期中复习（选择填空压轴题60题）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（青岛版）

期中复习（压轴题60题） 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线、交于点，于点，交于点，点在上，连接，交于点，交于点．若为中点，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】矩形的性质，得到，等边对等角，求出的度数，三角形的内角和求出的度数，进而求出的度数，等边对等角，求出的度数，再求出的度数，连接，得到，得到，对顶角相等，等量代换得到，进而得到，三线合一得到垂直平分，进而得到即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造三角形的中位线，是解题的关键． 2．如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】连接，，证明，由等腰三角形的性质得出，再由直角三角形的性质得出，可判定①；证明四边形是菱形，由菱形的性质得出，可判定②；四边形为平行四边形，是对角线，所以不一定平分，可判定③；证明四边形是平行四边形，得出，可判定④． 【详解】解：①连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴，故①错误； ②连接， ∵E是的中点，F是的中点， ∴，， ∴，即， ∴ ∵G是的中点， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故②正确； ∵四边形为平行四边形，是对角线， ∴不一定平分，故③错误； ④∵， ∴ ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； ∴正确的有②④关，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，三角形中位线的性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 3．如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，即可判断①，证明，利用三角形的中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， ∵平分， ， ， ∴为等边三角形故①正确； ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，故④正确； 综上成立的个数是个， 故选：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 4．如图，在正方形中，P为上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，过C作交AH延长线于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作交于点，过点作交延长线于点，利用正方形的性质证出，得到，得到，再结合得到是等腰直角三角形，；利用得到是等腰直角三角形，，再通过证明得到，最后利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， 正方形， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 又， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，； ， ， ，， ，， ，， 是等腰直角三角形，， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】对于①，过点E作，交于点H，根据正方形的性质可逐步推得，再根据全等三角形的判定，可证明，即得结论成立； 对于②，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明结论成立； 对于③，连结，，证明，可得，再根据等腰三角形三线合一性质，即得结论成立； 对于④，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】解：过点E作，交于点H， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故①正确； 四边形是正方形， ， ， ， 故②正确； 连结，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 故③正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．如图，在四边形中，，与交于点，，，且平分． 下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，直角三角形斜边上的中线，图，延长，交于点，过作交于，交于，先证明，得到，即可得到平分，可以确定①正确；再，得到，，再根据平分，得到，，可以确定②正确；由，可得，故③正确；最后由为中点，得到，确定④错误． 【详解】解：如图，延长，交于点，过作交于，交于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴，故①正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵为中点，， ∴， ∵在中， ∴，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：D． 7．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作于，于，证明得到，即可判断①；当时，点与点重合，不一定等于，即可判断②；根据正方形性质得，，推出，得到，，即可判断④；进而得到，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：如图，过作于，于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 综上，结论正确的序号有①③④， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．如图，在等腰直角三角形中，过点A作使得，连接交于点E，在上取一点F使得，连接交于点G，连接，则 ①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理可求出,证明四边形是平行四边形得,进而得,则,然后可求出的度数，进而可对①进行判断；②过点作交的延长线于,则四边形是正方形，从而得,根据在中，得,由此可对进行判断；根据得,由此可对进行判断；证明和全等得,由此可对进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等腰直角三角形， ,,, , , , , , , , , , , , ,, 四边形是平行四边形， , , , , ,故正确，符合题意； 过点作交的延长线于,如图所示， , , 四边形是矩形， 又, 矩形是正方形， , 又, , 在中，, , ,故不正确，不符合题意； , , , ,故正确，符合题意； , , , 在和中, , , , 故正确，符合题意； 综上所述：正确的是：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的内角和及外角性质等知识点，熟练掌握掌握全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质是解决此题的关键． 9．如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】连接，作于点H，于点L，由正方形的性质得，垂直平分，则，因为平分，所以，再推导出，进而证明，得，所以，可判断①正确；由四边形是矩形，，证明四边形是正方形，可判断②正确；再证明，得，可判断③正确；可证明，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点H，于点L，则， ∵四边形是正方形， ∴，，垂直平分， ∵E为上一点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形，故②正确； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故④正确． 故选：D． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识． 10．如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】连接，由四边形是正方形，与点分别是的中点，易证得与，根据全等三角形的性质，证得与；根据垂直平分线的性质，即可证得；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，根据等腰三角形的性质，即可得，问题得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在中，H是边的中点， ∴， 故④正确； 连接， 同理可得：， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故②正确； ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 综上可知，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，是一道综合性的题目，灵活使用所学的正方形、三角形的知识是难点也是重点． 11．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠—有关角的计算、角的和与差．首先根据四边形是长方形纸带，可得，根据平行线的性质可得，根据邻补角的定义可以求出，从而可求，再根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：四边形是长方形纸带， ， ， 如图所示， ， ， 如图所示， ． 故选：A． 12．如图，在矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处，折痕为，点E，F分别落在边和边上．连接，交于点K，交于点H．有如下结论：①；②；③和的面积相等；④当点F和点C重合时，．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接，设与交于点O，由折叠的性质可得垂直平分，可判断①；由“”可证，可得，可判断②；通过证明四边形是菱形，可得，由直角三角形的性质和等边三角形的性质，可求，可得，进而即可可判断④，由题意无法证明和的面积相等，进而即可判断③． 【详解】如图，连接，设与交于点O， ∵将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处， ∴垂直平分， ∴，，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 当点F与点C重合时，则，如图，作的中点为M，连接， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 如图，过点K作交于点M， ∵四边形是菱形， ∵平分， ∴， ∵在中， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∴正确的结论有：①②④， 故选：C． 【点晴】本题主要考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键． 13．如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的是（  ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题意易证四边形为矩形，得出，．又易证为等腰直角三角形，得出，再结合勾股定理即得出，可确定④正确；根据正方形为轴对称图形，对角线也为对称轴，即得出，从而得出，可确定①正确；由题意易证，得出，可确定②正确；根据，结合对顶角相等可求出，即得出，可判断③正确． 【详解】解：如图，延长交于点G，延长交于点H， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴，故④正确； ∵四边形为正方形，即为轴对称图形， ∴， ∴，故①正确； ∵为正方形对角线，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故③正确． 综上可知正确的为①②③④． 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，角平分线的性质定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 14．如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（ ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，首先根据等腰直角三角形的性质可以得到，，根据同角的余角相等可证，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得，所以可知结论④错误；当时，可得，即得到，得到，由与不一定垂直，可得不一定等于，故可知⑤错误，据此即可求解，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中 ， ， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 故④错误； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当时，， 则， 即， ∵与不一定垂直， ∴不一定等于，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②③， 故选：. 15．如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和“”可证明，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设相交于点，相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理可得，即可判断②；过点作的延长线于，过点作于，根据余角的性质即可判断③；利用“”即可证明，可得，同理可证，从而得到，再证明，可得，从而可判断④． 【详解】解：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设相交于点，相交于点，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过点作的延长线于，过点作于，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∴，同理可得， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 16．如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，．先证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，，再证明为等腰直角三角形，有勾股定理得出，由三角形中位线判定和性质可得出，最后利用三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 即， 在和中， ∴， ∴，，， ∵，是中点，， ∴， 又∵，S是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵是中点，S是的中点， ∴， 在中， ， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了综合性的三角形问题，等角对等边，等腰直角三角形的判定以及性质， 全等三角形的判定以及性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质，三角形三边关系的应用，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 17．如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键． 先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积为：，即四边形的面积为30． 故选：A． 18．如图，正方形中，的平分线交于点E，在上截取，分别交于点点P是线段的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法以及三角形全等的判定与性质是解题的关键． ①先证，可得，由，可得，即，则①正确； ②由①可知，易证，可得，由，可得，而，则，即，从而可得②正确； ③由于，根据勾股定理可得的长，进而可得的长，而，所以可求，即可得出③正确； ④由①②可得，即H关于的对称点是点D，过点D作，交于点P，此时取得最小值，最小值即为的长，在等腰直角三角形中，可求得的长，从而可得④不正确． 【详解】解：①∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴①正确． ②由①可知， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即为等腰三角形， ∴， ∴． ∴②正确． ③由②可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确． ④由①②可得， ∴点H关于的对称点是点D， 过点D作，交于点P，此时取得最小值，最小值即为的长， 在等腰直角三角形中，， ∴， ∴的最小值为， ∴④不正确． 故选：C 19．如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点E在线段上，动点在线段上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 【答案】D 【分析】本题分为五个阶段，开始与点O重合、远离点O、位于线段中点、逐渐靠近终点和到达终点．根据矩形的性质得，，则有，由轴对称性得．则有和，可判定，则四边形是平行四边形；当E，F，O三点重合时，，则有，故四边形是菱形；当E，F分别为，的中点时，设，则，，可证明是等边三角形，结合勾股定理和对称性可得，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，则四边形是矩形；当F，E分别与D，B重合时，，都是等边三角形，则四边形 是菱形． 【详解】解：如图2所示，当E，F，O三点重合时，， ∴，即， ∴四边形是菱形． 如图1中， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴， ∵对称， ∴． ∵对称 ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 如图3所示，当E，F分别为，的中点时，设，则，， 在中，，，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵E为中点， ∴，， ∴． 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 四边形是矩形． 当F，E分别与D，B重合时，，都是等边三角形，则四边形 是菱形， ∴在整个过程中，四边形 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、对称性、平行四边形的判定、菱形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理逆定理和等边三角形的性质，解题的关键是熟悉对称性和利用动态思维解题． 20．如图，在中，，，，，分别为边，上的点，，分别为，的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，取的中点，连接、，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形中位线定理得到，，，，证明，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点． ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形两锐角互余，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理．添加合适辅助线，构造三角形中位线是解题的关键． 21．如图，在中，，，分别以为边向外作正方形，正方形，正方形．若直线交于点N，过点M作交于点K，过点H作与分别交于点P、Q．则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理应用、正方形的性质及矩形判定与性质，先由勾股定理得出，再由正方形的性质推出四边形都是矩形，再由矩形的性质得出，延长交于O，延长交于L，则，，可证，继而得出四边形是矩形，可得，同理可得，四边形是矩形，，即可求解四边形的面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得， ， 四边形都是正方形， 则四边形的四个角都是，四条对边平行且相等， ∴， ∴四边形为矩形， 延长交于点O，延长交于L， 则，如图所示， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴． ∴， 同理可证，． ∴， ∵， 已证四边形是矩形，且四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可证，四边形为矩形， ∴， ∴， ， ∴四边形的面积为： ． 故选：C． 22．如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，由可得，由勾股定理可得，由，可得，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，因而当最小时，最小，由垂线段最短可知，当时，最小，此时，进而可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当时，最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 23．如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，连接，依题意得，证明和全等得，，进而可证明，根据三角形的面积公式求出，则，再由勾股定理得，继而得，，然后根据即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形，边长为， ，， 点分别是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ，， ， 故选：C． 24．在锐角三角形中，平分，若分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查的是轴对称﹣最短路线问题、角平分线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线、确定最短路径是解题的关键． 如图：过点C作于点E，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据、，可知是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：如图：过点C作于点E，交于点，过点作于， ∵平分， ∴， ∴，则即为的最小值， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故选B． 25．如图，在中，AB=AC，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∴， 连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：B． 26．如图，在边长为18的正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在上，且四边形和均为正方形，记的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，的面积为，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．先求出，证明是等腰直角三角形，设，则，再证明是等腰直角三角形，则，同理，则，由此解得，进而得，，据此可对选项A，B进行判断；再设，证明是等腰直角三角形，则，，同理，则，由此解出，进而得，，据此可对选项C，D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为18，是对角线， ，，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是正方形， ，，， ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 同理：， ， ， ，， 故选项A，B均正确，不符合题意； 四边形是正方形， 设，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， 同理：， ， ， ，， 故选项C正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意． 故选：D． 27．如图，正方形的边长为，连接，则线段的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，延长交于点E，根据正方形的性质结合已知条件证得，再根据勾股定理的逆定理证得和是直角三角形，再证，从而得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形且， ∴， ∵， ∴是直角三角形且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 28．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故选A． 29．如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直接根据垂直平分线的性质即可判断①；②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，由等量代换可得，可证明可得即,再结合角平分线的定义即可判断②；③由全等三角形的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合可得是等腰直角三角形即可判定③；④证明四边形是正方形可得，由等腰三角形的性质可得，然后由勾股定理可得、，进而得到，最后根据平方差和等量代换即可判断④． 【详解】解：①∵是的垂直平分线， ∴，即①正确； ②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴, 在和中， ， ∴，即②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即，故③正确； ④∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，即④正确． 综上， ①②③④正确，正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 30．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 31．如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】首先在等腰中，可知，，，进而证明，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，，；过点作于点，解得，进一步可得，再在中，利用勾股定理解得的值，易得，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，，，是斜边的中点， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 32．如图，正方形边长为2，E是中点，点P是上任一点，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连接，，由正方形的性质可知，点关于的对称点为点，因而，进而可得，根据两点之间线段最短可得，就是的最小值，也就是的最小值，然后利用正方形的性质得出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形，且是对角线， 点关于的对称点为点， ， ， 根据两点之间线段最短可得，就是的最小值，也就是的最小值， 正方形边长为2，E是中点， ，，， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），正方形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，线段中点的有关计算，勾股定理等知识点，利用正方形的性质找出点的对称点是解题的关键． 33．如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键．根据勾股定理求出， 再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【详解】解：， 图1中正方形的面积和为： ， 图2中所有正方形的面积和为： ， 图3中所有正方形面积和为： ， …… …… 图11中所有正方形的面积为． 故选：C 34．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题、两点之间，线段最短、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连接，如图1；把上面展开到正面上，连接，如图2；把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，再进行大小比较即可． 【详解】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1， ； 把上面展开到正面上，连接，如图2， ； 把侧面展开到正面上，连接，如图3， ． ∵． 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为． 故选：D． 35．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，中位线定理，勾股定理，根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， 当点与点重合时，点在处，，此时为中点， ∴是中位线， 且， 当点在上除点、的位置时，为中点， ∴是中位线，是中位线， ，， ∴点在线段上， 点的运动轨迹是线段， 当时，取得最小值， 矩形中，，，为的中点，为中点， ∴，， 、、为等腰直角三角形， ，， ∵， ， ， ，即， 的最小值为的长， 在等腰直角中，， 的最小值是． 故选：D． 36．如图，正方形中，点E、F分别在对角线、边上，连接，取线段的中点O，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，过E作于H，交于G，证明，可得，，即可知是等腰直角三角形，得，由，设，则，可得，再求出，再代入计算可得答案． 【详解】解：过E作于H，交于G，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵O为中点， ∴， 由，设，则， ∴， ∴, ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 37．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，过点C作于点H，连接，然后根据三角不等关系得出，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值，进而可得当点与重合时，的值最小，最后问题可求解． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ，， ， ∴， ， 又， ， ， ， 过点C作于点H，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 由三角形不等关系可知：，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值， 作平分交于N，连接，如图； 要使取得最小值，就要使取得最小值，当点F与点N重合时，即为最小，如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角不等关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 38．当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式．熟练掌握解不等式，是解题的关键． 由已知得，得，的最小值为4，，得 ，即得． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴的最小值为4， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 39．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【详解】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为且， ∴a取整数，，0，1，3，4，5， 其和为10． 故选：A． 40．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 41．已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及不等式组的解法、分类讨论等知识，先解不等式组，再由参数的情况，分类讨论，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得；由②得； 关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2， 当时，不等式组的解集为，则，解得，整数可取，整数可取，则整数对有，共6个； 当时，不等式组的解集为，则，解得，不等式组无解； 综上所述，关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有6个， 故选：D． 42．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组的解集恰好有3个整数解， ， ， ， ， 解得：， 分式方程有非负整数解， ，为整数且， 符合条件的所有整数的值为：，7， 符合条件的所有整数的和为：6， 故选：A． 43．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组可得，根据x，y均大于0，进而可得：，然后根据，，可得，从而可得，即，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得：， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 44．已知关于x、y的方程组，下列结论中正确的个数有（    ） ① 当时，是方程组的解； ② 不存在一个实数，使得x、y的值互为相反数； ③ 当方程组的解是时，方程组的解为； ④ x、y都为自然数的解有3对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组， ①把代入方程组求出解，即可做出判断； ②根据题意得到，代入方程组求出a的值，即可做出判断； ③的各项和原方程成比例，故可得方程，即可解答； ④用表示，可得一元一次不等式组，再根据的取值范围，即可解答， 熟知方程的各项成比例时，两个方程的解相同，是解题的关键． 【详解】解：当时，原方程为，解得，故①错误； x、y的值互为相反数时，可得，可得方程，方程无解，故②正确； 的各项和原方程成比例，故可得，解得 ，故③正确； 解，可得，当为自然数时，可得，解得且为奇数，故，即x、y都为自然数的解有4对，故④错误； 故选：B． 45．若，是两个正实数，且满足，则的范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，不等式的性质，熟练掌握完全平方公式的变形，不等式的性质是解题的关键 由，可得，则，由，是两个正实数，可得；由，可得，计算求解可得，然后作答即可． 【详解】解：，整理得，， ∴， ，是两个正实数， ∴，， ∴，即； ∵， ∴， 解得，， ∴， 故选：C． 46．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题． 【详解】解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故选：D． 47．已知关于，的方程组，其中，下列说法正确的是（    ） ①当时，与相等；    ②是原方程组的解； ③无论为何值时，；    ④若，，则的最大值为11； A．①③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】D 【分析】①当时，则有即可求解；②当，取不同值时解不同，即可求解；③解此方程组得，即可求解；④可求，由，可求，进而可求解． 【详解】解：①当时，则有 ， 解得：， 故①错误； ②当，取不同值时解不同； 故②错误； ③解此方程组得， 所以， 故③正确； ④ ， 因为， 所以， 解得：， 因为， 所以， 所以， 所以的最大值为， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组，一元一次不等式组等，掌握方程组及不等式组的解法是解题的关键． 二、填空题 48．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，证明可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即得到④错误． 【详解】解：∵在矩形中，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴不是等边三角形， ∴，即，故④错误； ∴①②③是正确的． 故答案为：3． 49．如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】3.5/ 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图，以为边作等边三角形，过点作于，于，可证四边形是矩形，可证，由“”可证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，于， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴点与点重合时，， 故答案为：． 50．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了长方形的性质、三角形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 分三种情况：当点在上，则，当点在上，当点在上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 点是上的一点，且， ，， 当点在上，则， ， ， 解得：； 当点在上，如图1所示， ， 则， ， 当点在上时，不存在的情况； 当点在上，如图所示， ，， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 51．如图，矩形的面积为1，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形，的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，依次类推，则平行四边形的面积为    【答案】或 【分析】根据题意，，，取的中点，连接，则，于是，根据平行四边形的性质，得到，取的中点，连接，则，于是，于是得到解答即可． 【详解】解：根据题意，，，取的中点，连接，则， 于是， 根据平行四边形的性质，得到， 取的中点，连接， 则， 于是， 于是得到． 故答案为：或．    【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，规律的探索，熟练掌握性质，中位线定理，规律的探索是解题的关键． 52．如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于F），点C、D的对应点分别是，，交于G，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于H，给出下列结论：①；②；③；④若，则． 上述正确的结论是 【答案】 【分析】以现有条件无法证明，由此即可判断结论①；由矩形的性质可得，由轴对称的性质可得，，由两直线平行同位角相等可得，由对顶角相等可得，进而可得，由周角的定义可得，由此即可判断结论②；由两直线平行内错角相等可得，由轴对称的性质可得，进而可得，由三角形外角的性质可得，由轴对称的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可判断结论③；即，则，进而可得，由轴对称的性质可得，由两直线平行同位角相等可得，进而可得，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：以现有条件无法证明， 故结论①错误； 四边形是矩形， ， 将长方形纸片沿折叠得到四边形， ，， ， 又， ， ， ， 即：， 故结论②正确； ， ， 将长方形纸片沿折叠得到四边形， ， ， ， 将四边形沿折叠得到四边形， ， ， 故结论③正确； ，即， ， ， ，将四边形沿折叠得到四边形， ， ， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，矩形的性质，轴对称的性质，平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等），三角形外角的性质等知识点，熟练掌握矩形与折叠问题是解题的关键． 53．如图，四边形是边长为6的菱形，，F是的中点，点E、G分别在，上，且，连接、，则的最小值为 ．    【答案】9 【分析】延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接，证明，得到，同理证明：，为等边三角形，继而可得是的垂直平分线，则，由，即可确定最小值． 【详解】解：延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理证明：， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，难度较大，解题的关键在于转化思想的运用． 54．如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有 ．（只填序号） 【答案】 【分析】由，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，结合，可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可判断结论；由现有条件无法证明，因而不一定成立，由此即可判断结论；连接、，由三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由对顶角相等可得，于是可得，利用可证得，由全等三角形的性质可得，，进而可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，由此即可判断结论；由勾股定理可得，进而可得，由此即可判断结论；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：是直角三角形， ， ，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 故结论正确； 由现有条件无法证明， 不一定成立， 故结论错误； 如图，连接、， ，，是的中点， ，， ， ， 且， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故结论正确； ，， ， ， ， 故结论正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三线合一，等边对等角，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 55．若关于的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．先解不等式组，求出的取值范围，再解分式方程，从而求出的值，最后求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ， ， ， 关于的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解， ， 解得：， ， 方程两边同时乘得： ， ， 解得：， 关于的分式方程的解是非负数， ，且 解得：，且， ，且， ∴的值为，而，不是整数，故舍， ∴符合题意的的值为 所有满足条件的整数的值之和， 故答案为：． 56．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程的解，先解关于x的一元一次不等式组，再根据不等式组有解且至多有2个整数解得到a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解，求出所有满足条件的整数a的值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∴， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴或或或1， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为：或或1， ∴所有满足条件的整数a之和为：， 故答案为：． 57．若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件．所有整数的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况以及分式方程的解得情况求参数的值，解题的关键是正确的求出不等式组的解集和分式方程的解． 根据不等式组有且仅有2个偶数解，求出的取值范围，再根据y的分式方程有整数解，求出满足条件的整数的值，然后计算即可． 【详解】解：由， 得， ∴， ∵不等式组有且仅有2个偶数解， ∴偶数解为：2，0， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵方程的解为整数， ∴为整数，且， ∵， ∴a的值为：或1或3， ∴满足条件所有整数a的乘积为：． 故答案为：． 58．已知关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到且，进而确定符合题意的m的值即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴，解得， 关于y的分式方程，去分母得：， 去括号得：， 解得：， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴且， ∴在且范围内，且使是非负整数的的值可以为，，，， ∴所有满足条件的整数的值的和是． 故答案为：． 59．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数的取值范围，由分式方程的解的情况求参数，先解不等式组，根据不等式组无解确定的取值范围，即确定的取值范围，再解分式方程，求出分式方程的解，根据分式方程的整数解确定的值，进而即可求解，解题的关键是根据不等式组无解确定的取值范围，进而由分式方程的整数解确定出的值． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程有整数解，且, ∴，，，， 又∵， ∴，，， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 60．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 【答案】164 【分析】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（压轴题60题） 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线、交于点，于点，交于点，点在上，连接，交于点，交于点．若为中点，，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，在正方形中，P为上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，过C作交AH延长线于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在四边形中，，与交于点，，，且平分． 下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③ 7．如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 8．如图，在等腰直角三角形中，过点A作使得，连接交于点E，在上取一点F使得，连接交于点G，连接，则 ①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 9．如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 10．如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 11．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（   ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处，折痕为，点E，F分别落在边和边上．连接，交于点K，交于点H．有如下结论：①；②；③和的面积相等；④当点F和点C重合时，．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接给出下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的是（  ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④ 14．如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（ ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤ 15．如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 18．如图，正方形中，的平分线交于点E，在上截取，分别交于点点P是线段的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点E在线段上，动点在线段上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于，的对称点为，；点F关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 20．如图，在中，，，，，分别为边，上的点，，分别为，的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 21．如图，在中，，，分别以为边向外作正方形，正方形，正方形．若直线交于点N，过点M作交于点K，过点H作与分别交于点P、Q．则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 22．如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D． 23．如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 24．在锐角三角形中，平分，若分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 25．如图，在中，AB=AC，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 26．如图，在边长为18的正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在上，且四边形和均为正方形，记的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，的面积为，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 27．如图，正方形的边长为，连接，则线段的长为（    ） A． B． C．4 D． 28．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 29．如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 31．如图，在等腰中，，是斜边的中点，交边、于点、，连接，且，若，，则的面积是（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 32．如图，正方形边长为2，E是中点，点P是上任一点，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 33．如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 34．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 35．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（   ） A．4 B．8 C． D． 36．如图，正方形中，点E、F分别在对角线、边上，连接，取线段的中点O，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 37．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 38．当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 40．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 42．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 43．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．已知关于x、y的方程组，下列结论中正确的个数有（    ） ① 当时，是方程组的解； ② 不存在一个实数，使得x、y的值互为相反数； ③ 当方程组的解是时，方程组的解为； ④ x、y都为自然数的解有3对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．若，是两个正实数，且满足，则的范围是（      ） A． B． C． D． 46．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 47．已知关于，的方程组，其中，下列说法正确的是（    ） ①当时，与相等；    ②是原方程组的解； ③无论为何值时，；    ④若，，则的最大值为11； A．①③ B．②③ C．②③④ D．③④ 二、填空题 48．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有 个． 49．如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 50．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ． 51．如图，矩形的面积为1，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形，的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，依次类推，则平行四边形的面积为    52．如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于E，交于F），点C、D的对应点分别是，，交于G，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于H，给出下列结论：①；②；③；④若，则． 上述正确的结论是 53．如图，四边形是边长为6的菱形，，F是的中点，点E、G分别在，上，且，连接、，则的最小值为 ．    54．如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有 ．（只填序号） 55．若关于的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 56．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 57．若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件．所有整数的乘积为 ． 58．已知关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 59．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 60．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$