高一下学期期中真题百题大通关（压轴版）（范围：三角、三角函数）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

高一下学期期中真题百题大通关（压轴版） （范围：三角、三角函数） 一、单选题 1．（高一下·上海·期中）在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、三角形中的三角恒等式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】对于A，利用诱导公式化简已知可得2cos2cos1＝0，解方程可解得cos的值，可求范围∈（0，），即可判断； 对于B，利用SabsinC＝2R2sinAsinBsinC判定； 对于C，利用tanA＝﹣tan（B+C），计算即可； 对于D，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求A＝B＝C，结合已知即可判断得解． 【详解】解：对于A，因为sinsin（）＝cos， 若cosA＝sin，则可得2cos2cos1＝0，解得cos1，或， 因为A∈（0，π），可得∈（0，），可得cos∈（0，1），故错误； 对于B，SabsinC•2RsinA•2RsinB•sinC＝2R2sinAsinBsinC，故错误； 对于C，因为△ABC为非直角三角形，所以tanA＝﹣tan（B+C）， 则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故正确； 对于D，若，则，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，由于△ABC为非等边斜三角形，故错误． 故选：C． 2．（高一下·上海期中）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】连接AC，BD．利用正弦定理求出，，，再利用托勒密定理求出，即得解. 【详解】连接AC，BD． 由，及正弦定理，得， 解得，． 在中，，，， 所以． 因为四边形ABCD内接于半径为的圆， 它的对角互补，所以， 所以,所以， 所以四边形ABCD的周长为． 故选：A． 3．（高一下·上海徐汇·期中）数学中一般用表示a、b中的较小值，关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为；②的图像关于直线对称； ③的值域为；④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】辅助角公式、三角函数图象的综合应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题. 【详解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对①，由图可知，函数的最小正周期为，故①正确； 对②，由图可知，为函数的对称轴，故②正确； 对③，，由图可知，函数的值域为，故③错误； 对④，，，由图可知，函数在区间上单调递增，故④正确. 综上，真命题的个数为3个. 故选：C 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【知识点】正切函数图象的应用、求正切（型）函数的周期 【分析】根据已知条件得，求出，即可判断①；令，求出，解不等式，即可判断②. 【详解】依题意得，所以，故①为假命题； 所以， 令，得，，得，， 由，得，， 所以整数的值有个，函数在上有4048个零点，故②为真命题. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据为函数的一个周期，求出是解决本题的关键. 5．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】先化简解析式，再代入判断是否对称中心，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到新解析式即可判断. 【详解】由题意知， ， 代入得，所以（1）错误； 将函数的图象向左平移个单位长度得到，所以（2）正确. 故选：C. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 【答案】C 【知识点】二倍角的正弦公式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数值域的求解方法，以及平移规律，即可判断选项. 【详解】， 对于①，当时，，可得，可得的取值范围为，故①错误； 对于②，向右平移个单位长度得到，故②正确 故选：C 7．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的定义域、二倍角的余弦公式 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】由于， 且，故, 由于定义域不关于原点对称，因此无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数， 故选：D 8．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、二倍角的余弦公式 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 9．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、充分条件的判定及性质 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 10．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、和差化积公式 【分析】根据辅助角公式可得，即可利用换元法，结合二倍角公式以及和差化积公式，得，即可利用三角函数性质求解. 【详解】由可得, 故, 由于,设，则， 从而 即，进而， 由于,所以，因此中至少一个为0， 因此至少一个为0， 即至少一个为0，故中至少一个为0. 故选：B. 11．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据三角函数定义判断A，举反例判断BC，结合两角和差余弦公式判断D. 【详解】①当时，，①错误； ②同时满足的角，②错误； ③当， 故存在角和使得等式成立，③错误 ④正确，过程如下： 故选：A. 12．（22-23高一下·上海·期中）对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求含sinx的函数的奇偶性、求含sinx(型)函数的值域和最值、已知三角函数值求角 【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】函数，定义域为R， ①：因为，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确； ②：因为，所以，因此不成立，所以本结论不正确； ③：令，即，解得或，其中当时，， 显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确； ④：，解得或，其中当时，， ，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确； 所以4个结论中，正确的有2个. 故选：B. 13．（高一下·上海杨浦·期中）设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题： （1）若，则对任意实数x恒成立； （2）若，则函数为奇函数； （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则， 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否，利用反例可判断（4）的正误. 【详解】对于（1），即为， 即， 两边平方后可得，故或. 若，则，故， 此时， 若，则，故， 此时， 若或，则，故（1）成立. 对于（2），因为，则， 若均为零， 则, 其定义域为，且，故为奇函数； 若不全为零，不妨设，则， 故 ， 此时函数的定义域为，而，故为奇函数； 故（2）正确. 对于（3），因为，则， 若均为零， 则， 此时函数的定义域为，而，故为偶函数； 若不全为零，不妨设，则， 故 ， 此时函数的定义域为，而，故为偶函数； 故（3）正确. 对于（4），因为， 故， 整理得到：， 取，则， 即，故， 令，则， 而，故，故（4）错误， 故选：A. 【点睛】思路分析：对多变量的三角函数问题，需根据题设条件得到参数的关系，再根据关系式的形式合理消元反代，从而简化问题的讨论. 14．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 【答案】A 【知识点】三角函数综合、余弦函数图象的应用、判断零点所在的区间 【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，作出大致图象由零点存在性定理分区间讨论即可判定甲乙命题. 【详解】的零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标. 又注意到时，， 时，， ，时，. 据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示. 甲命题，注意到时，， ，. 结合图象可知当，，. 当，，.故甲正确； 乙命题，表示两点与间距离， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 即恒成立.故乙命题正确； 故选：A. 【点睛】思路点睛：由零点存在性定理结合余弦函数、反比例函数的图象，分区间讨论可判定甲，而乙命题转化为两点与间距离，根据图象分析即可. 15．（23-24高一下·上海·期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与方程的综合应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】由题意可得、均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分，，且及或，求解（3）． 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 因为为偶函数，所以函数的图像如下图所示： 因为， 所以为偶函数， 由可知，在,内， 当，时，， 当，且，时，， 当或，时，， 则函数的图像如下图所示： 显然不是周期函数，故（1）错误； 的图像不关于直线对称，故（2）错误； 因为当， 时，， 所以； 不存在，使，故无解； 当，且，时，， 所以； 如图所示， 此时有一个解； 当或，时，， 所以； 综上，方程有2个实数根，故（3）正确． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 16．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】半角公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】令，分别用表示，，，进而求得在，，中一定是有理数的个数. 【详解】， ， 则，则， 令，则为非零有理数， 若，则， 结合上述限制条件可得，此时， 故三者中有理数的个数为3个. 若， 则， 解之得，令，则， 由，可得，t为有理数， 则， ， 则均为有理数. 综上，在，，中，一定是有理数的有3个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：关键是得到是有理数且，从而即可顺利得解. 17．（23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 18．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、辅助角公式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 二、多选题 19．（高一下·上海浦东新·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（    ） A．当，时，为偶函数 B．当，时，在区间上是单调函数 C．当，时，在区间上恰有个零点 D．当，时，设在区间上的最大值为，最小值为，则的最大值为 【答案】ACD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求余弦（型）函数的奇偶性、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；在时解方程，可判断C选项；对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当，时，为偶函数，A对； 对于B选项，当，时，， 当时，，此时函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，当，时，， 当时，， 由可得，解得， 此时在区间上恰有个零点，C对； 对于D选项，当，时，， 因为，则， ①若，即当时， 函数在区间上单调递增， 则 ； ②若时，即当时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，， 因为， 则，， 所以，； ③若，即当时， 函数在区间上单调递减， 则 ； ④若时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，， 因为， 则，， 所以，. 综上所述，，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数基本性质的综合，难点在于判断D选项，要注意对实数的取值进行分类讨论确定函数在区间上的单调性，求得、的值或表达式，结合三角函数的有界性来求解. 三、填空题 20．（高一下·上海徐汇·期中）在锐角三角形中，若，则的最小值是 ． 【答案】16 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得设从而，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由已知得，，， 所以， ， 设， 因为三角形是锐角三角形，所以，, 即，所以， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以最小值为． 故答案为：. 21．（高一下·上海浦东新·期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到，利用余弦定理得到，代入公式计算得到答案. 【详解】由于，所以， 故， 即， 因为，，故. 由余弦定理得，整理得， 所以. 故答案为： 22．（22-23高一下·上海松江·期中）定义：对于任意实数，，记，（常数），记，若对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】. 【知识点】函数不等式恒成立问题、三角函数图象的综合应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据题意及三角函数的性质，分别求得和的值域，再由的值域包含于函数的值域，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意知且， 又由，可得，所以， 解得， 由，可得，所以， 解得， 即， 所以由三角函数图象与性质，如图所示，可得： 可得在处取得最小值， 在处取得最大值，所以函数的值域为， 因为，所以的值域为， 又因为若对于任意，总存在，使得成立， 所以函数的值域包含与的值域， 所以，解得，所以实数的取值范围. 故答案为：.    23．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求正切（型）函数的周期、求含sinx的函数的奇偶性、求sinx的函数的单调性 【分析】求得的周期和奇偶性，结合题意，只需求在的值域即可；再根据的单调性即可求得结果. 【详解】因为，定义域为，故为偶函数； 又，故的一个周期为； 根据题意可得：的值域，也就是在的值域，也就是上的值域； 当，，又在上均为单调增函数，故在单调递增， 又，当趋近于时，趋近于，故的值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求得的周期以及判断其是偶函数，同时要注意已知条件的利用，属中档题. 24．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、二倍角的余弦公式 【分析】设，进而可得点坐标，再根据条件列式，利用三角公式是计算可得答案. 【详解】设， 其中， 则， 于是． 因为是中点， 所以， 即或，又因为， 所以，即点的纵坐标是. 故答案为：. 25．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由正弦（型）函数的周期性求值、集合元素互异性的应用 【分析】由得到周期为4从而求得， 因为周期为4，列举，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值. 【详解】因为，所以周期，又由得，所以， 则，， ，， 而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的， 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，得或，此时 ； 若即，则，得或，此时或； 综上的值为0或1或-1，所以. 故答案为：. 26．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 【答案】①② 【知识点】正弦函数图象的应用、余弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项． 【详解】对于③，因为， 当时， ， 当时，， 所以，函数为周期函数， 作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为，③对； 对于①，由图可知，函数的值域为，①错； 对于②，由图可知，当且仅当或时， 函数取得最大值1，②错； 对于④，由图可知，当且仅当时，，④对． 故答案为：①②． 27．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 【答案】 【知识点】几何图形中的计算 【分析】连接，利用余弦定理分别得到，的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【详解】连接 因为在圆内接四边形中，，，，，所以， 在中，由余弦定理可得：， 所以在中，由余弦定理可得：， 化简可得，解得或(舍去)， 所以，则圆内接四边形的面积公式为 故答案为： 28．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 29．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 30．（高一下·上海徐汇·期中）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】先把化为，求出其零点的一般形式后利用函数在区间内没有零点构建关于的不等式组，通过讨论的范围可得的取值范围. 【详解】因为， 故， 令，则，故函数的零点为. 因为函数在内无零点，故存在整数，使得， 故，因为正实数，故，故， 又，故，故或. 当时，，当时，. 故. 故答案为. 【点睛】函数在给定区间上的单调性问题或零点问题，可以先求出单调区间或零点的一般形式，再利用函数在给定区间上的性质把问题转化为不等式组的整数解问题． 31．（高一下·上海闵行·期中）方程，的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是 . 【答案】1009或1010/1010或1009 【知识点】函数对称性的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】构造函数，，分析探讨函数性质，作出函数图象，确定两个函数图象的交点个数计算作答. 【详解】方程，令函数，， 函数图象关于点对称，函数的图象也关于点对称，其图象如图， 区间关于数1对称，函数，在的交点成对出现， 它们关于点对称，因方程在上所有根的和等于2024， 因此，两函数图象在上有1012对关于点对称的交点， 则有或，解得或， 所以满足条件的整数m的值是1009或1010. 故答案为：1009或1010 【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个 函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 32．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知，，若存在，对任意，恒成立，则 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、函数不等式恒成立问题 【分析】依题意，先确定函数，再由三角函数的性质确定最大最小值. 【详解】依题意，                  ， 对任意， 恒成立， 当时，， 当时，则， 当时，， 当 时，. 所以，得， 所以. 故答案为：. 【点睛】对于不等式恒成立问题，常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式. 33．（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 . 【答案】 【知识点】和差化积公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据，集合有6个元素，利用和差化积进行求解，利用函数的性质求解. 【详解】由， 设， 则 所以函数，最小正周期, 由集合有6个元素，则可得到在半个周期内存在6个不同的值，即 化简，即， 又由，， 所以，即, 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要运用和差化积的求解公式，再运用三角函数的性质进行求解. 34．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【详解】由题意， 令，，所以，， 所以，，， 记的两零点为、，因为，设，， 当，即时，得，在（k为正整数），内零点个数为3k， 在内零点个数为，因为， 所以； 当，即时，，在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为，此时不存在n； 当时，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 因为，所以或； 当时，则，， 在（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以； 当，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，，，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值. 35．（23-24高一下·上海·期中）若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 【答案】5 【知识点】函数与方程的综合应用、正弦函数图象的应用 【分析】利用换元思想将问题转化为方程在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与函数的应用进行讨论分析. 【详解】由题意知， ， 令，，此时， 而，，， 则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 当时，， 一个周期内有两个零点，则或； 当时，， 一个周期内有三个零点，，则需要个周期， 即； 当时，此时，解得， 若，此时， 则一个周期内有四个零点， 则需要个周期， 即； 若，此时，， 则一个周期内有三个零点，， 个周期恰好个零点，个周期是个零点， 个周期则个零点，此时不符题意， 若，此时， 一个周期内有两个零点， 则或. 综上所述，这样的正整数有个， 分别是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数与方程的应用，通过将三角函数方程换元，得到关于的二次方程，根据二次方程根的分布分类讨论得到的范围，然后根据数形结合的思想结合正弦函数的图像进行求解是解决本题的关键. 36．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得. 【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到， 函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数， 又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到， 所以的对称轴为， 又的图象是将的图象向上平移一个单位得到， 所以的图象如下所示： 因为关于的方程在上有个实数根， 即与在上有个交点， 又，，所以， 令与交点的横坐标从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 所以， 所以 . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 37．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】先根据三角函数图象变换判断当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数即可. 【详解】由题意，当时，在内无零点，又不可能有7个零点，故当时不满足题意； 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号，最小值为. ①当时，即时，无零点，则当时， 有7个零点，此时， 即，故零点分别为时取得. 故，解得； ②当，即时，有一个零点. 此时有6个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得. 又满足，故满足条件题意； ③当，即时，由对勾函数的性质可得在上有1个零点，又，则 1.当，即时，在上有1个零点， 故有2个零点， 此时有5个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得，综上有 2.当，即时，在上无零点， 故有1个零点， 此时有6个零点，即，不满足； 综上有或或. 故答案为： 38．（23-24高一下·上海·期中）已知k是正整数，且，则满足方程的k有 个. 【答案】11 【知识点】正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】分析得到时满足要求，当时，结合等式左右两边的单调性和特殊值得到只有时，满足要求，结合正弦函数的周期和，得到答案. 【详解】显然时，，满足要求， 当时，先考虑一个周期内， 当时，，故单调递增且大于， 而单调递减且小于，两者不可能相等， 时，单调递减且大于0， ，两者不可能相等， 当时，， 故要想成立， 则， 由周期性知，当时，等式左边为0， 又当时，， 故当时，满足要求， 共11个. 故答案为：11 【点睛】关键点点睛：本题需要先分析得到等式两边的单调性，从而确定只有两者等于0时，才会符合要求，进而结合正弦函数周期性和特殊值得到答案 四、解答题 39．（高一下·上海徐汇·期中）已知函数，函数，设. （1）求证：是函数f（x）的一个周期； （2）当k=0时，求F（x）在区间上的最大值； （3）若函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，求实数k的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）根据周期函数的定义进行证明即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）根据绝对值的性质，利用分类讨论思想、换元法，结合正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以是函数f（x）的一个周期； （2）当k=0时，因为， 所以， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此有，对称轴为：， 因为，所以当时，函数， 即F（x）在区间上的最大值为； （3）当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递减，所以 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递增，所以 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 综上所述：当函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，或或. 【点睛】关键点睛：利用分类讨论思想，结合换元法是解题的关键. 40．（高一下·上海杨浦·期中）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、求正弦（型）函数的奇偶性、求sinx型三角函数的单调性、三角函数新定义 【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性. （3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 41．（高一下·上海嘉定·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析； (3)． 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数新定义 【分析】（1）根据正弦周期函数的定义求解； （2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解． （3）从是严格递增函数，时，进行推理可得． 【详解】（1），证毕． （2），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但，而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，，又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 42．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； (2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可; (2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可; (3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】（1）若且的最大值为,则，即，得，即 , 则 , 当时，，为增函数，此时, 即函数在上的单调递增区间是. （2）若，, 函数 由，得 ,当，则      则要使在上有且仅有一个零点， 则或，即实数的取值范围. （3）因为的一条对称轴方程为， 所以 则满足 , 平方得，得 ，得得 ，则, 则, 则, 存在常数 ,使得函数为偶函数， 则， 即 且 , 因为,所以当 时， 取得最小值，此时最小的正数. 43．（22-23高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、几何中的三角函数模型、三角函数在生活中的应用、三角恒等变换的实际应用 【分析】（1）由题意，求出，，，进而求出，再利用矩形面积公式即可算出结果． （2）设，用的三角函数表示出，，，进而表达出，再利用矩形面积公式结合三角函数的性质即可算出结果． 【详解】（1）由题意，则，，， ， ； （2）设，则，， ， ， ， 故当时，即时，取得最大值． 44．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的周期性求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可得到结果； （2）由正弦型函数的单调性，即可得到，再将不等式化简，代入计算，即可得到结果； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求得λ的取值范围. 【详解】（1）依题意， 又因为的最小正周期为，则，即， 所以. （2）当时，，则， 所以，即， 因为不等式在上有解， 即在上有解， 即，即. （3）由（2）及已知，，因为偶函数， 则， 解得，又，即有，， 于是， 由可得，， 而函数的周期， 依题意，对于在上 均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得， 所以正实数λ的取值范围是. 45．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【详解】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 46．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)，或 【知识点】辅助角公式、三角函数在生活中的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）延长交于，延长交于，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）延长交于，延长交于， 由是正方形，是矩形，可知，， 由，可得，， 所以，， 故； （2）令由，可得， 所以， 则， 因为，， 所以，所以， 所以当，即或，即或时，取得最大值， 所以，此时或.    47．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【答案】(1)证明见解析 (2)甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析 【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、函数周期性的应用、判断元素与集合的关系 【分析】（1）由集合的定义，只需证明符合即可； （2）由周期函数与奇偶性判断即可. 【详解】（1）证明：， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以是周期为6的周期函数， 即集合中的元素都是周期为6的函数； 若，则， 但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． 48．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【答案】(1)； (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、正弦定理求外接圆半径、用和、差角的正切公式化简、求值、求含tanx的函数的单调性 【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得. （2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,， 由正弦定理得，解得， 显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为， 于是，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. （2）设点，显然，而轴， 则， 于是， 当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增， 因此最大，当且仅当最大， 所以当最大时，点的坐标是. 【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键. 49．（23-24高一下·上海·期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 【答案】(1)； (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理表示，再根据等边三角形的面积公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，表示四边形的面积，结合三角恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解函数的最大值. 【详解】（1）设，在中，由余弦定理得： ； （2）于是，四边形的面积： ， 因为，则，所以当，时， 四边形的面积取得最大值，最大值为． 50．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 【答案】(1)表格见解析，； (2)或 (3)证明见解析 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、三角函数图象的综合应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据表格数据，建立方程组，即可补全表格数据，并求函数的解析式； （2）首先利用三角函数恒等变换求得函数的解析式，再根据平移规律求函数的解析式，再求函数的零点； （3）根据（2）的结果，不等式转化为，根据不等式的解集，即可证明. 【详解】（1）由表格数据可知，，得，， 所以，， 由时，，可知，， 所以由时，， 补全表格如下： 0 0 0 0 （2） 将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数，或 则函数的零点所组成的集合为或； （3）证明：，即， 因为，所以对任意的，都存在正整数，使得， 即存在无穷多个互不相等的正整数，使得. 51．（23-24高一下·上海·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)处于向下的运动状态，理由见解析 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解； （2）结合（1）可得，，从而根据的取值范围可得的取值范围，即可判断单调性，进而即可得到盛水筒P的运动状态． 【详解】（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接， 过点作于点，过点分别作于点，于点， 则，， 因为筒车转一周需要1分钟，所以，故， 在中，， 所以，即． （2）盛水筒处于向下运动的状态， 结合（1）可得，， 则当时，，此时单调递减， 所以盛水筒处于向下运动的状态． 52．（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 【答案】(1)80m (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【详解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； （2）由，故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 53．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时取最小值，当时取最大值； (3). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求出增区间即得. （2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值即得. （3）求出的范围，利用诱导公式、二倍角公式变形给定的不等式，借助换元法分离参数，利用单调性求出最大值即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 所以的单调递增区间是. （2）当时，，则当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 当时，令， 原不等式等价于， 函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数的取值范围. 【点睛】结论点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体， 由求得函数的单调递减区间， 由求得函数的单调递增区间． 54．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】（1） ， 由， 所以函数的单调递减区间为； （2）因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； （3）， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 55．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 【答案】(1)； (2)；. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、几何中的三角函数模型 【分析】（1）利用三角函数将矩形的长、宽表示出来，即可得到矩形的面积，进而得解； （2）利用三角函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）依题意，，，则，， 所以矩形的面积，定义域为. （2）因为，所以当时，取得最大值. 56．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；最小正周期为 (2) (3)图象见解析； 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线    由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.    57．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据三角函数图象变换可得解析式，进而可得； （2）以为整体，结合正弦函数零点可得，运算求解即可. 【详解】（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到； 再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到； 所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以a的取值范围为. 58．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 【答案】(1)15.28公里 (2)1.25小时 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）在中，利用余弦定理解得，利用正弦定理求外接圆半径； （2）根据题意利用正弦定理可得，在，利用余弦定理求得. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得 ， 即， 所以（公里）. （2）在中，可得， 在中，由正弦定理可知， 即  可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， 即（公里），所以所需时间为小时. 59．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】三角函数在生活中的应用、二倍角的余弦公式、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长； （2）图中阴影部分的面积等于和扇形的面积，分别求出即可得出答案. （3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【详解】（1）连接，过作，则， 所以. （2）． ， ， 所以， （3）， 则 ， 令，则， 则，当时，. 60．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 【答案】(1) (2)，或. (3)答案见解析 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、已知正（余）弦求余（正）弦、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得到表达式； （2）利用恒等式将转化为关于的二次函数，再使用二次函数知识求解； （3）先证明，然后利用得到，最后根据证明过程即可研究出取到等号时的值. 【详解】（1）过作，垂足为， 由题意可得：，，故，. 所以矩形的面积，. （2）此时， 故 . 等号取到当且仅当，即，所以. 解得或. 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. （3）由于，故， 且. 从而由，知，所以对任意有 ， 所以，得. 根据上面的证明过程，知等号成立当且仅当. 由于时必有或，故，从而一定有. 所以取等条件又可等价转化为， 这就意味着当时，取等条件是； 当时，取等条件是. 所以的最大值是，当取得最大值时，若，则所对应的的值是或；若，则所对应的的值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对三角函数相关恒等式的运用. 61．（高一下·上海徐汇·期中）已知函数， (1)化简到，并求最小正周期； (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围. 【答案】(1)，最小正周期是； (2)； (3). 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】(1)根据给定条件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，辅助角公式变形即可得解. (2)利用(1)的结论结合正弦函数的单调性列式计算作答. (3)利用(1)的结论结合给定的变换求出的解析式，再借助的性质列式计算作答. 【详解】（1）依题意，， 其中，则， 所以，最小正周期是. （2）由(1)知，当时，，则由得， 即在上单调递减， 所以函数在区间上的单调减区间是. （3）由(1)知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为， 于是得，则的周期为， 因在区间上至少有100个最大值，则在长为2的区间上至少有99.5个周期， 因此，，解得，而，于是得， 所以a的取值范围. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得. 62．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、解正弦不等式、三角函数综合 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）解：当，，时，则， 可得，则， 其中且，于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以. 63．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（其中，） (1)当时，求函数的严格递增区间； (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； (3)若函数为常值函数，求的值. 【答案】(1)，； (2) (3). 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求cosx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）当时，化简为，再由，，求解即可； （2）由（1）得， 从而，令，先求得，则转化为求，的最大值，分和两种情况求解即可； （3）由函数为常值函数，采用赋值法求得的值，再代入验证即可. 【详解】（1） 当时， 由，，得，. 故的严格递增区间为，. （2） 由（1）可知，当时，， 则， 令，当时，则，所以， 则，即. 于是， ①当时，，当且仅当时，最大值为； ②当时，在上递减，则在上是增函数，则当时，最大值为， 综上所述， （3） 由函数为常值函数，令，则原式， 令，则原式（为正整数）； 令，则原式，即， 因为（为正整数），即为正奇数，所以， 即，则， 解得或， 又因为（为正整数），所以. 当时，原式为 . 所以当时，函数为常值函数. 【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数为常值函数，因此可以采用赋值法先确定的值，再代入验证即可. 64．（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是，理由见解析 (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义 【分析】（1）取特殊值验证得到答案. （2）根据三角函数的有界性得到，得到答案. （3）代入计算得到区间至少上有两个不同的偶数，考虑，，，四种情况，计算得到答案. 【详解】（1），取，，则， 故是函数的“P区间”； （2）， 则， 故不是函数的“P区间”， （3），， 则，故， 故，，不妨设， 则，，故， 即在区间至少上有两个不同的偶数，，即， 当，区间为，满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，区间至少上有两个不同的偶数，满足； 综上所述： 65．（高一下·上海杨浦·期中）在非直角三角形中，角的对边分别为. （1）若，且，判断三角形的形状； （2）若， （i）证明：；（可能运用的公式有） （ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由. 【答案】（1）等边三角形；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，，证明见解析. 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）（i）由正弦定理及三角形的性质、诱导公式可得，再由三角恒等变换即可求证；（ii）根据三角恒等变换代数式可化为，比较可知存在. 【详解】（1）由余弦定理得，将代入得到， 所以为等边三角形. （2）（i）由及正弦定理得， 所以， 因为， 所以， 有，由两角和､差的余弦公式可得 ， 整理得， 故. （ii）由及半角正切公式可得 ， 展开整理得， 即， 即， 即，与原三角式比较可知存在且. 66．（高一下·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、无条件的恒等式证明 【分析】（1）根据三角函数定义得到，，进而利用同角三角函数关系得和余弦差角公式求出答案； （2）表达出，，利用三角函数有界性进行适当放缩，证明出，再利用适当放缩证明出，从而证明出结论. 【详解】（1）由题意得：，， 由于、均为锐角， 所以，， 所以． （2）， ， 所以， ， 所以， 同理， 所以线段． 67．（高一下·上海静安·期中）如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角 （1）设线段的长为，将表示为关于的函数 （2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小 【答案】（1）（2）“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时. 【知识点】求二次函数的值域或最值、与二次函数相关的复合函数问题、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】（1）过点作轴于点,,在中利用三角函数的定义可得,,即点的坐标为,代入抛物线的方程,可得关于的函数. （2）由题意结合图形,可由逆时针旋转得到,即可得到关于的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积关于的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值. 【详解】 （1）过点作轴于点, 在中, 即:， 由此可得点的坐标为 点是抛物线上的点,将其代入可得: ,即: 解得:    故: 表示为关于的函数为: （2）根据（1）得: 表示为关于的函数为: 由题意可知: 可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为. 可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为. 可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为. , , 设“蝴蝶形图案”面积为: 令: 为锐角 则 可得: 则, 故时, 即: 化简为:  (为锐角)解得: 综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时. 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点问题,三角函数诱导公式和换元法.能够根据题意求出“蝴蝶形图案”面积为关于的函数是本题的关键.利用换元法时要保证换元前后范围相等. 68．（高一下·上海杨浦·期中）已知函数，且. （1）求a的值； （2）求出的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明） （3）是否存在正整数n，使得在区间内恰有2021个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）证明见解析（3）存在正整数，理由见解析. 【知识点】函数的周期性的定义与求解、给值求角型问题、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）计算时的值，从而解得的值； （2）根据，求得的最小正周期为； （3）根据的最小正周期为，且，内有4个零点，可解得． 【详解】（1）函数， 令，得，解得； （2） ， 所以的最小正周期为． （3）存在正整数，使得在区间，内恰有2021个零点． 当时，． 设，则， 于是， 令，得或， 于是，或或，其中， 当时，． 设，则， 于是，令， 解得或，故在没有实根． 综上讨论可得，在，上有4个零点， 而， 所以函数在有2021个零点. 【点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求角的大小，判断在上有4个零点是解题的关键，属于难题. 69．（高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析. 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、函数新定义 【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即． 【详解】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下： ， ， 对任意，都有， 所以具有性质， ，， 所以， 所以不具有性质； （2）若函数具有性质， 则有，即， 于是，结合知， 因此； 若，不妨设 由可知： （记作*），其中 只要充分大时，将大于1 考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立， 综上所述必有，即； 再由，，从而，而 当时，， 而，显然两者不恒相等（比如时) 综上所述，不存在以及使得具有性质； (3）由函数具有性质以及（2）可知， 由函数是以为周期的周期函数，有， 即，也即 由，及题设可知 在的值域为 当时，当及时，均有， 这与零点唯一性矛盾，因此或， 当时，，在的值域为 此时 于是在上的值域为， 由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同， 因而，即． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解. 70．（高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）. 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由余弦（型）函数的周期性求值、函数新定义 【分析】(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”； (2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围. 【详解】(1) 不是函数的“区间”.理由如下： 因为， 所以对于任意的，，都有， 所以不是函数的“区间”. (2)因为是函数的“区间”， 所以存在，，使得. 所以 所以存在，使得 不妨设，又因为， 所以，所以. 即在区间内存在两个不同的偶数. ①当时，区间的长度， 所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意. ②当时，有， 所以. 当时，有，即. 所以也符合题意. 当时，有，即. 所以符合题意. 当时，有，此式无解. 综上所述，的取值范围是. 71．（高一下·上海徐汇·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 π 2π 0 1 0 -1 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处；并画出函数图像或者写出函数的解析式 (2)将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)增区间为 (3)，在共有个不同的零点 【知识点】解正弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）根据表中数据可得关于的方程组，解出的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式. （2）先求出的解析式，再求出的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间. （3）令，设方程的根为，分①；②；③三种情况讨论在及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数. 【详解】（1）解：根据表中的数据可得 ，解得， 故，所以， 又，故. 所以完善表如下：    0 π 2π 0 1 0 -1 0 0    0    0 所以. 函数图像如图： （2）解：将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为： ， 再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像， 故. 此时， 令，则，故. 当时，为增函数， 故为减函数； 当时，为减函数； 故为增函数. 所以的增区间为 （3）解：，的周期为， 当时，令，考虑方程的根情况， 因为，故在必有两个不同的实数根， 因为在有奇数个零点，故或. 若，则方程、在共有4个不同的实数根， 在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去. 若，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或， 与有奇数个零点矛盾，舍去. 同理也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程、在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程、在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以故在有个根，符合题意. 综上，，在共有个不同的零点. 【点睛】本题较为全面地考查了三角函数的图像和性质、三角函数的图像变换及复合函数零点的个数判断，注意与三角函数有关的复合函数的单调区间问题，要在定义域的基础上考虑其单调区间，而与三角函数有关的复合方程的零点个数问题，要结合函数的周期性来考虑，而一个周期上的函数零点判断，则需转化为内外两个方程的根的情况来讨论，本题属于难题. 72．（高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)化简的表达式. (2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域. (3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)递增区间为，递减区间为，值域为； (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答. （2）由（1）及已知求出，再结合正弦函数性质求解作答. （3）由（2）及已知求出函数的解析式，借助的周期列出不等式求解作答. 【详解】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，解得，则， 当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 由得：，由得：， 所以在上单调递增，在上单调递减，，， 所以在上的值域为. （3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称， 则，解得：，又，即有， 于是得，由得：，，而函数的周期， 依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根， 则有，即，解得， 所以正实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得. 73．（高一下·上海闵行·期中）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作，令函数. (1)求函数的函数解析式； (2)求函数的最大值及相对应的的值； (3)若函数在内恰有2021个零点，其中常数，，求常数与的值. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式和对称轴方程，结合正弦型函数图象的变换性质进行求解即可； （2）根据二倍角的余弦公式，根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可； （3）利用换元法，结合正弦函数的性质和一元二次方程根的分布分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， 所以有，即， 又因为直线是图象的一条对称轴， 所以有， 因为，所以令，则，即， 因为函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作， 所以； （2） ， 当时，即时，， 此时，即或； 当时，即时，， 此时，即； 当时，即时，， 此时，即， 综上所述：当时，，此时 或； 当时，，此时； 当时，，此时； （3）， 设，则， 该方程的判别式， 所以该方程有实根，设为，，显然两根为异号， 若时，则方程在内都有偶数个根， 所以方程有偶数个根，不符合题意； 若，则，此时， 当时，只有一个根，有两个根， 所以有三个根，由于， 所以在内有个根， 由于方程在内只有一个根，没有实根， 所以方程在时有个实根，不符合题意； 若，则，此时， 当时，只有一个根，有两个根， 所以有三个根，由于， 所以在内有个根， 由于方程在内没有实根根，有两个实根， 所以方程在时有个实根，符合题意； 若两个根有一个绝对值大于1，则另一个根绝对值大于零且小于1，有偶数个根，不符合题意， 综上所述：. 【点睛】关键点睛：利用换元法，根据一元二次方程实根的分布结合正弦函数的性质分类讨论是解题的关键. 74．（高一下·上海嘉定·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)求证：函数在上是“1跃点”函数； (2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、正弦函数图象的应用、零点存在性定理的应用 【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明； （2）由题意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可； （3）根据题意可得到，然后分，，或三种情况进行讨论即可 【详解】（1）， 所以，， 令， 因为，，所以由零点存在定理可得在有解， 所以存在，使得， 即函数在是“1跃点”函数． （2）由题意得 ， 因为， 所以，当且仅当取等号， 所以的取值范围为． （3），即， 化简得，的最小正周期为， 当，；当（为正整数），； 所以从在上的值可得 ①当时，在有个“跃点”， 故，所以； ②当时，在有个“跃点”，故，无解； ③当或时，在上有个“跃点”，故， 综上，或或． 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 75．（22-23高一下·上海浦东新·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正切公式、辅助角公式、三角函数新定义 【分析】（1）写出解析式，解方程即可； （2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论； （3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围． 【详解】（1）由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 76．（22-23高一下·上海徐汇·期中）对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可； （2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案； （3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案. 【详解】（1）证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. （2）函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； （3）因为对于任意，对任意的，都有成立， 则在R上为单调增函数， 令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，则. 【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题. 77．（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 【答案】(1)是，不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】三角函数综合、三角函数新定义、三角函数与解三角形综合 【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知； （2）令，，，然后化简，从而得证； （3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若时，由，可得，从而可得结论 【详解】（1）令，，则， 所以是“2级周天函数”； ，不对任意x都成立， 所以不是“2级周天函数”； （2）令，，，则 所以是“3级周天函数”； （3）对其进行分类讨论： 1°若，则，此时取，则； 2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 由（2）可知是“3级周天函数”， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 再由恒成立， 所以， 进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾， 故存在，使得； 3°若，由，， 得， 所以存在，使得， 所以命题成立. 78．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1， (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【详解】（1）当时，, 所以当，即 时，所以  ,此时 ； （2）因为 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; （3）因为过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 79．（22-23高一下·上海静安·期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；    (1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； (2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)A在弧的四等分点处， . 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由题意表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式化简求值，即得答案. （2）表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，根据角的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）作，垂足为H，交于E，连接，    由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称， 则，则， 而，故为等腰直角三角形，则， 故， 则 ； （2）因为，则， ， 故， 则 ， 因为，所以，故时，取最大值， 即当时，， 即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数表示出矩形的边长，从而表示出面积的表达式，再结合三角函数性质求解答案. 80．（高一下·上海期中）已知函数． (1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和，递减区间为和；值域是 (2) 【知识点】求cosx(型)函数的值域、基本不等式求和的最小值、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用对勾函数性质结合奇偶性判断单调区间，利用基本不等式求值域； （2）求出的值域并将题目转化为函数的值域是的值域的子集，分情况讨论t的范围，求的最值列不等式求解. 【详解】（1）当时，, 易知，且定义域关于原点对称，故为奇函数； 结合对勾函数的性质可得：的单调递增区间为和，递减区间为和． 当时，， 当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时，等号成立． 所以的值域是； （2）， 因为，所以，所以，， 所以，那么的值域为． 当时，总有，使得， 转化为函数的值域是的值域的子集， 即当时，恒成立． 当时，在上单调递增，可得，，所以； 当时，，满足题意； 当时，对任意的，，显然， 所以，对任意的恒成立，可得． 当时，，，此时． 综上可得，实数的取值范围为． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 81．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 82．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数图象的应用 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出. 【详解】（1）函数， 若， 则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 由，解得； （2）， ， ，所以或， 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为； （3）由题意， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取得最大值， 所以，所以， 所以满足条件的的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关键. 83．（23-24高一下·上海·期中）已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，；当时， 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、函数周期性的应用、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）由题意可知对任意恒成立，整理得，令，由的单调性，求出的最小值即可； （2）由时，，可求得)时，，利用在上单调递增，即可求出的范围； （3）由对一切实数恒成立，得一切实数恒成立．当时，；当时，可得，进而可得答案． 【详解】（1）由题意可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 整理得：， ∴， 令，则， ∵在上单调递增，∴， ∴． （2）∵时，， ∴当时，， ∴当时，， 即)时，， ∵在上单调递增， ∴且，即. （3）由已知，有对一切实数恒成立， 即一切实数恒成立， 当时，； 当时，∵，∴，， 于是，， 故要使恒成立，只有， 当时，，得到且； 当时，，得到，即， 综上可知：当时，；当时，． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 84．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由已知确定最小正周期，可得，即可求出函数解析式，再利用整体代入法求的对称中心； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【详解】（1）因为函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，又，所以，解得， 所以， 令，解得，此时， 所以的对称中心为. （2）依题意可得， ， ，所以或 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 的最小值为. （3）由（2）知，， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当， ，，则， 当，，，则， 由可得，又，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点； 2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集. 85．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的正弦公式 【分析】（1）由题意可知与是相邻的最小值点和最大值点，从而可求出函数的最小正周期，再利用周期公式可求出； （2）根据三角函数图象变换规律得到，结合和求得，根据的零点个数得，则要使最小，则恰好是的零点，从而可求出的最小值； （3）根据题意可得的值域是值域的子集，求出这两个值域，列不等式组可求得结果. 【详解】（1）函数， 因为对任意的恒成立，且， 所以与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 所以，得； （2）由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，或， 得或， 因为，所以， 所以， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在（，且）上恰好有8个零点， 所以, 要使最小，则恰好是的零点， 所以的最小值为； （3）由（2）知， 设在上的值域为，在上的值域为， 因为对任意，存在，使得成立， 所以， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以, 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查利用正弦函数的性质求函数的解析式，考查三角函数图象变换规律，考查求三角函数的值域，第（3）问解题的关键是利用三角函数的性质求出两函数的值域，然后将问题转化为两个函数值域的包含关系，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 86．（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)，4,理由见解析 (3) 【知识点】对数函数图象的应用、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、函数不等式恒成立问题 【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标； (2)作出两个函数图象，根据图象可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点的个数； (3)结合(2)的图象，分类讨论的情况. 【详解】（1）因为，所以，所以函数的正格点为，…，，… （2）作出两个函数图象．如图， 可知函数，与函数的图象只有一个“正格点”交点． ∴，又可得． 根据图象可知，两个函数图象的所有交点个数为4个． （3）由（2）知， 所以，所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，由下图可知， 由，解得. 所以实数a的取值范围是. 87．（23-24高一下·上海徐汇·期中）三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： (1)已知非负实数x，y，满足．证明：． (2)设a，b，c为正实数，且．求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）根据三角换元，即可利用三角函数的有界性求解， （2）利用正切的和差角公式，换元为即可根据三角恒等变换，结合二次函数以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）由，设，， 则其中为锐角，且， 故当时，取最大值， 故 （2）由可得， 设，且， 则，满足 则 ， 由于， 当且仅当且时取到等号，故最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由可换元为，且，利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 88．（高一下·上海闵行·期中）已知函数 ， 若存在实数 ， 使得对于定义域内的任意实数 ，均有 成立， 则称函数 为 “可平衡” 函数， 有序数对 称为函数 的 “平衡” 数对; (1)若 ， 求函数 的 “平衡” 数对; (2)若 ， 判断 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由; (3)若 ， 且 均为函数 的 “平衡” 数对， 求 的取值范围. 【答案】(1)； (2)是“可平衡” 函数，理由见解析； (3). 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角恒等变换的化简问题、函数新定义 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （3）,所以, ,所以, 由于,所以,, , 由于,所以时,, , 所以, 即. 【点睛】关键点点睛：利用新定义，根据新定义列出满足的恒等关系，根据等式恒成立求出参数满足关系，即可解决问题. 89．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是 (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、函数新定义 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有 则 均为函数的“平衡”数对， ，函数单调递增， 即的取范围为 90．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值； （3）利用二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，利用基本不等式与对勾函数的最值可求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，， 所以，因为，所以； （2）因为边上的高等于， 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理可得，， 从而有， 所以， 因为，所以，所以， ，所以的取值范围为. （3）令 ， 所以当时， ， 所以 所以， 所以， 所以①或②， 因为，又， 所以， 由①可得， ， 所以， 所以， 由②可得， 所以， 由对勾函数性质可知，所以. 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：二次函数的最值问题，利用开口向上，在顶点处取得最小值，可得不等关系，进而转化为不等式恒成立问题处理是关键. 91．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 【答案】(1)， (2)，或 (3)3 【知识点】已知函数值求自变量或参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）分别令，，即可求出集合，； （2）由辅助角公式可得的解析式，分别令，即可求出集合，； （3）设，则，由题意可得，可得，然后分和两种情况讨论，由三角函数的有界性，可得，即恒成立，可得整数的值，从而可求得整数的最大值. 【详解】（1）令，即，得，所以， 令，即，得，所以； （2）， 令，则，得, 解得，所以， 令，则， 所以， 解得， 由正弦函数的有界性，可得只有满足，所以， 所以或， 解得，或， 所以或 （3）设，则， 因为，所以， 所以， 所以，得， 所以， 当时，，显然满足条件， 当时，， ， 所以， 因为，，且， 因为，所以，即恒成立， 所以，所以整数为， 所以整数的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数的性质，考查函数与方程的综合问题，解题的关键是对方程的化简，考查计算能力，属于较难题. 92．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)2个 【知识点】函数新定义、求函数零点或方程根的个数、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由新定义知识判断即可； （2）结合新定义及取特殊值求解即可； （3）当时，，再结合函数的图象进行求解． 【详解】（1）令， 故， 则不具有性质P． （2）若函数具有性质P， 则， 又，则取，有， ， 则有， 即， ， 又． （3） 当时， 具体如图所示    则方程的解的个数为2个． 【点睛】关键点点睛：第三问中，要求出当时函数解析式，并画出函数的图象进行求解，要充分利用． 93．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 【答案】(1)不是[0,1]上的函数，是[0,1]上的函数 (2) (3) 【知识点】函数新定义、求含cosx的函数的单调性、利用正弦型函数的单调性求参数、求sinx的函数的单调性 【分析】（1）根据函数定义，结合正余弦函数的性质判断给定区间内对应函数是否为函数； （2）由函数新定义及正弦函数性质知在是增函数，根据求t的所有取值； （3）由题意，在和、和上单调性分别相同，讨论的范围，进而求目标式范围. 【详解】（1）由在上为增函数，而在上为减函数， 故两个区间上的增减性不同，不是[0,1]上的函数； 由在上为增函数，在上也为增函数， 故两个区间上的增减性相同，是[0,1]上的函数； （2）由在上为增函数，要使也是增函数，且， 而在，上递增，且， 所以，，故，，故. （3）由在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 又在和上单调性相同，即为一个单调区间，且， 若，， 当时，则，故，， 当，如，则，故，， 若，， 如，则，故，， 此时，要使α、β取遍所有值，则，而； 综上，，而在上值域为， 所以. 【点睛】关键点点睛：首先理解函数定义，再结合正余弦函数的性质研究单调性求参数. 94．（高一下·上海宝山·期中）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数． （1）已知是上的周期为1的级类周期函数，且是上的严格增函数，当时，，求实数的取值范围； （2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当时，．若对任意，都有，求的取值范围； （3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析； 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数定义有，易得时，根据已知条件有且即可求的范围； （2）由函数定义有时，再结合题设函数不等式恒成立、二次函数的性质，求的范围； （3）由题意恒成立，讨论、分别求对应值. 【详解】（1）由级类周期函数定义知：，即 ∴当时，，…，当时，， ∵是上的严格增函数，且上单调递增， ∴且，解得， ∴. （2）由题设：，而时， ∴当，即时， 当，即时， ∴，使，解得或 对任意都有，则. （3）若存在，则，即恒成立， ∴当时，； 当时，，则， 若，，可得， 若，，可得， ∴综上，时；时. 【点睛】关键点点睛：利用级类周期函数的定义确定相应区间上的函数解析式，根据函数的单调性、函数不等式恒成立、存在性问题求参数. 95．（高一下·上海闵行·期中）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. (1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ (2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； (3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)当时，，且； (3)存在，. 【知识点】已知函数类型求解析式、函数周期性的应用、求cosx(型)函数的值域、函数新定义 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答. （2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答. （3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答. 【详解】（1）依题意，函数定义域是R， ， 即，成立， 所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数. （2）因，是上的P级周期函数，则，即， 而当时，，当时，，， 当时，，则， 当时，，则， …… 当时，，则， 并且有：当时，，当时，，当时，，……， 当时，， 因是上的严格增函数，则有，解得， 所以当时，，且. （3）假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数， 即，恒有成立，则，恒有成立， 即，恒有成立，当时，，则，， 于是得，，要使恒成立，则有， 当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解， 此时恒成立，则，即， 当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解， 所以存在，符合题意，其中满足. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 96．（高一下上海期中）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】(1)不是“函数”，理由见解析 (2)，单调递增区间为，； (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角函数综合、求零点的和、三角函数新定义 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【详解】（1）不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； （2）函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； （3）由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 97．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数是定在上的函数，且满足关系． (1)若，若，求的值域； (2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，. 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数综合 【分析】（1）求出函数的解析式，即可得出在上的值域； （2）化简函数，通过对应图像即可得出恒成立，求的最小值； （3）化简函数，设将转化为二次函数，将零点问题转化为图像与轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在内恰有2022个零点，所有满足条件的与． 【详解】（1）由题意， 在中，， 在中， ， 当时，， ∴的值域为：. （2）由题意及（1）得， 在中， ①当即， ， 函数在定义域上单调递减 ，， ②当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ③当即时，， 函数在上单调递增， ，， ④当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ∴函数是周期为的周期函数，图像如下： 在中， 存在，对任意，有恒成立， ∴ ∴当最小时，由图像可知，， （3）由题意，， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， 设，， ∴函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有1~2个交点， ∵在周期内，与有1~2个交点， ∴在上有1~4个交点， ∴若在内恰有2022个零点，则， 在中， 当即或，此时有1个交点， ①当函数有两个零点时， 若均不为-1和1，此时与有2个交点，则在有4个交点， ，解得：， ∴当有2022个交点时，， 若有一个为-1或1，此时与有2个交点，则在有3个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， ②当函数有一个零点时，此时与有1个交点，则在有2个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， 综上： 当时，； 当时，； 当时，. 【点睛】关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力，三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性. 98．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】三角函数新定义、正弦函数图象的应用、函数周期性的应用、求函数值 【分析】（1）由题意得到，即可判断为“正弦周期函数”； （2）由题意条件得到，故，，由函数单调性得到不等式，求出，再证明不合要求，从而得到，并求出； （3）法1：，满足要求，若，则对任意，存在正整数，使得且，得到，，若，同理可证明，得到结论； 法2：反证法，假设不是周期函数，则与均不恒成立，存在，使得，再利用题目条件推出，故假设不成立，证明出结论. 【详解】（1），则， 故， 所以是正弦周期函数. （2）存在，使得，故， 因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”， 所以， 又，， 所以， 又， 则， 故，， 因为，所以，且严格增， 由于，， 故，解得， 则整数， 下证. 若不然，，则，由的值域为R知， 存在，，使得，， 则， ， 由严格单调递增可知， 又， 故，这与矛盾. 故，综上所述，； （3）法1：若，则由可知为周期函数. 若，则对任意，存在正整数，使得且. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 所以， 故，所以， 若，则同理可证（取为负整数即可）. 综上，得证. 法2：假设不是周期函数，则与均不恒成立. 显然. 因为不恒成立，所以存在，使得， 因为，所以存在，使得且， 其中若，取为负整数；若，取为正整数. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 由正弦周期性得， 即， 所以，矛盾，假设不成立， 综上，是周期函数. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 99．（高一下·上海杨浦·期中）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”． （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 【答案】（1）；（2）证明见解析；定值；（3）或. 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可. 【详解】（1）因为集合，， 所以； （2）由“余弦方差”的定义得：， ， ， . 所以是与无关的定值. （3）由“余弦方差”的定义得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于y轴对称或关于原点对称， 又， 所以与的终边只能关于y轴对称， 所以， 因为，， 当时，， 当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力. 100．（高一下·上海虹口·期中）如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析. 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、函数新定义 【分析】（1）取，分别求得，由此可得，故函数不是“保三角形函数”； （2）分，，三种情况均可证得能构成三角形的三边，故函数是“保三角形函数”. 【详解】（1）因为，取， 则，，， 显然，即不能构成三角形的三边， 故函数不是“保三角形函数”. （2）①当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； ②当时，，所以最大. 由得，， 故，即能构成三角形的三边； ③当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； 综合①②③可知，函数是“保三角形函数”. 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分，，三种情况证明能构成三角形的三边. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期中真题百题大通关（压轴版） （范围：三角、三角函数） 一、单选题 1．（高一下·上海·期中）在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（高一下·上海期中）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（高一下·上海徐汇·期中）数学中一般用表示a、b中的较小值，关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为；②的图像关于直线对称； ③的值域为；④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 5．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 7．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 8．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 9．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 11．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（22-23高一下·上海·期中）对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 13．（高一下·上海杨浦·期中）设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题： （1）若，则对任意实数x恒成立； （2）若，则函数为奇函数； （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则， 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 15．（23-24高一下·上海·期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 16．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 17．（23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 18．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 二、多选题 19．（高一下·上海浦东新·期中）设函数，给出的下列结论中正确的是（    ） A．当，时，为偶函数 B．当，时，在区间上是单调函数 C．当，时，在区间上恰有个零点 D．当，时，设在区间上的最大值为，最小值为，则的最大值为 三、填空题 20．（高一下·上海徐汇·期中）在锐角三角形中，若，则的最小值是 ． 21．（高一下·上海浦东新·期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为 . 22．（22-23高一下·上海松江·期中）定义：对于任意实数，，记，（常数），记，若对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 23．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 24．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是 ． 25．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 ． 26．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 27．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 28．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 29．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 30．（高一下·上海徐汇·期中）已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围为 . 31．（高一下·上海闵行·期中）方程，的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是 . 32．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知，，若存在，对任意，恒成立，则 . 33．（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 . 34．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 35．（23-24高一下·上海·期中）若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 36．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ． 37．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 . 38．（23-24高一下·上海·期中）已知k是正整数，且，则满足方程的k有 个. 四、解答题 39．（高一下·上海徐汇·期中）已知函数，函数，设. （1）求证：是函数f（x）的一个周期； （2）当k=0时，求F（x）在区间上的最大值； （3）若函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，求实数k的值. 40．（高一下·上海杨浦·期中）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 41．（高一下·上海嘉定·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 42．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； (2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 43．（22-23高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 44．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 45．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 46．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 47．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 48．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 49．（23-24高一下·上海·期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 50．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 51．（23-24高一下·上海·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 52．（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 53．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 54．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 55．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 56．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 57．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 58．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 59．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 60．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 61．（高一下·上海徐汇·期中）已知函数， (1)化简到，并求最小正周期； (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围. 62．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 63．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（其中，） (1)当时，求函数的严格递增区间； (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； (3)若函数为常值函数，求的值. 64．（22-23高一下·上海虹口·期中）设函数定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”． (1)求证：是函数的“P区间”； (2)判断是否是函数的“P区间”，并说明理由； (3)设为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围． 65．（高一下·上海杨浦·期中）在非直角三角形中，角的对边分别为. （1）若，且，判断三角形的形状； （2）若， （i）证明：；（可能运用的公式有） （ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由. 66．（高一下·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 67．（高一下·上海静安·期中）如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角 （1）设线段的长为，将表示为关于的函数 （2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小 68．（高一下·上海杨浦·期中）已知函数，且. （1）求a的值； （2）求出的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明） （3）是否存在正整数n，使得在区间内恰有2021个零点，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由. 69．（高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 70．（高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”． （1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由； （2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围． 71．（高一下·上海徐汇·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 π 2π 0 1 0 -1 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处；并画出函数图像或者写出函数的解析式 (2)将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数的值． 72．（高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)化简的表达式. (2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域. (3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 73．（高一下·上海闵行·期中）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作，令函数. (1)求函数的函数解析式； (2)求函数的最大值及相对应的的值； (3)若函数在内恰有2021个零点，其中常数，，求常数与的值. 74．（高一下·上海嘉定·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)求证：函数在上是“1跃点”函数； (2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由． 75．（22-23高一下·上海浦东新·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 76．（22-23高一下·上海徐汇·期中）对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 77．（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 78．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 79．（22-23高一下·上海静安·期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；    (1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； (2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 80．（高一下·上海期中）已知函数． (1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围． 81．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 82．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 83．（23-24高一下·上海·期中）已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数． (1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围； (2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围； (3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由． 84．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 85．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 86．（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 87．（23-24高一下·上海徐汇·期中）三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： (1)已知非负实数x，y，满足．证明：． (2)设a，b，c为正实数，且．求的最大值． 88．（高一下·上海闵行·期中）已知函数 ， 若存在实数 ， 使得对于定义域内的任意实数 ，均有 成立， 则称函数 为 “可平衡” 函数， 有序数对 称为函数 的 “平衡” 数对; (1)若 ， 求函数 的 “平衡” 数对; (2)若 ， 判断 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由; (3)若 ， 且 均为函数 的 “平衡” 数对， 求 的取值范围. 89．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 90．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 91．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 92．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 93．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数及给定的实数，若存在正实数t使得函数在区间和上同为增函数或同为减函数，则称函数为区间上的函数； (1)已知，请指出函数是否为区间[0,1]上的函数(不需要说明理由)； (2)已知，且函数是区间上 的函数，请写出t的所有取值，并说明理由； (3)若函数既是区间上的函数又是区间上的函数，当α、β取遍所有可取的值时，求出的取值范围. 94．（高一下·上海宝山·期中）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数． （1）已知是上的周期为1的级类周期函数，且是上的严格增函数，当时，，求实数的取值范围； （2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当时，．若对任意，都有，求的取值范围； （3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 95．（高一下·上海闵行·期中）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. (1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ (2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； (3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 96．（高一下上海期中）若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 97．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数是定在上的函数，且满足关系． (1)若，若，求的值域； (2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 98．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 99．（高一下·上海杨浦·期中）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”． （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 100．（高一下·上海虹口·期中）如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$