上海市高一数学下学期期中押题试卷01（范围：三角、三角函数）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

2024-2025学年高一数学下学期期中押题试卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：三角、三角函数） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若函数（其中常数）的最小正周期为，则 . 2．函数图像的对称轴方程是 . 3．若，，则 .（用符号表示） 4．已知是第四象限角，，则 . 5．在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 6．设函数在区间上恰有三个最值点，则的取值范围为 . 7．函数，则的最小值为 ． 8．已知，则 9．若，，则 ． 10．已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 11．已知，若，使成立，则 ． 12．（高考新趋势多结论）如图，与存在对顶角，且．则下列说法：①O是中点；②；③．正确的序号是 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列函数中在上为严格减函数的是（    ） A．； B．； C．； D．． 14．已知点是角终边上除原点外任意一点，，则（    ） A． B． C． D． 15．若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 16．设函数，对于以下两个判断，下列说法正确的是（    ） ①函数的一个周期为； ②函数的图象上存在点，使得其到点的距离为. A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．设函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值． 18．已知在中，三个内角所对的边分别为． (1)当时，求（用反余弦表示）． (2)当，时，的面积为，求的值． 19．（高考新趋势生活情境）某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形，经测量，边界m，，． (1)若的长为8m，求的长； (2)现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设） 20．（高考新趋势新文化信息）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度． (1)若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，且． ①求N，P之间的余弦距离； ②求N，P之间的曼哈顿距离． 21．（高考新趋势新定义）已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” (1)已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； (2)若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； (3)是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中押题试卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：三角、三角函数） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若函数（其中常数）的最小正周期为，则 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的周期公式求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：6 2．函数图像的对称轴方程是 . 【答案】（其中为整数）. 【分析】根据正弦函数的对称性，结合伸缩变换与平移变换的影响得出. 【详解】正弦函数的对称轴是直线（其中为整数）. 因为纵坐标的伸缩变换与上下平移变换均不影响水平方向的对称性. 函数的对称轴方程为（其中为整数）. 故答案为：为（其中为整数）. 3．若，，则 .（用符号表示） 【答案】 【分析】结合反三角函数的定义求结论即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 4．已知是第四象限角，，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为是第四象限角，， 所以，则. 故答案为： 5．在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以的面积等于. 故答案为：. 6．设函数在区间上恰有三个最值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用最值点的个数列出不等式求解. 【详解】当时，，由函数在区间上恰有三个最值点， 得三个最值点分别为，因此，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 7．函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值． 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 8．已知，则 【答案】/ 【分析】由，根据二倍角公式即可求解. 【详解】由，所以 ， 故答案为：. 9．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角的平方关系及二倍角公式可先求出，根据角的范围确定符号即可求解. 【详解】， . ，，，. 故答案为：. 10．已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数的图象及相关性质列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故. 故答案为： 11．已知，若，使成立，则 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式将方程化成，通过左右两边函数的值域比较,得到两边只能等于，求得，回代求出. 【详解】由可得，， 设. 依题意，，而，故， 由，可得，， 又由可得，， 因，则， ，故，解得，. 故答案为：. 12．（高考新趋势多结论）如图，与存在对顶角，且．则下列说法：①O是中点；②；③．正确的序号是 【答案】①② 【分析】设，，结合余弦定理，表示出与，利用化简判断①；借助全等三角形确定角的数量关系判断②；由求出，再利用正弦定理求出判断③. 【详解】设，，则，， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 由，得， 化简得：，因此为中点，①正确； 如图： 过点做，交与，则，而， ，则，，，②正确； 由，得，即， 整理得，而，解得，， ， 在中，由正弦定理，得，，③错误. 故答案为：①② 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列函数中在上为严格减函数的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】利用指数函数、三角函数的单调性判断即得. 【详解】函数在上单调递减，函数，，在上都单调递增. 故选：A 14．已知点是角终边上除原点外任意一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】根据三角函数的定义可知：， 因为，所以， 故选：C. 15．若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 16．设函数，对于以下两个判断，下列说法正确的是（    ） ①函数的一个周期为； ②函数的图象上存在点，使得其到点的距离为. A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】根据周期性的定义即可判断①；对于②，首先求出的取值范围，然后根据的取值范围进行分类讨论即可判断. 【详解】对于①，， ∴不是函数的一个周期，故①错误； 对于②，， ，即或. 当时，，， 满足此条件下的函数的图象上的点到点的距离为 ； 当时， 令，则， ∵函数在上单调递增，. ∴当时，， 满足此条件下的函数的图象上的点到点的距离为 ， 当且仅当且时等号成立， 又当时，，，或，， 满足此条件的与矛盾， 故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，故②错误. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．设函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值． 【答案】(1)， (2)最大值是2， 的最小值是， 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求最小正周期，利用整体法可求对称轴方程； （2）由已知可得的范围，进而结合正弦曲线的性质可求得函数的最值及此时的值. 【详解】（1）函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的图象对称轴方程为． （2）由（1）知，在上，， 故当，即时，取得最大值为2， 当，即时，取得最小值为， 故的最大值是2，此时的最小值是，此时． 18．已知在中，三个内角所对的边分别为． (1)当时，求（用反余弦表示）． (2)当，时，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先由正弦定理化角为边，利用余弦定理求出的值，判断角的范围即可求得； （2）由三角形面积公式求得或，再分情况利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）由正弦定理和，可得，不妨设，则， 由余弦定理，， 故，则. （2）因，，且的面积为， 由，可得， 因，故或. 当时，由余弦定理，； 当时，由余弦定理，. 故的值为或. 19．（高考新趋势生活情境）某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形，经测量，边界m，，． (1)若的长为8m，求的长； (2)现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设） 【答案】(1)m (2)m 【分析】（1）在中利用余弦定理即可； （2）设，在中利用正弦定理得出，再利用两角和差的正弦公式和辅助角公式化简，求三角函数的最值即可. 【详解】（1）由题意可知为等边三角形，即， 在中利用余弦定理得， 即，解得 m； （2）设，且， 则在中利用正弦定理得， 即， 则 ， 因，则，结合正弦函数图象可知，， 则，故， 则所需要的篱笆的最大长度为m. 20．（高考新趋势新文化信息）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度． (1)若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，且． ①求N，P之间的余弦距离； ②求N，P之间的曼哈顿距离． 【答案】(1)曼哈顿距离为2，余弦距离为 (2)①；② 【分析】（1）根据题意代入题目中的公式可得答案； （2）①根据条件和两角和的余弦公式可求答案；②先求解，结合和角公式可得答案. 【详解】（1）由题意； 因为， 所以余弦距离为. （2）①由题意， 由，可得，故； 因，故， 则， 又， 所以N，P之间的余弦距离为. ②由①可知，， ， 因，则， 所以N，P之间的曼哈顿距离为： . 21．（高考新趋势新定义）已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” (1)已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； (2)若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； (3)是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)，其中 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据条件得，再分类讨论论求出，最后利用正弦定理化简即可求出； （2）从特殊值入手，当时求出，再对任意性进行检验； （3）假设其存在性，再讨论满足题意的所有情况，然后再分类讨论并检验. 【详解】（1）因角A与自己本身互为“x级绝配角”，则， 因，则，故，则，则， 在中利用正弦定理，则化简为， 即， 在中，，则， 得，若，则， 则角均为钝角，不满足题意；若，则， 则角均为锐角，满足题意，故. （2）对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”， 则对，，有或，其中为常数， 若，由的任意性可得， 取，则； 取，则，故，其中为整数； 取，则，故，其中为整数； 故，矛盾； 故， 则当时，，则， 检验：当时，，若，则为任意整数均可；若，则为整数， 故而当时，对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”. （3）不存在，理由如下： 假设存在，存在整数使得其角均互为“x级绝配角”， 若互为“x级绝配角”有或①； 若互为“x级绝配角”有或②； 若互为“x级绝配角”有或③， 则角均互为“x级绝配角”时，则角在①②③中各满足1个， 共8种情况，由于三个字符的轮换性，故而只需研究以下两类即可， 即，或, （i）若， 因，则均为正数， 则， 由，则，则， 因函数在上单调递减，则，故均为锐角， 则化简为， 则，则或（舍）， 故， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. （ii）若， 若角为钝角，则由可得，， 则由，得，则角为钝角，不符合题意， 故为锐角三角形且； 又 ， 则，即，则， 将其代入中得， ，， 则为等边三角形， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. 综上，不存在三角形，使存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$