专题02 直角三角形（9题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（陕西专用）

专题02 直角三角形 题型概览 题型01含30°的直角三角形 题型02直角三角形全等的判定 题型03直角三角形的性质 题型04勾股定理 题型05 勾股定理的证明 题型06 勾股定理的逆定理 题型07 勾股定理的折叠问题 题型08 勾股定理的规律问题 题型09 命题 ( 题型01 ) 含30°的直角三角形 1. （2024春•碑林区校级期中）如图，在△中，，，．则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 2. （2024春•凤翔区期中）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为　　 A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 3. （2024秋•汉滨区校级期中）如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长度为　　 A．9 B．8 C．6 D．7 4. （2024秋•碑林区校级期中）如图所示，△与△均为直角三角形，其中，，，点在边上，，请判断两条斜边与的位置关系并证明． ( 题型02 ) 直角三角形全等的判定 1. （2024春•渭南期中）如图，已知在△和△中，，，，若用“”判定△△，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 2. （2024春•永寿县期中）如图，点，在线段上，，于点，于点，要根据“”证明△△，则还需添加的一个条件是　　 A． B． C． D． 3. （2024春•碑林区校级期中）如图，，，垂足分别为、，、相交于点．如果，那么图中全等的直角三角形的对数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4. （2024春•榆阳区期中）如图，△中，于，要使△△，若根据“”判定，还需要加条件 　 　． ( 题型03 ) 直角三角形的性质 5. （2023春•阎良区校级期中）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有 　 　． 6. （2023春•雁塔区校级期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值．这个定值为 　　． 7. （2023春•雁塔区校级期中）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角大，则较小的锐角的度数是 　 　． ( 题型04 ) 勾股定理 1. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，在△中，，若，，则的长是　　 A．1 B． C．2 D． 2. （2024秋•宝鸡期中）如图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 3. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，在△中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是　　 A．12 B．8 C．6 D．4 4. （2024秋•灞桥区校级期中）如图，根据图中标注在点所表示的数为 　 　． 5. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中最大正方形边长为1．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为 　 　． ( 题型0 5 ) 勾股定理的证明 1. （2024秋•商洛期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 2. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图．连接，分别交、于点，，连接．已知，且，则图中阴影部分的面积之和为　　 A． B． C． D． 3. （2024秋•秦都区校级期中）如图①，第24届国际数学家大会的会徽是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图②所示的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为65，直角三角形较短直角边的长为4，则中间小正方形的面积为 　 　． 4. （2024秋•兴平市期中）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，若正方形，正方形的边长分别为28，4，且，则正方形的边长　 　． ( 题型0 6 ) 勾股定理的逆定理 1. （2024秋•雁塔区校级期中）下列条件中，不能判断△是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 2. （2024秋•西安期中）下列条件中，不能判断△为直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 3. （2024春•志丹县期中）由线段，，组成的三角形是直角三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， ( 题型0 7 ) 勾股定理的折叠问题 1. （2024秋•鄠邑区期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为　　 A． B． C． D． 2. （2024秋•凤翔区期中）如图，在四边形中，，，△与△关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为　　 A．3 B． C．5 D． 3. （2024春•新城区校级期中）如图，在△中，，点在边上，将△沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则度数为 　 　 ． ( 题型0 8 ) 勾股定理的规律问题 1. （2024秋•碑林区校级期中）如图，在△中，，边上有80个不同的点．，（异于，两点），记，，，则的值是　　 A． B．320 C． D．240 2. （2024秋•金台区期中）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 　 　． ( 题型0 9 ) 命题 1. （2024春•榆阳区期中）命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明　　 A．， B．， C．， D．， 2. （2024春•西安期中）命题“如，那么”的逆命题是 　 　命题．（填“真”或“假” 1. （2024春•安康期中）下列各组数分别是三条线段的长度，其中能围成直角三角形的是　　 A．1，1，2 B．1，2，3 C．2，2， D．2，3，4 2. （2024秋•榆阳区校级期中）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形的面积为34，直角三角形较短的直角边长为3，则中间小正方形的面积为 　 　． 3. （2024春•渭南期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 　 　． 4. （2024春•汉中期中）如图，已知，垂足是的中点，．求证：△△． 5. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，求图中阴影部分的面积． 6. （2024秋•榆林期中）如图，在△中，．在边上有一点，连接，且，若，，求的长． 7. （2024春•长安区校级期中）如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直角三角形 题型概览 题型01含30°的直角三角形 题型02直角三角形全等的判定 题型03直角三角形的性质 题型04勾股定理 题型05 勾股定理的证明 题型06 勾股定理的逆定理 题型07 勾股定理的折叠问题 题型08 勾股定理的规律问题 题型09 命题 ( 题型01 ) 含30°的直角三角形 1. （2024春•碑林区校级期中）如图，在△中，，，．则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求出，，，． 【解答】解：，， ，， ， ， ， 不符合要求； ， 不符合要求； ， 符合要求； ， ， 不符合要求； 故选：． 2. （2024春•凤翔区期中）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为　　 A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【分析】根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解答】解：如图，根据题意米， ， （米， （米． 故选：． 3. （2024秋•汉滨区校级期中）如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长度为　　 A．9 B．8 C．6 D．7 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，可得，再根据含角的直角三角形的性质求出，最后根据线段的和差，即可求解． 【解答】解：由题意可知，是的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， ， ． 故选：． 4. （2024秋•碑林区校级期中）如图所示，△与△均为直角三角形，其中，，，点在边上，，请判断两条斜边与的位置关系并证明． 【分析】令与的交点为，先求出的度数，再根据平行线的判定即可解决问题． 【解答】解：，理由如下： 令与的交点为， ，， ． 又， ． ，， ， ， ． ( 题型02 ) 直角三角形全等的判定 1. （2024春•渭南期中）如图，已知在△和△中，，，，若用“”判定△△，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【解答】解：，， ， ．，，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意； ．，，不是两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意； ．，，不符合两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意； ．，，不能证明这两个直角三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：． 2. （2024春•永寿县期中）如图，点，在线段上，，于点，于点，要根据“”证明△△，则还需添加的一个条件是　　 A． B． C． D． 【分析】已知，，得出，由，得出，再添加一组直角边对应相等即可证明△△，据此即可求解． 【解答】解：，， ， ， ， 即， 添加， 在△和△中， ， △△， 故选：． 3. （2024春•碑林区校级期中）如图，，，垂足分别为、，、相交于点．如果，那么图中全等的直角三角形的对数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】全等的直角三角形共有3对，分别为、、；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ； ，， ， ， 在和中， ， ； ，， 在和中， ， ； 共有3对全等直角三角形， 故选：． 4. （2024春•榆阳区期中）如图，△中，于，要使△△，若根据“”判定，还需要加条件 　 　． 【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“” 可得需要添加条件． 【解答】解：还需添加条件， 于， ， 在△和△中， ， △△， 故答案为：． ( 题型03 ) 直角三角形的性质 5. （2023春•阎良区校级期中）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有 　 　． 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的概念判断即可． 【解答】解：①时，不能判定为直角三角形； ②， ，，，能判定为直角三角形； ③设，则， ， 解得：， ，则，不是直角三角形； ④设，则，， ， 解得：， ，，，能判定为直角三角形； ⑤， ，，能判定为直角三角形； 故答案为：②④⑤． 6. （2023春•雁塔区校级期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值．这个定值为 　　． 【分析】利用三角形内角和定理和直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：， ， 平分，平分， ，， ， ． 故答案为：． 7. （2023春•雁塔区校级期中）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角大，则较小的锐角的度数是 　 　． 【分析】设较小的锐角的度数为，利用直角三角形的两个锐角互余，进行求解即可． 【解答】解：设较小的锐角的度数为，则：另一个锐角度数为， 直角三角形， ， 解得：． 故答案为：． ( 题型04 ) 勾股定理 1. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，在△中，，若，，则的长是　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】直接根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：，，， ， 即的长是， 故选：． 2. （2024秋•宝鸡期中）如图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据勾股定理先求出的长，再计算的长即可． 【解答】解：由题意得，在中， ， 在中， ， 故选：． 3. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，在△中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是　　 A．12 B．8 C．6 D．4 【分析】根据题意得到，，，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【解答】解：图中是以△的三边作的正方形， ，，， 在△中，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是6． 故选：． 4. （2024秋•灞桥区校级期中）如图，根据图中标注在点所表示的数为 　 　． 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为， 所以点表示的数为． 故答案为：． 5. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中最大正方形边长为1．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为 　 　． 【分析】易得以直角三角形的斜边为边长是最大正方形的面积为1，根据勾股定理可得以直角三角形的两直角边为边长的正方形的面积的和为1；进行第一次操作后得到4个小正方形，可得这4个小正方形的面积的和为1，进而可得操作2024次后所有正方形的和为：个． 【解答】解：最大正方形边长为1， 最大正方形的面积为1， 正方形的面积，正方形的面积，正方形的面积， ， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 第1次操作后，得到正方形，，，， 同理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积； 第2次操作后，得到的新的正方形的面积的和； ． 操作2024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为：． 故答案为：2026． ( 题型0 5 ) 勾股定理的证明 1. （2024秋•商洛期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【解答】解：、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故选项能证明勾股定理． 、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故选项能证明勾股定理． 、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故选项能证明勾股定理． 、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ， 选项不能证明勾股定理． 故选：． 2. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图．连接，分别交、于点，，连接．已知，且，则图中阴影部分的面积之和为　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，进而得，依题意得，，则正方形的边长为，证明△和△全等得，，设，则，，证明△和△相似得，则，进而得，，据此即可得出图中阴影部分的面积． 【解答】解：设，如图所示： ， 四边形是正方形，且， ， 在△中，由勾股定理得：， ， ， △△△△， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，△△， 设，则， ， ， △△， ． ． 解得：， ． ． ， △， 又． 图中阴影部分的面积为：． 故选：． 3. （2024秋•秦都区校级期中）如图①，第24届国际数学家大会的会徽是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图②所示的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为65，直角三角形较短直角边的长为4，则中间小正方形的面积为 　 　． 【分析】根据大正方形的面积为65得到，由题意得，，，设小正方形的边长，则，则在△中，由勾股定理得：，代入建立方程，求解即可． 【解答】解：大正方形的面积为65，直角三角形较短直角边的长为4， ， 由题意可知：，， 设小正方形的边长，则， 在△中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 小正方形的面积为9， 故答案为：9． 4. （2024秋•兴平市期中）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，若正方形，正方形的边长分别为28，4，且，则正方形的边长　 　． 【分析】根据正方形面积计算公式得到正方形，正方形的面积分别为，，再由图形8个直角三角形是全等三角形得到，进而可得，则． 【解答】解：正方形，正方形的边长分别为28，4， 正方形的面积为，正方形的面积为， ， ， ， 故答案为：20． ( 题型0 6 ) 勾股定理的逆定理 1. （2024秋•雁塔区校级期中）下列条件中，不能判断△是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可． 【解答】解：、正确，因为，所以设，，，则，故为直角三角形； 、错误，因为，所以设，则，，故，解得，，，，故此三角形是锐角三角形． 、正确，因为，，则，故为直角三角形； 、正确，符合勾股定理的逆定理，故成立； 故选：． 2. （2024秋•西安期中）下列条件中，不能判断△为直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为180度，即可判断出三角形的形状． 【解答】解：、因为符合勾股定理的逆定理，故△为直角三角形； 、因为，所以可设，，，则，故△为直角三角形； 、因为，，则，故△为直角三角形； 、因为，所以设，则，，故，解得，，，，故此三角形是锐角三角形． 故选：． 3. （2024春•志丹县期中）由线段，，组成的三角形是直角三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可． 【解答】解：、，不能组成直角三角形，不符合题意； 、，不能组成直角三角形，不符合题意； 、，不能组成直角三角形，不符合题意； 、，能组成直角三角形，正确，符合题意， 故选：． ( 题型0 7 ) 勾股定理的折叠问题 1. （2024秋•鄠邑区期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据折叠的条件可得：，在直角△中，利用勾股定理就可以求解． 【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，． ． ， 根据勾股定理可知， ， 解得． △的面积为． 故选：． 2. （2024秋•凤翔区期中）如图，在四边形中，，，△与△关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为　　 A．3 B． C．5 D． 【分析】首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段、、的方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：设，则， ，， ，， 由题意得：， ， ，， 由勾股定理得： ， 即， 解得：， ． 故选：． 3. （2024春•新城区校级期中）如图，在△中，，点在边上，将△沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则度数为 　 　 ． 【分析】根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可． 【解答】解：将△沿折叠，使点恰好落在边上的点处，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． ( 题型0 8 ) 勾股定理的规律问题 1. （2024秋•碑林区校级期中）如图，在△中，，边上有80个不同的点．，（异于，两点），记，，，则的值是　　 A． B．320 C． D．240 【分析】过点作于，根据等腰三角形的性质得，，再由勾股定理得，，由此可得，同理据此可得，进而求解． 【解答】解：过点作于，如图所示： ， ，， ，， 在△ 中，由勾股定理得：， 在△ 中，由勾股定理得：， ， ， 同理可得，， ， 故选：． 2. （2024秋•金台区期中）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 　 　． 【分析】由图形可得出，，，．则可得出答案． 【解答】解：如图， 图案由若干个正方形和直角三角形构成， ，，，． ． 故答案为：55． ( 题型0 9 ) 命题 1. （2024春•榆阳区期中）命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】写出逆命题后，举反例说明即可； 【解答】解：命题“如果，那么”的逆命题是假命题， 可以取，说明． 故选：． 2. （2024春•西安期中）命题“如，那么”的逆命题是 　 　命题．（填“真”或“假” 【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，判断真假即可． 【解答】解：命题“如，那么”的逆命题是如果，那么， 是假命题， 故答案为：假． 1. （2024春•安康期中）下列各组数分别是三条线段的长度，其中能围成直角三角形的是　　 A．1，1，2 B．1，2，3 C．2，2， D．2，3，4 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； 、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意； 、，故是直角三角形，故此选项符合题意； 、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：． 2. （2024秋•榆阳区校级期中）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形的面积为34，直角三角形较短的直角边长为3，则中间小正方形的面积为 　 　． 【分析】在△中，根据勾股定理结合大正方形的面积以及的长得出方程，求出的长即可求解． 【解答】解：图中大正方形的面积为34，直角三角形较短的直角边长为3， 由勾股定理得，， 即， ， （负值舍弃）， 中间小正方形的面积为， 故答案为：4． 3. （2024春•渭南期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 　 　． 【分析】连接，，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定，然后由全等三角形的性质可得答案． 【解答】解：如图，连接，，设交于点， ，为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 为等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ，， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ，， ，， 则在和中， ， ． ， ，，， ，， ， 解得：， ， 故答案为：6． 4. （2024春•汉中期中）如图，已知，垂足是的中点，．求证：△△． 【分析】利用证明△△即可解决问题． 【解答】证明：， ， 是中点， ， 在△和△中， ， △△． 5. （2024秋•雁塔区校级期中）如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，求图中阴影部分的面积． 【分析】注意根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：，．然后根据勾股定理求得的长，再设，即可表示的长，进一步根据勾股定理进行求解． 【解答】解：由折叠可知△和△关于成轴对称， 故，． 所以， 设 ，则． 在△中，由勾股定理，得． 解得，故． 所以阴影部分的面积为：． 6. （2024秋•榆林期中）如图，在△中，．在边上有一点，连接，且，若，，求的长． 【分析】设，则，在△中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【解答】解：设，可得：， 根据勾股定理可得：， ， ， 的长为． 7. （2024春•长安区校级期中）如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【分析】（1）根据和的长可得的长度，再利用勾股定理可得的长度； （2）①根据和的长度利用勾股定理可得的长度．利用可得，进而求得，减去长即为长； ②点是射线上的一个动点，那么点可能在线段上或线段的延长线上．所给的两个三角形有一个公共顶点，若向对边引垂线，得到有相同的高，那么面积的比就等于底边的比．就可以计算出的值，结合等腰三角形的等边对等角，可得，计算即可． 【解答】解：（1），． ． ， ． ． （2），，， ． ， ． 在和中， ． ． ． ②Ⅰ、点在线段上时，过点作于点． ，为它们共同的高， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． Ⅱ、点在线段的延长线上时，过点作于点． ，为它们共同的高， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 综上，的长为：1或2.6． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$