6.4 三角形的中位线定理　导学案　 2024-2025学年青岛版数学八年级下册

三角形的中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的 ． (1)三角形的中位线是线段；(2)一个三角形有三条中位线． 三角形的中位线性质定理 三角形的中位线 于第三边，并且等于第三边的 ． 在三角形问题中，已知某条边的中点，常考虑作过该中点的三角形中位线，利用中位线定理解决问题． 中点四边形(拓展) 定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 原四 边形 一般四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方 形 对角线 关系 — 互相 平分 相等 垂直 相等 且垂直 中点四 边形 平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方 形 与三角形中位线有关的计算 典例1 如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB＝5，AC＝3，则DF的长为( ) 典例1图 A．3 B．2.5 C．1.5 D．1 延长CF交AB于点H，证明△AFC≌△AFH可得CF＝FH，AH＝AC，然后求出BH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF＝BH. 变式1 [2024·达州模拟]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是( ) 变式1图 A．2 B．3 C．4 D．5 变式2 如图所示，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是( ) 变式2图 A．50° B．40° C．30° D．20° 变式3 [2024·徐州期中]如图，点D，E，F是△ABC各边的中点，CH⊥AB，垂足为H，若∠EHF＝85°，则∠FDE＝ °. 变式3图 构造三角形中位线进行证明 典例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是两条对角线BD，AC的中点．求证：MN＝(BC－AD)． 典例2图 变式 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝BD，E，F分别是四边形ABCD边AD，BC的中点，EF分别交AC，BD于点G，H. 求证：∠OGH＝∠OHG. 变式图 中点四边形 典例3 [2024·永州期末]如果点E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD应具备的条件是( ) A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 变式 [2024·西安期末]已知：点 E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边中点，顺次连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH.有下列说法： ①四边形EFGH是平行四边形 ②当四边形ABCD为平行四边形时，四边形EFGH是菱形 ③当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形 ④当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形 ⑤若四边形EFGH是正方形，则四边形ABCD一定是正方形． 其中正确的是( ) 变式图 A．①③④ B．①②⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 1．[2024·烟台期中]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为( ) 第1题图 A．2.5 B．5 C．3 D．6 2．[2024·济南期中]如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长( ) 第2题图 A．只与AB，CD的长有关 B．只与AD，BC的长有关 C．只与AC，BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关 3．[2024·德州期中]如图，在▱ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接EF，FG，GH，EH，则下列说法中，不正确的是( ) 第3题图 A．四边形EFGH为平行四边形 B．若四边形EFGH为矩形，则▱ABCD为菱形 C．若四边形EFGH为菱形，则▱ABCD为菱形 D．若四边形EFGH正方形，则▱ABCD为正方形 4．[2024·烟台期末]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，P是BC上任意一点，△ABC的面积为S，那么△PDE面积为 ． 第4题图 5．[2024·淄博期末]已知，如图△ABC中，点E是边AC的中点，点F是BE的中点，连接AF并延长，交边BC于点D，BD＝2.则边BC的长为 ． 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形的中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线． (1)三角形的中位线是线段；(2)一个三角形有三条中位线． 三角形的中位线性质定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 在三角形问题中，已知某条边的中点，常考虑作过该中点的三角形中位线，利用中位线定理解决问题． 中点四边形(拓展) 定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 原四 边形 一般四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方 形 对角线 关系 — 互相 平分 相等 垂直 相等 且垂直 中点四 边形 平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方 形 与三角形中位线有关的计算 典例1 如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB＝5，AC＝3，则DF的长为( D ) 典例1图 A．3 B．2.5 C．1.5 D．1 延长CF交AB于点H，证明△AFC≌△AFH可得CF＝FH，AH＝AC，然后求出BH，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF＝BH. 变式1 [2024·达州模拟]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是( B ) 变式1图 A．2 B．3 C．4 D．5 变式2 如图所示，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是( D ) 变式2图 A．50° B．40° C．30° D．20° 变式3 [2024·徐州期中]如图，点D，E，F是△ABC各边的中点，CH⊥AB，垂足为H，若∠EHF＝85°，则∠FDE＝85°. 变式3图 构造三角形中位线进行证明 典例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是两条对角线BD，AC的中点．求证：MN＝(BC－AD)． 典例2图 连接AM并延长交BC于点E，根据四边形ABCD是梯形，得出AD∥BC，可证明△AMD≌△EMB，再利用M，N分别是AE，AC的中点，证明MN为△AEC的中位线即可． 证明：连接AM并延长交BC于点E， 典例2图 ∵AD∥BC， ∴∠MAD＝∠MEB，∠MDA＝∠MBE， 又∵M为BD的中点， ∴MD＝MB， ∴△AMD≌△EMB(AAS)， ∴AD＝BE，AM＝ME. ∴M为AE中点， ∵N为AC中点， ∴MN为△AEC的中位线， ∴MN＝EC＝(BC－BE)＝(BC－AD)． 变式 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝BD，E，F分别是四边形ABCD边AD，BC的中点，EF分别交AC，BD于点G，H. 求证：∠OGH＝∠OHG. 变式图 解：取DC边的中点M，连接EM，FM， 变式图 ∵M，F分别是DC，BC的中点， ∴MF∥BD，MF＝BD， 同理，ME∥AC，ME＝AC， ∵AC＝BD， ∴ME＝MF， ∴∠MEF＝∠MFE， ∵MF∥BD， ∴∠MFE＝∠OHG， 同理，∠MEF＝∠OGH， ∴∠OGH＝∠OHG. 中点四边形 典例3 [2024·永州期末]如果点E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD应具备的条件是( B ) A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 根据已知条件可以得出要使四边形EFGH为菱形，应使EH＝EF＝FG＝HG，根据三角形中位线的性质可以求出四边形ABCD应具备的条件． 变式 [2024·西安期末]已知：点 E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边中点，顺次连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH.有下列说法： ①四边形EFGH是平行四边形 ②当四边形ABCD为平行四边形时，四边形EFGH是菱形 ③当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形 ④当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形 ⑤若四边形EFGH是正方形，则四边形ABCD一定是正方形． 其中正确的是( A ) 变式图 A．①③④ B．①②⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 1．[2024·烟台期中]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为( A ) 第1题图 A．2.5 B．5 C．3 D．6 2．[2024·济南期中]如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是线段AB，CD，AC，BD的中点，则四边形EGFH的周长( B ) 第2题图 A．只与AB，CD的长有关 B．只与AD，BC的长有关 C．只与AC，BD的长有关 D．与四边形ABCD各边的长都有关 3．[2024·德州期中]如图，在▱ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接EF，FG，GH，EH，则下列说法中，不正确的是( C ) 第3题图 A．四边形EFGH为平行四边形 B．若四边形EFGH为矩形，则▱ABCD为菱形 C．若四边形EFGH为菱形，则▱ABCD为菱形 D．若四边形EFGH正方形，则▱ABCD为正方形 4．[2024·烟台期末]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，P是BC上任意一点，△ABC的面积为S，那么△PDE面积为S． 第4题图 5．[2024·淄博期末]已知，如图△ABC中，点E是边AC的中点，点F是BE的中点，连接AF并延长，交边BC于点D，BD＝2.则边BC的长为6． 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$