第六讲 圆（导图+知识精讲+易错点拨+16大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共68题）-2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版）学生版+教师版

2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第六讲 圆 【导图+知识精讲+易错点拨+16大考点讲练+难度分层练 共68题】 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 3 知识精讲 梳理脉络 3 知识点梳理01：圆、圆环的周长 3 知识点梳理02：圆、圆环的面积 4 知识点梳理03：圆、圆环的面积的实际应用 5 知识点梳理04：组合图形面积计算方法 5 知识点梳理05：组合图形面积计算方法的应用 6 易错点拨 查漏补缺 7 易错知识点01：圆的周长计算与应用易错点 7 易错知识点02：圆环的周长计算与应用易错点 7 易错知识点03：圆的面积计算与应用易错点 7 易错知识点04：圆环的面积计算与应用易错点 8 易错知识点05：组合图形面积计算方法易错点 8 易错知识点06：组合图形面积计算方法的应用易错点 9 考点讲练 明确目标 10 考点一：圆的概念及特点 10 考点二：画圆 10 考点三：与圆相关的轴对称图形 11 考点四：弧、圆心角、扇形的认识 11 考点五：画扇形 12 考点六：圆的周长 13 考点七：半圆的周长 14 考点八：圆的周长的应用 14 考点九：含圆的组合图形的周长 14 考点十：圆的面积 16 考点十一：圆的面积的应用 16 考点十二：扇形的周长和面积 17 考点十三：圆环的面积 17 考点十四：求最大面积 18 考点十五：含圆的组合图形的面积 18 考点十六：方中圆和圆中方的面积问题 19 分层训练 拔尖冲刺 20 基础夯实优选题专练 20 培优优选题专练 22 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：圆、圆环的周长 1、圆的周长 意义：圆的周长是指绕圆一周的长度。在日常生活和工程实践中，我们经常需要知道圆的周长，例如计算轮胎的周长、确定圆的边界长度等。 公式：圆的周长的计算公式为 C = 2πr 或 C = πd，其中 C 代表圆的周长，r 代表圆的半径，d 代表圆的直径，π 是一个无理数，约等于3.14159。 应用题型： （1）已知圆的半径或直径，求圆的周长。 （2）已知圆的周长，求圆的半径或直径。 小明绕着一个半径为6米的圆形花坛走了一圈，他走了多少米？这就是一个典型的求圆周长的问题。 2、圆环的周长 意义：圆环的周长是指圆环的外圆周长减去内圆周长。圆环是由两个同心圆组成的图形，其中较大的圆称为外圆，较小的圆称为内圆。圆环的周长在实际生活中也有广泛的应用，例如计算环形跑道的长度、确定环形物体的边界长度等。 公式：圆环的周长的计算公式为 C = 2π(R - r)，其中 C 代表圆环的周长，R 代表外圆的半径，r 代表内圆的半径。注意这里是用外圆半径减去内圆半径，然后乘以2π。 应用题型： （1）已知外圆和内圆的半径，求圆环的周长。 （2）已知圆环的周长和内外圆的半径关系，求其中一个圆的半径。 一个环形跑道的内外半径分别为10米和8米，求环形跑道的周长。这就是一个典型的求圆环周长的问题。 知识点梳理02：圆、圆环的面积 1.、圆的面积 意义： 圆的面积是指圆形所覆盖的平面区域的大小。在几何学中，圆的面积是一个重要的度量，用于描述圆形物体的大小或所占的空间。例如，我们可以使用圆的面积来计算圆形花坛、圆形池塘、圆形餐桌等物体的面积。 公式： 圆的面积计算公式为：S = πr²，其中S代表圆的面积，r代表圆的半径，π是一个数学常数，约等于3.14159。这个公式是由德国天文学家开普勒推导出来的。在推导过程中，开普勒首先将圆分割成了许多小扇形，然后通过累加这些小扇形的面积来近似计算圆的面积。当分割的扇形数量趋近于无穷大时，这些扇形的面积之和就趋近于圆的真实面积，即πr²。 2、圆环的面积 意义： 圆环面积是指由两个同心圆所形成的环形区域的面积。也就是说，它是大圆面积减去小圆面积的结果。圆环面积的计算有助于我们理解圆环的结构和形状，并在许多实际应用中发挥作用。 公式： 圆环面积的计算公式有两种表达方式： S = π(R² - r²)，其中S代表圆环面积，R代表大圆的半径，r代表小圆的半径。这个公式直接根据圆环的定义推导出来，即大圆面积减去小圆面积。 S = π(R + r)(R - r)，这个公式是上述公式的另一种形式，通过因式分解得到的。这个公式同样可以用来计算圆环的面积，并且有时在特定情况下可能更方便使用。 知识点梳理03：圆、圆环的面积的实际应用 1、圆的面积应用题型 （1） 直接计算圆的面积 给定圆的半径，直接利用公式 S = πr² 来计算面积。 例题：一个圆形花坛的半径是5米，求这个花坛的面积。 （2）圆的面积与周长关系 通过圆的周长反推半径，再求面积。 例题：一个圆形花坛的周长是31.4米，求这个花坛的面积。 （3）实际应用题 与现实生活相关的应用题，如计算圆形草坪的面积、圆形餐桌的面积等。 例题：一个圆形餐桌的半径是1米，这个餐桌的面积是多少？ 2、圆环的面积应用题型 （1） 直接计算圆环面积 给定大圆和小圆的半径，利用公式 S = π(R² - r²) 来计算圆环面积。 例题：一个圆环的外圆半径是10厘米，内圆半径是5厘米，求这个圆环的面积。 （2）与生活场景结合的题目 比如，计算环形跑道的面积、环形花坛的面积等。 例题：在一个直径为20米的圆形花坛周围，有一个2米宽的环形小路，求这条小路的面积。 （3） 涉及阴影部分的题目 小圆在大圆内部，求大圆与小圆之间的面积差，即圆环面积。 例题：一个大圆的半径是10厘米，小圆的半径是5厘米，小圆在大圆内部，求大圆与小圆之间的面积差。 知识点梳理04：组合图形面积计算方法 1.直接计算法 当组合图形是由几个简单的圆或扇形直接组合而成时，可以直接使用各自的面积公式进行计算，然后将结果相加或相减。 例如，一个大圆内有一个小圆，求大圆与小圆之间的面积差（即圆环面积），可以使用公式 S = π(R² - r²)，其中R是大圆半径，r是小圆半径。 2.分割法： 如果组合图形不易直接计算，可以尝试将其分割成几个易于计算的简单图形，然后分别计算这些图形的面积，最后将它们相加或相减。 例如，一个扇形和一个三角形组成的组合图形，可以先分别计算扇形的面积和三角形的面积，然后将两者相加。 3.补全法： 对于一些缺失部分的图形，可以通过补全成一个完整的简单图形来进行计算。先计算完整图形的面积，再减去补全部分的面积。 例如，一个被切去一块的圆，可以先计算完整圆的面积，再减去切去部分的面积。 知识点梳理05：组合图形面积计算方法的应用 1.圆环面积问题： 给出大圆和小圆的半径，求大圆与小圆之间的面积差（即圆环面积）。 解题关键是理解圆环面积的计算公式S = π(R² - r²)。 2.扇形面积问题： 给出扇形的半径和圆心角，求扇形的面积。 解题关键是理解扇形面积的计算公式S = (n/360)πr²，其中n是圆心角的度数，r是扇形的半径。 3.组合图形面积问题： 给出由多个圆、扇形或其他图形组成的组合图形，求其总面积。 解题关键是分析图形的构成，选择合适的计算方法（如直接计算法、分割法、补全法）进行计算。 4.阴影部分面积问题： 在一些图形中，有被遮挡或重叠的部分形成阴影，求阴影部分的面积。 解题关键是分析阴影部分的构成和来源，可能需要运用多种计算方法（如分割法、补全法）进行计算。 5.图形变换与面积问题： 给出图形的某种变换（如平移、旋转、缩放等），求变换后图形的面积。 解题关键是理解图形变换对面积的影响，以及如何利用这些影响进行计算。 6.实际应用问题： 将圆的面积计算应用于实际问题中，如计算圆形花坛的面积、圆形水池的容量等。 解题关键是理解问题的实际需求，将实际问题转化为数学模型进行计算。 易错知识点01：圆的周长计算与应用易错点 1.公式记忆错误：学生可能会混淆周长公式，错误地记住为 C = πd 或 C = πr 而不是正确的 C = πd 或 C = 2πr。 解决策略：强调并多次练习周长公式，确保正确记忆。 （2）π的取值问题：在计算时，学生可能会直接使用π的近似值（如3.14）而不是保留π的符号，这可能会导致精度损失。 解决策略：在解题过程中保留π的符号，并在需要具体数值时再进行计算。 （3）单位换算：在题目中，半径或直径的单位可能不是学生所熟悉的（如厘米、米、毫米等），学生可能会忘记进行单位换算。 解决策略：强调单位换算的重要性，并在解题过程中进行必要的单位换算。 （4）实际问题中的理解： 在实际应用中，学生可能难以理解题目中的实际情境，如“绕树一圈的绳子长度”实际上是树的周长。 解决策略：通过实际例子和图示帮助学生理解题目中的实际情境。 易错知识点02：圆环的周长计算与应用易错点 （1）混淆圆环与圆：学生可能会将圆环的周长误认为是两个圆的周长之和，而实际上圆环的周长只包括外圆的周长。 解决策略：明确区分圆环和圆的概念，强调圆环的周长只包括外圆的周长。 （2）计算内圆周长：在某些题目中，可能需要计算内圆的周长，但学生可能会忽略这一点，只计算外圆的周长。 解决策略：在解题过程中提醒学生注意是否需要计算内圆的周长。 （3）忽略半径的关系：学生可能会忘记大圆半径和小圆半径的关系，导致计算错误。 解决策略：强调大圆半径和小圆半径的关系，并在解题过程中进行必要的检查。 易错知识点03：圆的面积计算与应用易错点 （1）公式记忆与应用：学生可能会混淆或忘记圆的面积公式，即S = πr²。他们可能在计算时忘记乘以π，或者错误地将半径的平方计算为半径的两倍。 解决策略：通过多次练习和复习来巩固记忆，并在解题时强调公式中每个部分的意义。 （2）π的取值问题：学生可能会直接使用π的近似值（如3.14）进行计算，这可能会导致精度损失。特别是在需要高精度计算的情况下，这种近似可能会导致错误。 解决策略：在解题时，鼓励学生尽量保留π的符号，直到最后一步需要具体数值时再进行计算。 （3）单位换算：题目中可能会涉及到不同的单位（如厘米、米等），而学生可能会忘记进行单位换算。 解决策略：强调单位换算的重要性，并在解题过程中进行必要的单位换算。 （4）半径与直径的混淆：学生可能会混淆半径和直径的概念，导致在计算圆的面积时使用错误的数值。 解决策略：明确半径和直径的定义和区别，并通过练习来巩固这些概念。 （5）对实际问题的理解：在应用题目中，学生可能难以理解题目中的实际情境，如“一个圆形花坛的面积是多少”等。他们可能会将花坛的周长误认为是面积。 解决策略：通过图示和实际例子来帮助学生理解题目中的实际情境，并明确题目要求的是面积还是周长。 易错知识点04：圆环的面积计算与应用易错点 （1）公式记忆与应用：学生可能会忘记或混淆圆环的面积公式，即S = π(R² - r²)。他们可能会错误地计算为两个圆的面积之和或差，而不是外圆面积减去内圆面积。 解决策略：通过多次练习和复习来巩固记忆，并在解题时强调公式中每个部分的意义。 （2）内外圆半径的关系：学生可能会忘记或混淆内外圆的半径关系，导致在计算圆环面积时使用错误的数值。 解决策略：明确内外圆半径的关系，并通过练习来巩固这些概念。同时，在解题时要仔细检查题目中给出的半径值是否正确。 （3）单位换算：与圆的面积计算相同，圆环的面积计算也可能涉及到单位换算的问题。 解决策略：强调单位换算的重要性，并在解题过程中进行必要的单位换算。 （4）对实际问题的理解：在应用题目中，学生可能难以理解题目中的实际情境，如“一个圆环形铁皮的面积是多少”等。他们可能会将圆环的周长误认为是面积。 解决策略：通过图示和实际例子来 易错知识点05：组合图形面积计算方法易错点 1.公式混淆： 可能会混淆不同图形的面积计算公式，例如将圆的面积公式S = πr²与扇形的面积公式S = (n/360)πr²混淆。 解决策略：强调每个公式的特定应用，并通过大量的练习来巩固记忆。 2.计算顺序： 对于包含多个图形元素的组合图形，学生可能会在计算面积时忽略某些部分或重复计算某些部分。 解决策略：在解题时，先明确每个部分的面积，然后按照加减法的规则进行计算。同时，可以利用图示来帮助学生理解并避免遗漏或重复。 3.单位换算： 当题目中涉及到不同单位时，学生可能会忘记进行单位换算或换算错误。 解决策略：在解题时，先检查题目中给出的单位是否一致，如果不一致，则进行必要的单位换算。同时，可以利用实际例子来帮助学生理解单位换算的重要性和方法。 4.图形识别： 可能无法正确识别题目中的图形或组合图形的组成部分，从而导致面积计算错误。 解决策略：在解题时，先仔细观察题目中的图形，明确每个部分的形状和大小，然后再进行计算。同时，可以通过画图或利用实物模型来帮助学生理解题目中的图形。 易错知识点06：组合图形面积计算方法的应用易错点 1.圆环面积问题： 学生可能会将圆环面积与圆面积混淆，或忘记计算大圆面积后减去小圆面积。 解决策略：强调圆环面积是大圆面积减去小圆面积的概念，并通过大量练习来巩固记忆。 2.扇形面积问题： 学生可能会忘记将圆心角的度数转换为弧度制或将半径代入公式时出错。 解决策略：在解题时，先明确圆心角的度数和半径的值，然后将它们代入公式进行计算。同时，可以通过比较不同情况下的扇形面积来帮助学生理解公式的应用。 3.组合图形面积问题： 学生可能会忽略组合图形中的重叠部分或无法正确识别组合图形的组成部分。 解决策略：在解题时，先明确组合图形的组成部分和它们之间的关系，然后利用适当的计算方法进行计算。同时，可以通过画图或利用实物模型来帮助学生理解题目中的组合图形。 4.阴影部分面积问题： 学生可能会无法正确识别阴影部分的形状和大小或无法确定阴影部分的边界。 解决策略：在解题时，先明确阴影部分的形状和大小以及它的边界，然后利用适当的计算方法进行计算。同时，可以通过画图或利用实物模型来帮助学生理解题目中的阴影部分。 考点一：圆的概念及特点 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）一个圆的周长是它直径的（    ）倍。 A．π B．3.14 C．3.1415926 D．3.1415923 【精练题01】（22-23六年级上·山东聊城·期末）一个圆的半径是3厘米，它的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）下边正方形的边长是40毫米，以正方形对角线的交点O为圆心，在正方形内画一个圆。 （1）在小组里比一比谁画的圆大。 （2）如果要在正方形内画一个最大的圆，圆的半径应是多少毫米？你能试着画一画吗？ 考点二：画圆 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）画一个直径是5厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径。 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）要在操场上画一个较大的圆，可以怎样画？在小组里讨论，再试着画一画 【精练题02】（21-22五年级下·江苏·假期作业）要画一个直径12厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（    ）厘米。 A．37.68 B．18.84 C．12 D．6 考点三：与圆相关的轴对称图形 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）正方形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴，半圆有( )条对称轴。 【精练题01】（22-23五年级下·江苏泰州·期末）圆和圆环都是轴对称图形，都有无数条对称轴。( )（判断对错） 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）下面的图形各能画出几条对称轴？画一画，填一填。 （   ）条      （   ）条        （   ）条       （   ）条 考点四：弧、圆心角、扇形的认识 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）下面扇形的圆心角各是什么角，分别是多少度？ 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）每个圆里的涂色部分和空白部分都可以看作什么图形？这些图形各占圆的几分之几？ 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）一个圆被分成了三部分（如图）。你能比较这三个扇形的大小吗？ 考点五：画扇形 【精讲题】（22-23五年级下·江苏·课后作业）在一个面积为25平方厘米的正方形中，剪出一个最大的扇形，扇形的半径是多少厘米？想一想，画一画。 【精练题01】（22-23五年级下·江苏·课后作业）画两个半径是2厘米的圆，在一个圆中画一个圆心角是80°的扇形，在另一个圆中画一个扇形，使它占圆的。 【精练题02】（22-23五年级下·江苏泰州·期末） （1）以为圆心O，在图中画一个半径为3厘米的圆。 （2）画出这个圆的一条直径，使这条直径经过点。 （3）计算这个圆的周长是（    ）厘米。 （4）在这个圆中涂出一个扇形，使扇形面积正好是圆面积的。 考点六：圆的周长 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·课后作业）计算下面各圆的周长。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）一个圆的直径增加4厘米，它的周长就会增加( )厘米。 【精练题02】（23-24五年级下·江苏·单元测试）如下图，大圆的周长与两个小圆周长的和比较，（     ）。 A．大圆的周长大于两个小圆周长的和 B．大圆的周长小于两个小圆周长的和 C．大圆的周长等于两个小圆周长的和 考点七：半圆的周长 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）一张周长是6.28分米的圆形纸，对折后每个半圆的周长是3.14分米。( )（判断对错） 【精练题01】（23-24五年级下·江苏盐城·期末）周长为12.56厘米的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【精练题02】（22-23五年级下·江苏扬州·期末）操作。 （1）画一个长5厘米、宽2厘米的长方形，再在这个长方形内画一个最大的半圆形。 （2）这个半圆形的半径是（    ）厘米，周长是（    ）厘米。 考点八：圆的周长的应用 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·课后作业）在篮球场和足球场上，有许多圆形和半圆形。了解一下，它们各是什么区域？测量相关数据，算出它们的周长和面积。 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）一根长18.84分米的铜丝，正好在一根圆柱形铁棒上绕了10圈。这根铁棒横截面的直径约是多少厘米？面积呢？ 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）公园里有一个圆形金鱼池，直径是18米。它的周长是多少米？占地多少平方米？ 考点九：含圆的组合图形的周长 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）计算下面两个图形的周长，它们的周长相等吗？ 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）张爷爷每天早上都要围绕体育场的跑道（如图）慢跑5圈。张爷爷每天慢跑多少米？ 【精练题02】（23-24五年级下·江苏盐城·期末）如图所示，比较空白部分与阴影部分的周长、面积的大小，说法正确的是（    ）。 A．周长相等，面积也相等 B．周长相等，面积不相等 C．周长不相等，面积相等 D．周长不相等，面积也不相等 考点十：圆的面积 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）龙湖小区有一个圆形花坛，量得花坛周围的篱笆长是18.84米。这个花坛的占地面积是多少平方米？ 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）一个圆形电子元件薄片，直径是16厘米。这个电子元件薄片的面积是多少平方厘米？ 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）量出需要的数据（取整毫米数），计算涂色部分的面积。 考点十一：圆的面积的应用 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·课后作业）估一估，半径是5米的圆，有一间教室那么大吗？半径是10米的圆，大约有几间教室那么大？ 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）找一个底面是圆形的茶叶罐或纸筒，量出底面周长，并算出它的面积。 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）一根绳子长31.4米，把它围成一个正方形或圆形。是围成的正方形面积大，还是围成的圆形面积大？大多少？ 考点十二：扇形的周长和面积 【精讲题】（23-24五年级下·江苏扬州·期末）如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．16π C．8π D．无法确定 【精练题01】（21-22五年级下·江苏镇江·期末）把一张直径是8厘米的圆形纸片连续对折两次得到一个扇形，这个扇形的面积是（    ）平方厘米。    A． B． C． D． 【精练题02】（21-22五年级下·江苏扬州·期末）李伯伯要在一块长为10米、宽为6米的长方形地上建一个最大的半圆形养殖场，需要给养殖场围上篱笆，所需篱笆的长度是多少米？ 考点十三：圆环的面积 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·课后作业）光盘是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米。光盘的面积是多少平方厘米？ 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）有一个半径为6米的圆形花坛，沿着花坛边缘修了一条宽1米的小路，求小路的面积。 【精练题02】（2024五年级下·江苏·专题练习）按要求计算。已知下图大圆直径8厘米，是小圆直径的2倍。求阴影部分的面积。 考点十四：求最大面积 【精讲题】（22-23五年级下·江苏·期末）用一根长31.4厘米的铁丝围成下列图形，（    ）的面积最大。 A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．圆 【精练题01】（22-23五年级下·江苏·单元测试）周长相等的圆与正方形相比， 的面积要大一些。 【精练题02】（22-23五年级下·江苏·单元测试）把一根10米长的细绳分别围成以下三个图形，（    ）的面积最小。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．无法判断 考点十五：含圆的组合图形的面积 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）在一张长方形纸上（如图）剪下一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？剩下纸的面积呢？ 考点十六：方中圆和圆中方的面积问题 66．（2024五年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是（    ）平方厘米。 A．2.5π B．4π C．5π D．6.25π 67．（22-23五年级下·江苏淮安·期末）如图，正方形的边长都是20cm，比较三幅图中阴影部分的面积，正确的结论是（    ）。 A．①中阴影部分的面积＝②中阴影部分的面积＝③中阴影部分的面积 B．①中阴影部分的面积＞②中阴影部分的面积＞③中阴影部分的面积 C．①中阴影部分的面积＝②中阴影部分的面积＞③中阴影部分的面积 D．①中阴影部分的面积＝②中阴影部分的面积＜③中阴影部分的面积 68．（23-24五年级下·江苏宿迁·期末）如图，若正方形的面积是12平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。 基础夯实优选题专练 1．（23-24五年级下·江苏·单元测试）用3米长的铁丝围成一个圆，这个圆在地上滚动一周所前进的距离（     ）。 A．比3米长 B．比3米短 C．正好是3米 2．（23-24五年级下·江苏·单元测试）下列关于圆周率的说法中，错误的是（     ）。 A．圆周率是一个无限不循环小数 B．圆周率是圆周长除以直径的商 C．不同的圆，圆周率也不同 3．（23-24五年级下·江苏·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以同样的速度，同时从点A出发，甲蚂蚁沿着正方形走，乙蚂蚁沿着圆形走，（    ）回到起点。 A．甲先 B．乙先 C．同时 4．（24-25五年级下·江苏·课后作业）填表。 半径（r） 20厘米 7厘米 3.9米 直径（d） 6米 0.24米 5．（23-24五年级下·江苏·课后作业）用圆规画一个直径6厘米的圆，圆规两脚间应分开( )厘米，这个圆的半径是( )厘米。 6．（23-24五年级下·江苏·单元测试）一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是3厘米，这个圆环的面积是( )平方厘米。 7．（22-23五年级下·江苏盐城·期末）下图中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）在图①中，以点O为圆心，画一个半径是2厘米的圆。 （2）在图②中，以点O为圆心，画一个圆，使点A在圆上。 8．（24-25五年级下·江苏·课后作业）比较下面每组中两个圆的大小。 （1）半径1厘米的圆和直径1厘米的圆。 （2）直径4厘米的圆和半径3厘米的圆。 （3）半径5厘米的圆和直径1分米的圆。 9．（23-24五年级下·江苏·课后作业）下图中每个圆的半径都是2厘米，长方形的周长是多少厘米？ 10． （23-24五年级下·江苏·课后作业）一张圆桌桌面的直径是1.6米，用铝合金条把桌边包起来。至少需要铝合金条多少米？ 培优优选题专练 11．（23-24五年级下·江苏·期末）如下图，两个涂色部分的面积相等，三角形、半圆的面积相比，（    ）。 A．三角形面积大 B．半圆面积大 C．一样大 12．（23-24五年级下·江苏·期末）用三根同样长的绳子分别围成下面的图形，面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆 13．（23-24五年级下·江苏·课后作业）大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的（    ）倍。 A．2 B．4 C．8 D．π 14．（24-25五年级下·江苏·课后作业）          圆的直径是( )    半圆形的直径是( )    扇形的半径是( ) 15．（23-24五年级下·江苏·期末）一张环形垫片的外直径是6厘米，内直径是4厘米，垫片的面积是( )平方厘米。 16．（23-24五年级下·江苏·课后作业）大圆的直径是小圆的3倍，大圆的周长是小圆的( )倍，大圆的面积是小圆的( )倍。 17．（24-25五年级下·江苏·课后作业）画一个直径4厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径，再求出它的周长和面积。 18．（24-25五年级下·江苏·课后作业）杂技演员在一根悬空的钢丝上骑独轮车，车轮的外直径是45厘米。从钢丝的一端到另一端，车轮正好滚动40圈。这根悬空的钢丝至少长多少米？ 19．（24-25五年级下·江苏·随堂练习）下面各圆中的涂色部分，哪些是扇形？为什么？ 20．（24-25五年级下·江苏·课后作业）屏幕上显示的雷达影像，最外圈是一个直径84厘米的圆。它的周长和面积各是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第六讲 圆 【导图+知识精讲+易错点拨+16大考点讲练+难度分层练 共68题】 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 3 知识精讲 梳理脉络 3 知识点梳理01：圆、圆环的周长 3 知识点梳理02：圆、圆环的面积 4 知识点梳理03：圆、圆环的面积的实际应用 5 知识点梳理04：组合图形面积计算方法 5 知识点梳理05：组合图形面积计算方法的应用 6 易错点拨 查漏补缺 7 易错知识点01：圆的周长计算与应用易错点 7 易错知识点02：圆环的周长计算与应用易错点 7 易错知识点03：圆的面积计算与应用易错点 7 易错知识点04：圆环的面积计算与应用易错点 8 易错知识点05：组合图形面积计算方法易错点 8 易错知识点06：组合图形面积计算方法的应用易错点 9 考点讲练 明确目标 10 考点一：圆的概念及特点 10 考点二：画圆 11 考点三：与圆相关的轴对称图形 12 考点四：弧、圆心角、扇形的认识 14 考点五：画扇形 15 考点六：圆的周长 17 考点七：半圆的周长 19 考点八：圆的周长的应用 21 考点九：含圆的组合图形的周长 23 考点十：圆的面积 25 考点十一：圆的面积的应用 27 考点十二：扇形的周长和面积 29 考点十三：圆环的面积 30 考点十四：求最大面积 32 考点十五：含圆的组合图形的面积 33 考点十六：方中圆和圆中方的面积问题 35 分层训练 拔尖冲刺 38 基础夯实优选题专练 38 培优优选题专练 43 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：圆、圆环的周长 1、圆的周长 意义：圆的周长是指绕圆一周的长度。在日常生活和工程实践中，我们经常需要知道圆的周长，例如计算轮胎的周长、确定圆的边界长度等。 公式：圆的周长的计算公式为 C = 2πr 或 C = πd，其中 C 代表圆的周长，r 代表圆的半径，d 代表圆的直径，π 是一个无理数，约等于3.14159。 应用题型： （1）已知圆的半径或直径，求圆的周长。 （2）已知圆的周长，求圆的半径或直径。 小明绕着一个半径为6米的圆形花坛走了一圈，他走了多少米？这就是一个典型的求圆周长的问题。 2、圆环的周长 意义：圆环的周长是指圆环的外圆周长减去内圆周长。圆环是由两个同心圆组成的图形，其中较大的圆称为外圆，较小的圆称为内圆。圆环的周长在实际生活中也有广泛的应用，例如计算环形跑道的长度、确定环形物体的边界长度等。 公式：圆环的周长的计算公式为 C = 2π(R - r)，其中 C 代表圆环的周长，R 代表外圆的半径，r 代表内圆的半径。注意这里是用外圆半径减去内圆半径，然后乘以2π。 应用题型： （1）已知外圆和内圆的半径，求圆环的周长。 （2）已知圆环的周长和内外圆的半径关系，求其中一个圆的半径。 一个环形跑道的内外半径分别为10米和8米，求环形跑道的周长。这就是一个典型的求圆环周长的问题。 知识点梳理02：圆、圆环的面积 1.、圆的面积 意义： 圆的面积是指圆形所覆盖的平面区域的大小。在几何学中，圆的面积是一个重要的度量，用于描述圆形物体的大小或所占的空间。例如，我们可以使用圆的面积来计算圆形花坛、圆形池塘、圆形餐桌等物体的面积。 公式： 圆的面积计算公式为：S = πr²，其中S代表圆的面积，r代表圆的半径，π是一个数学常数，约等于3.14159。这个公式是由德国天文学家开普勒推导出来的。在推导过程中，开普勒首先将圆分割成了许多小扇形，然后通过累加这些小扇形的面积来近似计算圆的面积。当分割的扇形数量趋近于无穷大时，这些扇形的面积之和就趋近于圆的真实面积，即πr²。 2、圆环的面积 意义： 圆环面积是指由两个同心圆所形成的环形区域的面积。也就是说，它是大圆面积减去小圆面积的结果。圆环面积的计算有助于我们理解圆环的结构和形状，并在许多实际应用中发挥作用。 公式： 圆环面积的计算公式有两种表达方式： S = π(R² - r²)，其中S代表圆环面积，R代表大圆的半径，r代表小圆的半径。这个公式直接根据圆环的定义推导出来，即大圆面积减去小圆面积。 S = π(R + r)(R - r)，这个公式是上述公式的另一种形式，通过因式分解得到的。这个公式同样可以用来计算圆环的面积，并且有时在特定情况下可能更方便使用。 知识点梳理03：圆、圆环的面积的实际应用 1、圆的面积应用题型 （1） 直接计算圆的面积 给定圆的半径，直接利用公式 S = πr² 来计算面积。 例题：一个圆形花坛的半径是5米，求这个花坛的面积。 （2）圆的面积与周长关系 通过圆的周长反推半径，再求面积。 例题：一个圆形花坛的周长是31.4米，求这个花坛的面积。 （3）实际应用题 与现实生活相关的应用题，如计算圆形草坪的面积、圆形餐桌的面积等。 例题：一个圆形餐桌的半径是1米，这个餐桌的面积是多少？ 2、圆环的面积应用题型 （1） 直接计算圆环面积 给定大圆和小圆的半径，利用公式 S = π(R² - r²) 来计算圆环面积。 例题：一个圆环的外圆半径是10厘米，内圆半径是5厘米，求这个圆环的面积。 （2）与生活场景结合的题目 比如，计算环形跑道的面积、环形花坛的面积等。 例题：在一个直径为20米的圆形花坛周围，有一个2米宽的环形小路，求这条小路的面积。 （3） 涉及阴影部分的题目 小圆在大圆内部，求大圆与小圆之间的面积差，即圆环面积。 例题：一个大圆的半径是10厘米，小圆的半径是5厘米，小圆在大圆内部，求大圆与小圆之间的面积差。 知识点梳理04：组合图形面积计算方法 1.直接计算法 当组合图形是由几个简单的圆或扇形直接组合而成时，可以直接使用各自的面积公式进行计算，然后将结果相加或相减。 例如，一个大圆内有一个小圆，求大圆与小圆之间的面积差（即圆环面积），可以使用公式 S = π(R² - r²)，其中R是大圆半径，r是小圆半径。 2.分割法： 如果组合图形不易直接计算，可以尝试将其分割成几个易于计算的简单图形，然后分别计算这些图形的面积，最后将它们相加或相减。 例如，一个扇形和一个三角形组成的组合图形，可以先分别计算扇形的面积和三角形的面积，然后将两者相加。 3.补全法： 对于一些缺失部分的图形，可以通过补全成一个完整的简单图形来进行计算。先计算完整图形的面积，再减去补全部分的面积。 例如，一个被切去一块的圆，可以先计算完整圆的面积，再减去切去部分的面积。 知识点梳理05：组合图形面积计算方法的应用 1.圆环面积问题： 给出大圆和小圆的半径，求大圆与小圆之间的面积差（即圆环面积）。 解题关键是理解圆环面积的计算公式S = π(R² - r²)。 2.扇形面积问题： 给出扇形的半径和圆心角，求扇形的面积。 解题关键是理解扇形面积的计算公式S = (n/360)πr²，其中n是圆心角的度数，r是扇形的半径。 3.组合图形面积问题： 给出由多个圆、扇形或其他图形组成的组合图形，求其总面积。 解题关键是分析图形的构成，选择合适的计算方法（如直接计算法、分割法、补全法）进行计算。 4.阴影部分面积问题： 在一些图形中，有被遮挡或重叠的部分形成阴影，求阴影部分的面积。 解题关键是分析阴影部分的构成和来源，可能需要运用多种计算方法（如分割法、补全法）进行计算。 5.图形变换与面积问题： 给出图形的某种变换（如平移、旋转、缩放等），求变换后图形的面积。 解题关键是理解图形变换对面积的影响，以及如何利用这些影响进行计算。 6.实际应用问题： 将圆的面积计算应用于实际问题中，如计算圆形花坛的面积、圆形水池的容量等。 解题关键是理解问题的实际需求，将实际问题转化为数学模型进行计算。 易错知识点01：圆的周长计算与应用易错点 1.公式记忆错误：学生可能会混淆周长公式，错误地记住为 C = πd 或 C = πr 而不是正确的 C = πd 或 C = 2πr。 解决策略：强调并多次练习周长公式，确保正确记忆。 （2）π的取值问题：在计算时，学生可能会直接使用π的近似值（如3.14）而不是保留π的符号，这可能会导致精度损失。 解决策略：在解题过程中保留π的符号，并在需要具体数值时再进行计算。 （3）单位换算：在题目中，半径或直径的单位可能不是学生所熟悉的（如厘米、米、毫米等），学生可能会忘记进行单位换算。 解决策略：强调单位换算的重要性，并在解题过程中进行必要的单位换算。 （4）实际问题中的理解： 在实际应用中，学生可能难以理解题目中的实际情境，如“绕树一圈的绳子长度”实际上是树的周长。 解决策略：通过实际例子和图示帮助学生理解题目中的实际情境。 易错知识点02：圆环的周长计算与应用易错点 （1）混淆圆环与圆：学生可能会将圆环的周长误认为是两个圆的周长之和，而实际上圆环的周长只包括外圆的周长。 解决策略：明确区分圆环和圆的概念，强调圆环的周长只包括外圆的周长。 （2）计算内圆周长：在某些题目中，可能需要计算内圆的周长，但学生可能会忽略这一点，只计算外圆的周长。 解决策略：在解题过程中提醒学生注意是否需要计算内圆的周长。 （3）忽略半径的关系：学生可能会忘记大圆半径和小圆半径的关系，导致计算错误。 解决策略：强调大圆半径和小圆半径的关系，并在解题过程中进行必要的检查。 易错知识点03：圆的面积计算与应用易错点 （1）公式记忆与应用：学生可能会混淆或忘记圆的面积公式，即S = πr²。他们可能在计算时忘记乘以π，或者错误地将半径的平方计算为半径的两倍。 解决策略：通过多次练习和复习来巩固记忆，并在解题时强调公式中每个部分的意义。 （2）π的取值问题：学生可能会直接使用π的近似值（如3.14）进行计算，这可能会导致精度损失。特别是在需要高精度计算的情况下，这种近似可能会导致错误。 解决策略：在解题时，鼓励学生尽量保留π的符号，直到最后一步需要具体数值时再进行计算。 （3）单位换算：题目中可能会涉及到不同的单位（如厘米、米等），而学生可能会忘记进行单位换算。 解决策略：强调单位换算的重要性，并在解题过程中进行必要的单位换算。 （4）半径与直径的混淆：学生可能会混淆半径和直径的概念，导致在计算圆的面积时使用错误的数值。 解决策略：明确半径和直径的定义和区别，并通过练习来巩固这些概念。 （5）对实际问题的理解：在应用题目中，学生可能难以理解题目中的实际情境，如“一个圆形花坛的面积是多少”等。他们可能会将花坛的周长误认为是面积。 解决策略：通过图示和实际例子来帮助学生理解题目中的实际情境，并明确题目要求的是面积还是周长。 易错知识点04：圆环的面积计算与应用易错点 （1）公式记忆与应用：学生可能会忘记或混淆圆环的面积公式，即S = π(R² - r²)。他们可能会错误地计算为两个圆的面积之和或差，而不是外圆面积减去内圆面积。 解决策略：通过多次练习和复习来巩固记忆，并在解题时强调公式中每个部分的意义。 （2）内外圆半径的关系：学生可能会忘记或混淆内外圆的半径关系，导致在计算圆环面积时使用错误的数值。 解决策略：明确内外圆半径的关系，并通过练习来巩固这些概念。同时，在解题时要仔细检查题目中给出的半径值是否正确。 （3）单位换算：与圆的面积计算相同，圆环的面积计算也可能涉及到单位换算的问题。 解决策略：强调单位换算的重要性，并在解题过程中进行必要的单位换算。 （4）对实际问题的理解：在应用题目中，学生可能难以理解题目中的实际情境，如“一个圆环形铁皮的面积是多少”等。他们可能会将圆环的周长误认为是面积。 解决策略：通过图示和实际例子来 易错知识点05：组合图形面积计算方法易错点 1.公式混淆： 可能会混淆不同图形的面积计算公式，例如将圆的面积公式S = πr²与扇形的面积公式S = (n/360)πr²混淆。 解决策略：强调每个公式的特定应用，并通过大量的练习来巩固记忆。 2.计算顺序： 对于包含多个图形元素的组合图形，学生可能会在计算面积时忽略某些部分或重复计算某些部分。 解决策略：在解题时，先明确每个部分的面积，然后按照加减法的规则进行计算。同时，可以利用图示来帮助学生理解并避免遗漏或重复。 3.单位换算： 当题目中涉及到不同单位时，学生可能会忘记进行单位换算或换算错误。 解决策略：在解题时，先检查题目中给出的单位是否一致，如果不一致，则进行必要的单位换算。同时，可以利用实际例子来帮助学生理解单位换算的重要性和方法。 4.图形识别： 可能无法正确识别题目中的图形或组合图形的组成部分，从而导致面积计算错误。 解决策略：在解题时，先仔细观察题目中的图形，明确每个部分的形状和大小，然后再进行计算。同时，可以通过画图或利用实物模型来帮助学生理解题目中的图形。 易错知识点06：组合图形面积计算方法的应用易错点 1.圆环面积问题： 学生可能会将圆环面积与圆面积混淆，或忘记计算大圆面积后减去小圆面积。 解决策略：强调圆环面积是大圆面积减去小圆面积的概念，并通过大量练习来巩固记忆。 2.扇形面积问题： 学生可能会忘记将圆心角的度数转换为弧度制或将半径代入公式时出错。 解决策略：在解题时，先明确圆心角的度数和半径的值，然后将它们代入公式进行计算。同时，可以通过比较不同情况下的扇形面积来帮助学生理解公式的应用。 3.组合图形面积问题： 学生可能会忽略组合图形中的重叠部分或无法正确识别组合图形的组成部分。 解决策略：在解题时，先明确组合图形的组成部分和它们之间的关系，然后利用适当的计算方法进行计算。同时，可以通过画图或利用实物模型来帮助学生理解题目中的组合图形。 4.阴影部分面积问题： 学生可能会无法正确识别阴影部分的形状和大小或无法确定阴影部分的边界。 解决策略：在解题时，先明确阴影部分的形状和大小以及它的边界，然后利用适当的计算方法进行计算。同时，可以通过画图或利用实物模型来帮助学生理解题目中的阴影部分。 考点一：圆的概念及特点 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）一个圆的周长是它直径的（    ）倍。 A．π B．3.14 C．3.1415926 D．3.1415923 【答案】A 【思路点拨】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率；即，C÷d＝π；据此解答即可。 【规范解答】据分析可知， C÷d＝π 一个圆的周长是它直径的倍。 故答案为：A 【精练题01】（22-23六年级上·山东聊城·期末）一个圆的半径是3厘米，它的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 6 18.84 28.26 【思路点拨】已知圆的半径是3厘米，根据圆的直径d＝2r，圆的周长C＝πd，圆的面积S＝πr2，代入数据计算，分别求出它的直径、周长和面积。 【规范解答】3×2＝6（厘米） 3.14×6＝18.84（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 填空如下： 一个圆的半径是3厘米，它的直径是（6）厘米，周长是（18.84）厘米，面积是（28.26）平方厘米。 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）下边正方形的边长是40毫米，以正方形对角线的交点O为圆心，在正方形内画一个圆。 （1）在小组里比一比谁画的圆大。 （2）如果要在正方形内画一个最大的圆，圆的半径应是多少毫米？你能试着画一画吗？ 【答案】（1）小组内操作； （2）见详解 【思路点拨】在正方形内画一个最大的圆，就是以点O为圆心，以正方形的边长长度为直径。所以圆的直径是40毫米，根据公式半径＝直径÷2即可。 【规范解答】 40÷2＝20（毫米） 答：圆的半径是20毫米。 考点二：画圆 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）画一个直径是5厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径。 【答案】见详解 【思路点拨】直径是5厘米，根据公式：半径＝直径÷2，求出圆的半径；圆规画圆步骤：①把圆规的两脚分开，定好两脚间距离（即半径）；②把有针尖的一只脚固定在一点上；③带有铅笔的那只脚绕点旋转一周，并在圆上的相应位置标上字母即可。 【规范解答】半径：5÷2＝2.5（厘米） 如图： 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）要在操场上画一个较大的圆，可以怎样画？在小组里讨论，再试着画一画。 【答案】见详解 【思路点拨】根据圆的特性：圆心的位置决定圆的位置，半径决定圆的大小，使用合适的工具，如：绳子、木棍、粉笔等，可以在操场上画一个较大的圆。 【规范解答】先把木棍插在操场中间，作为圆心。再拿一根绳子，绳子的一端绑在木棍上，另一端绑上一根粉笔，将绳子拉直，拿着粉笔围着圆心转一周，绳长即是圆的半径，据此画出较大的圆。（答案不唯一） 如图： 【精练题02】（21-22五年级下·江苏·假期作业）要画一个直径12厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（    ）厘米。 A．37.68 B．18.84 C．12 D．6 【答案】D 【思路点拨】求圆规两脚之间的距离，就是求这圆的半径。根据：圆的半径＝圆的直径÷2，代入数据，即可解答。 【规范解答】12÷2＝6（厘米） 故答案为：D 考点三：与圆相关的轴对称图形 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）正方形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴，半圆有( )条对称轴。 【答案】 4 无数 1 【思路点拨】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。据此根据平面图形的特点确定对称轴的数量。 【规范解答】根据分析，作图如下： 正方形有4条条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有1条对称轴。 【精练题01】（22-23五年级下·江苏泰州·期末）圆和圆环都是轴对称图形，都有无数条对称轴。( ) 【答案】√ 【思路点拨】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；判断一个图形是否是轴对称图形，关键是找它的对称轴，要想象沿着这条线翻折能不能重叠，据此判断。 【规范解答】 如图，圆和圆环都是轴对称图形，都有无数条对称轴，此题说法正确。 故答案为：√ 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）下面的图形各能画出几条对称轴？画一画，填一填。 （   ）条      （   ）条        （   ）条       （   ）条 【答案】图见详解；3；4；6；无数 【思路点拨】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【规范解答】如图： 考点四：弧、圆心角、扇形的认识 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）下面扇形的圆心角各是什么角，分别是多少度？ 【答案】直角；90°；平角；180°；钝角；120° 【思路点拨】整个圆的圆心角是360°，通过将整个圆的圆心角按照不同的份数进行平均分，用360°除以平均分的份数，从而求出每个扇形的圆心角的度数和角的类型。 锐角：大于0°而小于90°的角；直角：等于90°的角；钝角：大于90°而小于180°的角；平角：等于180°的角；周角：等于360°的角。 【规范解答】图一是将整个圆的圆心角平均分成4份，360°÷4＝90°，因此这个扇形的圆心角是直角，是90°； 图二是将整个圆的圆心角平均分成2份，360°÷2＝180°，因此这个扇形的圆心角是平角，是180°； 图三是将整个圆的圆心角平均分成6份，360°÷6＝60°，60°×2＝120°，因此这个扇形的圆心角是钝角，是120°。 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）每个圆里的涂色部分和空白部分都可以看作什么图形？这些图形各占圆的几分之几？ 【答案】扇形；见详解 【思路点拨】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。 第一个图，把圆看作单位“1”，平均分成3份，涂色部分占其中的1份，用分数表示；空白部分占其中的2份，用分数表示； 第二个图，把圆看作单位“1”，平均分成5份，涂色部分占其中的3份，用分数表示；空白部分占其中的2份，用分数表示； 第三个图，把圆看作单位“1”，平均分成8份，涂色部分占其中的5份，用分数表示；空白部分占其中的3份，用分数表示。 【规范解答】每个圆里的涂色部分和空白部分都可以看作扇形。 第一个图，涂色部分占圆的，空白部分占圆的； 第二个图，涂色部分占圆的，空白部分占圆的； 第三个图，涂色部分占圆的，空白部分占圆的。 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）一个圆被分成了三部分（如图）。你能比较这三个扇形的大小吗？ 【答案】绿色扇形＞蓝色扇形＞黄色扇形 【思路点拨】一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。在同一个圆中，扇形的大小由圆心角的大小决定的，圆心角越大，扇形越大，据此解答。 【规范解答】由图可知，绿色扇形的圆心角最大，蓝色扇形的圆心角次之，黄色扇形的圆心角最小，因此可得绿色扇形＞蓝色扇形＞黄色扇形。 考点五：画扇形 【精讲题】（22-23五年级下·江苏·课后作业）在一个面积为25平方厘米的正方形中，剪出一个最大的扇形，扇形的半径是多少厘米？想一想，画一画。 【答案】5厘米；图见详解 【思路点拨】25＝5×5，面积为25平方厘米的正方形，边长为5厘米；画一个最大的扇形，可以以正方形的一个角的顶点为圆心，边长为半径画扇形。 【规范解答】25＝5×5，扇形的半径为5厘米，如图：    答：扇形的半径是5厘米。 【精练题01】（22-23五年级下·江苏·课后作业）画两个半径是2厘米的圆，在一个圆中画一个圆心角是80°的扇形，在另一个圆中画一个扇形，使它占圆的。 【答案】见详解 【思路点拨】画圆的步骤如下：1、把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；2、把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；3、把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。据此画出两个圆。 在一个圆中，以圆心为角的顶点，用量角器画出80°的圆心角，两条半径和一条弧围成的图形就是扇形；扇形的面积占圆的，则扇形的圆心角是360°×＝120°，再按照上面的方法画出扇形。 【规范解答】 【精练题02】（22-23五年级下·江苏泰州·期末） （1）以为圆心O，在图中画一个半径为3厘米的圆。 （2）画出这个圆的一条直径，使这条直径经过点。 （3）计算这个圆的周长是（    ）厘米。 （4）在这个圆中涂出一个扇形，使扇形面积正好是圆面积的。 【答案】（1））（2）（4）见详解 （3）18.84 【思路点拨】（1）根据用数对表示位置，第一个数表示列，第二个数表示行，据此找出圆心，再画出一个半径是3厘米的圆即可； （2）圆的直径在经过圆心，并且这个线段两端在圆上，由于直径经过（2，3），那么连接（2，3）还有圆心这两个点，并延长线段两侧，使其线段两端在圆上即可； （3）根据圆的周长公式：C＝2πr，把数代入公式即可求解； （4）由于圆心角是360°，扇形面积是圆面积的，就是把圆平均分成4份，取其中的一份，即360°÷4＝90°，则扇形的圆心角是90°，据此画图即可。 【规范解答】（1）（2）（4）如下图所示： （3）3.14×3×2＝18.84（厘米） 圆的周长是18.84厘米。 考点六：圆的周长 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·课后作业）计算下面各圆的周长。 【答案】31.4cm；12.56m；18.84dm 【思路点拨】（1）已知圆的直径是10cm，根据圆的周长公式，代入数据计算。 （2）已知圆的半径是2m，根据圆的周长公式，代入数据计算。 （3）已知圆的半径是3dm，根据圆的周长公式，代入数据计算。 【规范解答】（1）（cm） （2） （m） （3） （dm） 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）一个圆的直径增加4厘米，它的周长就会增加( )厘米。 【答案】12.56 【思路点拨】假设原来的直径是2厘米，增加后的直径是（2＋4）厘米，根据圆的周长＝圆周率×直径，求出直径增加前后的周长，求差即可。 【规范解答】假设原来的直径是2厘米。 2＋4＝6（厘米） 3.14×6－3.14×2 ＝3.14×（6－2） ＝3.14×4 ＝12.56（厘米） 一个圆的直径增加4厘米，它的周长就会增加12.56厘米。 【精练题02】（23-24五年级下·江苏·单元测试）如下图，大圆的周长与两个小圆周长的和比较，（     ）。 A．大圆的周长大于两个小圆周长的和 B．大圆的周长小于两个小圆周长的和 C．大圆的周长等于两个小圆周长的和 【答案】C 【思路点拨】观察图形发现两个小圆的直径之和等于大圆的直径，可以设这三个圆的直径从大到小分别是d1、d2、d3，且d2＋ d3＝ d1；然后根据圆的周长公式C＝πd，分别求出大圆的周长、两个小圆周长的和，再比较，得出结论。 【规范解答】设这三个圆的直径从大到小分别是d1、d2、d3，且d2＋ d3＝ d1； 大圆的周长：πd1； 两个小圆周长的和： πd2＋πd3 ＝π（d2＋ d3） ＝πd1 所以，大圆的周长等于两个小圆周长的和。 故答案为：C 考点七：半圆的周长 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）一张周长是6.28分米的圆形纸，对折后每个半圆的周长是3.14分米。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据题意，作图如下： 从图中可知：对折后每个半圆的周长＝圆周长的一半＋直径。根据圆的周长：C＝πd，用C÷π求出直径，再用圆周长÷2，求出圆周长的一半，相加即可求出半圆的周长。 【规范解答】6.28÷2＋6.28÷3.14 ＝3.14＋2 ＝5.14（分米） 一张周长是6.28分米的圆形纸，对折后每个半圆的周长是5.14分米。原题说法错误。 故答案为：× 【精练题01】（23-24五年级下·江苏盐城·期末）周长为12.56厘米的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 10.28 6.28 【思路点拨】半圆的周长＝圆的周长÷2＋直径，直径＝周长÷π，半径＝直径÷2，再根据圆的面积＝πr2÷2，代入数据解答。 【规范解答】12.56÷3.14＝4（厘米） 12.56÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 4÷2＝2（厘米） 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 每个半圆的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米。 【精练题02】（22-23五年级下·江苏扬州·期末）操作。 （1）画一个长5厘米、宽2厘米的长方形，再在这个长方形内画一个最大的半圆形。 （2）这个半圆形的半径是（    ）厘米，周长是（    ）厘米。 【答案】（1）见详解 （2）2；10.28 【思路点拨】（1）当圆的半径等于长方形宽的时候，则圆的直径是：2×2＝4厘米，5厘米＞4厘米，所以长方形内画最大的半圆，半径是2厘米；据此画出半圆； （2）半圆的半径等于长方形的宽；再根据求半圆的周长公式：C＝πr＋2r，代入数据，即可解答。 【规范解答】（1）如图： （画法不唯一） （2）半圆形的半径是2厘米。 3.14×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 这个半圆形的半径是2厘米，周长是10.28厘米。 考点八：圆的周长的应用 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·课后作业）在篮球场和足球场上，有许多圆形和半圆形。了解一下，它们各是什么区域？测量相关数据，算出它们的周长和面积。 【答案】见详解 【思路点拨】篮球场上的圆和半圆分别表示跳球区和半场三分区，测量圆和半圆的半径分别为：1.8米和6.25米；足球场的圆形是开球区，半圆是罚球区，足球场的圆和半圆的半径分别为：6米和3米，根据圆的周长＝圆周率×直径，半圆的周长＝圆周率×半径＋直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，计算出它们的周长和面积即可。 【规范解答】篮球场上的圆和半圆分别表示跳球区和半场三分区，测量圆和半圆的半径分别为：1.8米和6.25米。 圆的周长为：2×3.14×1.8＝11.304（米） 圆的面积为：3.14×1.82 ＝3.14×3.24 ＝10.1736（平方米） 半圆的周长为：3.14×6.25＋6.25×2 ＝19.625＋12.5 ＝32.125（米） 半圆的面积为：3.14×6.252÷2 ＝3.14×39.0625÷2 ＝61.328125（平方米） 足球场的半圆是罚球区，圆形是开球区，足球场的圆和半圆的半径分别为：6米和3米。 圆的周长为：2×3.14×6＝37.68（米） 圆的面积为：3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 半圆的周长为：3.14×3＋3×2 ＝9.42＋6 ＝15.42（米） 半圆的面积为：3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝14.13（平方米） 答：篮球场上的圆和半圆分别表示跳球区和半场三分区，圆的周长和面积分别是11.304米、10.1736平方米，半圆的周长和面积分别是32.125米、61.328125平方米；足球场的半圆是罚球区，圆形是开球区，圆的周长和面积分别是37.68米、113.04平方米，半圆的周长和面积分别是15.42米、14.13平方米。 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）一根长18.84分米的铜丝，正好在一根圆柱形铁棒上绕了10圈。这根铁棒横截面的直径约是多少厘米？面积呢？ 【答案】6厘米；28.26平方厘米 【思路点拨】先根据进率“1分米＝10厘米”把18.84分米换算成188.4厘米；已知这根铜丝在一根圆柱形铁棒上绕了10圈，用这根铜丝的长度除以10，求出绕1圈的铜丝长度，也就是这根铁棒横截面的周长； 根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出这根铁棒横截面的直径； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出这根铁棒横截面的面积。 【规范解答】18.84分米＝188.4厘米 周长：188.4÷10＝18.84（厘米） 直径：18.84÷3.14＝6（厘米） 面积： 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 答：这根铁棒横截面的直径约是6厘米，面积是28.26平方厘米。 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）公园里有一个圆形金鱼池，直径是18米。它的周长是多少米？占地多少平方米？ 【答案】56.52米；254.34平方米 【思路点拨】根据圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【规范解答】3.14×18＝56.52（米） 3.14×（18÷2）2 ＝3.14×92 ＝3.14×81 ＝254.34（平方米） 答：它的周长是56.52米，占地254.34平方米。 考点九：含圆的组合图形的周长 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）计算下面两个图形的周长，它们的周长相等吗？ 【答案】18.28分米；18.28分米；周长相等 【思路点拨】左边图形：周长＝边长是4分米的正方形的3条边的和与直径是4分米圆的周长一半的和；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 右边图形：周长＝边长是4分米的正方形的3条边的和与直径是4分米圆的周长一半的和；代入数据，求出周长，再进行比较，进而解答。 【规范解答】左边图： 4×3＋3.14×4÷2 ＝12＋12.56÷2 ＝12＋6.28 ＝18.28（分米） 右边图： 4×3＋3.14×4÷2 ＝12＋12.56÷2 ＝12＋6.28 ＝18.28（分米） 18.28＝18.28，它们的周长相等。 周长是18.28分米，18.28分米；它们的周长相等。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）张爷爷每天早上都要围绕体育场的跑道（如图）慢跑5圈。张爷爷每天慢跑多少米？ 【答案】1228米 【思路点拨】由图可知，跑道的周长＝圆的周长＋长方形的长×2，“”把图中数据代入公式求出跑道的周长，再乘张爷爷跑的圈数，即可求得。 【规范解答】40×3.14＋60×2 ＝125.6＋120 ＝245.6（米） 245.6×5＝1228（米） 答：张爷爷每天慢跑1228米。 【精练题02】（23-24五年级下·江苏盐城·期末）如图所示，比较空白部分与阴影部分的周长、面积的大小，说法正确的是（    ）。 A．周长相等，面积也相等 B．周长相等，面积不相等 C．周长不相等，面积相等 D．周长不相等，面积也不相等 【答案】A 【思路点拨】封闭图形一周的长度是这个图形的周长；面积是指物体所占的平面图形的大小。据此分析解答。 【规范解答】通过观察可以发现，阴影部分和空白部分的周长都是由两条相同半圆的弧长和两条正方形的边长组成，因为半圆的弧长等于圆周长的一半，两条这样相同的半圆弧长之和就等于一个圆的周长，即空白部分与阴影部分的周长都是由直径为10厘米的圆的周长加两条正方形的边长组成，因此空白部分与阴影部分的周长是相等的。 通过割补法，把空白部分与阴影部分变成两个大小相同直角三角形，如下图，所以空白部分与阴影部分的面积是相等的。 故答案为：A 考点十：圆的面积 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）龙湖小区有一个圆形花坛，量得花坛周围的篱笆长是18.84米。这个花坛的占地面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【思路点拨】由题可知，花坛周围的篱笆长度即是圆的周长，根据公式：r＝C÷π÷2，代入数据计算，即可求出圆形花坛的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算，即可求出这个花坛的占地面积，据此解答。 【规范解答】18.84÷3.14÷2＝3（米） 3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方米） 答：这个花坛的占地面积是28.26平方米。 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）一个圆形电子元件薄片，直径是16厘米。这个电子元件薄片的面积是多少平方厘米？ 【答案】200.96平方厘米 【思路点拨】根据圆的直径是半径的2倍，即直径除以2即可得出半径。再根据圆的面积＝，将数据代入计算即可。 【规范解答】16÷2＝8（厘米） 3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 答：这个电子元件薄片的面积是200.96平方厘米。 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）量出需要的数据（取整毫米数），计算涂色部分的面积。 【答案】142.4775平方毫米；484.48平方毫米；111.72平方毫米 【思路点拨】（1）量出大半圆的半径是11毫米，观察可知小半圆的直径等于大半圆的半径，涂色部分等于大半圆面积减小半圆面积，根据半径＝直径÷2，圆的面积公式，圆的面积除以2得到半圆的面积，据此计算解答。 （2）量出长方形的长是24毫米，宽是16毫米，观察可知半圆的直径等于长方形的宽，涂色部分的面积等于长方形面积加半圆面积，根据圆的半径＝直径÷2，圆的面积公式，圆的面积除以2得到半圆的面积，长方形的面积＝长×宽，据此计算解答。 （3）量出半圆的半径是14毫米，观察可知，白色三角形的底是半圆的直径，高是半圆的半径，涂色部分的面积等于半圆面积减白色三角形的面积，根据圆的直径＝半径×2，圆的面积公式，圆的面积除以2得到半圆的面积，据此计算解答。 【规范解答】（1） （平方毫米） （平方毫米） （平方毫米） （2）（平方毫米） （平方毫米） （平方毫米） （3） （平方毫米） （平方毫米） （平方毫米） 考点十一：圆的面积的应用 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·课后作业）估一估，半径是5米的圆，有一间教室那么大吗？半径是10米的圆，大约有几间教室那么大？ 【答案】有；7间 【思路点拨】一般教室的长大约是8米，宽大约是6米，根据长方形面积＝长×宽，圆的面积＝圆周率×半径的平方，分别计算出教室和圆的面积，进行比较，据此得出第一问的结论；第二问，用半径10米的圆的面积÷教室面积，结果用四舍五入法保留近似数即可。 【规范解答】8×6＝48（平方米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 78.5＞48 3.14×102÷48 ＝3.14×100÷48 ＝314÷48 ≈7（间） 答：半径是5米的圆，有一间教室那么大，半径是10米的圆，大约有7间教室那么大。（第二问答案不唯一） 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）找一个底面是圆形的茶叶罐或纸筒，量出底面周长，并算出它的面积。 【答案】见详解 【思路点拨】找一个底面是圆形的茶叶罐或纸筒，用软尺绕底面一周，量出底面周长，根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【规范解答】茶叶罐，测量底面周长31.4厘米。 31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 答：找的茶叶罐底面周长31.4厘米，它的面积是78.5平方厘米。（答案不唯一） 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）一根绳子长31.4米，把它围成一个正方形或圆形。是围成的正方形面积大，还是围成的圆形面积大？大多少？ 【答案】围成的圆形面积大，大16.8775平方米。 【思路点拨】这根绳子就是正方形和圆形的周长，根据圆的周长公式的逆运算，用圆的周长除以圆周率再除以2可得半径，再根据圆的面积公式代入数据可得圆的面积，再根据的逆运算，用正方形的周长除以4可得边长，再根据，代入数据可得正方形的面积。最后比较圆和正方形的面积的大小，再相减即可得解。 【规范解答】 （平方米） （平方米） （平方米） 答：围成的圆形面积大，大16.8775平方米。 考点十二：扇形的周长和面积 【精讲题】（23-24五年级下·江苏扬州·期末）如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．16π C．8π D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】观察图形可知，阴影部分是3个半径为4厘米的扇形，它们的圆心角之和等于三角形的内角和180°，由此可知，3个阴影扇形可以组成半径为4厘米的半圆；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】180°÷360°＝ π×42× ＝π×16× ＝8π（平方厘米） 阴影部分的面积是8π平方厘米。 故答案为：C 【精练题01】（21-22五年级下·江苏镇江·期末）把一张直径是8厘米的圆形纸片连续对折两次得到一个扇形，这个扇形的面积是（    ）平方厘米。    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】把一张圆形纸片对折两次后得到的扇形面积是圆形纸片的，根据圆面积：面积＝π×半径2，代入数据，求出这个圆的面积，再除以4，即可解答。 【规范解答】π×（8÷2）2÷4 ＝π×42÷4 ＝π×16÷4 ＝4π（平方厘米） 把一张直径是8厘米的圆形纸片连续对折两次得到一个扇形，这个扇形的面积是4π平方厘米。 故答案为：D 【精练题02】（21-22五年级下·江苏扬州·期末）李伯伯要在一块长为10米、宽为6米的长方形地上建一个最大的半圆形养殖场，需要给养殖场围上篱笆，所需篱笆的长度是多少米？ 【答案】25.7米 【思路点拨】根据题意可知：在这个长方形地上建一个最大的半圆形养殖场，半圆形养殖场的直径等于长方形的长，求篱笆的长度就在求这个半圆的周长，半圆周长＝长方形长为直径的圆的周长的一半＋长方形的长；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×10÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（米） 答：所需篱笆的长度是25.7米。 考点十三：圆环的面积 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·课后作业）光盘是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米。光盘的面积是多少平方厘米？ 【答案】100.48平方厘米 【思路点拨】根据圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式解答即可。 【规范解答】3.14×（62－22） ＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 ＝100.48（平方厘米） 答：光盘的面积是100.48平方厘米。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）有一个半径为6米的圆形花坛，沿着花坛边缘修了一条宽1米的小路，求小路的面积。 【答案】40.82平方米 【思路点拨】小路的形状是个圆环，小圆半径就是花坛半径，大圆半径＝花坛半径＋小路的宽，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式解答即可。 【规范解答】6＋1＝7（米） 3.14×（72－62） ＝3.14×（49－36） ＝3.14×13 ＝40.82（平方米） 答：小路的面积是40.82平方米。 【精练题02】（2024五年级下·江苏·专题练习）按要求计算。已知下图大圆直径8厘米，是小圆直径的2倍。求阴影部分的面积。 【答案】37.68平方厘米 【思路点拨】先用8除以2求出小圆的直径，再根据圆环的面积公式S，代入数据解答即可。 【规范解答】 （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。 考点十四：求最大面积 【精讲题】（22-23五年级下·江苏·期末）用一根长31.4厘米的铁丝围成下列图形，（    ）的面积最大。 A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．圆 【答案】D 【思路点拨】根据长方形的长和宽之间的差距越小，相同的周长时，面积越大；正方形周长公式：周长＝边长×4，求出正方形边长；圆的周长公式：C＝2r，求出圆的半径；再根据正方形面积公式：S＝边长×边长，圆的面积公式：S＝r2，求出它们的面积进行比较即可。 【规范解答】由分析可得： A．周长相等时，平行四边形的面积小于长方形面积，所以不会是平行四边形面积最大； B．长方形的长和宽的和为：31.4÷2＝15.7（厘米），长方形的长和宽越接近，面积就越大，当长和宽相等时，是它们最接近的时候，但是此时长方形就变成了正方形，所以这个长方形的面积一定小于正方形面积； C．正方形面积为： （31.4÷4）×（31.4÷4） ＝7.85×7.85 ＝61.6225（平方厘米） D.圆的半径为： 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 圆的面积为： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 78.5＞61.6225 所以圆的面积＞正方形面积＞长方形面积＞平行四边形面积。 故答案为：D 【精练题01】（22-23五年级下·江苏·单元测试）周长相等的圆与正方形相比， 的面积要大一些。 【答案】圆 【思路点拨】利用举例的方式，设圆与正方形的周长相等，都为4π，则圆的半径为2，圆的面积为4π；正方形的边成为π，面积为π2，所以圆的面积要大一些。 【规范解答】利用举例的方式，设的圆与正方形的周长相等，都为4π， 则圆的半径为2，圆的面积为4π；正方形的边成为π，面积为π2。 4π＞π2 【精练题02】（22-23五年级下·江苏·单元测试）把一根10米长的细绳分别围成以下三个图形，（    ）的面积最小。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．无法判断 【答案】A 【思路点拨】已知三个图形的周长，可以根据圆的周长公式可得r＝C÷π÷2，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积；根据正方形的周长公式可得a＝C÷4，求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝a2，求出正方形的面积；周长一定，也就是长方形长与宽的和一定，当长与宽越接近时面积越大，当长与宽相等时面积最大，此时是正方形，也就是正方形的面积大于长方形的面，再比较求出圆的面积和正方形的面积即可得出结论。 【规范解答】（1）圆的半径：10÷3.14÷2≈1.6（米）； 则圆的面积为：3.14×1.62＝8.0384（平方米） （2）正方形的面积：正方形的边长为10÷4＝2.5（米） 正方形面积为：2.5×2.5＝6.25（平方米） （3）而周长一定时正方形的面积比长方形的面积大 8.0384＞6.25， 由以上计算可以得出，当周长一定时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 故答案选：A 考点十五：含圆的组合图形的面积 【精讲题】（24-25五年级下·江苏·随堂练习）求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】6.88平方厘米；46.26平方厘米 【思路点拨】通过观察第一个图可知，长方形的宽等于半圆的半径，涂色部分的面积等于一个长方形的面积减去一个半圆的面积。根据公式r＝d÷2、长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，即可解答； 通过观察第二个图可知，涂色部分的面积等于一个三角形的面积加上一个半圆的面积，根据公式r＝d÷2、三角形的面积公式S＝ ah÷2、圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，即可解答。 【规范解答】（1）8÷2＝4（厘米） 8×4－3.14×42÷2 ＝8×4－3.14×16÷2 ＝32－25.12 ＝6.88（平方厘米） （2）3.14×（6÷2）2＋6×6÷2 ＝3.14×32＋6×6÷2 ＝3.14×9＋6×6÷2 ＝28.26＋18 ＝46.26（平方厘米） 【精练题01】（24-25五年级下·江苏·课后作业）求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】39.25平方厘米；28.5平方厘米 【思路点拨】第一幅图，看图可知，大圆半径＝小圆直径，涂色部分的面积＝大圆面积－小圆面积×2，圆的面积＝圆周率×半径的平方； 第二幅图，涂色部分的面积＝圆的面积－正方形面积，将正方形看成2个等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，正方形面积＝三角形面积×2，据此列式计算。 【规范解答】3.14×（10÷2）2－3.14×（10÷2÷2）2×2 ＝3.14×52－3.14×2.52×2 ＝3.14×25－3.14×6.25×2 ＝78.5－39.25 ＝39.25（平方厘米） 3.14×（10÷2）2－10×（10÷2）÷2×2 ＝3.14×52－10×5÷2×2 ＝3.14×25－50 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 涂色部分的面积分别是39.25平方厘米、28.5平方厘米。 【精练题02】（24-25五年级下·江苏·课后作业）在一张长方形纸上（如图）剪下一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？剩下纸的面积呢？ 【答案】圆的面积200.96平方厘米；剩下纸的面积119.04平方厘米 【思路点拨】根据题意，在一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，则最大圆的直径等于长方形的宽； 根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，求出圆的面积、长方形的面积；再用长方形的面积减去圆的面积，求出剩下纸的面积。 【规范解答】圆的面积： 3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 长方形的面积： 20×16＝320（平方厘米） 剩下的面积： 320－200.96＝119.04（平方厘米） 答：这个圆的面积是200.96平方厘米，剩下纸的面积是119.04平方厘米。 考点十六：方中圆和圆中方的面积问题 66．（2024五年级下·江苏·专题练习）如图，正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是（    ）平方厘米。 A．2.5π B．4π C．5π D．6.25π 【答案】C 【思路点拨】 如上图，以圆的直径为正方形的对角线；正方形的面积等于两个等腰直角三角形面积组成，三角形的斜边是圆的直径，斜边对应的高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，半径表示为r，一个等腰直角三角形的面积可表示为2r×r÷2，也就是r2，2个等腰直角三角形的面积则表示为2r2；已知这个正方形的面积是10平方厘米，用10÷2即可求出r2；然后根据圆面积公式：S＝πr2，用代入数据即可求出圆面积。据此解答。 【规范解答】解：设圆的半径为r厘米， 2r2＝10 2r2÷2＝10÷2 r2＝5 5×π＝5π（平方厘米） 圆的面积是5π平方厘米。 故答案为：C 67．（22-23五年级下·江苏淮安·期末）如图，正方形的边长都是20cm，比较三幅图中阴影部分的面积，正确的结论是（    ）。 A．①中阴影部分的面积＝②中阴影部分的面积＝③中阴影部分的面积 B．①中阴影部分的面积＞②中阴影部分的面积＞③中阴影部分的面积 C．①中阴影部分的面积＝②中阴影部分的面积＞③中阴影部分的面积 D．①中阴影部分的面积＝②中阴影部分的面积＜③中阴影部分的面积 【答案】A 【思路点拨】从图中可知，①中阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，②中阴影部分的面积＝正方形的面积－4个圆的面积，③中阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，分别求出①、②、③中阴影部分的面积，再比较大小即可。 【规范解答】①中阴影部分的面积： （cm2） ②中阴影部分的面积： （cm2） ③中阴影部分的面积： （cm2） 所以，①中阴影部分的面积②中阴影部分的面积③中阴影部分的面积。 故答案为：A 68．（23-24五年级下·江苏宿迁·期末）如图，若正方形的面积是12平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。 【答案】18.84 【思路点拨】根据图形可知，正方形的对角线等于圆的直径，设圆的半径为r，则正方形的面积为：2×r2，正方形的面积是12平方厘米，可求出半径×半径的值，利用圆的面积＝πr2即可解答。 【规范解答】如图： 2r×r÷2×2＝12 则2×r2＝12 3.14×（12÷2） ＝3.14×6 ＝18.84（平方厘米） 则圆的面积是18.84平方厘米。 基础夯实优选题专练 1．（23-24五年级下·江苏·单元测试）用3米长的铁丝围成一个圆，这个圆在地上滚动一周所前进的距离（     ）。 A．比3米长 B．比3米短 C．正好是3米 【答案】C 【思路点拨】计算一个圆向前滚动一周的距离，实际就是求圆的周长；3米长的铁丝围成一个圆，圆的周长等于3米；所以圆在地上滚动一周所前进的距离是3米，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，用3米长的铁丝围成一个圆，这个圆在地上滚动一周所前进的距离正好是3米。 故答案为：C 2．（23-24五年级下·江苏·单元测试）下列关于圆周率的说法中，错误的是（     ）。 A．圆周率是一个无限不循环小数 B．圆周率是圆周长除以直径的商 C．不同的圆，圆周率也不同 【答案】C 【思路点拨】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数，它是一个固定的值；据此进行分析解答即可。 【规范解答】据分析可知： A．圆周率是一个无限不循环小数，说法正确。 B．圆周率是圆周长除以直径的商，说法正确。 C．圆周率是一个固定的值，即使不同的圆，圆周率也相同，原说法错误。 故答案为：C 3．（23-24五年级下·江苏·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以同样的速度，同时从点A出发，甲蚂蚁沿着正方形走，乙蚂蚁沿着圆形走，（    ）回到起点。 A．甲先 B．乙先 C．同时 【答案】B 【思路点拨】设正方形的边长是1，从图中可知：正方形的边长＝圆的直径，根据正方形的周长＝边长×4，圆的周长：C＝πd，分别代入数据计算，再判断即可。 【规范解答】设正方形的边长是1。 甲：1×4＝4 乙：1×3.14＝3.14 4＞3.14 乙先回到起点。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·江苏·课后作业）填表。 半径（r） 20厘米 7厘米 3.9米 直径（d） 6米 0.24米 【答案】见详解 【思路点拨】直径＝半径×2，半径＝直径÷2，据此解答。 【规范解答】20×2＝40（厘米） 6÷2＝3（米） 7×2＝14（厘米） 0.24÷2＝0.12（米） 3.9×2＝7.8（米） 如图： 半径（r） 20厘米 3米 7厘米 0.12米 3.9米 直径（d） 40厘米 6米 14厘米 0.24米 7.8米 5．（23-24五年级下·江苏·课后作业）用圆规画一个直径6厘米的圆，圆规两脚间应分开( )厘米，这个圆的半径是( )厘米。 【答案】 3 3 【思路点拨】圆规两脚的距离等于所画圆的半径，直径是半径的两倍，所以如果直径是6厘米，则半径是（6÷2）厘米。 【规范解答】6÷2＝3（厘米） 用圆规画一个直径6厘米的圆，圆规两脚间应分开3厘米，这个圆的半径是3厘米。 6．（23-24五年级下·江苏·单元测试）一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是3厘米，这个圆环的面积是( )平方厘米。 【答案】15.7 【思路点拨】已知圆环的内圆半径r和外圆半径R，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求出这个圆环的面积。 【规范解答】3.14×（32－22） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方厘米） 这个圆环的面积是15.7平方厘米。 7．（22-23五年级下·江苏盐城·期末）下图中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）在图①中，以点O为圆心，画一个半径是2厘米的圆。 （2）在图②中，以点O为圆心，画一个圆，使点A在圆上。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）使用圆规，将针尖对准圆心O，并将圆规两脚间的距离调整到2厘米，再画圆即可； （2）使用圆规，将针尖对准圆心O，并取圆规两脚间的距离为OA，再画圆即可。 【规范解答】（1）如图： （2）如图： 8．（24-25五年级下·江苏·课后作业）比较下面每组中两个圆的大小。 （1）半径1厘米的圆和直径1厘米的圆。 （2）直径4厘米的圆和半径3厘米的圆。 （3）半径5厘米的圆和直径1分米的圆。 【答案】（1）半径1厘米的圆大 （2）半径3厘米的圆大 （3）一样大 【思路点拨】同一个圆内，直径＝半径×2，据此求出直径进行比较，最后一题根据1分米＝10厘米，统一单位，再比较。 【规范解答】（1）1×2＝2（厘米） 2＞1 半径1厘米的圆大。 （2）3×2＝6（厘米） 6＞4 半径3厘米的圆大。 （3）1分米＝10厘米 5×2＝10（厘米） 10＝10 两个圆一样大。 9．（23-24五年级下·江苏·课后作业）下图中每个圆的半径都是2厘米，长方形的周长是多少厘米？ 【答案】32厘米 【思路点拨】圆的半径是2厘米，直径就是2×2＝4厘米；观察图形可知，长方形的宽等于圆的直径，即是4厘米；长方形的长等于三倍圆的直径，即是4×3＝12厘米；根据长方形的周长公式：周长等于2×（长＋宽），代入数据计算即可。 【规范解答】（2×2＋2×2×3）×2 ＝（4＋12）×2 ＝16×2 ＝32（厘米） 答：长方形的周长是32厘米。 10．（23-24五年级下·江苏·课后作业）一张圆桌桌面的直径是1.6米，用铝合金条把桌边包起来。至少需要铝合金条多少米？ 【答案】5.024米 【思路点拨】由题意可知，用铝合金条把桌边包起来，求铝合金条的长度，就是求圆的周长，根据圆的周长公式，代入数据计算即可。 【规范解答】（米） 答：至少需要铝合金条5.024米。 培优优选题专练 11．（23-24五年级下·江苏·期末）如下图，两个涂色部分的面积相等，三角形、半圆的面积相比，（    ）。 A．三角形面积大 B．半圆面积大 C．一样大 【答案】C 【思路点拨】 如图，已知两个涂色部分的面积相等，即图①面积＝图②面积；图①面积＋图③面积＝半圆的面积，图②面积＋图③面积＝三角形的面积；图③是公共部分，据此可以得出三角形面积和半圆面积的大小关系。 【规范解答】图①面积＝图②面积 因为三角形面积＝图②面积＋图③面积，半圆面积＝图①面积＋图③面积； 又因为图③是公共部分， 所以图①面积＋图③面积＝图②面积＋图③面积。 即半圆面积＝三角形面积，因此三角形面积和半圆的面积一样大。 故答案为：C 12．（23-24五年级下·江苏·期末）用三根同样长的绳子分别围成下面的图形，面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆 【答案】C 【思路点拨】用绳子去围图形，则绳子的长度就是图形的周长。 假设绳子的长度是6.28米，长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，则长方形：长＋宽＝6.28÷2＝3.14（米），假设长是2米，宽是1.14米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出长方形面积； 正方形周长公式：周长＝边长×4，则正方形边长＝周长÷4＝6.28÷4＝1.57（米），根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，求出正方形面积； 圆的周长公式：周长＝，圆的周长是6.28米，用6.28÷3.14÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积公式：面积＝，求出圆的面积，再进行比较，即可解答。 【规范解答】假设绳子的长度是6.28米。 长方形的长与宽的和为：6.28÷2＝3.14（米），假设长是2米，宽是1.14米，则面积：2×1.14＝2.28（平方米） 正方形边长：6.28÷4＝1.57（米），面积：1.57×1.57＝2.4649（平方米） 圆的半径：6.28÷3.14÷2＝2÷2＝1（米），面积： （平方米） 3.14＞2.4649＞2.28，即圆的面积＞正方形面积＞长方形面积，圆的面积最大。所以用同样长的绳子分别围成正方形、长方形和圆，其中圆的面积最大。 故答案为：C 13．（23-24五年级下·江苏·课后作业）大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的（    ）倍。 A．2 B．4 C．8 D．π 【答案】B 【思路点拨】已知大圆的半径等于小圆的直径，可以设大圆的半径是2，则小圆的直径是2；根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出大圆、小圆的面积，再用除法求出大圆的面积是小圆面积的几倍。 【规范解答】设大圆的半径是2，则小圆的直径是2； 大圆的面积： π×22 ＝π×4 ＝4π 小圆的面积： π×（2÷2）2 ＝π×12 ＝π 4π÷π＝4 大圆的面积是小圆面积的4倍。 故答案为：B 14．（24-25五年级下·江苏·课后作业）          圆的直径是( )    半圆形的直径是( )    扇形的半径是( ) 【答案】 6 8 10 【思路点拨】第一个图形，圆的直径等于正方形的边长；第二个图形，半圆的半径等于长方形的宽，直径＝半径×2，据此求出直径；第三个图形，扇形的半径等于正方形的边长，据此解答。 【规范解答】 圆的直径是6cm。 4×2＝8（cm） 半圆的直径是8cm。 扇形的半径是10cm。 15．（23-24五年级下·江苏·期末）一张环形垫片的外直径是6厘米，内直径是4厘米，垫片的面积是( )平方厘米。 【答案】15.7 【思路点拨】这张垫片可以看作是一个圆环，求垫片的面积也就是求这个圆环的面积；根据圆环的面积＝πR2－πr2，外直径是6厘米，则外圆的半径是（6÷2）厘米，内直径是4厘米，则内圆的半径是（4÷2）厘米，代入相应数值计算，即可解答。 【规范解答】3.14×（6÷2）2－3.14×（4÷2）2 ＝3.14×32－3.14×22 ＝3.14×9－3.14×4 ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方厘米） 因此垫片的面积是15.7平方厘米。 16．（23-24五年级下·江苏·课后作业）大圆的直径是小圆的3倍，大圆的周长是小圆的( )倍，大圆的面积是小圆的( )倍。 【答案】 3 9 【思路点拨】圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，大圆的直径是小圆直径的几倍，大圆周长就是小圆周长的几倍；大圆面积就是小圆面积的倍数×倍数，据此分析。 【规范解答】3×3＝9 大圆的直径是小圆的3倍，大圆的周长是小圆的3倍，大圆的面积是小圆的9倍。 17．（24-25五年级下·江苏·课后作业）画一个直径4厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径，再求出它的周长和面积。 【答案】图见详解；周长12.56厘米；面积12.56平方厘米 【思路点拨】要画一个直径4厘米的圆，则半径是2厘米；用圆规画圆，有针的一脚不动，确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于2厘米，有笔头的一脚旋转一周，即可画出直径是4厘米的圆，并在用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径。 根据圆的周长公式C＝πd，求出它的周长； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出它的面积。 【规范解答】如图： （以实际测量为准） 半径：4÷2＝2（厘米） 周长：3.14×4＝12.56（厘米） 面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 答：它的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。 18．（24-25五年级下·江苏·课后作业）杂技演员在一根悬空的钢丝上骑独轮车，车轮的外直径是45厘米。从钢丝的一端到另一端，车轮正好滚动40圈。这根悬空的钢丝至少长多少米？ 【答案】56.52米 【思路点拨】车轮转过的路径就是钢丝绳的长度，车轮是圆形，车轮转1圈就是圆的周长，圆的周长＝πd，40圈的长度就是用车轮的周长乘圈数，然后把单位厘米转化为米即可。 【规范解答】3.14×45＝141.3（厘米） 141.3×40＝5652（厘米）＝56.52（米） 答：这根悬空的钢丝至少长56.52米。 19．（24-25五年级下·江苏·随堂练习）下面各圆中的涂色部分，哪些是扇形？为什么？ 【答案】见详解 【思路点拨】扇形是圆的两条半径与其夹的弧所围成的图形是扇形。第二个扇形的顶点在圆弧上，不在圆心上；第三个扇形的顶点在圆内，也不在圆心上。 【规范解答】第一个，第四个为扇形，因为扇形是圆的两条半径与其夹的弧所围成的图形是扇形。 20．（24-25五年级下·江苏·课后作业）屏幕上显示的雷达影像，最外圈是一个直径84厘米的圆。它的周长和面积各是多少？ 【答案】263.76厘米；5538.96平方厘米 【思路点拨】根据圆的周长＝圆周率×直径，直径÷2＝半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【规范解答】3.14×84＝263.76（厘米） 3.14×（84÷2）2 ＝3.14×422 ＝3.14×1764 ＝5538.96（平方厘米） 答：它的周长和面积各是263.76厘米、5538.96平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$