专题01 等腰三角形（7题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（陕西专用）

专题01 等腰三角形 题型概览 题型01等腰三角形的性质 题型02等腰三角形的判定 题型03等腰三角形的判定和性质 题型04等边三角形的性质 题型05 等边三角形的判定 题型06 等边三角形的判定和性质 题型07 反证法 ( 题型01 ) 等腰三角形的性质 1. （2024春•凤翔区期中）若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为　　 A． B． C．或 D． 【分析】分是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形． 【解答】解：①是底边时，腰长为，能组成三角形， ②是腰长时，底边为， ， 不能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为． 故选：． 2. （2024春•泾阳县期中）等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是　　 A． B．或 C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：， 故选：． 3. （2024春•雁塔区校级期中）等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为　　 A．6 B．8 C．10 D．8或10 【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解． 【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4， ， 不能组成三角形； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4， 能组成三角形， 周长， 综上所述，三角形的周长为10． 故选：． 4. （2024秋•汉滨区校级期中）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】分是等腰三角形的底角和顶角两种情况讨论即可． 【解答】解：当是等腰三角形的底角时，它的底角是； 当是等腰三角形的顶角时，它的底角． 综上所述，等腰三角形的底角是或． 故选：． 5. （2024春•碑林区校级期中）已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 　 　． 【分析】根据非负数的意义列出关于、的方程并求出、的值，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【解答】解：， ，， 解得：，， 又，是等腰的两边长， 当是腰，是底时，三边长分别为：11，11，5， 该等腰三角形的底边长是：5， 当是腰，是底时，三边长分别为：5，5，11， ， 不满足三角形三边关系，应舍去． 故答案为：5． 6. （2024春•临渭区期中）在中，，平分，交于点，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．求证：． 【分析】（1）设，由条件结合等腰三角形的性质可证明，在中由三角形内角和定理列出方程可求得，可求得； （2）证明是的垂直平分线，得，再根据等腰三角形的性质利用线段的和差即可解决问题． 【解答】（1）解：设， 平分， ， ， ， 又， ， 又，即， ， ， 在中，， ， 解得， ， 的度数为； （2）是的中点，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． ( 题型02 ) 等腰三角形的判定 1. （2024春•汉中期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直于点，跷跷板的一头着地时，当跷跷板的另一头在处着地时，点、、在同一水平线上，，若，则的长度为　　 A． B． C． D． 【分析】证明，再由题意可知，，求出即可． 【解答】解：， ， 由题意可知，， ， 故选：． 2. （2024秋•汉滨区校级期中）如图，在中，，在轴上找一点，使△为等腰三角形，则这样的点有　 　个． 【分析】分为腰和底边两种情况，讨论求解即可． 【解答】解：如图所示， 分为腰和底边两种情况讨论： 当时，△符合题意； 当时，△符合题意； 当时，△符合题意； 当时，△符合题意； 综上所述，一共有4个点符合题意，所以这样的点有4个， 故答案为：4． 3. （2024春•渭南期中）如图，在△中，点在上，点在上，，连接与且相交于点，有．求证：△为等腰三角形． 【分析】根据推出△△，根据全等三角形的性质得出，求出，根据推出△△即可． 【解答】证明：在△和△中， ， △△， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， △是等腰三角形． ( 题型03 ) 等腰三角形的判定和性质 1. （2024秋•韩城市期中）如图，△中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①△和△都是等腰三角形；②；③；④△的周长；⑤．其中正确的有　　 A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤ 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【解答】解：， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， △，△都是等腰三角形． ，，即有， △的周长， ①②④正确， 故选：． 2. （2024春•榆林期中）如图，为内一点，平分，于点．，若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】延长交于，如图，利用平分，先判断为等腰三角形得到，，再证明，然后计算即可． 【解答】解：延长交于，如图， 平分，， 为等腰三角形， ，， ， ， ． 故选：． 3. （2024春•碑林区校级期中）已知：如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点．求证：是等腰三角形． 【分析】根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边即可得出答案． 【解答】证明：在中， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形． ( 题型04 ) 等边三角形的性质 1. （2024春•秦都区期中）如图，△是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【解答】解：，且， ， ， △是等边三角形， ， 故选：． 2. （2024秋•碑林区校级期中）如图，在等边△中，，平分，点在的延长线上，且，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】解：等边△的边长，平分， ，， ，， ， ， 故选：． 3. （2024春•雁塔区校级期中）如图，为等边三角形，点为外的一点，，，则的面积为 　　． 【分析】过点作，且，连接，，过点作于，证为等边三角形得，由得，再证和全等即可得的面积． 【解答】解：过点作，且，连接，，过点作于，如图所示： ，， ， 又， 为等边三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 和的公共边上的高相等， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． ( 题型0 5 ) 等边三角形的判定 1. （2024春•莲湖区期中）如图，，，，求证：是等边三角形． 【分析】利用“两直线平行，同位角相等”得，于是，再根据等边三角形的判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得证． 【解答】证明：， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． 2. （2024春•榆阳区期中）如图所示，在等腰中，，为的中线，为上的一点，且的垂直平分线过点并交于． 求证：是等边三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据线段垂直平分线性质求出，，推出，根据等边三角形的判定得出即可． 【解答】证明：，为的中线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形． ( 题型0 6 ) 等边三角形的判定和性质 1. （2024秋•大荔县校级期中）如图是一个残缺不全的三角形纸片，小明通过测量发现，，则三角形纸片破损前的周长为 　 　． 【分析】延长、相交于，由三我助攻内角和定理得出，则为等边三角形，则，即可求解． 【解答】解；延长、相交于，如图， ，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长， 即三角形纸片破损前的周长为， 故答案为：30． 2. （2024秋•安康期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在的延长线上，且，若的长度为，则此时，两点之间的距离为 　 　． 【分析】连接，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到结论． 【解答】解：如图，连接， ，且， ， ， 是等边三角形， ， 此时，两点之间的距离为， 故答案为：30． 3. （2024春•榆阳区期中）如图所示，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线，求证：是等边三角形． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据角的和差即可得到结论． 【解答】证明：在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 由，，得：， 等腰是等边三角形． ( 题型0 7 ) 反证法 1. （2024春•金台区校级期中）用反证法证明命题“在△中，，则”时，首先应该假设　　 A． B． C．且 D．且 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解答】解：用反证法证明命题“若在△中，，则时，首先应假设， 故选：． 2. （2024春•西安期中）用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设　　 A．不垂直于 B．与相交 C．不垂直于 D．、都不垂直于 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，在同一个平面内，两直线平行的反面是两直线相交． 【解答】解：反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时， 应假设与不平行，即与相交， 故选：． 3. （2024春•西安期中）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设　　 A． B． C． D． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【解答】解：用反证法证明，“在中，若，则”，第一步应假设． 故选：． 4. （2024春•灞桥区校级期中）用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　 　． 【分析】假设命题的结论不成立，推出矛盾即可． 【解答】解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形． 故答案为这个三角形是等腰三角形． 5. （2024春•莲湖区期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 【分析】利用反证法，假设三角形中没有一个内角大于或等于，从而得出其内角和小于，进而得出与三角形内角和定理矛盾，则原命题正确． 【解答】证明：假设三角形中没有一个内角大于或等于， 则这个三角形的内角和小于，与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立，原命题正确． 1. （2024春•西安期中）如图，在中，，点和点分别在和上，，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由，，可得，．由三角形外角的性质可得，，则，整理求解即可． 【解答】解：，， ，． ，， ， 整理得． 故选：． 2. （2024春•长安区期中）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线、于、两点，连接、．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】由，，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数，又由以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线、于、两点，连接、，可得，即可证得，然后由平角的定义即可求得答案． 【解答】解：，， ， 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线、于、两点， ， ， ， ． 故选：． 3. （2024春•渭南期中）如图，，为等边三角形，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据等边三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：为等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：． 4. （2024春•西安期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，．已知，，则的长为 　 　． 【分析】利用平行和角平分线得到，，可得出结论，由此即可求得的长． 【解答】解：如图，平分， ； ， ， ， ；同理可证， ， ，， ， ， 故答案为：2． 5. （2024春•雁塔区校级期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△的两边长分别是3和9，则它的“优美比” 为 　　． 【分析】根据三角形三边关系求出当3为腰，9为底时，三角形不存在；根据等腰三角形9为腰，3为底即可得到它的优美比． 【解答】解：当3为腰，9为底时， ， 三角形不存在； 当9为腰，3为底时， 此时，优美比； 故答案为：． 6. （2024秋•韩城市期中）如图，在△中，点是上一点，连接，是△的中线． （1）若是△的中线，，求的长； （2）若，，，求的度数． 【分析】（1）直接根据中线的定义求解即可得解； （2）先证明△是等腰三角形，进而得，，进而利用三角形的外角性质即可得解． 【解答】解：（1）是△的中线，， ， 是△的中线， ， 所以的长为16； （2）， ， △是等腰三角形， 是△的中线， 平分， ， ， ， 所以的度数为． 7. （2024春•莲湖区期中）如图，在中，，，点在线段上运动不与、重合），连接，作，交线段于． （1）当时，　 　；点从向运动时，逐渐变　　（填“大”或“小” ； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出，根据点的运动方向可判定的变化情况． （2）假设，利用全等三角形的对应边相等得出，即可求得答案． （3）假设是等腰三角形，分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出． 【解答】解：（1）； 从图中可以得知，点从向运动时，逐渐变小； 故答案为：；小． ，， ．， ， 当时，， （3）， ， ①当时，， ， 此时不符合； ②当时，即， ， ； ； ③当时，， ， ； 当或时，是等腰三角形． 8. （2024秋•安康期中）已知在△中，是的中点，是延长线上的一点，连接，． （1）如图1，若，，，试判断与的位置关系； （2）过点作，交延长线于点，连接，如图2所示，若，，试说明：． 【分析】（1）解△得出，再证△是等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可； （2）连结，先利用证明△△，再证△是等边三角形，最后△△，推出，即可证明． 【解答】解：（1），理由如下： ，， ， ， ， ， △是等边三角形， 是的中点， ； （2）， ， ，， △△， ，， ， ， 又， ， △是等边三角形， ，， ， ． ， △△， 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等腰三角形 题型概览 题型01等腰三角形的性质 题型02等腰三角形的判定 题型03等腰三角形的判定和性质 题型04等边三角形的性质 题型05 等边三角形的判定 题型06 等边三角形的判定和性质 题型07 反证法 ( 题型01 ) 等腰三角形的性质 1. （2024春•凤翔区期中）若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为　　 A． B． C．或 D． 2. （2024春•泾阳县期中）等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是　　 A． B．或 C． D． 3. （2024春•雁塔区校级期中）等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为　　 A．6 B．8 C．10 D．8或10 4. （2024秋•汉滨区校级期中）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是　　 A． B． C．或 D．或 5. （2024春•碑林区校级期中）已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 　 　． 6. （2024春•临渭区期中）在中，，平分，交于点，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．求证：． ( 题型02 ) 等腰三角形的判定 1. （2024春•汉中期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直于点，跷跷板的一头着地时，当跷跷板的另一头在处着地时，点、、在同一水平线上，，若，则的长度为　　 A． B． C． D． 2. （2024秋•汉滨区校级期中）如图，在中，，在轴上找一点，使△为等腰三角形，则这样的点有　 　个． 3. （2024春•渭南期中）如图，在△中，点在上，点在上，，连接与且相交于点，有．求证：△为等腰三角形． ( 题型03 ) 等腰三角形的判定和性质 1. （2024秋•韩城市期中）如图，△中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①△和△都是等腰三角形；②；③；④△的周长；⑤．其中正确的有　　 A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤ 2. （2024春•榆林期中）如图，为内一点，平分，于点．，若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 3. （2024春•碑林区校级期中）已知：如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点．求证：是等腰三角形． ( 题型04 ) 等边三角形的性质 1. （2024春•秦都区期中）如图，△是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 2. （2024秋•碑林区校级期中）如图，在等边△中，，平分，点在的延长线上，且，则的长是　　 A． B． C． D． 3. （2024春•雁塔区校级期中）如图，为等边三角形，点为外的一点，，，则的面积为 　　． ( 题型0 5 ) 等边三角形的判定 1. （2024春•莲湖区期中）如图，，，，求证：是等边三角形． 2. （2024春•榆阳区期中）如图所示，在等腰中，，为的中线，为上的一点，且的垂直平分线过点并交于． 求证：是等边三角形． ( 题型0 6 ) 等边三角形的判定和性质 1. （2024秋•大荔县校级期中）如图是一个残缺不全的三角形纸片，小明通过测量发现，，则三角形纸片破损前的周长为 　 　． 2. （2024秋•安康期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在的延长线上，且，若的长度为，则此时，两点之间的距离为 　 　． 3. （2024春•榆阳区期中）如图所示，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线，求证：是等边三角形． ( 题型0 7 ) 反证法 1. （2024春•金台区校级期中）用反证法证明命题“在△中，，则”时，首先应该假设　　 A． B． C．且 D．且 2. （2024春•西安期中）用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设　　 A．不垂直于 B．与相交 C．不垂直于 D．、都不垂直于 3. （2024春•西安期中）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设　　 A． B． C． D． 4. （2024春•灞桥区校级期中）用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　 　． 5. （2024春•莲湖区期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 1. （2024春•西安期中）如图，在中，，点和点分别在和上，，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 2. （2024春•长安区期中）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线、于、两点，连接、．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 3. （2024春•渭南期中）如图，，为等边三角形，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4. （2024春•西安期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，．已知，，则的长为 　 　． 5. （2024春•雁塔区校级期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△的两边长分别是3和9，则它的“优美比” 为 　　． 6. （2024秋•韩城市期中）如图，在△中，点是上一点，连接，是△的中线． （1）若是△的中线，，求的长； （2）若，，，求的度数． 7. （2024春•莲湖区期中）如图，在中，，，点在线段上运动不与、重合），连接，作，交线段于． （1）当时，　 　；点从向运动时，逐渐变　　（填“大”或“小” ； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 8. （2024秋•安康期中）已知在△中，是的中点，是延长线上的一点，连接，． （1）如图1，若，，，试判断与的位置关系； （2）过点作，交延长线于点，连接，如图2所示，若，，试说明：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$