6.2 平行四边形的判定　导学案　 2024-2025学年青岛版数学八年级下册

平行四边形的判定定理 1．定理1：一组对边 且 的四边形是平行四边形． 2．定理2：两组对边分别 的四边形是平行四边形． 3．两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)． 4．定理3：对角线 的四边形是平行四边形． 5．两组对角分别 的四边形是平行四边形．(填空、选择可直接用) (1)平行四边形的判定方法有多种，应根据条件选择适当的方法；(2)“平行且相等”用符号“綊”表示． 巧选平行四边形的证明思路 已知条件 证明思路 一组对边相等 1 另一组对边也相等 2 ②相等的边也平行 一组对边平行 1 另一组对边也平行 2 ②平行的边也相等 一组对角相等 另一组对角也相等 对角线相交 对角线互相平分 平行四边形判定方法的选用 典例1 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连接BF，CE. (1)求证：四边形BECF是平行四边形； (2)若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形． 典例1图 变式1 [2024·乐山]下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC 变式2 [2024·济宁]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形． 变式2图 平行四边形的性质与判定的综合应用 典例2 如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF过点O且与AD，BC分别交于点E，F，猜想线段AF，CE的关系，并说明理由． 典例2图 变式 [2024·济南期中]如图，▱ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF. (1)求证：∠DAE＝∠BCF； (2)连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形． 变式图 平行四边形中的运动问题 典例3 [2024·德州期中]如图，在▱ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以1 cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4 cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止运动)．设运动t(s)(其中t>0)时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为( ) 典例3图 A．4.8 B．8或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 变式 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向点B以3 cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形． 变式图 1．[2024·泸州期中]如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件( ) 第1题图 A．AB＝DC B．∠1＝∠2 C．AD＝BC D．∠D＋∠BCD＝180° 2．[2023·聊城期中]如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) 第2题图 A．∠D＝∠5 B．AD＝BC C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠D 3．[2023·青岛期末]如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN ②∠FAN＝∠CDM ③AM＝DN ④∠AMB＝∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是( ) 第3题图 A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 4．如图，在等边△ABC中，AB＝5 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)，则当t＝ s时，以A，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形． 第4题图 5．[2024·武汉]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE. (1)求证：△ABE≌CDF； (2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．(不需要说明理由) 第5题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行四边形的判定定理 1．定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2．定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)． 4．定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(填空、选择可直接用) (1)平行四边形的判定方法有多种，应根据条件选择适当的方法；(2)“平行且相等”用符号“綊”表示． 巧选平行四边形的证明思路 已知条件 证明思路 一组对边相等 1 另一组对边也相等 2 ②相等的边也平行 一组对边平行 1 另一组对边也平行 2 ②平行的边也相等 一组对角相等 另一组对角也相等 对角线相交 对角线互相平分 平行四边形判定方法的选用 典例1 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连接BF，CE. (1)求证：四边形BECF是平行四边形； (2)若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形． 典例1图 (1)根据题目的条件，选取判定平行四边形的判定定理即可；(2)利用三角形的面积解答即可． 解：(1)证明：(方法一：一组对边平行且相等) ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴CF∥BE，∠CFD＝∠BED＝90°. 又∵CD＝BD，∠CDF＝∠BDE， ∴△CDF≌△BDE(AAS)，∴CF＝BE， ∴四边形BECF是平行四边形． (方法二：对角线互相平分) ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠CFD＝∠BED＝90°. ∵DC＝DB，∠CDF＝∠BDE， ∴△CDF≌△BDE(AAS)，∴DF＝DE， ∴四边形BECF是平行四边形． (方法三：两组对边分别平行)． ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴CF∥BE，∠CFD＝∠BED＝90°. ∵CD＝BD，∠CDF＝∠BDE， ∴△CDF≌△BDE(AAS)，∴DF＝DE， ∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD， ∴△BDF≌△CDE(SAS)， ∴∠FBD＝∠ECD，∴BF∥CE， ∴四边形BECF是平行四边形． (方法四：两组对边分别相等) ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠CFD＝∠BED＝90°. ∵CD＝BD，∠CDF＝∠BDE， ∴△CDF≌△BDE(AAS)， ∴CF＝BE，∠FCD＝∠EBD， ∵BC＝CB， ∴△BCF≌△CBE(SAS)， ∴BF＝CE. ∴四边形BECF是平行四边形； (2)与△ABD面积相等的三角形有△ACD，△CEF，△BEF，△BEC，△BFC. 变式1 [2024·乐山]下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( D ) A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC 变式2 [2024·济宁]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件AD∥BC(答案不唯一)，使四边形ABCD是平行四边形． 变式2图 平行四边形的性质与判定的综合应用 典例2 如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF过点O且与AD，BC分别交于点E，F，猜想线段AF，CE的关系，并说明理由． 典例2图 先证明四边形AFCE是平行四边形，从而推出AF，CE的关系． 解：AF＝CF且AF∥CE，理由如下： 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF＝CE且AF∥CE(平行四边形的对边相等且平行)． 变式 [2024·济南期中]如图，▱ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF. (1)求证：∠DAE＝∠BCF； (2)连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形． 变式图 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠DAB＝∠BCD， ∴∠ABD＝∠CDB， 在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)， ∴∠BAE＝∠DCF， ∠DAB－∠BAE＝∠DCB－∠DCF， 即∠DAE＝∠BCF； (2)连接AF，CE. 变式图 由(1)得，△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 平行四边形中的运动问题 典例3 [2024·德州期中]如图，在▱ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以1 cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4 cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止运动)．设运动t(s)(其中t>0)时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为( D ) 典例3图 A．4.8 B．8或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 根据题意，分四种情况讨论：(1)点Q运动路线是C－B；(2)点Q运动路线是C－B－C；(3)点Q运动路线是C－B－C－B；(4)点Q运动路线是C－B－C－B－C，分别求解即可． 变式 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向点B以3 cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发2或3秒后其中一个新四边形为平行四边形． 变式图 1．[2024·泸州期中]如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件( C ) 第1题图 A．AB＝DC B．∠1＝∠2 C．AD＝BC D．∠D＋∠BCD＝180° 2．[2023·聊城期中]如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( B ) 第2题图 A．∠D＝∠5 B．AD＝BC C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠D 3．[2023·青岛期末]如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN ②∠FAN＝∠CDM ③AM＝DN ④∠AMB＝∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是( A ) 第3题图 A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 4．如图，在等边△ABC中，AB＝5 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)，则当t＝或5s时，以A，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形． 第4题图 5．[2024·武汉]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE. (1)求证：△ABE≌CDF； (2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．(不需要说明理由) 第5题图 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D， ∵AF＝CE， ∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE， 在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)； (2)添加AF＝BE(答案不唯一)． 如图所示，连接EF. 第5题图 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥BE， 当AF＝BE时，四边形ABEF是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$