2025年新高考数学实战卷-2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

2025年新高考数学实战卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．记复数的共轭复数为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．已知，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 6．已知，，且，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，点为轴上一点（，，三点不共线），满足的面积是面积的2倍，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知一个棱长为2的正方体，点是其内切球上两点，是其外接球上两点，连接，且线段均不穿过内切球内部，当四面体的体积取得最大值时，异面直线与的夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知在正项等比数列中，，，则（    ） A．的公比为2 B．的通项公式为 C． D．数列为递增数列 10．已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，，，，，若，，成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．该组数据的中位数为4，众数是4 B．该组数据的平均数为，分位数是5 C．该组数据的平均数为3，方差小于3 D．该组数据的极差为5，方差大于3 11．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．的极大值点为 B．函数的零点个数为3 C．函数的零点个数为7 D．的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，则常数项为 .（用数字作答） 13．曲线与曲线公切线斜率的最小值为 ． 14．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数，. (1)当时，求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 16．如图多面体中，四边形为菱形，且，，，，M，N分别为棱，上的点且，. (1)用向量法证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆上一点的直线的方程为，直线与椭圆相交于两点，平面内一点满足，且点在上移动. （i）当为何值时，点在上运动？ （ii）当时，试问四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 18．甲，乙手中各有一个设备，可以各自输入一个数字，设置完数字后每次按下按钮，设备有p的概率显示0，的概率显示1，每次按按率显示的结果相互独立．设甲，乙输入的数字分别为a，b，且保持不变，随后进行游戏：甲乙同时按下按钮，若显示的结果之和为0，则乙得1分，甲不得分；若显示的结果之和为1，则甲得2分，乙不得分；若显示的结果之和为2，则乙得3分，甲不得分． (1)若，，进行5轮游戏后甲的累计得分为，求； (2)在不知道乙输入的数字b的值的情况下，甲想要每轮游戏的得分期望比乙高，则甲输入的数字a的取值范围是多少？ 19．如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． (1)已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． (2)设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； (3)设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高考数学实战卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．记复数的共轭复数为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则. 故选：D. 2．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】全集， 则 故选：D 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 由向量模长公式得，， 由向量夹角公式得， 因为，所以，故A正确. 故选：A 4．设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】因为，则，所以或， 则“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 5．已知，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线过点，画出图象如下图所示，， 由于直线与线段没有公共点，当时，直线与线段有公共点，不符合题意， 当时，直线的斜率为， 根据图象可知的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：A. 6．已知，，且，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 即，即. 又， 等号当且仅当时成立. 故选：A. 7．已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，点为轴上一点（，，三点不共线），满足的面积是面积的2倍，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意知，点，设直线的方程为，， 联立，得， 所以， 因为点为轴上一点，的面积是面积的2倍， 所以， 又因为三点共线， 所以，即， 即， 所以， 即， 所以， 故选：D. 8．已知一个棱长为2的正方体，点是其内切球上两点，是其外接球上两点，连接，且线段均不穿过内切球内部，当四面体的体积取得最大值时，异面直线与的夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径， 依题意知，最长为，最长为内切球的直径2， 由三角形面积公式，若为定值时，时面积最大， 画出图形如图所示，其中分别是所在正方形的中心，是内切球与外接球的球心，    由正方体性质知，，，， 又，故此时四面体的体积取得最大， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线与所成的角， 在中，， 由余弦定理得 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是依题意画出符合的图形，再利用等体积法找到体积最大时，异面直线的夹角，再利用余弦定理求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知在正项等比数列中，，，则（    ） A．的公比为2 B．的通项公式为 C． D．数列为递增数列 【答案】AC 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，，所以， 又，所以，即， 所以，，A，C正确，B错误； 对于D，，则数列为递减数列，D错误． 故选：AC． 10．已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，，，，，若，，成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．该组数据的中位数为4，众数是4 B．该组数据的平均数为，分位数是5 C．该组数据的平均数为3，方差小于3 D．该组数据的极差为5，方差大于3 【答案】AC 【详解】选项A，因该组数据的众数是4，故至少有两个4，又成等差数列， 故，满足中位数为4，此时该组数据中没有点数6，故A正确； 选项B，因成等差数列，则，不妨设， 因该组数据的平均数为3，故，得，故， 因，故，故将5个数从小到大排列为， 因，故分位数是第4个数和第5个数的平均数，即， 故，故该组数据中有点数6，故B错误； 选项C，因成等差数列，则，不妨设， 因该组数据的平均数为3，故，得， 故，， 因，故，得， 由题意可知c可能取值为， 该组数据的方差为， 当时，，，方差为； 当时，，，方差为2； 当时，，，方差为， 故当方差小于3时，数据中没有点数6，故C正确； 选项D，因该组数据的极差为5，数据最小值为1，故该组数据中有点数6， 不妨取，且设，因成等差数列，则，即， 因，即，即， 由题意可知b可能取值为， 当时，，该组数据的平均为， 该组数据的方差为，符合方差大于3， 当时，，该组数据的平均为， 该组数据的方差为，符合方差大于3， 当时，，该组数据的平均为， 该组数据的方差为，符合方差大于3， 综上，该组数据中有点数6，D错误， 故选：AC. 11．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．的极大值点为 B．函数的零点个数为3 C．函数的零点个数为7 D．的解集为 【答案】ABC 【详解】由题意得， 当时，，得， 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为1， 又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对； 当时，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以，所以    分别画出和的图象， 得函数的零点个数为3，B对； 令，得或或， 令，得，或， 如图，分别画出的图象，    由图可知：函数的零点个数为7， C 对； 令，则， 故D错； 故选：ABC 【点睛】方法点睛： 对于零点个数的求法：一是通过解方程求出零点，二是数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，则常数项为 .（用数字作答） 【答案】240 【详解】因为二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，所以，则， 二项式的通项为：，， 令，得，故常数项是. 故答案为：. 13．曲线与曲线公切线斜率的最小值为 ． 【答案】 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 求导得，，则，且， 由，两边取对数整理得：，代入，可得， 令，求导得， 则当时，，当，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以斜率的最小值为. 故答案为： 14．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数，. (1)当时，求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 【答案】(1)极大值点，无极小值点； (2)当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减； (3). 【详解】（1）当时，，定义域为. ， 令，得, 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 在时取得极大值，无极小值. 所以的极大值点是，无极小值点. （2），则，， 当时，恒成立，函数单调递减； 当时，， ，，函数单调递增， ，，函数单调递减. 综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）函数在上恒小于0，等价于. 由（2）知， 当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意； 当时，若，即，函数在上单调递减， 故，成立，故符合题意； 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，故； 若，即，函数在上单调递增， 故，解得， 故无解. 综上所述：. 16．如图多面体中，四边形为菱形，且，，，，M，N分别为棱，上的点且，. (1)用向量法证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由，，可得，， 因四边形为菱形，可得， 则， 所以向量，，共面， 又因为平面，且平面内， 故平面. （2）解：在平面内，作， 因为四边形是边长为2的菱形，可得 所以，且. 因为平面平面，平面平面，且， 所以平面. 以C为坐标原点，，，所在直线，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，由，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆上一点的直线的方程为，直线与椭圆相交于两点，平面内一点满足，且点在上移动. （i）当为何值时，点在上运动？ （ii）当时，试问四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）四边形的面积为定值，定值为. 【详解】（1）由，得，即. 因为点在椭圆上，所以， 所以，即，即， 解得，所以. 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为点在上，所以. 由（1）得的方程为，即. 设，由，得. 联立消去得. 因为点在内部，所以恒成立，且. 所以. 因为，所以，即. 若点在上，则，比较得，解得. 所以当时，，点在上运动. （ii）四边形的面积为定值，理由如下： 当时，的方程，且点在上. 由（i）得且，且. 所以 ， 点到直线的距离为. 因为，所以四边形是平行四边形. 所以为定值. 所以当时，四边形的面积为定值，定值为. 【点睛】本题考查韦达定理在直线和椭圆的位置关系中的应用，考查椭圆里面三角形的面积的求法. 18．甲，乙手中各有一个设备，可以各自输入一个数字，设置完数字后每次按下按钮，设备有p的概率显示0，的概率显示1，每次按按率显示的结果相互独立．设甲，乙输入的数字分别为a，b，且保持不变，随后进行游戏：甲乙同时按下按钮，若显示的结果之和为0，则乙得1分，甲不得分；若显示的结果之和为1，则甲得2分，乙不得分；若显示的结果之和为2，则乙得3分，甲不得分． (1)若，，进行5轮游戏后甲的累计得分为，求； (2)在不知道乙输入的数字b的值的情况下，甲想要每轮游戏的得分期望比乙高，则甲输入的数字a的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）每轮游戏甲要么得2分，要么不得分. 设事件A为甲得2分，由题意得， 设5轮游戏中甲有得分的轮数为X，则，， 由二项分布的期望公式知，因此. （2）设每轮游戏甲的得分期望为，乙的得分期望为， 由题意得的可能取值为0，2， ， ∴， 的可能取值为0，1，3， ；， ∴， 对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，是关于b的一次函数， 因此对成立，解得， 故a的取值范围为． 19．如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足与均是公差不为的等差数列． … … … … 若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定． (1)已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定： 条件“已知”； 条件“已知”． (2)设条件“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为； (3)设条件“已知集合或其中中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定． 【答案】(1)数表不能被确定，数表能被确定 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）数表不能被确定；数表能被确定． 对于条件，假设数表中每行、每列的公差都相等，均为， 则，，， 则， 、均无法确定，故数表不能被确定； 对于条件，因为、确定，可以根据确定，则第二行可以全部确定， 低于第二列，由于确定，结合可确定第二列的公差，进而可求出，则第二列可以全部确定， 对于第三行，由于确定了，结合可求出第三行的公差，由此可确定，则第三行可以全部确定， 对于第一列，由于确定了、，可以求出第一列的公差，由此可确定，则第一列可以全部确定， 综上所述，数表可由条件确定. （2）对于一个公差为的等差数列，若知其中两项与， 便可根据，求出该等差数列中的每一项． 故对于数表中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数． 一方面，若知这个数，则无法求出，故不能得出数表中所有的数， 所以． 另一方面，若知数表中的任意个数，则必存在表中的两行，且这两行中至少有两个数已知， 于是数表中这两行的数都能被求出，即数表中每一列都至少有两个数已知， 所以数表中所有的数都能求出，即能被确定． 综上，的最小值为． （3）当时，若知中的个数，则不能求出中所有的数． 当时，已知与中的任意个数， 则必存在两个数在中位于同一行（记为第行），从而可求出这一行中的所有数． 因为与中至多有两个数在同一行， 所以除去第行的两个数外，余下已知的个数必在其余的行中． 当时，通过列举可知：余下已知的2个数不在同一列中（所在列分别记为第列和第列）； 当时，， 因为在与中至多有两个数在同一列， 所以至少有两列（记为第列和第列）中含有这已知的数中的数． 又因为第行的数均已得到， 所以在第列与第列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出， 于是数表中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表中所有的数． 综上，的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$