6.1 平行四边形及其性质 　导学案　2024—2025学年青岛版数学八年级下册

平行四边形的定义、表示方法 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”． 平行四边形的定义既是性质，也是判定．平行四边形通常用“▱”表示．平行四边形的表示方法的字母一般按一定的方向(顺时针或逆时针)依次表示各个顶点． 平行四边形的性质 1．边：平行四边形的对边相等且平行． 2．角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 3．对角线：平行四边形的对角线互相平分． 在平行四边形问题中常作对角线化四边形问题为三角形问题；或在对角线交点两侧构造全等三角形作为问题的突破点． 夹在平行线间的平行线段、垂线段的性质 1．夹在两条平行直线间的平行线段相等． 2．如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等． 平行四边形的对角线的几个结论 1．平行四边形的每条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形． 2．平行四边形中，两条对角线分得的四个三角形的面积相等． 3．过平行四边形两条对角线交点的直线平分平行四边形的周长和面积． 平行四边形的定义 典例1 如图所示，平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF，GH相交于点O，则图中平行四边形的个数为( A ) 典例1图 A．9 B．8 C．6 D．4 根据平行四边形的定义和题意，即可得出答案． 变式 如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，AF与BE交于点H，BG与CF交于点I，则图中平行四边形有( B ) 变式图 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 平行四边形边的性质 典例2 [2023·福建]如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为10. 典例2图 由平行四边形的性质及三角形全等可得出CF＝AE. 变式 [2024·西安期中]如图所示，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，则CF的长是( B ) 变式图 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 平行四边形角的性质 典例3 [2024·济宁期中]若平行四边形中两个内角的度数比为4∶5，则其中较小内角的度数是( C ) A．40° B．60° C．80° D．100° 首先设平行四边形中两个内角分别为4x，5x，由平行四边形的邻角互补，即可得4x＋5x＝180°，继而求得答案． 变式 [2024·济南期中]如图，在▱ABCD中，∠D＝66°，∠ACB＝36°，则∠BAC的度数为( D ) 变式图 A．72° B．74° C．76° D．78° 平行四边形对角线的性质 典例4 [2024·德州期中]在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AC＋BD＝10，BC＝4，则△AOD的周长为( C ) A．14 B．12 C．9 D．7 根据平行四边形的性质可得：OA＋OD＝(AC＋BD)＝5，AD＝BC＝4，则△AOD的周长为5＋4＝9. 变式 [2024·泰安期末]如果平行四边形一边长为10 cm，那么它的两条对角线的长度可以是( D ) A．6 cm，8 cm B．6 cm，10 cm C．8 cm，12 cm D．20 cm，30 cm 平行四边形探究创新类 典例5 如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72 cm2，AD＝12 cm.沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为( A ) 典例5图 A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．28 cm 由题意可得图2中的对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形AD边上的高相等，进而利用面积与边的关系求出AD边的高即可． 变式 如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF.从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，路线2是B⇒C⇒F⇒E，求路线2的长度． 变式图 解：延长FD交AB于点G， 变式图 ∵BC∥DF，AB∥DC， ∴四边形BCDG是平行四边形， ∴DG＝CB. ∵CE垂直平分AF， ∴FE＝AE，FD＝AD，∠FDE＝∠ADE， ∵AB∥CD， ∴∠ADE＝∠DAG，∠FDE＝∠DGA， ∴∠DAG＝∠DGA， ∴AD＝DG， ∴AD＝FD＝BC. ∵DF∥CB，∴∠FDC＝∠BCD. 在△FDC和△BCD中， ∴△FDC≌△BCD(SAS)， ∴FC＝BD. ∴路线2的长度：BC＋CF＋FE＝AD＋BD＋AE＝5(公里)． 1．[2023·潍坊期末]如图，在平行四边形ABCD中，∠A－∠B＝50°，则∠A的度数是( B ) 第1题图 A．130° B．115° C．65° D．50° 2．[2024·泰安期末]如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4，▱ABCD的周长是26，则DM等于( C ) 第2题图 A．3 B．4 C．5 D．6 3．[2023·聊城期中]平行四边形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝8，交点为点O，则边AB的取值范围为( B ) A．1<AB<2 B．2<AB<10 C．4<AB<10 D．4<AB<20 4．[2024·临沂期中]如图，平行四边形ABCD两对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝12，若△COB的周长为11，则AD＝5． 第4题图 5．[2024·滨州期中]如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD垂足分别为E，F.求证：BE＝DF. 第5题图 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴BE＝DF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行四边形的定义、表示方法 两组对边分别 的四边形叫做平行四边形．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，记作 ，读作“平行四边形ABCD”． 平行四边形的定义既是性质，也是判定．平行四边形通常用“▱”表示．平行四边形的表示方法的字母一般按一定的方向(顺时针或逆时针)依次表示各个顶点． 平行四边形的性质 1．边：平行四边形的 相等且平行． 2．角：平行四边形的 相等，邻角 3．对角线：平行四边形的对角线 ． 在平行四边形问题中常作对角线化四边形问题为三角形问题；或在对角线交点两侧构造全等三角形作为问题的突破点． 夹在平行线间的平行线段、垂线段的性质 1．夹在两条平行直线间的平行线段 ． 2．如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的 ． 平行四边形的对角线的几个结论 1．平行四边形的每条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形． 2．平行四边形中，两条对角线分得的四个三角形的面积相等． 3．过平行四边形两条对角线交点的直线平分平行四边形的周长和面积． 平行四边形的定义 典例1 如图所示，平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF，GH相交于点O，则图中平行四边形的个数为( ) 典例1图 A．9 B．8 C．6 D．4 变式 如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG，AF与BE交于点H，BG与CF交于点I，则图中平行四边形有( ) 变式图 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 平行四边形边的性质 典例2 [2023·福建]如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为 . 典例2图 变式 [2024·西安期中]如图所示，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，则CF的长是( ) 变式图 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 平行四边形角的性质 典例3 [2024·济宁期中]若平行四边形中两个内角的度数比为4∶5，则其中较小内角的度数是( ) A．40° B．60° C．80° D．100° 变式 [2024·济南期中]如图，在▱ABCD中，∠D＝66°，∠ACB＝36°，则∠BAC的度数为( ) 变式图 A．72° B．74° C．76° D．78° 平行四边形对角线的性质 典例4 [2024·德州期中]在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AC＋BD＝10，BC＝4，则△AOD的周长为( ) A．14 B．12 C．9 D．7 变式 [2024·泰安期末]如果平行四边形一边长为10 cm，那么它的两条对角线的长度可以是( ) A．6 cm，8 cm B．6 cm，10 cm C．8 cm，12 cm D．20 cm，30 cm 平行四边形探究创新类 典例5 如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72 cm2，AD＝12 cm.沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为( ) 典例5图 A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．28 cm 变式 如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF.从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，路线2是B⇒C⇒F⇒E，求路线2的长度． 变式图 1．[2023·潍坊期末]如图，在平行四边形ABCD中，∠A－∠B＝50°，则∠A的度数是( ) 第1题图 A．130° B．115° C．65° D．50° 2．[2024·泰安期末]如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4，▱ABCD的周长是26，则DM等于( ) 第2题图 A．3 B．4 C．5 D．6 3．[2023·聊城期中]平行四边形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝8，交点为点O，则边AB的取值范围为( ) A．1<AB<2 B．2<AB<10 C．4<AB<10 D．4<AB<20 4．[2024·临沂期中]如图，平行四边形ABCD两对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝12，若△COB的周长为11，则AD＝ ． 第4题图 5．[2024·滨州期中]如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD垂足分别为E，F.求证：BE＝DF. 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$