第11讲 分式的运算（5个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第11讲 分式的运算 课程标准 学习目标 1 分式的乘除法 2 最简公分母 3 分式的加减法 4 分式的混合运算 5 分式的化简求值 1、 掌握分式的乘除、乘方、加减运算法则； 2、经历分式的乘除乘方、加减运算法则的探究过程，培养学生的类比转化思想。 知识点01 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【即学即练1】（2023春•蚌埠期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】（2022春•舒城县校级月考）在计算时，把运算符号“”看成了“”，得到的计算结果是，则表示的式子为 　　． 知识点02 最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【即学即练1】（淮南月考）分式的最简公分母是（　　） A．24a2b3 B．24ab2 C．12ab2 D．12a2b3 【即学即练2】（淮南期末）分式、、﹣的最简公分母为　　 ． 知识点03 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 【即学即练1】（2023春•蜀山区校级月考）已知，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【即学即练2】（2023春•包河区期末）有正整数，且为整数，，则　　． 知识点04 分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【即学即练1】化简：　　． 【即学即练2】（大观区校级期末）已知：，，，，，．请计算：　　．（用含的代数式表示） 知识点05 分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【即学即练1】（2023春•安庆期末）已知，则的值为　　 A． B．1 C． D． 【即学即练2】（2023春•安庆期末）已知，，则　　． 题型01分式加减乘除混合运算 1．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）若且a，b，c均不为0，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 2．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题： （1） ； （2）若，则 ． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算，规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 题型02分式乘法 4．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）已知，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 5．（七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： （1）   （2）   （3）  …… （1）探索这些等式中的规律，直接写出第n个等式（用含n的等式表示）； （2）试说明你的结论的正确性． 题型03分式除法 6．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（七年级下·安徽池州·期末）计算的结果为 . 8．（七年级下·安徽亳州·期末）以下四个式子的变形中，正确的有哪些？错误的有哪些？如若错误，请写出正确的答案． ①； ②； ③； ④． 题型04分式乘除混合运算 9．（七年级下·安徽安庆·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 10．（七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若，，，，，，，则 ． 11．（七年级下·安徽六安·阶段练习）化简，在这个范围内选一个你喜欢的整数代入求值． 题型05分式化简求值 12．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知a，b，c，d是正整数，且，则 （    ） A．1 B． C． D． 13．（23-24七年级下·安徽池州·期末）已知，则的值是 ． 14．（23-24七年级下·安徽六安·期末）先化简再求值：，其中，且x为整数． 题型06同分母分式加减法 15．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）化简结果是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知 ，则 的值等于 ． 17．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”； (2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 题型07异分母分式加减法 18．（23-24七年级下·安徽池州·期末）已知，，则值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 19．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知(，且)，，则（结果用含x的代数式表示）： （1） ； （2） ． 20．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 题型08整式与分式相加减 21．（七年级下·安徽·期末）计算的结果是 ． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下： 【方法一】原式； 【方法二】设，则． 原式． (1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________； (2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式； (3)已知分式的值为整数，求x的值． 题型09分式加减混合运算 23．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 24．（七年级下·安徽安庆·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； …… ⑴猜想并写出第个算式： ； ⑵请说明你写出的等式的正确性． ⑶把上述个算式的两边分别相加，会得到下面的求和公式吗？请写出具体的推导过程． ． ⑷我们规定：分子是1，分母是正整数的分数叫做单位分数．任意一个真分数都可以表示成不同的单位分数的和的形式，且有无数多种表示方法．根据上面得出的两个结论，请将真分数表示成不同的单位分数的和的形式．（写出一种即可） 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A．5 B． C． D． 5．计算的结果是(   ) A．- B． C． D． 6．化简的结果是(       ) A．0 B．2 C．-2 D．2或-2 7．已知x为整数，且为整数，则符合条件的x有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．使分式的值等于5的a的值是（    ）． A．5 B．－5 C． D．－ 10．已知，，，则的值为（          ） A．-1 B． C．2 D． 二、填空题 11．化简的结果为 ． 12．化简： ． 13．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 14．若实数a，b满足，设，，则M，N的大小关系为M N．（用“>”、“=”或“<”连接） 三、解答题 15．化简：÷； 16． 17．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．计算 (1)； (2)； (3)． 19．计算： (1)； (2)． 20．先化简；再从，0，1，中选择一个合适的x的值代入求值． 21．先化简，再求值： (1)，其中a=； (2)，其中x＝－2； (3)，其中x＝3，y=-； (4)已知，求的值． 22．先化简,再求值:,其中是不等式组的整数解. 23．（1）计算：； （2）已知，，先化简再求值：； （3）已知，，先分解因式，再求值：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 分式的运算 课程标准 学习目标 1 分式的乘除法 2 最简公分母 3 分式的加减法 4 分式的混合运算 5 分式的化简求值 1、 掌握分式的乘除、乘方、加减运算法则； 2、经历分式的乘除乘方、加减运算法则的探究过程，培养学生的类比转化思想。 知识点01 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【即学即练1】（2023春•蚌埠期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断． 【解答】解：、，此选项错误； 、，此选项错误； 、，此选项错误； 、，此选项正确； 故选：． 【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则． 【即学即练2】（2022春•舒城县校级月考）在计算时，把运算符号“”看成了“”，得到的计算结果是，则表示的式子为 　　． 【分析】根据题意可得，求出即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 知识点02 最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【即学即练1】（淮南月考）分式的最简公分母是（　　） A．24a2b3 B．24ab2 C．12ab2 D．12a2b3 【分析】只要求出各分母的最小公倍数即可． 【解答】解：2a，3b2，4ab的最小公倍数为12ab2．故选C． 【点评】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【即学即练2】（淮南期末）分式、、﹣的最简公分母为　6a2bc　 ． 【分析】找出各个因式的最高次幂，乘积就是分母的最简公分母． 【解答】解：分式的最简公分母为6a2bc； 故答案为：6a2bc． 【点评】本题考查了最简公分母的找法．注意：找出各个因式的最高次幂，乘积就是分母的最简公分母． 知识点03 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 【即学即练1】（2023春•蜀山区校级月考）已知，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据分式的加减法则计算每一个等式的左边，然后将三个等式相加，再取其倒数即可得出结果． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 【即学即练2】（2023春•包河区期末）有正整数，且为整数，，则　　． 【分析】由，，为正整数，且，为正整数可得只能为1，从小到大讨论，，的值求解． 【解答】解：，，为正整数，且， ，，， ， 即， 又为整数， ，． 若，则， 即， 只能为2， 即， 若，则， 即． 只能为3， ，即， 综上，． 故答案为：81． 【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是分类讨论，，的值． 知识点04 分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【即学即练1】化简：　　． 【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法． 【即学即练2】（大观区校级期末）已知：，，，，，．请计算：　　．（用含的代数式表示） 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出、、，据此得出其循环规律，再进一步求解可得． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ． ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及数列的循环规律． 知识点05 分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【即学即练1】（2023春•安庆期末）已知，则的值为　　 A． B．1 C． D． 【分析】先根据等式的性质方程两边都除以得出，求出，最后代入求出答案即可． 【解答】解：， 除以，得， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了分式的化简求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 【即学即练2】（2023春•安庆期末）已知，，则　　． 【分析】先根据题意求出与的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：，， ， ， ， ， ． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，根据题意得出，是解题的关键． 题型01分式加减乘除混合运算 1．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）若且a，b，c均不为0，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】约分、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查整式的加减运算和分式的混合运算，熟练掌握整式的运算和分式的混合运算的顺序和法则是解题的关键．由已知得：，，，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ = ， ， 故选：A． 2．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题： （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】（1）根据定义的运算代入计算； （2）根据定义运算得到等式，运用分式的运算法则化简求值． 【详解】解：（1）； （2） ∴ ∴则． 【点睛】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算，规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有小红、小马 (2)见解析 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用分式的混合运算法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用分式的混合运算法则进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 故小红计算错误； ， 故小马计算错误； 这个“接力游戏”中计算错误的同学有小红、小马． （2）解：， ， ， ， ． 题型02分式乘法 4．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）已知，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式乘法 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 由题意知，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：D． 5．（七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： （1）   （2）   （3）  …… （1）探索这些等式中的规律，直接写出第n个等式（用含n的等式表示）； （2）试说明你的结论的正确性． 【答案】（1）  （2）见解析. 【知识点】分式乘法 【分析】（1）等号左边的第一个因数的分母等于序号，分子比分母大1，第二个因数等于第一个因数的分子；等号右边为等号左边两个因数的和，据此解答即可； （2）根据分式的乘法法则进行计算，即可证明. 【详解】解：（1）观察题中等式，可得第n个等式为：； （2）证明：左边右边， 【点睛】此题考查了数字类变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，该规律实质上是运用了分式的乘法运算法则． 题型03分式除法 6．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式除法 【分析】将分式的分母和分子因式分解，再将除法转化为乘法，约分计算即可． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查分式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．（七年级下·安徽池州·期末）计算的结果为 . 【答案】. 【知识点】积的乘方运算、分式除法 【分析】将分式分子先去括号，再约分，即可求解． 【详解】＝＝a， 故答案为a． 【点睛】本题考查幂的运算，涉及到积的乘方，分式的约分，按运算顺序，先做积的乘方，再约分． 8．（七年级下·安徽亳州·期末）以下四个式子的变形中，正确的有哪些？错误的有哪些？如若错误，请写出正确的答案． ①； ②； ③； ④． 【答案】正确的有①，错误的有②③④．②的正确答案为；③的正确答案为（x-2）2-1；④的正确答案为． 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、分式除法、整式与分式相加减 【分析】利用平方差公式，分式运算的法则，配方法的应用等进行计算即可． 【详解】解：正确的有①，错误的有②③④． 理由如下： ①（-x-y）（-x+y）=（-x）2-y2=x2-y2，正确； ②，∴②错误，正确的答案为； ③x2-4x+3=（x-2）2-1，∴③错误，正确的答案为（x-2）2-1； ④，∴④错误，正确的答案为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，乘法公式，分式的运算，掌握相关运算法则是解答的关键． 题型04分式乘除混合运算 9．（七年级下·安徽安庆·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据分式乘除法的法则和分式的基本性质解答即可． 【详解】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式乘除法的法则和分式的基本性质，熟练掌握分式乘除法的法则和分式的基本性质是解题的关键． 10．（七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若，，，，，，，则 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题、分式乘除混合运算 【分析】根据题意确定出S1=-3a，S2=，S3=-3a，S4=，…，得出以-3a与循环，即可确定出S2020． 【详解】解：，，，，…， 故得出以-3a与循环， ∵2020÷2=1010， ∴S2020=， 故答案为：. 【点睛】此题考查了分式的乘除法，弄清题中的规律，找到周期是解本题的关键． 11．（七年级下·安徽六安·阶段练习）化简，在这个范围内选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】，或． 【知识点】分式化简求值、分式乘除混合运算、异分母分式加减法 【分析】根据分式的运算法则化简，取一个满足条件的值，代入计算即可． 【详解】原式， ， ， ， ∵， ∴， ∵为整数， ∴， ∵， ∴当时，原式； 或当时，． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 题型05分式化简求值 12．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知a，b，c，d是正整数，且，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式化简求值 【分析】根据已知条件及等式分析可得只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立，从而确定，代入求值即可． 本题考查分式的化简求值，利用已知等式分析出只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立是解题的关键． 【详解】解：∵a，b，c，d是正整数，且， ∴只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立， ∴， ∴． 故选：D 13．（23-24七年级下·安徽池州·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解答此类问题时要先把分式化到最简，然后代值计算．先把原分式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， 原式 ． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·安徽六安·期末）先化简再求值：，其中，且x为整数． 【答案】；2 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，0， ∴把代入得：原式． 题型06同分母分式加减法 15．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C 16．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知 ，则 的值等于 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的减法，分式的化简求值． 由得到，代入式子化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”； (2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)A与B是“完美分式”，且“完美值”； (2)①；②． 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】（1）先计算，再根据结果可得m的值； （2）①由“完美分式”及“完美值”的定义可得，再整理即可求出所代表的代数式；②由，可确定，再根据为正整数，分式的值为正整数，即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴A与B是“完美分式”，且“完美值”； （2）解：①∵与互为“完美分式”， ∴， ， ， ∴； ②∵， ∴． ∵为正整数，分式的值为正整数， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义运算，分式的加减运算．读懂题意，理解“完美分式”和“完美值”的定义是解题关键． 题型07异分母分式加减法 18．（23-24七年级下·安徽池州·期末）已知，，则值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式的求值、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式的应用，将变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 19．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知(，且)，，则（结果用含x的代数式表示）： （1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】此题考查了与分式运算相关的规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到计算结果的规律是解题的关键． （1）直接求出即可； （2）分别计算、，发现：每三个为一个循环，用2025除以3即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， （2）同理可得：， ， ， ， ∴发现：每三个为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（1），（2）． 20．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、异分母分式加减法 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯⋯ 第6个等式：； 故答案为：； （2）猜想：第个等式：， 证明：∵ ， ∴成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 题型08整式与分式相加减 21．（七年级下·安徽·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式与分式相加减 【分析】先通分再化简即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下： 【方法一】原式； 【方法二】设，则． 原式． (1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________； (2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式； (3)已知分式的值为整数，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)4或2或5或1． 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查用整体思想以及换元思想将一个分子次数比分母大的分式拆分成整式与分式和的形式． （1）根据方法一求解即可； （2）根据方法一求解即可； （3）根据方法一拆分成一个整式和一个分式的和的形式，分类讨论即可． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）原式 ； （3）原式 ∵分式的值为整数， ∴， ∴． 题型09分式加减混合运算 23．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列代数式、分式加减混合运算 【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将代入，化简即可得到答案，熟练掌握代数式运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：A． 24．（七年级下·安徽安庆·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； …… ⑴猜想并写出第个算式： ； ⑵请说明你写出的等式的正确性． ⑶把上述个算式的两边分别相加，会得到下面的求和公式吗？请写出具体的推导过程． ． ⑷我们规定：分子是1，分母是正整数的分数叫做单位分数．任意一个真分数都可以表示成不同的单位分数的和的形式，且有无数多种表示方法．根据上面得出的两个结论，请将真分数表示成不同的单位分数的和的形式．（写出一种即可） 【答案】解：⑴； ⑵见解析； ⑶，见解析； ⑷等； 【知识点】分式的规律性问题、分式加减混合运算 【详解】解：⑴由算式可知，等号左边分母是连续整数，右边是这两个数的积，故答案为： ； ⑵左边＝＝右边， 即． (3)； ； ； ； ⑷等； 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式相减和平方差公式的运算法则，准确的计算是解决本题的关键． 根据分式相加减和平方差公式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：D 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故选D． 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 4．计算的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】通分，再结合提公因式分解分子因式，最后约分即可解题． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，涉及提公因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．计算的结果是(   ) A．- B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：原式＝ ＝ ＝． 故选C． 6．化简的结果是(       ) A．0 B．2 C．-2 D．2或-2 【答案】D 【详解】当x>2时，=− =1−(−1)=2， 当x<2时，=−=−1−1=−2， 故选D. 点睛：本题考查了绝对值，根据互为相反数的绝对值相等，可化简绝对值.解题的关键是分类讨论，以防遗漏. 7．已知x为整数，且为整数，则符合条件的x有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】原式三项通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据其值为整数，即可得出符合条件x值的个数． 【详解】解：原式= =； 当x﹣3=3，即x=6时，原式值为整数； 当x﹣3=1，即x=4时，原式值为整数； 当x﹣3=﹣1，即x=2时，原式值为整数； 当x﹣3=﹣3，即x=0时，原式值为整数； 所以符合条件的x有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的化简与分式的整数值，解此题的关键在于通分、约分． 8．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的乘法法则计算依次判断即可． 【详解】A、，故该项错误； B、，故该项错误； C、，故该项错误； D、，故该项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键． 9．使分式的值等于5的a的值是（    ）． A．5 B．－5 C． D．－ 【答案】C 【分析】先提取公因式，再进行平方差公式的运算，再进行约分，解出结果之后并进行检验，即可以求出答案. 【详解】提取公因式得，由平方差公式，得， 再约分，得＝5，根据已知得＝，经检验是方程的解. 【点睛】熟练掌握提取公因式，平方差公式，约分是本题解题的关键. 10．已知，，，则的值为（          ） A．-1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】观察所给算式可得,代入整理之后对算式进行通分即可． 【详解】解：由可得：， 则 ， ， 故原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是求分式的值，对算式进行通分简化是解题的关键，体现了转化思想，化繁为简． 二、填空题 11．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】先通分，再根据同分母分式的加法法则计算即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式和整式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 12．化简： ． 【答案】1 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 13．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴ ， 故答案为：6． 14．若实数a，b满足，设，，则M，N的大小关系为M N．（用“>”、“=”或“<”连接） 【答案】= 【分析】本题考查了分式的混合运算，在解题时要注意先对分式进行化简，再代入求值即可． 本题只需要先对M、N分别进行化简，再把代入即可比较M、N的大小． 【详解】解：， ， ∵， ∴ ， ∴ 故答案为：＝． 三、解答题 15．化简：÷； 【答案】 【分析】先将第一个分式的分母用提取公因式的方法进行因式分解，再将第二个分式的分子分母都用平方差公式进行因式分解，最后把相同的因式进行约分化简. 【详解】原式= 故答案为 【点睛】该类分式化简试题，需要先把分子分母用合适的方法因式分解，然后找到公共的因式进行约分化简，最后检查约分有无漏掉的因式. 16． 【答案】 【分析】根据分式的异分母加减的运算法则计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了分式的异分母加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）按分式乘法的法则进行计算即可求出答案； （2）（3）（4）先将分式的分子分母分解因式，再将除法运算转化为乘法运算，最后约分即可求出答案． 【详解】解：（1）； （2） =a2-2a+1； （3） =y（x-1）=xy-y； （4） ． 【点睛】本题考查了分式的乘除，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 18．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算； （2）分式的公分母为，先通分，在进行计算； （3）直接进行通分，在进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减； （2）异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减的法则进行运算，分母是多项式的，要先对分母进行因式分解，再找最简公分母． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解决本题的关键是掌握分式的通分． 20．先化简；再从，0，1，中选择一个合适的x的值代入求值． 【答案】， 【分析】先计算分式的混合运算进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后根据分式成立的条件确定x的取值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，0，1， ∴x可以取，此时原式． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式成立的条件及二次根式的运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键． 21．先化简，再求值： (1)，其中a=； (2)，其中x＝－2； (3)，其中x＝3，y=-； (4)已知，求的值． 【答案】（1）3a-1，0（2）－2x－4，0（3）-x-3y，-2（4）6 【分析】（1）（2）（3）各项运算时，首先要对各项分式的分子分母进行因式分解并约分，然后确定各项的最简公分母进行通分并化简，最后再代入具体数值计算即可； （4）等式两边同时乘以xy，可得x－y＝－4xy，再将所求原式进行变形，可化为，据此可进行求解. 【详解】(1) ＝ ＝4a－1－a＝3a－1. 当时，原式＝3×－1＝1－1＝0. (2) ＝ ＝ ＝x－1－3(x＋1) ＝－2x－4. 当x＝－2时，原式＝－2x－4＝0. (3)－2(x＋y)＝x－y－2x－2y＝－x－3y. 当x＝3，时，原式＝－3－3×＝－2. (4)等式两边同时乘以xy，可得x－y＝－4xy. 故原式＝＝＝＝6. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，首先要注意各项分式的分子分母的因式分解并约分，因式分解时要合理选择方法，通分时注意最简公分母的确定. 22．先化简,再求值:,其中是不等式组的整数解. 【答案】. 【详解】分析：原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值． 详解：原式=•﹣ =﹣ =， 不等式组解得：3＜x＜5，整数解为x=4， 当x=4时，原式=． 点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 23．（1）计算：； （2）已知，，先化简再求值：； （3）已知，，先分解因式，再求值：． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】（1）先计算分式的乘方运算，然后按照分式的乘除混合运算法则计算即可； （2）将第一项的分子用平方差公式分解因式，将其分母用完全平方公式分解因式，同时计算分式的乘方运算，然后按照分式的乘除混合运算法则计算即可，得到结果后再将各式代入求值； （3）先用提公因式法和完全平方公式分解因式，得到结果后再将各式代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 把，代入上式，得：； （3） ， 把，代入上式，得： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，含乘方的分式乘除混合运算，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，代数式求值等知识点，熟练掌握分式的运算法则及因式分解的方法是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$