：， 故答案为：. 21．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】由题意知为直线的中点，设出坐标，由点差法求出直线的斜率，根据点斜式可得方程. 【详解】由题意知为直线的中点，设， 则，则， 所以， 即，则直线的方程为， 故答案为：. 22．（24-25高二上·上海·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 23．（24-25高三上·上海·期中）如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为50万元/ km. 选择合适的点M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元. 【答案】125 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、双曲线准线的有关性质 【分析】依题意可知曲线PQ的方程为，根据双曲线的第二定义可得当与双曲线的准线垂直时，总费用最小. 【详解】根据题意以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，易知点在以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支上； 易知，可得，所以， 所以曲线PQ的方程为， 显然曲线PQ对应的准线方程为，双曲线的离心率为； 设点到准线的距离为，由双曲线的第二定义可得，即； 总费用表达式为， 又易知，因此到准线距离为， 因此， 当且仅当与双曲线的准线垂直时，总费用最小为125万元. 故答案为：125 24．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【知识点】斜率公式的应用、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    25．（22-23高二下·上海·期中）已知点和曲线上的点．若成等差数列且公差，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、判断方程是否表示双曲线、求双曲线的焦点坐标、双曲线的焦半径与焦点弦问题 【分析】确定曲线是双曲线的一段，结合等差数列的通项公式和性质，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】题设的曲线是如下双曲线的一段，即． 是它的右焦点，（其中直线为右准线，点，离心率）． 易知. 依题意，可设等差数列的第一项，第项， 则．得． 由题意，，即． 得． 而．且． 则，故的最大可取． 故答案为： 26．（21-22高二下·上海浦东新·期中）已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】由抛物线的定义转化后求解 【详解】抛物线的焦点为，设点坐标，则 ， 由题意当时，， 令，则，， 由基本不等式知，当且仅当时等号成立 故的最小值为． 故答案为： 27．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知点M、N分别是椭圆上两动点，且直线的斜率的乘积为，若椭圆上任一点P满足，则的值为 . 【答案】1 【知识点】椭圆中的定值问题 【分析】设，由得，由表示出坐标，代入椭圆方程，可求得的值. 【详解】设， ， ，又P在椭圆上， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：1 【点睛】方法点睛：椭圆上任一点P满足的处理方法：用表示出的坐标，代入椭圆方程，结合化简即可. 28．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知点满足方程，则使得恒成立的实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知点到直线距离求参数、求平行线间的距离、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】对，的取值范围分类讨论，去绝对值后，得到方程所表示的曲线，再通过的几何意义求解即可. 【详解】当，时，，，原方程可化为：， 当，时，，，原方程可化为：， 当，时，，，原方程可化为：， 当，时，，，原方程可化为，显然不成立， ∴如图，点轨迹，是由椭圆的，部分，双曲线的，部分，和双曲线的，部分所组成的曲线. 如图，取直线：，双曲线与的渐近线均为， 其中，渐近线即直线到直线的距离， 如图，∵在曲线上， ∴到直线的距离为， ∴， ∴若不等式恒成立，则， ∴使得恒成立的实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题解题的两个关键步骤：一是通过分类讨论，将曲线方程去绝对值；二是通过几何意义（点到直线距离），求出使不等式成立的实数的取值范围. 29．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、由距离求已知直线的平行线、双曲线定义的理解、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】分段讨论去绝对值判断出表示的图形，可得出表示的图形在和之间，利用平行线间距离公式即可求出. 【详解】实数满足， 当时，方程为，表示一段圆弧， 当时，方程为，表示双曲线的一部分， 当时，方程为，表示双曲线的一部分， 当时，方程为，不表示任何图形， 画出表示的图形， 可知双曲线的一条渐近线为，和平行， 设和平行且和圆在第一象限相切的直线为， 则由点到直线的距离可得，解得或（舍去） 可得表示的图形在和之间， 则和的距离为， 和的距离为， 则结合图形可得点到直线的距离的取值范围是. 故答案为：. 30．（22-23高二下·上海浦东新·期中）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似“伯努利双纽线”，在平面直角坐标系中，到两定点，的距离之积等于的点的轨迹C就是一条伯努利双纽线．已知点是双纽线C上的一点，下列说法中正确的序号是 ．    ①双纽线C关于x轴、y轴对称；     ②双纽线C上满足的点P有两个； ③；                 ④的最大值为． 【答案】①③④. 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】①利用对称性可判断，②通过解方程可得，③利用三角形面积建立方程进行求解即可，④利用向量长度和数量积关系及余弦定理进行转化求解即得. 【详解】设为双纽线C上任一点，则， 即. 对于①，用替换方程中，得， 则双纽线C于轴对称. 用替换方程中，得， 则双纽线C关于轴对称，故①正确. 对于②，若，则在轴上，故.此时， 得，即方程只有一解，则满足条件的点只有一个，故②错误. 对于③，由②可得可以为； 当时，三角形的面积为， 即，得； 综上可得，故③正确. 对于④，因为， 所以， 由余弦定理得， 即， 可得， 则， 所以，即的最大值为，故④正确. 故答案为：①③④.    【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把的长度进行转化，利用向量运算结合数量积的公式，及二次函数的最值求解. 31．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 【答案】 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线定义的理解、用定义求向量的数量积 【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可. 【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于， 可得，，， 又由双曲线定义可得， 则， 又，解得， 则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为. 又，可得， 化简得，即， 即是的平分线，由于，， 所以点是的内心，且半径为， 则， 又， 所以. 故答案为：. . 【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据条件式化简求得，即得是的平分线，再结合双曲线定义和内切圆的性质求得点是的内心. 32．（23-24高二下·上海·期中）已知曲线与曲线，且曲线和恰有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】曲线是以为端点的两条射线，然后分类讨论曲线为双曲线和椭圆的情况，数形结合求解实数m的取值范围即可. 【详解】曲线过定点， 曲线：， 故曲线是以为端点的两条射线：和，关于x轴对称. （1）当时，曲线为焦点在y轴的双曲线， 则曲线和在y轴左侧必有两个交点，渐近线为， 故当即时，曲线和在y轴右侧无交点，满足题意； （2）当时，曲线为圆或椭圆， 联立，消y得，. i.故当时，，椭圆和两条射线相切，恰有两个不同的交点； ii.当时，，曲线和没有交点； iii.当时，，两条射线的端点在椭圆外， 椭圆和两条射线均相交，曲线和有四个不同的交点； iv.当时，，两条射线的端点在圆上， 圆和两条射线均相交，此时曲线和有三个不同的交点； v.当时，，两条射线的端点在椭圆内， 此时曲线和有两个不同的交点. 综上，曲线和恰有两个不同的交点，实数m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：曲线交点个数问题，一般考虑数形结合，注意含绝对值的方程需要去绝对值进行分类讨论，然后结合曲线的形状进行分析即可. 33．（23-24高二下·上海·期中）已知是曲线上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离、求平面两点间的距离、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】利用点到直线距离公式及点到点的距离公式，将问题转化成，进而求出与，的夹角的正弦值，即可求出结果. 【详解】如图，直线为，作于，则， 是双曲线上的动点，双曲线的渐近线方程为， 所以的图象在直线图象的上方，得到， 又，所以， 设直线与的倾斜角分别为，易知， 则，所以， 设设直线的倾斜角分别为，易知， 则，所以， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用点到线和点到点的距离公式，将问题转化成，再求出双曲线的渐近线方程与直线的夹角的正弦值，即可解决问题. 34．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】分情况讨论可作曲线，再根据双曲线的渐近线，结合目标函数的几何意义及曲线的几何性质可得解. 【详解】因为实数，满足， 当，时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分； 当，时，方程为，图象不存在， 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是， 令，即直线与渐近线平行， 当最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切， 联立方程组， 可得， 当直线与椭圆相切时，则有， 解得， 又因为椭圆的图象只有第一象限的部分， 故， 当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值， 此时，则， 综上可得，的取值范围为， 所以的取值范围为， 即的取值范围是． 故答案为： 35．（23-24高二下·上海黄浦·期中）若曲线 与曲线 恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】给定方程的两条曲线都关于x轴对称，由此转化为曲线与射线有且只有一个公共点，联立它们的方程组只有一个解即可作答. 【详解】由题意知，，关于x轴对称， 曲线图像关于x轴对称， 两曲线恰有两个不同的交点等价于射线与曲线有一个公共点（不为射线端点）， 而射线与曲线有公共点， 即射线与曲线除点外再无其它公共点， 由，消去y，得， 则关于x的方程在上只有一个0根， 当时，满足要求； 当时，，解得或， 综上，或，即实数m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称. 36．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为 . 【答案】 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】首先去绝对值符号画出曲线C的图象，再分析可得的图象是的图象分别向上和向下平移k个单位得到的，通过数形结合的方式即可求得答案. 【详解】曲线C：， 曲线， 当时，曲线可作图如下：   ， 此时交点个数为3，即； 当时， 若，则曲线，相当于将向上平移了k个单位； 若，则曲线，相当于将向下平移了k个单位； 因此曲线是的图象分别向上和向下平移k个单位得到的， 当k在增大的过程中，图象变化如下： 如下图所示：   ， 此时； 如下图所示：   ， 此时； 如下图所示：    ， 此时； 故答案为：. 37．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是 . （1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）. 【答案】（2）（3）（4） 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】利用待定系数法求出参数，从而可以得到准线方程；再利用方程组思想得到的一元二次方程来判断是否相切；同理利用方程组和韦达定理，用坐标来表示各线段的长度，并转化到韦达定理上去，从而根据系数满足的范围去加以判断. 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得：， 所以抛物线的准线方程为：，故（1）错误. （2），所以直线的方程为：， 由可得，抛物线方程为：， 联立直线和抛物线方程可得：可得：， 因为， 所以方程有唯一解， 即直线与抛物线相切，故（2）正确. （3）， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 直线与抛物线只有1个交点，不合题意，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为：，， 联立可得：， 所以， ，故（3）正确. （4）， ，故（4）正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 38．（23-24高二下·上海·期中）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 . 【答案】20 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求椭圆的顶点坐标、求椭圆中的弦长 【分析】对椭圆顶点连线是等腰三角形的腰还是底，进行讨论即可求出结果. 【详解】因为椭圆的方程为，所以， ① 如图1连接，当为等腰三角形的底时， 作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； 同理当为等腰三角形的底时， 也可以各作出2个满足题意的等腰三角形； ② 如图2连接，当为等腰三角形的腰时， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立，解得或或， 即圆与椭圆交于，连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； 同理当为等腰三角形的腰时， 也可以各作出2个满足题意的等腰三角形； ③ 如图③，以为圆心，为半径作圆， 同理可以证明圆与椭圆交于， 连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； ④ 如图④，以为圆心，为半径作圆， 同理可以作出2个等腰三角形； ⑤因为由于椭圆性质知为椭圆最长弦，所以它不能为等腰三角形的腰； 综上所述满足题意的等腰三角形的个数有20个. 故答案为：20. 【点睛】方法点睛：多种情况的题目需要对情况进行详细讨论，做到不重不漏. 39．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线左右焦点分别为，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则 . 【答案】3 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、切线长、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积的公式，即可求解. 【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点，连接， 则，，，    由双曲线方程为，可得， 又为右支上的一动点，所以， 又， ，所以，所以， 由题意可知， 又， 所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合直线与圆相切的几何关系及双曲线的定义，进行线段长度的转化. 40．（23-24高二下·上海·期中）若曲线与恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是为 . 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】分别对曲线能表示的曲线类型进行分类讨论，再作出相对应的图象解不等式即可求得结果. 【详解】根据曲线方程可知与恒过定点和； 当表示圆时，此时，两曲线如下图所示： 显然，曲线与有三个不同的交点，不合题意； 当表示椭圆时，要使曲线与恰有两个不同的交点，如下图所示： 则需满足，解得； 当表示双曲线时，，双曲线的渐近线方程为， 要使曲线与恰有两个不同的交点，如下图所示： 需满足，解得； 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据两曲线方程得出它们恒过定点，再对曲线类型进行分类讨论，结合圆、椭圆、双曲线性质解不等式即可求得结果. 41．（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是 ． 【答案】①③ 【知识点】求椭圆中的最值问题、求椭圆的长轴、短轴、利用椭圆定义求方程 【分析】运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上，可得，即可判断④. 【详解】因为椭圆，点在椭圆上，所以， 又短轴的两个端点分别为、， 又因为， 所以点在以，为焦点，长轴长为的椭圆上，相应的椭圆的方程为， 将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确； 又点为椭圆与椭圆的交点， 因为椭圆的长轴顶点为 ，短轴长度小于， 椭圆的长轴顶点为，短轴长度小于， 所以两个椭圆的交点有个，即对应的点有4个，故②不正确； 因为椭圆与椭圆长轴确定，所以点靠近坐标轴时（或），越大， 点远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值， 此时两椭圆方程为：，， 两方程相加得，即的最小值为，故③正确； （或用代数法：联立，即， 即， 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为，即当的最小值为；） 椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上， ∴，故④错误． 故答案为：①③． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆． 四、解答题 42．（21-22高三下·上海宝山·期中）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为． (1)求实数，的值及助滑道曲线的长度． (2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）． 【答案】(1)，，助滑道曲线的长度为米 (2)米 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由标准方程确定圆心和半径、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）令，即可得到，，即可得到的几何意义，根据二次函数的性质得到，，即可求出、的值，从而求出曲线的长度； （2）由（1）可得的解析式，依题意可得，代入解析式中解出，即可求出点坐标，根据两点间的距离公式计算可得； 【详解】（1）解：因为，令，则，， 所以表示以为圆心，半径的圆弧， 因为由图象可知函数开口向下， 所以，又对称轴为，又， 所以当时，， 解得，所以， 即，，助滑道曲线的长度为米 （2）解：依题意可得，，， 由（1）可得， 令，即，解得，（舍去）； 所以，所以， 即该运动员飞行距离约为米； 43．（21-22高二下·上海杨浦·期中）我国计划发射火星探测器天问一号，该探测器的运行轨道是以火星（其半径百公里）的中心F为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点），A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里. (1)请求出天问一号运行轨道的椭圆标准方程； (2)假定该探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a､b分别为椭圆的长半轴､短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）. 【答案】(1) (2)187百公里 【知识点】求平面两点间的距离、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）设椭圆方程为：，由求解； （2）设变轨时，探测器位置为，由和求解. 【详解】（1）解：设椭圆方程为：， 由题意得， 解得，则， 所以椭圆方程为：； （2）设变轨时，探测器位置为， 则，又， 解得， 所以. 44．（21-22高三下·上海黄浦·期中）已知圆过点，且与直线相切． (1)求圆心的轨迹的方程； (2)为轨迹上的动点，为直线上的动点，求的最小值； (3)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为．问是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)过定点. 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线上一点到定直线的最值、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式，结合配方法进行求解即可； （3）根据直线斜率公式，结合直线方程进行求解即可. 【详解】（1）由题意得点到直线的距离等于到点的距离， 所以点是以为焦点，以为准线的抛物线， 焦点到准线的距离，所以点的轨迹方程为； （2）设，到直线的距离 ，所以的最小值为； （3）设，， 则直线的方程为， 因为过点，所以，所以． 因为与关于轴对称，故， 同理，直线的方程为， 因为，所以的方程为， 所以直线过定点． 【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键. 45．（21-22高二下·上海黄浦·期末）已知抛物线过点. (1)求抛物线的方程，并求其准线方程; (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度. 【答案】(1)，. (2) 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】（1）根据抛物线过得点可求得p的值，即可求得答案； （2）写出直线的方程，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，结合抛物线定义可求得抛物线弦长. 【详解】（1）抛物线过点，则， 故抛物线的方程为，其准线方程为. （2）抛物线的方程为，焦点为， 则直线的方程为， 联立，可得，， 设，则， 由抛物线定义可得， 故. 46．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线． (1)求曲线C的方程； (2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点； (3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)存在， 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）设，求得D点并代入，化简求得曲线C的方程； （2）设的方程为，直线的方程为，将直线的方程与曲线C的方程联立，求得M，N的坐标，对进行分类讨论，由此证得直线过定点并求得定点坐标； （3）假设存在点使得，先求得，设出G，H的坐标，由直线SH和直线SG的方程求得P，Q两点的坐标，结合G在曲线C上求得R点的坐标． 【详解】（1）设，，则， 由题意知，所以，得(，所以， 因为，得，故曲线C的方程为． （2）由题意可知，直线不平行坐标轴， 则可设的方程为：，此时直线的方程为． 由，消去得：， 解得：或(舍去)，所以， 所以，同理可得：． 当时，直线的斜率存在， ， 则直线的方程为， 所以直线过定点． 当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点， 综上所述：直线过定点． （3）假设存在点R使得，设， 因为，所以，即， 所以，所以， 直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称， 设， 易知点，直线方程是， 令得点P横坐标， 直线方程是，令得点Q横坐标， 由，得，又在椭圆上， 所以，所以，解得， 所以存在点，使得成立． 47．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）解：设直线交双曲线于点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左支有两个交点，则， 解得，故实数的取值范围是. （3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 设点、，因为为线段的中点，则， 将点、的坐标代入双曲线的方程可得， 作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，则， 因此，不存在满足题设条件的直线. 48．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值．    49．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为． (1)若三角形的面积为2，求点的坐标； (2)若，证明：直线过定点； (3)若，求满足的关系式． 【答案】(1)或 (2)直线过定点，证明见解析 (3) 【知识点】椭圆中向量共线比例问题、根据韦达定理求参数、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）设点，由椭圆方程得出，结合三角形的面积为2得出，代入椭圆方程得出，即可得出点的坐标； （2）设，联立椭圆与直线的方程，得出，结合及即可得出，即可证明； （3）由得出，代入，得出，两边平方，结合即可得出满足的关系式． 【详解】（1）设点， 由，得，所以， 所以，即，， 代入，则，即， 所以点的坐标为或． （2）设， 联立得，， ， 则， ，即， 所以，即直线过定点． （3）设， 由（1）（2）得，， ， 因为，所以，即， 代入，得， 则， 所以， 因为， 所以，整理得， 故满足的关系式为． 50．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论、求对应距离最小值及点到道路的距离. 【详解】（1）如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则，    由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. （2）由题意，令，，则 ，且， 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 51．（24-25高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线: 的焦点为，点 是抛物线上的一点.    (1)若 求点A的坐标； (2)已知是轴上的点，若线段的最小值为4，求实数的值； (3)如图，已知 点在抛物线上，满足 作 ，为垂足. 问：是否存在定点，使得为定值? 若存在，求出点坐标以及的值； 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，, 【知识点】数量积的坐标表示、抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据焦半径公式可得，即可代入抛物线方程中求解， （2）根据两点距离公式结合换元法可得，即可分类讨论求解最值， （3）根据向量垂直的坐标运算，代入韦达定理化简可得，即可求解直线 过定点，利用垂直可得. 【详解】（1）由抛物线的性质可知，，准线方程为. 所以，代入抛物线， （2）设 令，，对称轴为， 当，即，当时取最小值，， 当，即，当时取最小值，， （3）设， ，又 ， ， 令直线，联立 ，整理得 ， 且 则 代入（1）式得: 当时， 过定点与重合，不符; 当 时，过定点, 直线 过定点 又 ，故 在以 为直径的圆上， 而 中点为，即为定值. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 52．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【知识点】求平面轨迹方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）由题列方程组求出即可得解； （2）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系得出，根据中点坐标公式，求解即可得； （3）设，根据，得出，用与表示直线与椭圆的方程，求解即可得出和的值，从而求出点的坐标． 【详解】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为； （3）设， 则， 因为直线的斜率为2，设直线的方程为， 其中，且不过， 椭圆的方程可化为，即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， ，解得，代入， 解得：，所以， 所以存在点或，使得恒成立． 53．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知和为椭圆上两点． (1)求的离心率； (2)若过P的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程； (3)过OA中点的动直线与椭圆有两个交点，，试判断在y轴上是否存在点T使得，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】椭圆中向量点乘问题、求椭圆中的参数及范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）将点代入椭圆方程，解出、的值，再由椭圆中求出离心率即可； （2）根据已知条件，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论解出符合题意的直线方程即可； （3）根据已知条件设直线方程，与椭圆方程联立，设，，， 写出韦达定理，将转化为的函数，再根据函数值域得出点纵坐标的取值范围，再验证直线斜率不存在的情况，得到最终结果. 【详解】（1）依题意，，解得， 则离心率； （2） 由（1）可知，椭圆C的方程为， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，易知此时 点到直线的距离为，则，与已知矛盾； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 设， 联立， 消去整理可得， 则， 由弦长公式可得，， 整理得：， 点A到直线l的距离为， 则 解得或， 则直线l的方程为或； （3）若过中点的动直线的斜率存在， 则可设该直线方程为 设，，， 由，可得， 故， 且，， 而，， 故 因为恒成立， 故，即， 解得， 若过点的动直线的斜率不存在，则，， 此时需，两者结合可得 故这个点纵坐标的取值范围为. 54．（22-23高二上·上海宝山·期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程； (2)求△AOB面积的最小值； (3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)3x﹣2y﹣5＝0； (2)12； (3)证明见解析，定点（3，1）． 【知识点】由向量共线（平行）求参数、基本（均值）不等式的应用、由两条直线垂直求方程、直线过定点问题 【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点P即可求出直线方程； （2）设直线截距式方程为，代入点P得到，利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设A（a，0），B（0，b），利用得到a＝9，b＝6，再设E（m，2），F（n，0），根据四边形面积得到m+n＝6，代回直线EF方程，求出定点得解． 【详解】（1）由题设直线l：3x﹣2y+C＝0，将点（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，故直线l的方程为3x﹣2y﹣5＝0. （2）设直线l的方程为， 将点（3，2）代入得，则ab≥24， 则，当且仅当，结合，即a＝6，b＝4时等号成立， 故△AOB的面积最小值为12. （3）证明：点P分向量所成的比的值为2，即为， 设A（a，0），B（0，b），由P（3，2），， 即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2）， 可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3， 梯形AOMP的面积为，由题意可得梯形FOME的面积为6， 设E（m，2），F（n，0），可得，即m+n＝6， 由直线EF的方程为， 将n＝6﹣m代入上式可得， 由，解得x＝3，y＝1， 则直线EF经过定点（3，1）． 55．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)答案见解析； (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直、求平行线间的距离 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【详解】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 56．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知双曲线：，满足离心率为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若直线过点，且与双曲线右支交于，两点，求直线的斜率的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在以为直径的圆经过坐标原点﹖若存在，请求出此时的直线；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析. 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据离心率可得与的关系，结合双曲线过点，代入可得双曲线方程； （2）根据双曲线确定渐近线方程，进而确定与右支交于两点时的斜率范围； （3）若以为直径的圆经过坐标原点，则需满足，联立直线与双曲线方程，结合根与系数关系可判断. 【详解】（1）由已知双曲线离心率为，则，得， 所以双曲线方程为， 又双曲线过点， 则，解得，， 所以双曲线方程为； （2）设直线的方程为， 联立直线与双曲线，得， 则，解得：， 又双曲线的渐近线方程为，即渐近线斜率为， 所以当时，直线与双曲线只有一个交点，不成立； 当时，直线与双曲线左支有两个交点，不成立； 当时，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，不成立， 当时，直线与双曲线右支有两个公共点，成立； 综上所述，； （3）不存在，理由如下， 由（2）得，且直线与双曲线方程联立得， 设直线与双曲线的两个交点，， 则，， 且，， ， 所以与不垂直， 所以不存在以为直径的圆经过坐标原点. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 57．（21-22高三下·上海宝山·期中）设椭圆Γ：的左、右焦点分别为．直线l若与椭圆Γ只有一个公共点P，则称直线l为椭圆Γ的切线，P为切点． (1)若直线l：y＝x+2与椭圆相切，求椭圆的焦距； (2)求证：椭圆Γ上切点为的切线方程为； (3)记到直线l的距离为，到直线l的距离为，判断“”是“直线l与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的切线方程、求点到直线的距离、探求命题为真的充要条件 【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，消元，根据题意可得，求得a2即可得解. （2）分和两种情况讨论，当时，判断方程组有两个相同实数解作答. （3）根据（2）分别求出，，计算即可，再分和结合充分条件和必要条件的定义推理作答． 【详解】（1）由消去y并整理得，因为直线l：y＝x+2与椭圆相切， 于是得，解得，令椭圆半焦距为c，有， 所以椭圆的焦距. （2）当时，，显然直线与椭圆相切， 当时，由消去y并整理得：， 又，则，即， 因此，即直线l与椭圆Γ只有一个公共点，直线l与椭圆Γ相切， 所以椭圆Γ上切点为的切线方程为. （3）由（2）知，当直线l与椭圆Γ相切时，令切点为，则l的切线方程为， 而，则，， ， 反之，当时，直线l过原点时，令直线l方程为，， 若，则，因此当时，存在过原点的直线l，使得，显然此时直线l与椭圆不相切， 当时，因，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为， 有，， 于是得或，显然不成立，因此， 由消去x并整理得：，即， 于是得，即方程组有两个相同的解，直线l与椭圆Γ只有一个公共点，直线l与椭圆Γ相切. 所以当时，“”是“直线l与椭圆Γ相切”的充要条件； 当时，“”是“直线l与椭圆Γ相切”的必要不充分条件. 58．（23-24高二下·上海金山·期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上.过点的直线交椭圆于、两个不同的点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围； (3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】数量积的坐标表示、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由椭圆长轴长为6，可知，再代入点，即可求出椭圆方程； （2）直线与椭圆相交问题，要讨论直线斜率是否存在，若存在则可设直线方程为与椭圆联立方程组，可由韦达定理得根与系数关系，再由点在以线段为直径的圆的外部等价于，从而转化为根与系数的关系上来，即可求解； （3）由直线、分别交轴于点，此时点的坐标可以运用直线和的两点式方程求解并表示出来，从而利用向量的坐标运算把向量关系：，，转化为坐标关系：，，再利用韦达定理来求出与系数的关系，从而利用斜率的范围来求的范围. 【详解】（1）因为，所以； 又点在椭圆上，即，所以， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可得 ①当直线的斜率不存在时，此时直线就是轴，所以为椭圆的短轴端点， 即以线段为直径的圆交轴于， 此时点在以线段为直径的圆的外部，符合题意， 但此时，直线的斜率不存在. ②当直线的斜率存在时，设直线，设、， 由得， 由，解得或（i）， ， 又∵点在以线段为直径的圆的外部，则， 由 ， 解得或  （ii）， 由（i）、（ii）得实数的范围是或. （3）    设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知， 记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：， 令，解得，所以点S为；同理点T为， 所以，，， 由，，可得：，， 所以， 由、在直线上可代入得： ， 由（2）知：，，代入上式得， ， 即 综上可得：的范围是 59．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点 (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且． （i）设直线的方程为，求证：； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由题意知，求解可得双曲线的方程； （2）（i），联立，可得，由，可证结论； （ii）由（1）可得，利用换元法可求的取值范围，进而讨论当斜率不存在时，的长，可得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以双曲线的方程为； （2）（i）设的方程为， 联立，消去化简得，则， ，即且， ， ， 又，所以； （ii）由（1）知当l斜率存在时 ,可得， 令， 则且，或， ， 令， 则在时单调递减， 在时单调递增， 则， 即，， 当斜率不存在时， 设，，， 由， 此时， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题 第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程． 第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程． 第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0. 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出． 第五步：根据题设条件求解问题中的结论． 60．（23-24高三下·上海·期中）在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为. (1)若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求； (2)若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围； (3)若，过点的直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】小问1：使用点到直线的距离公式结合向量的数量积求解， 小问2：表示出三角形的面积，利用椭圆的标准方程代入消元求解出相应的变量的范围，进而求出的范围, 小问3：首先设直线的方程，再设，，利用条件结合韦达定理将的横坐标用斜率表示出来，再将代入直线方程，求出和斜率的关系，进而利用斜率,求出满足的直线方程，然后根据直线的斜率不存在时，， 由，解出，满足斜率存在时的直线方程，最后利用将军饮马的思路，求对称点求出的最小值. 【详解】（1）由已知，因为， 所以到直线的距离，所以，所以， 又因为，所以，； （2）当时，，则， 设，则，， 因为，所以，即，又因为，所以， 所以，所以，, 所以的范围是； （3）显然点在椭圆外，设，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立消去，化简得， 则 由， 得，所以或，由，可得， 解得， 消去可得， 当直线的斜率不存在时，， 由，可得满足方程， 所以点满足直线，且位于椭圆的内部，设关于直线的对称点为，则 ， 又，所以， 当在椭圆内部，满足要求，所以的最小值为． 【点睛】在第三小问中利用直线的斜率为“桥梁”求解出点满足的直线方程是解决这一问题的关键点. 61．（21-22高二下·上海杨浦·期中）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆相似.如图，椭圆、是两个相似的椭圆，椭圆的长半轴长是4，短半轴长是2，且的左､右焦点、都在椭圆上. (1)求、的方程； (2)在上是否存在点P满足，线段的中点在上，如有请求出P的坐标，否则请说明理由； (3)如图，若Q是上异于、的任意一点，直线与交于A､B两点，直线与交于D､E两点，求证：为定值. 【答案】(1)， (2)存在， (3)证明见解析 【知识点】求椭圆上点的坐标、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆的基本量求解即可； （2）设，进而得到，再分别代入对应的方程，联立求解即可； （3）先证明，再设的方程为，联立的方程，根据弦长公式可得关于的表达式，同理可得的表达式，再化简求得定值即可 【详解】（1）由题，，故，又，且、相似，故，故，故 （2）由题，，设，中点，故即，故，解得，，故 （3）设，则，又，故，故. 显然直线斜率不为0，设的方程为，， 联立得，故，又，又，故 ，故有，故，即为定值10 【点睛】本题主要考查了椭圆中设点，根据椭圆的方程化简求解的方法，同时也考查了椭圆中的定值问题，包括弦长公式等化简，属于难题 62．（21-22高二下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点 (1)求椭圆的方程 (2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由； (3)若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)存在定点，使得 (3) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据左顶点坐标、离心率和椭圆之间关系可直接求得结果； （2）设直线，与椭圆方程联立可求得点坐标，利用中点坐标公式可得点坐标；由方程可求得点坐标；设存在定点，利用可得，由数量积的坐标运算可整理得到，令可求得定点坐标； （3）设直线，与椭圆方程联立可求得点横坐标；根据平行关系可确定，整理可得，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）为椭圆的左顶点，， 又，，， 椭圆的方程为：. （2）设直线， 由得：， 设，则，解得：， ，即， 为的中点，； 令，解得：，； 假设存在定点，使得，则， ，整理可得：， 令，解得：，即， 存在定点，使得. （3）设直线，由得：，； ，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、定点问题和最值问题的求解；本题求解最值的关键是能够利用平行关系将所求式子转化为点横坐标之间的关系，进而将所求式子转化为关于斜率的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值. 63．（22-23高三上·上海普陀·期中）已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）由题意，代入已知点的坐标以及离心率的计算，结合，建立方程组，可得答案； （2）根据双曲线的对称性，设出点的坐标，利用斜率的计算公式，结合双曲线的方程，等量代换，可得答案； （3）由题意，分直线斜率存在与不存在两种情况，设直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案. 【详解】（1）由题意得，解得，则双曲线． （2）证明：设A点坐标为，则由对称性知B点坐标为． 设，则，由，得，所以． （3）存在．当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立． 综上，存在，使． 【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常用思路：联立直线与圆锥曲线方程，写出韦达定理，根据题目中其他条件，整理方程，解得参数的值或者参数之间的等量关系，解决问题，设直线方程时，要注意斜率是否存在. 64．（22-23高二上·上海杨浦·期中）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点. (1)求、的方程； (2)若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)求四边形面积的最小值. 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中的最值问题、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）由椭圆和双曲线的离心率公式可得出，由可求得、的值，即可得出椭圆和双曲线的方程； （2）设直线的方程为，设点、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，分析可知为线段的中点，可得出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出直线的方程； （3）求出，可得出直线的方程，求出、两点的坐标，求出、两点到直线的距离之和，可得出四边形的面积，进而可求得该四边形面积的最小值. 【详解】（1）解：由题意可得，，，则， ，，， 所以，椭圆的方程为，双曲线的方程为. （2）解：由（1）可知，因为直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设点、、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 则，，所以，点， 因为四边形为平行四边形，则为线段的中点，故点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，即， 解得， 因此，直线的方程为或. （3）解：由（2）可得， ，所以，直线的方程为， 联立可得，所以，， 不妨取点、， 所以点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 则， 所以，四边形的面积为 ， 故当时，四边形的面积取最小值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 65．（21-22高二下·上海奉贤·期中）中心在原点的椭圆的两个焦点是、，且、与椭圆短轴一个顶点构成边长为2的正三角形．直线与椭圆相切于点，过作直线的垂线与轴交于，直线与轴交于，点关于轴的对称点是． (1)求椭圆的方程； (2)求； (3)求证：、、、、、六点在同一个圆上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】椭圆的对称性、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据是正三角形可得到的等式即可求解； （2）联立椭圆与直线，根据相切可以得到，得到直线，继而算出，，即可求解； （3）通过可得到、都在以线段为直径的圆上，计算出可得到在以线段为直径的圆上，即可求证 【详解】（1）因为、与椭圆短轴一个顶点构成边长为2的正三角形， 所以，解得， 所以椭圆的方程为 （2）由得， 因为直线与椭圆相切，所以令，得， 设，由韦达定理得，所以，，即， 于是直线的方程为，令，得， 又，于是； （3）由于结合椭圆的对称性可得到，故、都在以线段为直径的圆上， 再取，由（2）中的和则， 所以，则在以线段为直径的圆上， 同理也在以线段为直径的圆上， 于是，、、、、、六点都在以为直径的圆上， 因而、、、、、六点在同一个圆上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 66．（22-23高二上·上海闵行·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点. (1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标； (2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率； (3)设的斜率为，且，求双曲线的离心率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的焦点坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果； （2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率． （3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的，即可得到、的关系，从而求出离心率． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 故双曲线的焦点坐标为． （2）解：双曲线，可得， 设，直线的斜率为：， 设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程， 消去得， 由直线与双曲线有两个交点，则且，即， 可得，则， 又， ，可得， 即， 将代入上式，可得， 得，可得， 解得，即的斜率为． （3）解：右焦点为，设直线的方程为，， 联立直线与双曲线的方程， 消去得：， ， ， 则， 由，得， 整理得，则， 即， 则， 整理得， 因为的斜率，所以，整理得， 则，，， 所以离心率. 67．（21-22高三上·上海浦东新·期中）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且. (1)求抛物线的方程； (2)设抛物线上的点在其准线上的射影分别为，若的面积是的面积的2倍，求线段中点的轨迹方程. (3)设过点的直线交抛物线于两点，斜率为的直线与直线轴依次交于点且，求直线在轴上截距的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线相交求直线方程 【分析】（1）根据抛物线的焦准距求解即可得抛物线方程； （2）直线与轴交点为，根据三角形的面积关系可知，根据直线的斜率列方程化简得出的中点的轨迹； （3）设，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线，的方程，联立各直线方程可求出，，，根据题设条件可得，从而可求的范围． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的焦点到准线的距离，故抛物线方程为； （2）解：如图所示，设直线与轴交点为，线段中点为 因为，所以，则可得 又，则 则可是设直线TS方程为，， 由得， 则，故 则中点，所以， 则，所以， 故线段中点的轨迹方程是. （3）解：设直线， 所以直线由题意得且. 由得，所以， 因为所以， 所以. 又直线，由得，同理 由得，所以， 整理得 ，所以. 令，则且， 所以， 所以，即， 解得或或， 故直线在轴上的截距的范围为. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，考查学生的综合能力，属于难题．解决本题的关键是利用联立直线的方程和抛物线的方程后的坐标关系得，确定直线，的方程，，联立各直线方程可求出，，，根据题设条件可得，从而可求的范围． 68．（22-23高三下·上海虹口·期中）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点. (1)求曲线的方程； (2)若，求直线的方程； (3)已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点. 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由条件，列方程化简可得曲线的方程； （2）先考虑直线的斜率为零时，是否满足要求，当斜率不为零时，设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法列方程求即可； （3）利用点斜式表示直线，的方程，分别与联立，求，的坐标，通过证明，证明结论. 【详解】（1）因为动点到点的距离和它到直线的距离之比等于， 所以    所以， 化简，得曲线的方程：. （2）过点的斜率为的直线方程为， 直线与椭圆的交点坐标为或， 因为，故，， 所以，， 所以，矛盾， 所以可设直线的方程为， 联立， 消，得， 方程的判别式， 设，， 于是，     ①    由，即，得    ②    ②代入①，解得，即. 所以，直线的方程为或； （3）因点，故，， 从而直线的方程为， 直线的方程为， 由，得. 由，得. 因为      将①代入上式，得 所以. 故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以为直径的圆经过点. 【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程， 然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 69．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的右顶点为，短轴长为是椭圆的两个焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知P是椭圆C上的点，且，求△的面积； (3)若过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于M、N两点，O为坐标原点.问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立.若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据题设易得，即可得椭圆标准方程； （2）令，则，在焦点△中应用余弦定理求参数m，进而求△的面积； （3）设直线l为且，联立椭圆，根据判别式可得且，应用韦达定理有，，令在轴上方且，假设存在则有，代入化简求，即可判断存在性. 【详解】（1）由右顶点为，短轴长为，则，故椭圆C的方程； （2）令，则，而，， 所以， 整理得，即，此时， 所以△的面积. （3）   由题设，可设直线l为且，联立椭圆方程， 整理得：，则， 所以，即且， 所以，， 若存在使恒成立，则， 由椭圆对称性，不妨令在轴上方且，显然， 所以，即， 所以，即， 综上，， 所以，存在使恒成立. 【点睛】关键点点睛：第三问，设直线并联立椭圆，根据交点情况有求斜率范围，再应用韦达定理、椭圆对称性并假设存在，得到为关键. 70．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知椭圆，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作拋物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别为、． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)计算的值； (3)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； 【答案】(1)抛物线的标准方程，准线方程为 (2) (3)证明见解析，直线过定点 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求抛物线的切线方程、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标，可得出抛物线的方程，进而可求得其准线方程； （2）设点，分析可知切线的斜率存在，设过点且与抛物线相切的直线方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由可得出关于的二次方程，利用根与系数的关系可求得的值； （3）证明抛物线在其上一点处的切线方程为，同理可得出切线的方程，将点的坐标代入两切线方程，可求出直线的方程，进而可求得直线所过定点的坐标. 【详解】（1）解：在椭圆中，，，则， 由题意可知，抛物线的焦点为， 设抛物线的方程为，则，可得， 所以，抛物线的方程为，其准线方程为. （2）解：设点，若切线斜率不存在，则切线为准线，不合乎题意， 所以切线的斜率存在，设过点且与抛物线相切的直线方程为， 若，则直线与抛物线不相切，故， 联立可得， 因为，则，可得， 由题意可知，、是关于的二次方程的两根，故. （3）解：设点、， 下面证明抛物线在其上一点处的切线方程为， 联立可得，即，即， 解得，所以，抛物线在其上一点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在其上一点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线、的方程可得，即， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 由可得，所以，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 71．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两个不同点、，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； (3)设、为椭圆的左、右顶点，为椭圆上除、外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算以及可求得的值； （3）计算出，设设直线的方程为，则直线的方程为，求出点的坐标，可求点线段的中点的坐标，可求得直线的方程，联立直线、的方程，可求得点的横坐标，由此可求得的值. 【详解】（1）解：因为，，所以，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）解：设、， 联立方程组，可得， , 则由韦达定理可得，，， 则， 又以线段为直径的圆经过原点，所以， 即，解得，满足， 因此，. （3）证明：由题意、， 设，，则，， 所以，， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立可得， 解得，，即点， 由中点坐标公式可得， 所以，直线的方程为， 联立直线和的方程可得， 所以，，所以线段的长为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 72．（22-23高二下·上海普陀·期中）17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.    (1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率为，证明：为定值； (3)过点作直线垂直于直线，在上任取一点，对于（2）中的两点，试证明：直线的斜率成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中的定值问题、利用椭圆定义求方程、等差中项的应用 【分析】（1）根据已知可得，即可得出轨迹为椭圆.根据已知求出，即可得出答案； （2）（ⅰ）当直线斜率存在时，设.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出坐标关系，表示出，整理化简，即可得出；（ⅱ）当直线斜率不存在时，根据对称性也可求出，即可得出证明； （3）设点坐标为，.（i）当直线斜率存在时，表示出，根据韦达定理化简整理可得；（ⅱ）当直线斜率不存在时，求出的坐标，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，， 又， 所以，点的轨迹为以，为焦点的椭圆. 设椭圆的方程为， 则，所以， ，，， 所以，点的轨迹方程为. （2）（ⅰ）当直线斜率存在时，      设， 联立直线与椭圆方程， 可得，显然， 设，， 则， 所以，. 由已知可得，，则，， 所以，， 即为定值； （ⅱ）当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图2， 显然，可得，即. 综上所述，为定值.    （3）由已知的方程为，设点坐标为，则. （i）当直线斜率存在时，    有，， ， 此时有； （ⅱ）当直线斜率不存在时，方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨设，， 则， 也有. 综上所述，， 根据等差中项的性质可知，直线的斜率成等差数列. 【点睛】思路点睛：小问（2）中，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立.然后与根据韦达定理，化简整理，即可得出证明. 73．（22-23高二下·上海黄浦·期中）如图：双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交y轴于点Q．    (1)当直线l平行于的一条渐近线时，求点到直线l的距离； (2)当直线l的斜率为1时，在的右支上是否存在点P，满足？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)2 (2)不存在，理由见解析 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）由点到直线的距离公式可直接求解； （2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点Q，再设出点的坐标，根据得出点的横、纵坐标之间的关系式，与双曲线联立消去，由韦达定理即可解答. 【详解】（1）双曲线，焦点在轴上，， 则双曲线左、右焦点分别为，，渐近线方程为， 当直线平行于的一条渐近线时，不妨令，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离为. （2）不存在，理由如下： 当直线l的斜率为1时，直线方程为，因此， 又，所以， 设的右支上的点，则， 由得， 又，联立消去得， 由韦达定理知，此方程无正根， 因此，在的右支上不存在点P，满足. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，解题关键是能够利用来构造等量关系，结合韦达定理得到结论. 74．（23-24高三上·上海松江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (3)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由焦点坐标、离心率首先确定的值，即可以先得到的值，利用平方关系即可求出的值，从而得解. （2）画出图形，若要证明直线的斜率与的斜率的乘积为定值，只需证明为定值，设直线方程为，将其与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式即可得证. （3）由题意先根据得到，进一步利用弦长公式、点到直线的距离公式得到面积的表达式，从而利用函数的观点即可得解. 【详解】（1）因为椭圆的左右焦点分别为、， 所以， 又因为， 所以， 从而椭圆的方程为. （2）如图所示： 设直线：， 联立，消去得， 所以， 由韦达定理有， 从而， 所以线段的中点的坐标为，即， 从而直线的斜率与的斜率的乘积为， 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值. （3）由（2）可知， 其中， 又直线：上有点， 所以 ， 若，则有，即， 所以，此时， 如图所示： 原点到的距离为， 而 ， 所以面积的表达式为 ， 不妨设， 因为， 所以， 所以， 由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以面积的取值范围. 75．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当椭圆，的离心率相等时，称曲线为“猫眼曲线”    (1)求椭圆的方程； (2)任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦AB的中点为M，交椭圆所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为、，试问：是否为与k无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； (3)若斜率为的直线l为椭圆的切线，且交椭圆于点A，B，N为椭圆上的任意一点（点N与点A，B不重合），求面积的最大值． 【答案】(1) (2)是与无关的定值， (3) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据两椭圆的离心率相等，即可求出，得出椭圆的方程； （2）利用点差法以及中点坐标公式即可求解； （3）根据相切，由判别式为0可得切线方程，利用三角换元，结合点到直线的距离公式求解最值，即可求解面积的最值，或者利用两平行线间距离，求解距离最大值即可. 【详解】（1）由椭圆：知，， 所以椭圆：的离心率， 解得， 所以椭圆：. （2）如图，    设斜率为的直线交椭圆于点， 线段中点为，则， 由，可得， 因为存在且，∴，，∴， 即，同理，∴； 故是与无关的定值； （3）如图，    设直线的方程为， 联立，得. ∵，∴，则， 根据椭圆的对称性，不妨取：，与椭圆联立，得 ，得， 设，，则， ， 于是需求椭圆上一点到直线：距离的最大值. 方法1：设，可得点到直线：的距离 ，其中， ∴，面积的最大值为 方法2：数形结合，求与平行，且与椭圆相切的距离最远的直线. 设与平行的直线与椭圆：相切，联立方程得： ，由，解得， 若距离最大，则对应的平行线方程取，两平行线间距离为， 从而面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：求三角形面积最大值问题，由于弦长确定，关键在于求曲线上动点到直线的距离的最大值，方法一，利用椭圆上点的三角函数坐标表示，点到直线的距离最值转化为求三角函数最值即可；方法二，求出与直线l平行且与椭圆相切的直线，转化为求两平行线间的距离即可. 76．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知直线与椭圆有且只有一个公共点. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）将直线方程和椭圆方程联立，利用求解即可； （2）假设存在实数，设，通过求出的范围，然后与椭圆联立，求出线段 的中点，代入直线 ，求出与的关系，进而可得大范围； （3）先求出对角线与中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时的，再求对角线与的斜率即存在，又不为零时的，对于这种情况，设，与椭圆联立，然后利用弦长公式求出，同理求出，通过计算求其范围，然后综合可得的最小值. 【详解】（1）联立，消去得 直线与椭圆有且只有一个公共点， ，解得 即椭圆的方程为； （2）假设存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称， 设， 联立，消去得， 则，解得， 由韦达定理得， ， ， ， 存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，且的取值范围是. （3）椭圆的左焦点为， 当对角线与中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时， ， 当对角线与的斜率即存在，又不为零时， 设， 则， 联立，消去得， 则， ， 同理：， 令， 则， 因为， ， 综合得，当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 77．（23-24高三上·上海·期中）双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； (3)设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，且 【知识点】求平面两点间的距离、过圆外一点的圆的切线方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由离心率为，可得，再由点在双曲线上可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）求出两条切线的方程，进而求出两切线与双曲线的交点坐标，结合两点间的距离公式可求得； （3）线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、三角形相似可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答. 【详解】（1）解：设双曲线的半焦距为，依题意，，即有，则， 因为点在双曲线上，则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线方程为， 联立，可得或，即点， 联立，可得或，即点， 因此，. （3）解：当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或， 由（1）及已知，得，则有， 当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为，设点、， 则有，即， 由消去得：， 显然， 由韦达定理可得，， 而，， 则 ， 因此， 在中，于点，则， 又因为，所以，， 所以，，则， 综上得为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 78．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆：，是其左顶点，过点且不与轴重合的直线与交于、两点. (1)若直线垂直于轴，求线段的长度； (2)若，且点在轴上方，求、两点的坐标； (3)设直线与轴交于点，直线与轴交于点，是否存在直线，使得的面积是的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)， (3)存在直线，使得的面积是的两倍，理由见详解. 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，求出方程组的解即可求距离； （2）由得到，与椭圆方程联立可求出点的坐标，由此得到直线的方程，与椭圆联立得到点的坐标； （3）设直线的方程为：，与椭圆联立，结合韦达定理和面积公式，分别求出的面积是的面积，根据题中给定关系，列方程即可求出直线的方程. 【详解】（1）当直线垂直于轴，直线的方程为， 由得或， 所以线段的长度为. （2）由题意，，设，， 因为，所以，    因为，， 所以，整理得，① 又因为，② 由①②且点在轴上方， 可得， 所以直线的方程为：， 由解得或，故. （3）存在直线，使得的面积是的两倍，理由如下：    由题意可设直线的方程为：，，， 由得， ， ，， 所以 ， 因为，所以直线方程为：， 令，则， 因为，所以直线方程为：， 令，则， 所以 ， 因为的面积是的两倍， 所以，解得， 所以直线的方程为：或. 【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线的题目，基本方法是直曲联立，化成关于横坐标或纵坐标的一元二次方程，结合韦达定理进行解答. 79．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】双曲线中向量点乘问题、根据离心率求双曲线的标准方程、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知； （2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出的值，则的大小可知； （3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为：； （2）因为，所以，且， 所以， 所以的大小为； （3）假设存在满足要求， 当的斜率不存在时，，由解得， 所以，所以不垂直，故不满足要求； 当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即， 设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以也不满足要求， 故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算. 80．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值； (3)设和的面积分别为、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理结合斜率公式分析可得； （3）利用韦达定理分析可得关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 由可得，解得， 由离心率可求出标准方程为 （2）由题意可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 且直线的斜率可以不存在，但不为0， 设直线的方程为，设点、， 联立方程，消去x可得， 由韦达定理可得，， 则， 可得 ， 即，所以的值. （3）由（2）可知：，， 所以 ， 因为，则， 因为函数在上单调递增， 故， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 81．（23-24高二下·上海·期中）已知曲线． (1)当时，若曲线交轴于、两点，为曲线上异于、的点，求直线、的斜率之积； (2)若直线与曲线交于、两点， ①当时，求面积的最大值； ②当实数为何值时，对任意，都有为定值？并求出的值． 【答案】(1) (2)①；②， 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）首先得到，两点坐标，设，则，再利用斜率公式计算可得； （2）①联立直线与椭圆方程，韦达定理求弦长，点到直线距离求高，进而求出三角形面积表达式，利用基本不等式求解最值即可； ②联立方程，韦达定理结合数量积的坐标运算得，利用系数成比例求出参数和定值即可. 【详解】（1）当时，曲线，则，， 设，则，即， 所以. （2）①当时，曲线，设， 则由可得， 此时恒成立， 则， ， 又到的距离为， 故的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； ②设，则由可得， 此时，则， ， 要使为定值，则需，即，此时， 当时，，满足，符合题意， 所以当时，，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 82．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左,右焦点分别为，下顶点为A，点M在直线上. (1)若，线段AM 的中点在x轴上，求M 的坐标； (2)若直线l与y轴交于B，直线AM 经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为 ，求b的值; (3)若，直线 l与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点，，点P到l的距离为d，且，当a变化时，求d的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的顶点坐标、根据a、b、c求椭圆标准方程、求点到直线的距离 【分析】（1）由题意及条件先得出椭圆方程，由AM的中点在x轴上先得出M纵坐标，再代入直线方程即可求得M； （2）分类讨论中哪个内角余弦值为，分别解三角形求得对应的值即可； （3）根据点到直线的距离公式化简得出，再根据三角函数的有界性得到关于的不等式，解不等式求出的取值范围即可求得d的最小值. 【详解】（1）由题意可得， 的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：A、M的纵坐标之和为0， 的纵坐标为，代入得：. （2） 由直线方程可知，由直线方程可知，故有如下两种情况： ①若，则，，即， . ②若，则， ， . 即， 综上或. （3）设，则由题意得， 显然椭圆在直线的左下方，则， 即， ， 得， 整理可得，解得， 又， 从而. 即d的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 83．（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K， P是曲线K上一点. (1)当时，求曲线K的轨迹方程; (2)已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B，C 两点，若且直线与直线交于Q点.求证: 为定值： (3)若且点 D，E在y轴上，的内切圆的方程为求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析，为定值a (3)8 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、利用抛物线定义求动点轨迹、求点到直线的距离、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用抛物线的定义即可判断动圆圆心轨迹形状，轨迹抛物线标准方程即可求曲线K的方程; （2）联立l方程和曲线K的方程消去y，根据韦达定理求出，联立直线与曲线K方程求出P，联立方程和求出Q，从而可求，代入即可得结果； （3）先求出曲线K的方程，点D，E在y轴上，设出D、E坐标，并求出，P点的横坐标即为的高，再求面积的最小值即可. 【详解】（1）当时，点， 由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离， 由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹为抛物线，点为焦点， 则曲线K的轨迹方程为. （2）由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离， 由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹为抛物线，点为焦点， 则曲线K的轨迹方程为. 设直线l的方程为，联立，化简得， 依题意，所以， 设，所以，，又， 所以， 因为，设直线的方程，联立，化简得， 所以，即，所以， 令，则，即，所以， 所以，故为定值a. （3）当时，点， 由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离， 由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹为抛物线，点为焦点， 则曲线K的轨迹方程为. 设，直线的方程为， 依题意圆心到的距离为1，即， 化简得， 同理可得， 所以是方程的两根， 所以，依题意，则， 又，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以面积的最小值8. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 84．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的交点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由； (3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)是定值， (3)证明见解析 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据题意，可得椭圆下顶点为，则，结合离心率求得，求得椭圆方程； （2）设，，过点的直线为，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值． （3）设直线的方程为，直线的方程为，分别与圆联立求得坐标，先证明当直线的斜率为时，直线过点，再验证当直线的斜率不为时，，即直线恒过定点. 【详解】（1）根据题意可得，，又，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设过点的直线为，，，易知， 联立，消去整理得，易得， 则，， 所以 . 所以直线与直线的斜率之积为定值.    （3）设直线的斜率为，直线的斜率为，，，且， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，消去整理得， 解得，， 同理可得，， 当直线的斜率为时，易知此时，解得，直线过点. 当直线的斜率不为时，，，所以， 所以直线过点， 综上，直线恒过定点. 【点睛】思路点睛：本题第二问，设过点的直线为，与椭圆方程联立得韦达定理，代入运算得解；第三问，设出直线，的方程分别于圆的方程联立求出点的坐标，先证明当直线的斜率为0时，直线过定点，再验证当直线的斜率不为0时，，即直线恒过定点. 85．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点. (1)求双曲线的方程； (2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积； (3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程. 【答案】(1) (2)144 (3)证明见解析， 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的弦长、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据顶点坐标和斜率可得方程； （2）利用弦长公式得出，结合垂直关系可得，利用可求斜率，进而可得三角形的面积； （3）设出的方程，结合垂直关系，得出过定点，进而可证结论. 【详解】（1）因为右顶点为，所以， 又因为过斜率为的直线与双曲线只有点这一个交点， 所以，即，所以方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设，则， 联立，， ，， 设，则， ， 利用代换可得， 由题意，， 整理得，， ，因为，所以，即， 此时，所以的面积为. （3）若直线的斜率为0，设，则，解得， 不妨设，则; 因为，所以，解得或（舍）. 若直线的斜率不为0，设，; ，， ，， ， ， ， ， 因为，所以，即， ， 整理得，即， 即或， 当时，过点，舍去； 当时，，此时过定点； 综上可知直线恒过定点. 因为，所以点一定在以为直径的圆上， 定圆的圆心为，半径为，所以方程为. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是等腰直角三角形条件的转化，利用垂直和相等得出弦长；二是第三问中在定圆上的问题转化为直线恒过定点的问题. 86．（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点、已知直线垂直求参数 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 87．（23-24高二下·上海·期中）已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设圆心的轨迹为 (1)求的方程 (2)若直线过点，且与交于两点 ①若直线与轴交于点，满足，试探究与的关系； ②过点分别作曲线的切线相交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②16 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）设，列出满足的方程即可； （2）①利用直线的斜率和，之间的关系求解即可； ②设点的坐标，联立方程，用韦达定理将的面积表示出来即可. 【详解】（1）设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧 因为圆与定直线相切，所以 又圆与圆内切 所以 所以，化简得，即的方程为 （2）①由题意得，直线的斜率一定存在， 故设直线的方程为 则，因为，所以， 解得 因为点在上，所以，即 所以 同理，由， 解得 因为点在上，所以，即，所以 由，得 因为，所以，即； ②由题意得直线的斜率一定不为0， 设直线的方程为 设直线的方程为， ，消去，得， 因为直线与抛物线有一个交点， ，解得， 直线的方程为 同理可得，直线的方程为 联立方程 联立方程 则弦长， 点到直线的距离为 因为函数随着的增加，面积也单调递增，则当时，取到最大值为16. 【点睛】关键点点睛：第二问②的关键是得出的表达式，由此即可顺利得解. 88．（23-24高二下·上海·期中）阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如椭圆的光学性质：（如图1）从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．在对该性质证明的过程中（如图2），他还特别用到了“角平分线性质定理”：，从而得到，而性质得证 根据上述材料回答以下问题 (1)如图3，已知椭圆的左右焦点分别为，一束光线从射出，经椭圆上点反射：处法线（与椭圆在处切线垂直的直线）与轴交于点，已知，求椭圆方程（直接写出结果） (2)已知椭圆，长轴长为，焦距为，若一条光线从左焦点射出，经过椭圆上点若干次反射，第一次回到左焦点所经过的路程为，求椭圆的离心率 (3)对于抛物线，猜想并证明其光线性质． 【答案】(1) (2) (3)光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求抛物线的切线方程 【分析】（1）由题意可得，，由光学性质可得，可求，进而可求,可求得椭圆的标准方程； （2）由已知可得光线经过的路程为，可求离心率； （3）设焦点，动点，设过点的切线方程为，联立方程组，消去，利用一元二次方程可求切线斜率为，求得入射光线的斜率，利用到两直线的夹角公式可得，计算可得结论. 【详解】（1）从椭圆的定义知，，则， 又，，所以， 由光学性质可知是的角平分线，所以， 即，所以得，从而 故椭圆的方程为. （2）由题意知光线经过的路程为，所以. （3）抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出， 设焦点，动点，设过点的切线方程为， 联立，消去得， 由直线为抛物线的切线， 故且，所以， 所以，所以，所以,所以， 过点的切线斜率为 则入射光线的斜率为，设反射光线的斜率为 则 则命题得证. 89．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点. (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长; (2)当且直线过点时，设，求证:为定值，并求出该值; (3)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值;并求此时面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆定义求解三角形周长； （2）联立与，得到两根之和两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积求出答案； （3）先由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，结合为定值得到，并求出此时，和点到直线的距离，利用基本不等式得到. 【详解】（1）当时，椭圆方程为，故且， 由椭圆定义可得，的周长为； （2） 时，椭圆方程为， 故联立与可得， 设，则， 因为直线过点，所以，即， 所以 因为，设，所以，， ，，又因为， 所以，所以，， 所以 ，所以为定值. （3）由题意得，解得， 椭圆方程，联立， 消元得， 当，即时， 设，则，， 又因为、在椭圆上，则，， 则 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，经检验，此时成立，所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法 （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 90．（23-24高二下·上海·期中）设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心. (1)求椭圆的方程； (2)求点到直线的距离的最大值； (3)判断的面积是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)为定值 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、求点到直线的距离 【分析】（1）根据已知列出关于的方程组，结合解出椭圆方程. （2）当直线斜率不存在时，易求得到直线的距离为.当直线斜率存在时设的方程，与椭圆联立，结合根与系数关系，重心坐标表示出的坐标，代入椭圆得到一个关系式，利用点到直线距离公式表示点到直线的距离并化简即可求解； （3）当直线斜率存在时，利用弦长公式化简计算表示出，结合（2）可得点到直线的距离为，对化简计算即可下结论. 【详解】（1）由题意得，整理得， 解得，所以椭圆的方程为； （2）当直线斜率不存在时，设，根据题意有. 因为原点是的重心，所以， 解得，. 将，代入，解得，所以由知或. 所以到直线的距离为. 即直线斜率不存在时，到直线的距离为. 当斜率存在时，设所在直线方程为，. 由，得， 且，即. 所以. 因为原点是的重心，所以， 所以，即. 将点代入椭圆方程得并整理可得， 所以点到直线的距离为 . 综上所述，当与轴垂直时点到直线的距离最大为； （3）的面积为定值，理由如下： 当直线斜率存在时，由（2）知， 且点到直线的距离为， ， 所以的面积为； 当直线斜率不存在时，由（2）知 的面积为. 综上，的面积为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 91．（23-24高二下·上海·期中）已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的两点. (1)当且的斜率为1时，求； (2)当时，求的取值范围； (3)是否存在实数，使得对于任意的直线、都不是直角三角形.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆中的参数及范围、求椭圆中的弦长、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由题意，利用与椭圆联立得两点坐标，再求的值，即可求解； （2）设出直线方程，与椭圆联立列韦达定理，坐标化，代入，，，得到关于的式子，即可求解. （3）设直线的方程为，联立方程组得到，结合不成立，得出方程无解，进而求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由椭圆，可得，则，所以， 当时，直线， 联立方程组，解得，，则. （2）解：当斜率为时，由，，可得， 当斜率不存在时，由，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 且， 由， 则 ， 令，可得且，则， 综上可得，的取值范围为. （3）解：设直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则， 且， 设， 因为，， 所以 ， 要使得都不是直角三角形，只需不成立， 即方程无解，即无解， 所以，解得， 又因为，所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 92．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆：的左右焦点为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的点． (1)求的周长； (2)若过的直线与椭圆交于、两点，且，求的值； (3)若直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2) (3)相切，证明见解析 【知识点】判断直线与圆的位置关系、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可； （2）设，由可得，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理求解即可； （3）设，进而根据求得直线方程，结合直线交直线于点可得坐标，从而可得中点坐标，再根据到直线的距离等于即可判断. 【详解】（1）由题意椭圆中，则的周长为 （2）设，由可得， 联立有， 则，，. 又，可得，， 即，解得.    （3）设，，则由共线可得，即，故，则中点. 显然斜率不为0，，设直线方程，则，即， 故直线方程，即. 则到直线的距离. 又，故，则 ， 即到直线的距离等于，故以为直径的圆与直线相切.    【点睛】方法点睛： （1）直线与圆的位置关系，可根据圆心到直线的距离与半径的关系判断； （2）当椭圆上仅有一个动点时，可考虑设点坐标，根据点坐标将题意转化为表达式，最后代入动点满足的方程化简. 93．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”． (1)求椭圆的离心率； (2)直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程； (3)已知点，，证明：过点存在与的“等弦线”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】零点存在性定理的应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）根据椭圆性质，求出离心率的值． （2）讨论①直线方程斜率不存在时，②直线方程斜率存在时，设斜率为，写出直线方程，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，令，求解即可． （3）讨论①直线为时，②设直线方程为时，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，由，得出等式，将联立结果代入，化简求解，即可证明命题成立． 【详解】（1）根据椭圆性质知，，，所以离心率为． （2）如图： ①直线方程斜率不存在时，直线与抛物线有且仅有1公共点，显然不合题意． ②直线方程斜率存在时，斜率设为，直线方程为．联立方程，消去可得，解得，． 联立方程，消去可得，解得，． 当时，即，等价于，代入联立结果得，解得，（舍去），即． 综上所述，直线方程为. （3）如图： ①直线为 时，与抛物线有且仅有一个交点，不合题意，舍去． ②设直线方程为，联立方程，消去可得，当△时，． 由根与系数的关系可得，，所以， 联立方程，消去可得， 此时必有两个交点，由根与系数的关系可得，， 所以． 如果存在等弦线使得，等价于，化简可得， 将联立结果代入可得， 换元，令，代入上式可得． 由于，化简得到． 题目等弦线存在性证明，等价于证明：对任意，在 上有解． 令，则， 令，由于且， 所以对任意，有，即； 由于， 所以． 根据零点存在定理，一定存在，使得． 综上所述，对任意，在上有解，命题得证． 【点睛】方法点睛：在分析直线与圆锥曲线的位置关系时，首先要设直线的方程，此时往往需要分类讨论. （1）按直线是否有斜率分类，可设直线方程为：或. （2）按直线是否与轴平行，可设直线为或. 94．（23-24高三上·上海·期中）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，理由见解析 【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的参数及范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算； （2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可； （3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值. 【详解】（1）由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； （2）由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 所以 （3）法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可. 95．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为， (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中的定值问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）由离心率及所过点求椭圆方程； （2）设点，且，得，点差法及斜率两点式求，即可证； （3）设弦的中点，点重心,，联立直线与椭圆，应用韦达定理及重心坐标性质得坐标与m的表达式，代入椭圆求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）由已知，得，解得，则椭圆的方程为； （2）依题意，可设点，且，    点关于原点的对称点为， 点在上，，作差得， 直线的斜率为，直线的斜率为， ，即为定值； （3）设弦的中点，点重心,，    由，得， ，且， 的重心在轴上，， ， 则， 在上的投影向量相等，则，且， 则直线的方程为， ，得，又点在上， ，即 又，则直线的方程为 96．（22-23高二下·上海虹口·期中）有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？    【答案】, 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】由已知及直线的斜截式方程求、坐标，再由三角形面积公式写出△的面积S，并指出k的取值范围 由面积S的解析式构造函数，并研究函数的单调性，进而求S的最值． 【详解】依题意，直线MN过点且斜率存在，则MN的方程为， ，， 直线OA的方程为，直线AB的方程为， 由知：且，可得或， 由知：且，可得， ，故，， ， ∴，且. 设，， 当时，， ∵， ，，，则，即， 在是增函数， 当时，，即时，． 【点睛】关键点点睛：应用直线的斜截式方程及三角形面积公式写出面积S及k的范围，利用函数的单调性求S的最值. 97．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为.椭圆上有互异的且不在轴上的三点满足直线经过，直线经过. (1)若椭圆的长轴长为4，离心率为，求的值； (2)若点的坐标为的面积，求的值； (3)若，直线经过点，求的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求得的值，结合，即可求解； （2）由的坐标为，设，根据三角形的面积列出关于的方程，求得的值，进而求得的值； （3）设，得到，根据直线经过，直线经过，直线经过，列出的关系式，得到是方程的两个互异实根，得到， 同理可得和，从而求得，进而求得点的坐标. 【详解】（1）解：由椭圆的长轴长为，离心率为， 可得且，所以，所以. （2）解：设，点的坐标为，故，由，所以， 设直线的方程为，联立方程组， 整理得，解得或， 所以的面积， 整理得. 即 因为，可得， 因为，可得， 所以， 所以 所以，解得，所以. （3）解：由，可得椭圆且， 设，可得 因为直线经过，直线经过，直线经过， 可得，即，即， 故是方程的两个互异实根， 根据韦达定理易知，    ① 故是方程的两个互异实根， 根据韦达定理易知，  ② 故是方程的两个互异实根， 根据韦达定理易知，  ③ 将②､③代入①可得， 化简得，解得或（舍去） 故，此时 当时，；当时， 综上所述，的坐标为或. 【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的综合问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 98．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. (1)若点M的坐标为，求的面积； (2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； (3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析，0； (3)，圆M的方程为或. 【知识点】求椭圆中的参数及范围、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】（1）将点代入求出，再求出左、右焦点即可求解. （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解. （3）设出直线:，直线:，利用点到直线的距离公式可得、是关于的方程的两实根，根据题意为定值，可得，，设，，将直线:，直线:与椭圆联立，求出，即求. 【详解】（1）由已知条件得，因为，则，又， 因此的面积为. （2）设，由，得， ，又，， ， 于是 ， 即为定值. （3）因为直线:与相切，则，即， 同理，由直线:与相切，可得， 于是、是关于的方程的两实根， 注意到，且，故， 因为定值，故不妨设（定值）， 于是有，即. 依题意可知，变化，而、均为定值，即有，解得，， 设，，由得，同理， 所以 ，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以的范围为， 当或时，直线关于坐标轴对称，此时圆心M为椭圆顶点， 所以圆M的方程为或. 【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 99．（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，为上的动点. (1)若，设点的横坐标为，试用解析式将表示成的函数； (2)过点的直线与的另一个交点为，为关于轴的对称点，直线与轴交于点，求关于的表达式； (3)试根据的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数. 【答案】(1). (2)； (3)答案见解析； 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆的焦半径与焦点弦问题 【分析】（1）设，写出椭圆的方程及的坐标，利用两点间的距离公式求出的表达式，点P坐标代入椭圆方程用表示出，即可进一步将表示成的函数； （2）设点、的坐标为、,联立写出韦达定理，利用可得的关系. （3）根据椭圆的对称性，只需讨论和两种情况，分类讨论可求结果. 【详解】（1）设，其中，，由得左焦点， 则； （2） 设点、的坐标为、， 由得， 于是， 由题意，的坐标为,因为、、三点共线，所以，即， 将和代入并整理,得， 即，即， 将代入得， 于是. （3）设,于是,，且， 当或或时,为等腰三角形， 根据椭圆的对称性，只需讨论和两种情况， 此时，当等腰三角形的顶角为锐角时即为等腰锐角三角形， (1)若且为锐角，如图1：在中，，则有，即，解得， 由对称性知当时，如图2：以为腰的等腰锐角三角形有2个， (2)若且为锐角， 如图3：首先大于的最小值， ∵的最小值为，于是由得即， 又∵为锐角，， 于是，即，整理得， 解得，结合，解得， 又，所以， 由对称性知当时，如图4：以为腰的等腰锐角三角形的点的个数为4个， 综上:当时，只有以为腰的等腰锐角三角形，满足这样的点的个数共有4个，如图4. 当时，以为腰的等腰锐角三角形的点的个数为4个，以的等腰锐角三角形有2个，满足这样的点共有6个，图2与图4合并. 当时，以为腰的等腰锐角三角形有2个，满足这样的点的个数共有2个,如图2. 【点睛】关键点点睛：满足为等腰锐角三角形的个数，以哪两个边为腰进行分类讨论，找出临界情况是解题关键，从临界值向两边分类，统计满足条件的三角形的总个数. 100．（23-24高二下·上海·期中）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：的交点的纵坐标为定值； (3)求直线围成的三角形面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由椭圆的性质结合蒙日圆的性质解出即可； （2）设直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，再用点斜式表示出直线，直线，最后用韦达定理化简即可； （3）设直线与直线，的交点分别为，，联立与，解出，再用弦长公式表示出，和点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，最后表示出三角形面积公式，设，结合二次函数的性质求出最值即可. 【详解】（1）根据题意，蒙日圆的半径为，所以． 因为，可知，则， 所以椭圆E的标准方程为， （2）因为直线过点，可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交， 可设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则， 由根与系数的关系可得：， 因为，，可得直线，直线， 所以 ． 即，解得， 所以直线，的交点P在直线上． （3）设直线与直线，的交点分别为，， 则由（1）可知：直线，直线． 联立方程， 解得，， 因为， 又因为点到直线的距离， 可得，只需求的最小值． 由弦长公式可得 ． 令，则． 可得 ， 当且仅当，即时等号成立． 即的最小值为，可得面积的最小值为． 故直线，，围成的三角形面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：在求椭圆内三角形或四边形面积的最值时，通常用弦长公式表示出底边长，用点到直线的距离公式表示出高，再用换元法结合二次函数或基本不等式求最值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$