第12章定义 命题 证明学习任务单2024-2025学年苏科版数学七年级下册

12.1 定义 【问题导引】 人们在说理的时候,常常使用一些名称或术语,经常要判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等. 归纳:对名称或术语的含义进行描述或做出规定,就是给它们的定义. 【合作探究】 1.请说出下列概念的定义. (1)“_”是“整数”的定义. (2)“_”是“方程”的定义. (3)“_”是“距离”的定义. (4)“_”是“平行线”的定义. (5)“_”是“对顶角”的定义. 根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念. (6)根据对顶角的定义判断下面哪些图形是对顶角. 2.许多概念之间都是有关系的:如单项式都属于整式,整式都属于代数式:数学 中常用如图所示的方法直观地表达这种从属关系. 三角形、等腰三角形、等边三角形之间有什么关系?画出表示它们之间关系的示意图. 3. 小亮和几个好朋友玩游戏:每个人轮流在空地上投七颗小石子,谁投的七 颗小石子的散度最小就算谁赢你觉得游戏中的“散度”是什么意思?你能给“散度”下定义吗? 【数学化认识】 定义:像这样,对一个概念_的语句叫作这个概念的定义. 【例题讲解】 例1 写出“相反数”的定义. 例2 自然数6的因数有1,2,3,6,这几个因数具有关系1+2+3=6.像6这样的数叫作完全数(也称完美数),判断下列数中哪些是“完全数”: (1)8; (2)28 例3 下面是小明给一些概念下的“定义”,你觉得这些“定义”合适吗?说说你的理由, (1)像火车铁轨那样的两条线叫作平行线; (2)三条边都相等的三角形叫作等边三角形; (3)四条边都相等的四边形叫作正方形; (4)有一个角是锐角的三角形叫作锐角三角形. 【基础训练】 1. 写出二元一次方程组的定义. 2. 回忆并写出下列概念的定义: 绝对值、余角、补角 3. 画示意图表示下列概念之间的关系: 有理数、正有理数、负有理数、零 12.2 命题 【问题导引】 1.下列语句能判断真假吗? (1)3加4等于几? (2)对顶角相等. (3)直线a与b垂直吗? (4)如果x2=1,那么x=1. (5)如果a>b,b>c,那么a>c. (6)平方后等于1的数是1. 2.比较下列句子在表述形式上哪些对事情作出判断,哪些没有对事情作出判断? (1)鸟是动物; (2)若a2=4,求a的值; (3)若a2=b2,则a=b; (4)a、b两条直线平行吗? (5)画一个角等于已知角; (6)0.33是有理数; (7)两直线平行,同位角相等. 【数学化认识】 1. 命题:_. 命题由_和_组成. 2. 真命题:_;假命题:_. 3. 在两个命题中,如果互换了两个命题的_的位置,那么这两个命题称为_,其中一个命题叫做“_”,另一个叫做原命题的“_”. 【概念辨析】 判断下列语句是否为命题,并说明理由. (1)如果O是线段AB的中点,那么AO=BO. (2)过一点画已知直线的垂线. (3)无论x是什么数,代数式(x-1)2的值不是负数. (4)如果a>0,b<0,那么︱a︱=︱b︱. (5)同位角相等吗? (6)同位角相等,两直线平行. (7)对顶角相等. 【合作探究】 1.上面命题的条件和结论分别是什么? 命 题 条 件 结 论 如果x>1,那么x>0 同位角相等,两直线平行 两直线平行,同位角相等 当a是自然数时,a2+a是偶数 如果a>0,b<0, 那么︱a︱=︱b︱ 归纳:命题由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. 以上命题哪些所作的判断是正确的?哪些是错误的? 2.写出下列各命题的条件和结论,并判断哪些是真命题,哪些是假命题. (1)如果a、b两数的积为0,那么a、b两数都为0; (2)如果两个角互为补角,那么这两个角的和是180 ; (3)两直线平行,同旁内角互补; (4)两条直线相交,只有一个交点; (5)有公共顶点的两个角是对顶角; (6)相等的角是对顶角. 3.下列命题是真命题还是假命题? (1)有公共顶点的两个角是对顶角; (2)等式两边都加上同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式. 4. 写出一对互逆命题,并判断原命题与逆命题的真假. 【基础训练】 1.写出下列命题的条件与结论: (1)如果a<0,b<0,那么a+b<0; (2)如果c<1,那么c2-1<0. 2.根据下面的条件,写出一个结论,使之成为一个真命题: (1)如果2x+1=5,那么_; (2)如果a2+b2=0,那么_; (3)如果两条直线平行,那么_; (4)如果平移线段AB得到线段A’B’,那么_. 3.下列各组命题是否为互逆命题? (1)“正方形的四个角都是直角”与“四个角都是直角的四边形是正方形”; (2)“两个负数的乘积是正数”与“乘积是正数的两个数都是负数”. 12.3 证明 【问题导引】 数学中有各种各样的命题:判断命题的真假是数学的一个基本活动. 观察图(1),线段 AB与CD 哪条较长? 观察图(2),位于中心位置的两个圆一样大吗? 【合作探究】 1.判断命题“如果 a,b是偶数,那么 a+b也是偶数”的真假性. ∵ _, ∴可以设a=_,b=_,(_是整数), ∴_=_=2_, ∴ a+b也是偶数. 2.判断命题“如果a<b,c<d,那么a+c<b+d”的真假性. 【数学化认识】 从命题的_出发,根据一些_(如_,_,_等),用“因为……,所以……”的形式一步一步推出命题的_,从而确定这个命题是_的过程称为证明. 【概念辨析】 在下面的括号内,填上推理的根据. 如图,∠A+∠B=180 ,求证:∠C+∠D=180 . A B C D 证明: ∵∠A+∠B=180 , ∴ AD // BC (_). ∴ ∠C+∠D=180 (_). 【例题讲解】 例1 证明命题“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行” _:_,直线b⊥a,c⊥a. 1 2 a b c _:_. 证明:∵ b⊥a(已知). ∴ ∠1=_(_). ∵ _(_), ∴ ∠2=_(_). ∴ _=_(_). ∴ _(同位角相等,两直线平行). 注:一个量用与它相等的量代替叫“等量代换”. 你还有其他思路来证明吗? 例2 证明:三个连续自然数之和能被3整除. 【基础训练】 1.完成下面的证明. (1)如图(1),AB∥CD,CB∥DE,求证:∠B+∠D=180 , 证明:∵ AB∥CD, ∴ ∠B=_(_). ∵ CB∥DE, ∴ ∠C+∠D=180 (_). ∴ ∠B+∠D=180 .A B C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 (图2) (图1) A B C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 (图2) (图1) (2)如图(2),∠ABC=∠A'B'C',BD、B'D'分别是∠ABC,∠A'B'C'的平分线,求证:∠1=∠2. 证明:∵ BD,B'D'分别是∠ABC,∠A'B'C'的平分线, ∴ ∠1=∠ABC,∠2= ( ). 又 ∠ABC=∠A'B'C', ∴ ∠ABC=∠A'B'C', ∴ ∠1=∠2(_). 2.已知:如图,AB∥CD,AD∥BC.A B C D (第2题) 求证:∠A=∠C,∠B=∠D. A B C D (第5题) 12.4.1 定理 【问题导引】 1.如何证明“三角形内角和等于180 ”? 【合作探究】 1.已知:∠A,∠B,∠C是 ABC的三个内角 求证:∠A+∠B+∠C=180 . 分析:小学是用“撕角”的方法来说明的,现在可以尝试借助这个思想来证明这个命题. 2.你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗? 【数学化认识】 1.定理的定义:一般情况下,数学中把一些_、_的_叫作定理.定理可以作为_后续命题的_. 2.推论的定义:像这样,由一个_直接推出的_,一般叫作这个定理的推论.它和定理一样,也可以作为后续证明的_. 3.三角形内角和定理:_. 4.三角形内角和定理的推论:_. 【例题讲解】 例1.证明:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知:_. 求证:_. 证明: 【基础训练】 1. 已知:如图,AC,BD相交于点O. 求证:∠A+∠B=∠C+∠D. 2.写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题,判断真假并给出证明. 12.4.2 定理 【问题导引】 1.一个多边形可以分割为若干个三角形,是否可以利用三角形内角和定理推出多边形的内角和呢? 你还有其他方法吗? 【合作探究】 1.对于n边形的内角和,你有什么猜想? 【数学化认识】 1.多边形内角和定理:_. 2.多边形外角和定理:_. 多边形有内角,也有外角,延长CD,得到射线CF,∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.顺次延长多边形的各边:AB,BC,CD,……,在每个顶点处得到一个外角,这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 2.内角和有一般规律,外角和也有一般规律吗?仿照多边形的内角和研究过程,如何求多边形的外角和? 【基础训练】 1.求证:如果一个n边形的所有内角都相等,那么其内角为 2. 多边形中小于120 的内角最多有几个? 12.4.3 反证法 【问题导引】 1.如何证明“一个三角形最多有一个钝角”? 假设 ABC中不止一个钝角,那么可能有_钝角或_钝角. 当有_钝角时,不妨设_,_均为钝角,即_>90 , _>90 ,则_+_>_ ,所以_+_+_>_ ,这与∠A十∠B十∠C=180 矛盾。 同理,当有三个钝角时,也与∠A+∠B十∠C=180 矛盾,所以假设_.于是 ABC中最多只能有一个钝角. 【数学化认识】 1. 反证法:像这样,我们通过_命题的结论,发现了_,从而反过来肯定命题结论_的证明方法叫作反证法. 2.平行线的性质定理:_. 3.用反证法证明一个命题的步骤一般为: (1)先假设命题的结论_; (2)从这个假设出发,经过若干步_,得出_; (3)由矛盾判定假设_,从而肯定原来命题的结论_. 4.在说明一个命题是假命题时,常用“_”的方法,_的关键是找到一个符合_,但不符合_的例子. 【例题讲解】 例1. 已知:a,b,c是3条不同的直线,a//b,b//c. 求证:a//c. 例2. 判断命题“对于任意的有理数 ,b,如果 >b,那么|a|>|b|”的真假,并说明理由. 【基础训练】 1.用反证法证明:已知a,b,c是3条不同的直线,如果a//b,a与c相交,那么b与c相交. 2.举反例说明下列命题是假命题: (1)如果|a|=|b|,那么a=b; (2)任何数的平方都大于0; (3)两个锐角的和是钝角; (4)如果一点到线段两端的距离相等,那么这个点是这条线段的中点. 学科网(北京)股份有限公司 $$