第四章因式分解习题课2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册第四章 因式分解 章末习题课 学习目标 1.使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； 2.提高学生因式分解的基本运算技能； 3.能熟练地综合运用几种因式分解方法； 4.发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力； 5.注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力． 因式分解 定义 提公因式法 公式法 平方差公式 完全平方公式 知识框架 知识回顾 一、因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 二、公因式及提公因式 公因式：多项式中各项都含有的相同因式． 特别注意：公因式必须是多项式的每一项中都有的因式；公因式可以是单项式，也可以是一个多项式，还可以是多项式幂的形式． 提公因式：把一个多项式分解成两个因式的积形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以公因式所得商． 三、公式法 —— 平方差公式 1.因式分解中的平方差公式 a2－b2＝　 　； 2.多项式的特征：(1)可化为个____整式； (2)两项负号______； (3)每一项都是整式的______. 3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式; (2)进行到每一个多项式都不能再 分解为止. (a＋b)(a－b) 两 相反 平方 四、公式法 —— 完全平方公式 1.完全平方公式：a2+2ab+b2=( )2 a2 -2ab+b2=( )2 2.多项式的特征：(1)三项式； (2)有两项符号_____,能写成两个 整式的_________的形式； (3)另一项是这两整式的______的 _____倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出_______. a+b a-b 相同 平方和 乘积 2 公因式 考点一 因式分解与整式乘法的关系 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a; (2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10; (3)x2-6x+9=(x-3)2; (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2. 【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形. 考点讲练 不是 不是 是 不是 考点二 提公因式法分解因式 例2 因式分解： (1)8a3b2＋12ab3c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b. 解：(1)原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc)； (2)原式 ＝ (2a－3)(b＋c)； (3)原式 ＝ (a＋b)(a－b－1)． 方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 8 8 1. 把下列多项式分解因式. 针对训练 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 考点三 利用提公因式法求值 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14 ＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. 2. 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：因为a＋b＝7，ab＝4， 所以原式＝ab(a＋b) ＝4×7＝28. 针对训练 方法归纳 原式提取公因式变形后，将a＋b与ab作为一个整体代入计算即可得出答案． 考点四 平方差公式分解因式 例4 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 3. 已知x2－y2＝－1，x＋y＝ ，求x－y的值． 解：∵ x2－y2 ＝(x＋y)(x－y)＝－1， x＋y＝ ， ∴x－y＝－2. 针对训练 考点五 完全平方公式分解因式 例5 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2； (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2. 14 14 5. 已知a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值． 解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2) ＝ ab(a＋b)2. 当a＋b＝5，ab＝10时， 原式＝ ×10×52＝125. 例6、利用整体思想分解因式]先阅读材料，再解答下列问题: 【材料】分解因式(x+y)2+2(x+y)+1. 解：令x+y=A, 则(x+y)2+2(x+y)+1 =A2+2A+1 =(A+1)2, 故(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2. 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题: (1)分解因式：(a+b)(a+b-4)+4. 解：令a+b=A， 则(a+b)(a+b-4)+4 =A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2， 故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2. 随堂练习 7.阅读下列材料： 提公因式法、公式法是初中阶段最常用的分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项是完全平方式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下： x2-2xy+y2-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-y-4)， 这种分解因式的方法叫“分组分解法”. 利用这种“分组分解法”解决下列问题: (1)分解因式：x2-9y2-2x+6y； (2)请比较多项式2x2-5xy+3y2-4y+4与x2-xy-2y2-2y-1的大小，并说明理由. 解： (1) (1)x2-9y2-2x+6y =(x+3y)(x-3y)-2(x-3y) =(x-3y)(x+3y-2). (2)2x2-5xy+3y2-4y+4>x2-xy-2y2-2y-1. 理由如下: ∵(2x2-5xy+3y2-4y+4)-(x2-xy-2y2-2y-1) =2x2-5xy+3y2-4y+4-x2+xy+2y2+2y+1 =x2-4xy+5y2-2y+5 =x2-4xy+4y2+y2-2y+1+4 =(x-2y)2+(y-1)2+4>0, ∴2x2-5xy+3y2-4y+4>x2-xy-2y2-2y-1. 课堂小结 分解因式 方法 提公因式法 平方差公式 运用公式法 完全平方公式 把一个多项式化成几个整式的积的形式， 互为逆运算 整式乘法 $$