精品解析：辽宁省沈阳市虹桥初级中学2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年度上学期八年级期中学业水平调研 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 因此的相反数是． 故选C． 2. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴上的点的坐标特点纵坐标为0，即求得的值，进而求得点的坐标 【详解】解：∵点在轴上， ∴ 解得 故选A 【点睛】本题考查了轴上的点的坐标特征，理解“轴上的点的坐标特点是纵坐标为0”是解题的关键．平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点：①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0； ④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0． 3. 三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵，三角形内角和为， ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形，故B选项符合题意； ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5. 下列各组数值中，哪个是方程的解（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题较简单，只要用代入法把x，y的值一一代入，根据解的定义判断即可． 【详解】解：A、将代入方程，得：左边＝1＋4＝5≠右边，故此选项不是方程的解，不符合题意； B、将代入方程，得左边＝－1＋6＝5≠右边，故此选项不是方程的解，不符合题意； C、将代入方程，得左边＝4＋2＝6＝右边，故此选项是方程的解，符合题意； D、将代入方程，得左边＝−2＋4＝2≠右边，故此选项不是方程的解，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题关键掌握二元一次方程的解的定义及判断方法． 6. 如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上、的坐标分别为，，那么点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用已知点位置得出原点位置，作出平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 点A的坐标为：，故A正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题关键． 7. 直线与x轴的交点坐标是，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，b为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．相当于已知直线确定它与x轴的交点的横坐标的值． 方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标． 【详解】解：∵直线与x轴的交点坐标是， ∴关于x的方程的解是． 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：一次函数的一次项系数为−1<0，常数项为， 函数图象经过一、二、四象限 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 9. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，”列出方程组，即可解题． 【详解】解：由题可得：，， 方程组为， 故选：A． 10. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城距离y（km）与行驶的时间t（h）之间的函数关系如下图所示．其中正确的结论是①A，B两城相距300km；②甲车的速度是60km/h，乙车的速度是75km/h；③乙车出发后2.5h追上甲车；④当甲、乙两车均在行驶的过程中，且相距50km时，或（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图像中获取信息，一元一次方程的应用， 观察图像可解答①；再根据路程除以时间求出速度判断②；然后根据两车行驶的路程判断③；最后根据行驶过程中两车的路程等于50列出方程，求出解即可判断④. 【详解】解：观察图像可知A，B两城相距，所以①正确； 甲车的速度是，乙车的速度是，所以②不正确； 乙车出发后行驶的路程为，此时甲车行驶的路程为，所以③不正确； 当甲乙两车相距时，设甲车行驶的时间为t小时， 当乙车出发后，两车相遇前，，解得； 当两车相遇后，乙车没有到B城，，解得； 由上述可知，当甲,乙两车均在行驶的过程中，相距时，或. 所以④正确. 故选：D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是______；的平方根是______． 【答案】 ①. -3； ②. 3 【解析】 【分析】根据立方根的定义求一个数的立方根，根据平方根的定义求一个数的平方根． 【详解】解：的立方根是-3；的平方根是3， 故答案为：-3，3． 【点睛】此题考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，熟记立方根的定义及平方根的定义是解题的关键． 12. 平面内点到轴的距离是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查点坐标到坐标轴距离．根据题意可知点在第二象限，第二象限点坐标到轴距离为横坐标的绝对值，继而得到答案． 【详解】解：∵， ∴点到轴的距离是：， 故答案为：1． 13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由交点坐标，代入求出的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标求出方程组的解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴， 解得， ∴， ∴的解是． 14. 点，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质， 根据一次函数值y随着x的增大而增大，可得答案. 【详解】解：∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大. ∵， ∴. 故答案为：. 15. 如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 分两种情形，当或时，分别画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ， ， ∴点三点共线， ， 由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 当时， ， ， ； 不可能为， 综上，或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可； （2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算． 【详解】解：（1）原式＝ ； （2）解：原式＝ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17. 用适当的方法解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将①代入②可求解x值，将x=1代入①可求解y值，进而解方程； （2）①×2+②×3可求解x值，再将x值代入①可求解y值，进而解方程． 【小问1详解】 解：， 将①代入②得5x+2（x-1）=5， 解得x=1， 将x=1代入①得y=1-1=0， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ①×2+②×3得13x=78， 解得x=6， 将x=6代入①得2×6-3y=6， 解得y=2， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组：加减消元法，代入消元法，选择合适的解法是解题的关键． 18. 如图，点A，B在边长为1的正方形网格中的位置如图所示． （1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，并描出点； （2）连接点A，B，C，作出关于x轴对称的； （3）在y轴上找点P，使最小，最小值为______，此时点P坐标为______． 【答案】（1）见解答 （2）见解答 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标建立平面直角坐标系，然后描出点即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得的最小值；利用待定系数法求出直线的解析式再令，求出的值，即可得点坐标． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系以及描出点如图所示． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴设直线的解析式为， 令，得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 某商场购进商品后，加价作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到九折和八折，共付款1008元，两种商品原销售价之和为1200元，甲，乙商品进价分别为多少元？ 【答案】甲商品的进价为400元，乙商品的进价为600元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据两种商品原销售价之和为1200元可得，根据某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到九折和八折，共付款1008元可得，建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元， 由题意得：， 解得， 答：甲商品的进价为400元，乙商品的进价为600元． 20. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 21. 如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数的解析式． （2）求的面积． （3）在x轴上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8 （3）存在，P点坐标或 【解析】 【分析】（1）先确定，结合，设，求解即可． （2）先确定，根据，求解即可． （3）设x轴上的点，一次函数的图象与x轴交于点D，根据题意，得，求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2， 当 时，， 故； 设，根据题意，得， 解得， 故． 【小问2详解】 解：一次函数的图象与y轴交于点A， 当 时，， 故， ， ． 【小问3详解】 解：设x轴上的点，一次函数的图象与x轴交于点D， 当 时，， 解得， 故， 故， 根据题意，得， ， ， 解得或， 故P点坐标或． 22. 我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1） ； （2），证明如下： 为勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高， ， ， 由勾股定理得： ， ，由于为正数， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （2）由可得：，根据勾股高三角形的定义得：，即可推出； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； （2）略 （3）如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 由（2）可知：， 又， ，， ， ， ， ， 而， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 23. 定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． （1）函数，是否存在“平衡点”，若存在求出“平衡点”坐标，若不存在，说明理由； （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； （3）将一次函数的图象关于y轴对称，若对称后的图象存在“平衡点”则k的取值范围为___________． 【答案】（1） ， ， 在和中， ， ； （2）0或或或 （3）且 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”，得到．以此为据，计算判断即可． （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，且 ，，根据题意，得，，确定“平衡点”，根据为等腰三角形，分类计算即可． （3）确定对称后函数解析式为，根据图象上存在“平衡点”，得到,表示出，根据，解答即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，且，，根据题意，得，， 解得，， ∴，， ∵过点A作轴，垂足为C． ∴， ∵为等腰三角形， 当时，得， ∴ 解得或； 当时，得， ∴ 解得； 当时，得， ∴ 解得或（舍去）， 综上所述，0或或或． 【小问3详解】 解：一次函数的图象关于y轴对称的直线为：， ∵上存在“平衡点”， ∴, ∴， ∴ 则且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了新定义问题，相反数的应用，方程组求交点，不等式的应用，坐标系中的对称变换，正确理解定义，熟练掌握解方程组是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期八年级期中学业水平调研 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 三角形中，，，对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数值中，哪个是方程的解（ ） A. B. C. D. 6. 如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上、的坐标分别为，，那么点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 直线与x轴的交点坐标是，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城距离y（km）与行驶的时间t（h）之间的函数关系如下图所示．其中正确的结论是①A，B两城相距300km；②甲车的速度是60km/h，乙车的速度是75km/h；③乙车出发后2.5h追上甲车；④当甲、乙两车均在行驶的过程中，且相距50km时，或（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①③ D. ①④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是______；的平方根是______． 12. 平面内点到轴的距离是________． 13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_____． 14. 点，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是______． 15. 如图，在中，，，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 用适当的方法解下列方程组： （1） （2） 18. 如图，点A，B在边长为1的正方形网格中的位置如图所示． （1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，并描出点； （2）连接点A，B，C，作出关于x轴对称的； （3）在y轴上找点P，使最小，最小值为______，此时点P坐标为______． 19. 某商场购进商品后，加价作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到九折和八折，共付款1008元，两种商品原销售价之和为1200元，甲，乙商品进价分别为多少元？ 20. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 21. 如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数的解析式． （2）求的面积． （3）在x轴上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 23. 定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． （1）函数，是否存在“平衡点”，若存在求出“平衡点”坐标，若不存在，说明理由； （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； （3）将一次函数的图象关于y轴对称，若对称后的图象存在“平衡点”则k的取值范围为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $