专题05 平行线的特殊题型（4题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（陕西专用）

专题05 平行线的特殊题型 题型概览 题型01平行线模型——猪蹄模型 题型02平行线模型——铅笔模型 题型03平行线模型——数字模型 题型04平行线的翻折问题 ( 题型01 ) 平行线模型——猪蹄模型 1. （2024春•新城区校级期中）如图，三角板的顶点，分别落在一组平行线与上，已知，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”，推出，结合三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：三角板的顶点，分别落在一组平行线与上，， ， ， 又， ， ． 故选：． 2. （2024春•扶风县期中）【基础巩固】 （1）如图1，，平分，平分，试说明； 【尝试探究】 （2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角． ①若，求的度数； ②试说明：． 【拓展提高】 （3）如图3，若，，平分，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义求解即可； （2）①根据垂直的定义推出，再根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可；②根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可； （3）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，利用垂直的定义可得，继而可得，代入化简即可． 【解答】解：（1）， ， 平分，平分， ，， ； （2）①， ， ，， ， ， ， ， 平分， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 3. （2024春•西安期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，点是、之间另外一点，且平分，平分． ①若，求的度数； ②如图3，在的下方有一点，平分，平分，求 的度数． 【分析】（1）过点作，则，再根据平行得出，进而得出答案； （2）①分别过点、作，，根据平行线的性质与判定以及角平分线的定义，可得，进而得出答案； ②分别过点，作，，过点作，根据平行线的性质与判定以及角平分线的定义，可得，由（1）可得，即可求解． 【解答】解：（1）过点作， ， ， ， ， ， ． 故答案为：70． （2）①如图，分别过点、作，， ， ．， ，， ，， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ． ②如图，分别过点，作，，过点作， ， ， ，，，， ， ， 平分，平分， ，， ， ，平分，平分， ，， 设， ，， ， ，， 设， ， ， ， ． ( 题型02 ) 平行线模型——铅笔模型 1. （2024春•雁塔区校级期中）如图，，则　　． 【分析】过作，利用平行线的性质可得，，进而可得答案． 【解答】解：过作， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 2. （2024春•澄城县期中）问题情境：如图①，直线，点，分别在直线，上． 猜想：（1）若，，试猜想　 　； 探究：（2）在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； 拓展：（3）将图①变为图②，若，，求的度数． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质即可求解； （3）过点作，结合（2）再根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：（1）如图①，过点作， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：80； （2），理由如下： 如图①，过点作， ， ， ，， ，， ； （3）如图②，过点作， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ． 3. （2024春•榆林期中）【问题情境】 （1）如图①，，，，求度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求的度数．按小明的思路，直接写出的度数为 　　； 【问题迁移】 （2）如图②，，点在射线上运动，记，，当点在点和点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在点和点两点外侧运动时（点与点，，三点不重合），请写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质求出与，两者相加即可得到的度数； （2）过点作，利用平行线的性质推导出即可； （3）分三种情况讨论，过点作，利用平行线性质和外角性质分别推导出．当点在店左侧时，利用外角性质和平行线性质推出即可． 【解答】解：（1）如图，过点作， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； （2）．理由如下： 如图②，过点作交于点， 因为，所以． 所以，． 所以． （3）如图②．当在的延长线上时，． 理由如下： 过点作交于点， 因为，所以． 所以，． 所以． 如图②，当在延长线上时，． 理由如下： 过点作交于点， 因为，所以． 所以，． 所以． 如图②， ， ， ， 综上分析，点在点和点两点外侧运动时，与，之间的数量关系为：或． ( 题型03 ) 平行线模型——数字模型 1. （2024春•三原县期中）如图，某江水流向经过，，三点拐弯后与原来相同，若，，则　　． 【分析】由某江水流向经过，，三点拐弯后与原来相同，得，过点作，则，由平行线的性质可得，，所以能求出，继而求出，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：过点作， 某江水流向经过，，三点拐弯后与原来相同， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2. （2024春•西安期中）【问题背景】 如图，已知，点在，之间，连接，． 【问题发现】（1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【研究拓展】（2）如图2，平分，平分，延长交于点，，设，过点作，交于点． ①若，求的度数； ②求与的数量关系． 【分析】（1）过点作，由平行线的性质可得，从而有，，从而可求的度数； （2）①由平行线的性质可得，过点作，由平行线的性质可得，然后根据平行线的性质可得答案； ②把的度数换为，同①可得，然后利用三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：（1）过点作， ， ， ， ， ； （2）①过点作，交于点， ，且， ，， 平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ； ②，， ，， 平分， ， ， ，， ， 平分， ， ． 3. （2024春•兴平市期中）已知，点在射线上． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，设，，，猜想，，的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）过点作，根据两直线平行同旁内角互补求出的度数，从而求出，利用两直线平行内错角相等得出结果即可； （2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补求出的度数，从而求出，利用两直线平行内错角相等得出结果即可． 【解答】解：（1）如图，过点作， 则， ， ， ， ，， ， ； （2）如图，过点作， 则， ， ， ， ，， ， ， ． ( 题型0 4 ) 平行线的翻折问题 1. （2023春•兴平市校级期中）在如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边，互相平行的是　　 A．如图1，展开后测得 B．如图3，测得 C．如图2，展开后测得且 D．在图4，展开后测得 【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答． 【解答】解：、当时，，故此选项不符合题意； 、不能判定，互相平行，故此选项符合题意； 、由且可得，，故此选项不符合题意； 、由可知，故此选项不符合题意； 故选：． 2. （2023秋•临渭区期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由在正方形中可求出，从而得到，由折叠可得，再根据正方形中，求得． 【解答】解：在正方形中，， ， 由折叠可得， 在正方形中，， ． 故选：． 3. （2024春•榆阳区期中）如图，将长方形纸片沿翻折，点、分别落在、的位置，若；则的度数为 　 　 ． 【分析】先由平角的定义得到，再由折叠的性质得到，进而得到，求出，则由平行线的性质可得． 【解答】解；， ， 由折叠的性质可得， ，， ， ， ， ， 故答案为：156． 1. （2024春•新城区期中）如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由平行线的性质可求得，从而可求的度数． 【解答】解：如图， ，， ， ， ． 故选：． 2. （2023春•雁塔区校级期中）如图，四边形为一长条形纸带，，将纸带沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为　　 【分析】由题意，设，易证，构建方程即可解决问题． 【解答】解：由翻折的性质可知：， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 3. （2024春•西安期中）如图，，，平分，平分，则　　． 【分析】首先过点作，过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由，即可求得，又由平分，平分，根据角平分线的性质，即可求得的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得的度数． 【解答】解：过点作，过点作， ， ， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，， ． 故答案为 4. （2024春•永寿县期中）如图是一款长臂折叠护眼灯的示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 　 　． 【分析】过点作，过点作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可． 【解答】解：过点作，过点作，则， ，，，， ，，， ，，， ， ， ， 故答案为：． 5. （2024春•蒲城县期中）已知，，点为上方一点，、为上两点，连接、，分别交于、两点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为上一点，连接，作垂足为，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的度数． 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可； （3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可； 【解答】（1）证明：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）， ， ， ， ， ，， ， ， 作， ，， ． 6. （2024春•永寿县期中）【学科融合】 物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【理解运用】 （1）如图1，展示了光线反射定律，是镜面的垂线，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与垂线所夹的锐角．则 　　（填“”“ “或“ “； 【尝试探究】 （2）学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，、是平行放置的两面平面镜，入射光线经过两次反射后，得到的反射光线，已知，，请问进人潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是否平行，说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，、是两平面镜，入射光线经过两次反射后，反射光线与入射光线平行但方向相反已知，，求的度数． 【分析】理解运用由题意知，，由，，，可求； 尝试探究由题意知，，则，，由题意知，，，可得，进而可证； 拓展应用由，可得，由，，可得，进而可求． 【解答】解：理解运用解：由题意知，， ，，， ， 故答案为：； 尝试探究解：平行，理由如下； 由题意知，， ， ，， ， 由题意知，，， ， ； 拓展应用解：， ， ，， ， 整理得，， 的度数为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线的特殊题型 题型概览 题型01平行线模型——猪蹄模型 题型02平行线模型——铅笔模型 题型03平行线模型——数字模型 题型04平行线的翻折问题 ( 题型01 ) 平行线模型——猪蹄模型 1. （2024春•新城区校级期中）如图，三角板的顶点，分别落在一组平行线与上，已知，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2024春•扶风县期中）【基础巩固】 （1）如图1，，平分，平分，试说明； 【尝试探究】 （2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角． ①若，求的度数； ②试说明：． 【拓展提高】 （3）如图3，若，，平分，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 3. （2024春•西安期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，点是、之间另外一点，且平分，平分． ①若，求的度数； ②如图3，在的下方有一点，平分，平分，求 的度数． ( 题型02 ) 平行线模型——铅笔模型 1. （2024春•雁塔区校级期中）如图，，则　　． 2. （2024春•澄城县期中）问题情境：如图①，直线，点，分别在直线，上． 猜想：（1）若，，试猜想　 　； 探究：（2）在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； 拓展：（3）将图①变为图②，若，，求的度数． 3. （2024春•榆林期中）【问题情境】 （1）如图①，，，，求度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求的度数．按小明的思路，直接写出的度数为 　　； 【问题迁移】 （2）如图②，，点在射线上运动，记，，当点在点和点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在点和点两点外侧运动时（点与点，，三点不重合），请写出与，之间的数量关系，并说明理由． ( 题型03 ) 平行线模型——数字模型 1. （2024春•三原县期中）如图，某江水流向经过，，三点拐弯后与原来相同，若，，则　　． 2. （2024春•西安期中）【问题背景】 如图，已知，点在，之间，连接，． 【问题发现】（1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【研究拓展】（2）如图2，平分，平分，延长交于点，，设，过点作，交于点． ①若，求的度数； ②求与的数量关系． 3. （2024春•兴平市期中）已知，点在射线上． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，设，，，猜想，，的数量关系，并说明理由． ( 题型0 4 ) 平行线的翻折问题 1. （2023春•兴平市校级期中）在如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边，互相平行的是　　 A．如图1，展开后测得 B．如图3，测得 C．如图2，展开后测得且 D．在图4，展开后测得 2. （2023秋•临渭区期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3. （2024春•榆阳区期中）如图，将长方形纸片沿翻折，点、分别落在、的位置，若；则的度数为 　 　 ． 1. （2024春•新城区期中）如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2023春•雁塔区校级期中）如图，四边形为一长条形纸带，，将纸带沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为　　 3. （2024春•西安期中）如图，，，平分，平分，则　　． 4. （2024春•永寿县期中）如图是一款长臂折叠护眼灯的示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 　 　． 5. （2024春•蒲城县期中）已知，，点为上方一点，、为上两点，连接、，分别交于、两点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为上一点，连接，作垂足为，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的度数． 6. （2024春•永寿县期中）【学科融合】 物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【理解运用】 （1）如图1，展示了光线反射定律，是镜面的垂线，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与垂线所夹的锐角．则 　　（填“”“ “或“ “； 【尝试探究】 （2）学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，、是平行放置的两面平面镜，入射光线经过两次反射后，得到的反射光线，已知，，请问进人潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是否平行，说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，、是两平面镜，入射光线经过两次反射后，反射光线与入射光线平行但方向相反已知，，求的度数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$