拓展01 切线问题8考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 拓展01 切线问题8考点复习指南 【问题背景】 切线问题在数学中占据着重要地位，它是函数与几何图形相结合的典型问题.在几何意义上，切线反映了曲线在某一点处的局部变化趋势，体现了曲线在该点的斜率；在代数层面，切线与函数的导数紧密相连，导数的几何意义正是曲线在某点处切线的斜率，由于曲线类型的多样性以及问题条件的复杂性，切线问题的求解往往具有一定难度，需要综合运用函数、导数、方程等多方面知识. 【处理角度】 1.求导运算：求导是解决切线问题的核心步骤.熟练掌握基本函数的求导公式和求导法则，如幂函数、指数函数、对数函数等的求导公式，以及导数的四则运算法则和复合函数求导法则，能够准确求出函数的导数.在求导过程中，要注意函数的定义域，确保求导的准确性，为后续计算切线斜率和方程奠定基础. 2.方程思想：在切线问题中，常常需要建立方程来求解未知量.在求过某点的切线方程时，设出切点坐标后，根据切线方程的条件建立关于切点横坐标的方程；在已知切线斜率求参数、判断切线条数以及求两曲线公切线等问题中，也都需要通过建立方程来解决.在建立方程时，要根据导数的几何意义和题目所给条件，准确找出等量关系，列出合理的方程. 3.数形结合：借助函数图象可以直观地理解切线问题.在判断切线条数和公切线条数时，通过画出函数图象，观察曲线的走势和切线的位置关系，能够更直观地判断方程根的个数，从而确定切线条数.在通过切线求曲线上的点到直线距离最小值时，结合图象可以清晰地看到切线与直线的位置关系，帮助找到距离最小值的情况.数形结合的方法能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，提高解题的效率和准确性. 4.构造函数：在一些复杂的切线问题中，构造函数是一种有效的解题策略.在判断公切线的条数或已知存在公切线求参数范围时，通过构造函数，将问题转化为研究函数的性质，如单调性、极值和最值等.利用导数研究构造函数的性质，结合函数图象，能够更深入地分析问题，找到解决问题的途径.构造函数的关键在于根据问题的特点，合理选择函数的形式，使其能够有效地解决原问题. 【解法策略】 1.求在某点的切线方程：此类问题直接给定曲线和该曲线上的某一点，目标是求出曲线在该点处的切线方程.处理时，先对函数求导，将给定的点的横坐标代入导函数，得到切线的斜率.再结合该点的坐标，利用点斜式方程即可写出切线方程.这种类型的问题是切线问题的基础，它直接应用了导数的几何意义，为后续更复杂的切线问题提供了基本的解题思路和方法. 2.求过某点的切线方程：与求在某点的切线方程不同，这里给定的点不一定在曲线上.解题时，先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线方程.然后将给定的点代入切线方程，得到关于切点横坐标的方程，解出切点坐标，从而确定切线方程.由于切点坐标未知，需要通过建立方程求解，这增加了问题的复杂性，需要运用方程思想来解决. 3.已知切线斜率求参数：当已知曲线的切线斜率时，将其与导函数建立联系.因为导函数在某点的值就是曲线在该点切线的斜率，所以通过解方程可求出参数的值.在处理这类问题时，需要准确运用导数公式求出导函数，然后根据已知条件列出方程，求解过程中要注意对解的合理性进行检验，确保所求参数值符合题意. 4.切线条数问题：判断过某点能作曲线的切线条数，关键在于将问题转化为方程根的个数问题.设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，再将已知点代入切线方程，得到一个关于切点横坐标的方程.通过研究这个方程根的个数，就能确定切线条数.通常会利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象来判断方程根的个数，体现了数形结合思想的重要性. 5.通过切线求曲线上的点到直线距离最小值：利用曲线的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离可能是曲线上的点到直线的距离最小值这一性质.先对曲线求导，令导数等于已知直线的斜率，求出切点坐标.再利用点到直线的距离公式计算该切点到直线的距离，即为所求的最小值.这种方法巧妙地将切线问题与距离问题相结合，通过导数找到关键的切点，从而解决距离最小值问题. 6.求两曲线的公切线：求两曲线的公切线，需要分别设出两曲线的切点坐标，根据导数的几何意义写出两条曲线在各自切点处的切线方程.由于公切线是同一条直线，所以这两条切线方程的斜率和截距都相等，由此列出方程组求解.在求解过程中，可能会涉及到复杂的方程运算，需要熟练运用代数方法进行化简和求解，同时要注意对解的情况进行分析和讨论. 7.判断公切线的条数：判断两曲线公切线的条数，同样设出两曲线的切点坐标，得到关于切点坐标和公切线斜率的方程组.通过消元将问题转化为一个方程，再利用导数研究这个方程根的个数，进而确定公切线的条数.在这个过程中，对函数性质的研究和方程根的分析是关键，需要综合运用导数的各种知识和方法，以及函数图象的直观辅助来进行判断. 8.已知存在公切线求参数范围：已知两曲线存在公切线求参数范围时，先根据公切线的条件列出关于参数的方程或不等式.通常是利用两曲线在切点处的导数相等以及切点坐标满足的关系来建立等式，然后将其转化为一个关于参数的函数问题.通过研究这个函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象，确定参数的取值范围.这类问题综合了切线问题和参数范围求解问题，对学生的综合运用知识能力要求较高 考点1 求在某点的切线方程 1．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）曲线在点处的切线方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据导数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 所以在点处，所以在点处的切线方程为， 所以切线方程为. 故选：A. 2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若曲线在点处的切线平行于直线，则该切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，根据切线的斜率得到参数，根据切点函数值得到参数，由点斜式方程可得切线的方程. 【详解】由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， 曲线在点处的切线斜率，即， 解得，此时， 即切点为，则切线方程为，即. 故选：B. 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用商的导数来求切线斜率即可. 【详解】求导得：， 当时，切线斜率， 故选：A. 4．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由，则，而， 所以点处的切线方程为，即. 故选：A 5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线过点，则 ． 【答案】5 【分析】利用导数的几何意义求切线方程，再由点在切线上求参数即可. 【详解】由题设，且，则， 所以切线方程为过点， 所以，则. 故答案为：5 考点2 求过某点的切线方程 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【详解】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 7．（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出切线方程为，代入点的坐标化简可得，设，依题意，直线与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，进而作出草图，结合图象即可得解． 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可． 8．（20-21高二下·陕西渭南·期中）已知，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值； (2)若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点为，写出导数的切线方程，结合题意求得切点坐标，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 因为直线的斜率为-2，且过点， 所以，即得，解得 （2）由（1）知，则． 设切点为，则切线斜率， 故切线方程为． 由切线过点，代入可得，即， 即，解得或， ∴切点为或， 则切线方程为或． 考点3 已知切线斜率求参数 9．（24-25高二上·云南昭通·期中）设曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由直线与切线垂直建立方程求出. 【详解】因为，则， 设曲线在点处的切线的斜率为， 则， 又直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 10．（24-25高三上·四川成都·期中）若直线与曲线相切，则的最大值为 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在处的切线，从而得到关于的表达式，进而构造函数，利用导数求得其最大值，从而得解. 【详解】依题意，设直线与曲线的切点为， 对于，，则， 所以曲线在处的切线为，即， 又切线为，所以， 则， 令，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 则的最大值为. 故答案为：. 考点4 切线条数问题 11．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)三条 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）设出切点，将切线方程表示为含有参数的直线方程，根据切线过点可得关于参数的方程，判断方程根的个数即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. 令，得；令，得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），则， 设切点为， 则，， 所以切线方程为. 将点代入得， 整理得. 因为方程有两个不相等正根， 所以方程共有三个不相等正根. 故过点可以作出三条直线与曲线相切. 12．（22-23高二下·浙江·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有经过原点的切线，求的取值范围及切线的条数，并说明理由； (3)设函数的两个极值点分别为，且满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)或；或时，有且仅有一条切线；时，存在两条切线，理由见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的正负求解； （2）设切点为，由导数的几何意义可得，整理得，设，根据的图象，判断方程根的个数，得出结论； （3）求得，由题意是方程的两个正根，从而可得，不妨设，计算得，由题意得，令，根据在上的单调性求得，进而得的范围. 【详解】（1）当时，∴ 当时，，当时，， ∴单调递减区间为，单调递增区间为 （2），显然原点不在曲线上，设切点为， ∵，∴ ∴，即， 显然，∴， 设，∴， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减，∴， 且；当时；当时， 作出的大致图象，如图， 若有经过原点的切线，则直线与的图象有交点， 由图可知，或，即的取值范围是：或. 其中，当或，即或时，有且仅有一条切线， 当，即时，存在两条切线； 综上：或时，有且仅有一条切线，时，存在两条切线. （3）， ∴， ∵是函数的两个极值点， ∴是方程的两个正根. ∴，即，不妨设， 则 ， ∴， 由，得，即， 令，∴， ∴在上单调递增，且， ∴，∴， 函数， 因为，则函数单调递减，所以，当时，. ∴. 13．（23-24高三上·湖北·期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】根据奇函数确定，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算，计算切线得到答案. 【详解】，故，， ，， 设切点为，则，且， 整理得到，解得，， 故切线方程为， 故选：A 14．（22-23高三上·福建福州·期中）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出切线的切点坐标，利用导数的几何意义，求出关于切点坐标的方程，方程解的个数也即切线的条数，进而求解即可. 【详解】因为函数，所以， 设过点作曲线的切线，切点为， 则有，也即， 又因为，所以 令，， 当时，，函数单调递减， 当或时，，函数单调递增， 综上：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 又因为，， 所以函数有三个零点，分别在区间上， 也即方程有三个不同的根， 所以过点作曲线的切线，有三个不同的切点， 也即过点可作曲线的切线的条数最多为， 故选：. 15．（21-22高二下·江苏常州·期中）给定实数，函数，（其中，． (1)求经过点的曲线的切线的条数； (2)若对，有恒成立，求的最小值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）因为过，只需求的值，从而得知切线的条数； （2）令，则有在上恒成立，求导，确定的单调性，由可解得． 【详解】（1）因为 ， 设切点为，， 所以切线方程为：， 又因为切线过， 所以， 所以，即， 令， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 所以只有一个解为，即只有一个解为， 所以切点为， 所以， 故只有一条切线； （2）因为， 所以， 即当时，恒成立． 设，则． 令，则，△， 所以方程有两异号的根，， 设，， 当时，，当，时，， 所以在单调递增，在，单调递增减，且； 又因为在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， 则， 令，即，单调增函数； 令，即，单调减函数； 所以的最小值为， 于是有：， ， 所以的最小值为1． 【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数求参数的范围，属于难题．两次构造函数，并利用导数判断单调性与最值是解答（2）的关键. 16．（2022·湖南长沙·一模）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)两条 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）设直线分别与函数，的图象相切于点，，依题意可得，即可得到方程组，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； 【详解】（1）解：由题设，，定义域为， 则 当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. （2）解：因为，，所以，， 设直线分别与函数，的图象相切于点， 则，即 由，得 即，即 由，得，代入上式，得 即，则 设 当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，， 则在上仅有一个零点. 因为，则在上仅有一个零点. 所以在上有两个零点，故与函数，的图象都相切的直线有两条. 考点5 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 17．（20-21高二·全国·课后作业）已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当的坐标为 时，最小，此时最小值为 ． 【答案】 【分析】通过图像可知当直线与曲线相切且与直线平行时，切点到直线的距离即为的最小值，利用导数几何意义可构造方程求得，利用点到直线距离公式求得最小值. 【详解】如图所示，当直线与曲线相切且与直线平行时，切点到直线的距离即为的最小值． 令，解得：，，. 故答案为：；. 18．（18-19高二下·河南洛阳·期中）已知点M在函数图象上，点N在函数图象上，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数与函数互为反函数，将问题转化为求函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】因为函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 所以的最小值为函数的图象上的点到直线的距离的2倍，即为函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍， 因为，所以函数的图象上与直线平行的切线的斜率，所以，所以切点为，它到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性，考查了导数的几何意义，属于中档题. 考点6 求两曲线的公切线 19．（22-23高二下·广东汕头·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 【答案】2 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故答案为： 20．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】1 【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解. 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 21．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 22．（24-25高三上·河北邢台·期中）曲线与曲线的公切线方程为 ． 【答案】（或） 【分析】设公切线为，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义得到，，结合，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，即可求解. 【详解】设，的公切线为， 且与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由，得，则，即①． 由，得，则，即②． 易得，即③，将②③代入①，可得， 令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，则， 所以，， 故曲线与曲线的公切线方程为，即， 故答案为：（或） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出公切线，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的何意义得到，，进则得到，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得到，进而可求出，即可求解. 23．（22-23高二下·安徽六安·期中）设直线l是函数，和函数的公切线，则l的方程是 ． 【答案】 【分析】根据导数几何意义和斜率的比值定义式，以及导数确定函数的单调性即可求解. 【详解】设直线l与函数的切点为A， 直线l与函数的切点为B， ，所以， ，所以， 所以， 后面等式整理得， 代入前面等式整理得， 化简得， 令， 因为， 所以， 所以， 令， 所以， 容易知道，为减函数， ， 所以恒成立， 所以单调递增， 所以最多一个零点， 容易知道， 所以只有一个解， 故， 所以A点坐标为， 切线斜率为， 所以切线方程为， 即. 故答案为：. 【点睛】双切点联立方程，结合导数几何意义，构造函数是关键. 24．（22-23高三上·山东青岛·期中）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为 . 【答案】 【分析】先分别求出和的导数，然后设公共切点的坐标为，，根据题意有，，代入相应表达式列出方程组，解出与的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程． 【详解】，，则有，． 设公共切点的坐标为，，则 ，， ，． 根据题意，有 ，解得． 公切线的切点坐标为，切线斜率为2． 公切线的方程为，即． 故答案为： 考点7 判断公切线的条数 25．（21-22高三上·山东枣庄·期中）已知（为自然对数的底数），，则与的公切线条数（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】设直线l是与的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案. 【详解】根据题意，设直线l与相切于点 ，与相切于点， 对于，，则 则直线l的方程为 ，即， 对于，，则 则直线l的方程为，即， 直线l是与的公切线，则 ， 可得，即或 则切线方程为： 或,切线有两条. 故选：C 26．（19-20高二下·江苏南京·期中）已知函数 （1）求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）判断函数是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数 【答案】（1）当时，函数无极值；当时，函数的极小值为，无极大值. （2）当时，递增区间为和，无递减区间；当时，递增区间为和，递减区间为和.（3）存在，两条 【解析】（1）求导后，对分类讨论，利用导数的可得结果； （2）求导后，对分类讨论，利用导数的符号可得单调区间； （3）设它们的公切线与切于，与切于，利用导数的几何意义求出它们的切线，根据两条直线重合可得，构造函数，根据单调性和零点存在性定理可得结果. 【详解】（1），， 当时，，函数在上递减，此时函数无极值； 当时，由，得，由，得， 所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值， 综上所述：当时，函数无极值；当时，函数的极小值为，无极大值. （2），定义域为， ， 当，即时，，函数的递增区间为和，无递减区间； 当，即时，由，得，解得或， 由，得，解得或， 所以函数的增区间为和，递减区间为和. 综上所述：当时，递增区间为和，无递减区间； 当时，递增区间为和，递减区间为和. （3）函数存在两条公切线， 理由如下： 假设它们的公切线与切于，与切于， 因为，， 所以在点处的切线方程为，即 在点处的切线方程为，即， 根据两条切线重合可得，消去可得， 令，则， 所以在和上递增， 因为时，,时，，所以函数在上有且只有一个零点， 因为时， ，时，， 所以函数在上有且只有一个零点， 所以在和上各有一个实根， 所以它们的公切线有且只有两条. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和单调区间，考查了分类讨论思想，考查了导数的几何意义，考查了零点存在性定理，这里的定义域容易出错，属于较难题. 27．（19-20高三上·江苏南通·期中）已和函数，，其中为自然对数的底数，. （1）若，求函数的单调增区间（用表示）； （2）若对任意的，（仅当时，“”成立），求的值； （3）若，试确定曲线与的公切线的条数. 【答案】（1）见解析 （2）， （3）见解析 【分析】（1）求得导函数；由的情况分别讨论、和时，的范围，从而确定单调增区间； （2）将问题转化为对，，通过导函数解析式可确定在上存在唯一的零点；分别在和两种情况下，确定单调性，可证得与恒成立矛盾，从而确定，进而求得结果； （3）假设公切线与两曲线的切点坐标，进而表示出切线方程，根据切线为公切线可联立得到方程，其中，；记，利用导数求得的单调性，得到；分别在、、和四种情况下，讨论方程解的个数，进而确定公切线条数. 【详解】（1）当时，函数， 则， 令，若，则；若，则； 若，则不存在这样的实数， 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数没有单调增区间. （2）对任意的，（仅当时，“”成立）， ，且，， …①，且，. 记， 则，，在上单调递增， 当时，，此时， 又， 由零点存在定理可知：在上存在唯一的零点，记为. 当时，在恒成立，在上单调递减， ，这与，矛盾； 当时，在恒成立，在上单调递增， ，这与，矛盾； ，即，， 代入①得：. （3）当时，设曲线与的公切线为， 且与的切点为，与的切点为， 则处的切线方程为：， 处的切线方程为：， ，消去得：（*）. 令，，则，从而（#）. 记， 则为区间上单调增函数且， 当时，，为上的单调减函数； 当时， ，为上的单调增函数； . Ⅰ.当时，，所以，从而方程（#）无解，公切线不存在； Ⅱ.当时，，所以（当且仅当时，取“”），所以方程（#）有唯一解，从而公切线的条数为条； Ⅲ.当时，， 当时，得：. 记，则， 函数的图象是一条不间断的曲线，故在上有一个零点，结合的单调性知，方程（#）在上有唯一解； 当时， ①若，则，所以函数在上不存在零点，即方程（#）在上无解； ②若，则，记，则 . 令，则， 且，记，其中，则， 又的图象是一条不间断的曲线，故在上有一个零点， 结合的单调性知，在上存在唯一零点， 即方程（#）在上有唯一解； 当，即时，方程（#）只有一解，故公切线的条数为条； 当，即时，方程（#）有两个不同解，故公切线的条数为条. 综上所述：当时，公切线的条数为条；当或时，公切线的条数为条；当时，公切线的条数为条. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、恒成立问题的求解、讨论曲线的公切线条数的问题；讨论公切线条数的关键是能够利用两曲线方程求得不同形式的公切线方程，联立后将问题转化为方程根的个数的讨论问题，属于难题. 考点8 已知存在公切线求参数范围 28．（24-25高三上·江西·期中）已知函数 (1)求函数图象上点到直线的最短距离； (2)若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值； (3)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由与平行且与相切的直线的切点到直线的距离最短，结合导数几何意义求切点坐标，应用点线距离公式求结果； （2）利用导数几何意义求、的切线方程，结合公切线列方程得，应用导数研究右侧最值，即可得结果； （3）问题化为恒成立，导数研究右侧最值求参数范围. 【详解】（1）设与平行且与相切的直线，与的切点为， 由题设，令，知，则M到直线的距离最短， 所以. （2）设点是公切线在上的切点，则， 则切线方程为，即， 设点是公切线在上的切点，则， 则切线方程为，即， 综上，，，消去得， 设函数，则， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以最大值为，则，即， 所以，实数a的最小值为. （3）由，从而恒成立， 设，则， 设，则，则在上递减且， 当时，，即单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以得最大值为，则的取值范围是. 29．（23-24高二下·福建福州·期中）设函数 (1)若函数与的图象存在公切线，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的实根，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，分类讨论切点是否为公共点，结合构造函数法求其单调性与最值计算可得的取值范围； （2）先构造函数，利用其导函数及零点个数判定，再二次函数根的分布结合隐零点确定，利用比值换元，消元转化得，构造函数判定，由适当放缩即可证明结论. 【详解】（1）易知， ①若切点为两函数公共点，不妨设为，即， 易知切点为，此时， ②若切点不为两函数公共点， 由题意不妨设函数与上的切点分别为 ，且， 即， 显然，化简上式得， 令， 显然时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上所述均符合题意，故的取值范围为 （2）由题意可知有两个零点，即有两个零点， 令， 显然时，，即定义域上单调递减，不会存在两个零点， 则，由二次函数根的分布知只有一个使得， 此时， 即上单调递减，上单调递增， 要满足题意需， 又定义域上单调递减， 而时，，所以， 不妨设，所以， 则有，两式分别作和差得， 即， 整理得， 令，即单调递增， 所以，则， 即. 【点睛】方法点睛：对于双变量问题，常构造差函数或者利用比值换元，利用消元转化的思想将多元化为单变量，本题适当利用放缩，可极大的简化计算量. 30．（24-25高三上·吉林白城·期中）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用导数分段求导，设两点坐标结合导数的几何意义求切线方程，分类讨论得出切线重合的条件等式，消元转化为方程有根问题，利用导数研究单调性计算参数范围即可. 【详解】当时，的导数为， 当时，的导数为， 设，为该函数图象上的两点，且， 当，或时，，故， 当时，函数在点处的切线方程为； 当时，函数在点处的切线方程为． 两直线重合的充要条件是①，②， 由①及，得， 由①②，令，则， 且，记， 则其导数为，易知在恒成立， 则函数在为减函数， ∴，. ∴实数a的取值范围是． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 拓展01 切线问题8考点复习指南 【问题背景】 切线问题在数学中占据着重要地位，它是函数与几何图形相结合的典型问题.在几何意义上，切线反映了曲线在某一点处的局部变化趋势，体现了曲线在该点的斜率；在代数层面，切线与函数的导数紧密相连，导数的几何意义正是曲线在某点处切线的斜率，由于曲线类型的多样性以及问题条件的复杂性，切线问题的求解往往具有一定难度，需要综合运用函数、导数、方程等多方面知识. 【处理角度】 1.求导运算：求导是解决切线问题的核心步骤.熟练掌握基本函数的求导公式和求导法则，如幂函数、指数函数、对数函数等的求导公式，以及导数的四则运算法则和复合函数求导法则，能够准确求出函数的导数.在求导过程中，要注意函数的定义域，确保求导的准确性，为后续计算切线斜率和方程奠定基础. 2.方程思想：在切线问题中，常常需要建立方程来求解未知量.在求过某点的切线方程时，设出切点坐标后，根据切线方程的条件建立关于切点横坐标的方程；在已知切线斜率求参数、判断切线条数以及求两曲线公切线等问题中，也都需要通过建立方程来解决.在建立方程时，要根据导数的几何意义和题目所给条件，准确找出等量关系，列出合理的方程. 3.数形结合：借助函数图象可以直观地理解切线问题.在判断切线条数和公切线条数时，通过画出函数图象，观察曲线的走势和切线的位置关系，能够更直观地判断方程根的个数，从而确定切线条数.在通过切线求曲线上的点到直线距离最小值时，结合图象可以清晰地看到切线与直线的位置关系，帮助找到距离最小值的情况.数形结合的方法能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，提高解题的效率和准确性. 4.构造函数：在一些复杂的切线问题中，构造函数是一种有效的解题策略.在判断公切线的条数或已知存在公切线求参数范围时，通过构造函数，将问题转化为研究函数的性质，如单调性、极值和最值等.利用导数研究构造函数的性质，结合函数图象，能够更深入地分析问题，找到解决问题的途径.构造函数的关键在于根据问题的特点，合理选择函数的形式，使其能够有效地解决原问题. 【解法策略】 1.求在某点的切线方程：此类问题直接给定曲线和该曲线上的某一点，目标是求出曲线在该点处的切线方程.处理时，先对函数求导，将给定的点的横坐标代入导函数，得到切线的斜率.再结合该点的坐标，利用点斜式方程即可写出切线方程.这种类型的问题是切线问题的基础，它直接应用了导数的几何意义，为后续更复杂的切线问题提供了基本的解题思路和方法. 2.求过某点的切线方程：与求在某点的切线方程不同，这里给定的点不一定在曲线上.解题时，先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线方程.然后将给定的点代入切线方程，得到关于切点横坐标的方程，解出切点坐标，从而确定切线方程.由于切点坐标未知，需要通过建立方程求解，这增加了问题的复杂性，需要运用方程思想来解决. 3.已知切线斜率求参数：当已知曲线的切线斜率时，将其与导函数建立联系.因为导函数在某点的值就是曲线在该点切线的斜率，所以通过解方程可求出参数的值.在处理这类问题时，需要准确运用导数公式求出导函数，然后根据已知条件列出方程，求解过程中要注意对解的合理性进行检验，确保所求参数值符合题意. 4.切线条数问题：判断过某点能作曲线的切线条数，关键在于将问题转化为方程根的个数问题.设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，再将已知点代入切线方程，得到一个关于切点横坐标的方程.通过研究这个方程根的个数，就能确定切线条数.通常会利用导数研究函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象来判断方程根的个数，体现了数形结合思想的重要性. 5.通过切线求曲线上的点到直线距离最小值：利用曲线的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离可能是曲线上的点到直线的距离最小值这一性质.先对曲线求导，令导数等于已知直线的斜率，求出切点坐标.再利用点到直线的距离公式计算该切点到直线的距离，即为所求的最小值.这种方法巧妙地将切线问题与距离问题相结合，通过导数找到关键的切点，从而解决距离最小值问题. 6.求两曲线的公切线：求两曲线的公切线，需要分别设出两曲线的切点坐标，根据导数的几何意义写出两条曲线在各自切点处的切线方程.由于公切线是同一条直线，所以这两条切线方程的斜率和截距都相等，由此列出方程组求解.在求解过程中，可能会涉及到复杂的方程运算，需要熟练运用代数方法进行化简和求解，同时要注意对解的情况进行分析和讨论. 7.判断公切线的条数：判断两曲线公切线的条数，同样设出两曲线的切点坐标，得到关于切点坐标和公切线斜率的方程组.通过消元将问题转化为一个方程，再利用导数研究这个方程根的个数，进而确定公切线的条数.在这个过程中，对函数性质的研究和方程根的分析是关键，需要综合运用导数的各种知识和方法，以及函数图象的直观辅助来进行判断. 8.已知存在公切线求参数范围：已知两曲线存在公切线求参数范围时，先根据公切线的条件列出关于参数的方程或不等式.通常是利用两曲线在切点处的导数相等以及切点坐标满足的关系来建立等式，然后将其转化为一个关于参数的函数问题.通过研究这个函数的单调性、极值和最值等性质，结合函数图象，确定参数的取值范围.这类问题综合了切线问题和参数范围求解问题，对学生的综合运用知识能力要求较高 考点1 求在某点的切线方程 1．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）曲线在点处的切线方程为（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若曲线在点处的切线平行于直线，则该切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（ ） A．2 B．1 C． D． 4．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线过点，则 ． 考点2 求过某点的切线方程 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 7．（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 8．（20-21高二下·陕西渭南·期中）已知，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值； (2)若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 考点3 已知切线斜率求参数 9．（24-25高二上·云南昭通·期中）设曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与直线垂直，则 . 10．（24-25高三上·四川成都·期中）若直线与曲线相切，则的最大值为 考点4 切线条数问题 11．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数. 12．（22-23高二下·浙江·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有经过原点的切线，求的取值范围及切线的条数，并说明理由； (3)设函数的两个极值点分别为，且满足，求实数的取值范围. 13．（23-24高三上·湖北·期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 14．（22-23高三上·福建福州·期中）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（21-22高二下·江苏常州·期中）给定实数，函数，（其中，． (1)求经过点的曲线的切线的条数； (2)若对，有恒成立，求的最小值． 16．（2022·湖南长沙·一模）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数． 考点5 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 17．（20-21高二·全国·课后作业）已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当的坐标为 时，最小，此时最小值为 ． 18．（18-19高二下·河南洛阳·期中）已知点M在函数图象上，点N在函数图象上，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 考点6 求两曲线的公切线 19．（22-23高二下·广东汕头·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 20．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 21．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 22．（24-25高三上·河北邢台·期中）曲线与曲线的公切线方程为 ． 23．（22-23高二下·安徽六安·期中）设直线l是函数，和函数的公切线，则l的方程是 ． 24．（22-23高三上·山东青岛·期中）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为 . 考点7 判断公切线的条数 25．（21-22高三上·山东枣庄·期中）已知（为自然对数的底数），，则与的公切线条数（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 26．（19-20高二下·江苏南京·期中）已知函数 （1）求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）判断函数是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数 27．（19-20高三上·江苏南通·期中）已和函数，，其中为自然对数的底数，. （1）若，求函数的单调增区间（用表示）； （2）若对任意的，（仅当时，“”成立），求的值； （3）若，试确定曲线与的公切线的条数. 考点8 已知存在公切线求参数范围 28．（24-25高三上·江西·期中）已知函数 (1)求函数图象上点到直线的最短距离； (2)若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值； (3)若恒成立，求a的取值范围. 29．（23-24高二下·福建福州·期中）设函数 (1)若函数与的图象存在公切线，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的实根，求证：． 30．（24-25高三上·吉林白城·期中）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$