精品解析：甘肃省张掖市甘州区张掖育才中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋学期期中测试试卷 初三 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得出，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，几何体的左视图为， 故选：D． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 3. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的基本性质．应用比例的基本性质，将各项进行变形，逐一判断即可． 【详解】解：A、由，则x与y的比例是，只是其中一特殊值，故此项不符合题意； B、由，可化为，故此项不符合题意； C、由，得，故此项不符合题意； D、由，可化为，故此项符合题意； 故选：D． 4. 反比例函数y=的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵6＞0， ∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 5. 一个不透明的口袋中装有若干个红球和8个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，口袋中红球最有可能有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而利用概率公式求出红球个数即可． 【详解】解：设红球个数为x个， ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， ∴， 解得：， 故红球的个数为2个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大数次反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 6. 菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ） A. 24 B. 20 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质及勾股定理可直接进行求解． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，BD=8，AC=6， ∴AC⊥BD，OA=OC=3，OD=OB=4， 在Rt△AOD中，， ∴菱形ABCD的周长为：4×5=20， 故选B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键．根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即或，即， 故选：D． 8. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 9. 如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（ ） A. 2或3.4 B. 或 C. 2或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 10. 正方形，…按如图所示的方式放置．点，…和点，…分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，待定系数法求一次函数，由图和条件可知，由此可以求出直线为，的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标，因为的横坐标数列为，所以纵坐标为，最后根据规律就可以求出的坐标，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【详解】解：点，， ， 代入直线可得，解得 直线为， ， 四边形正方形为正方形， ， 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， … 以此类推可得，的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标 ， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值．利用分式的性质，将所求表达式拆分为，再代入已知条件进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ． 故答案为：． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念可得，，，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 由得， 由得，或 ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握一元二次方程的概念，一元二次方程为含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程． 13. 已知中，是斜边上的中线，若，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD． 【详解】解：∵BD是斜边AC上的中线， ∴AC=2BD=2×3=6cm， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 14. 已知a是关于x方程x2﹣2x﹣8=0的一个根，则2a2﹣4a的值为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义“使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根”得，则，再将提出公因数2，即可得． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴ ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根和代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 15. 如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，，的面积为2，则平行四边形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据已知可得DE：AB＝1：2，DE：CE＝1：3，然后再利用8字型模型和A字型模型相似三角形即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，ABCE，AB＝CD， ∵CD＝2DE， ∴，， ∵ADBC， ∴∠EDF＝∠C，∠EFD＝∠EBC， ∴△EFD∽△EBC， ∴， ∵△DEF的面积为2， ∴△EBC的面积为18， ∴四边形BCDF的面积＝△EFD的面积−△EBC的面积＝18−2＝16， ∵ABCE， ∴∠A＝∠ADE，∠ABF＝∠E， ∴△ABF∽△DEF， ∴， ∴△ABF的面积为8， ∴平行四边形ABCD的面积＝四边形BCDF的面积＋△ABF的面积＝16＋8＝24， ∴平行四边形ABCD的面积为24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字型模型和A字型模型相似三角形是解题的关键． 16. 如图，平行四边形中，点在轴正半轴上，点在反比例函数的图象上，且轴，，的延长线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，由得出是解题关键． 设点坐标为，则，由平行四边形可得，进而可证，可得，几何三角形面积即可得出结果． 【详解】解：设点坐标为，则，， ∵在平行四边形中， ∴，， 平行于轴， ． ，， ， ， ， ． 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：4． 三、解答题（共96分） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）原方程整理后利用直接开平方求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 原方程整理得： ， ∴； 【小问2详解】 ， ∴或， ∴，． 18. 小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【答案】教学楼AB的高度为16米 【解析】 【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键． 19. 有一块三角形余料，它的边长，高．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？ 【答案】矩形零件的两条边长分别为， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式是解题的关键．由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设，则，易证，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：设矩形的边长，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴这个矩形零件的两条边长分别为，． 20. 校园文化是学校的灵魂，实外西区校长肖明华推出《读100本名著》、《听100首名曲》、《赏100幅名画》、《懂100个名人》每一系列文化活动，为了解学生对这些文化活动的喜爱情况，我校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《读100本名著》（记为A）、《听100首名曲》（记为B）、《赏100幅名画》（记为C）、《懂100个名人》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，它可以写出一个自己喜爱的其他校园文化栏目（记为E），根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答句题： （1）在这项调查中，共调查了__________名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为__________； （3）在选择“E”的学生中抽取2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生参加座谈会，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率． 【答案】（1）150 （2） 补全条形统计图如下： （3）刚好选到同性别学生的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查条形与扇形统计图及概率，熟练掌握条形及扇形统计图和概率的求解是解题的关键； （1）根据统计图可知最喜欢A栏目所占百分比和人数，然后问题可求解； （2）根据（1）可知被调查的人数为150名，然后利用总人数减去A、C、D、E的人数，进而求出“B”所占百分比，最后问题可求解； （3）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知： 共调查的学生人数为（名）； 故答案为150； 【小问2详解】 解：由统计图可知：“D”的人数为（名）， ∴“B”的人数为（名）， ∴扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为； 故答案为； 【小问3详解】 解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） / （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） / （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） / 共有12种情况，其中刚好选到同性别学生的有4种情况，所以刚好选到同性别学生的概率为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下： 则即为所求． （2） 解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下： 则即为所求． （3）是，Q点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数关系： （1）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，据此求解即可． （2）一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 经检验，是方程的解，且 ∴． 23. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点，连接，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，，可得四边形是平行四边形，由菱形的性质可得，据此即可求证； （2）利用菱形和矩形的性质可得，，进而证明可得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若P是y轴上一点，且满足的面积是5，求点P坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把，两点分别代入一次函数解析式即可． （2）利用图象法解决问题即可； （3）令求出的值，确定出坐标，得到的长，三角形面积由三角形面积与三角形面积之和求出，由已知的面积求出的长，即可求出的长． 【小问1详解】 点在上， ， 反比例函数解析式为； 又点在上， ， 点的坐标为， 把和两点的坐标代入一次函数得 解得， 一次函数的解析为． 【小问2详解】 观察图象可知：不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图，设一次函数与y轴交于点C， 对于一次函数，令，求出， 即，， 根据题意得：， 解得：， 所以，或． 26. 如图，已知点D、F在边上，点E在边上，且， （1）求证：； （2）如果，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质： （1）利用平行线分线段成比例的推论即可得证； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1）， 理由：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）；（3）4或2 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或； 故答案为：4或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期期中测试试卷 初三 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数y=的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 5. 一个不透明的口袋中装有若干个红球和8个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，口袋中红球最有可能有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ） A. 24 B. 20 C. 10 D. 5 7. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（ ） A. 2或3.4 B. 或 C. 2或 D. 或3 10. 正方形，…按如图所示的方式放置．点，…和点，…分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若，则_____． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 13. 已知中，是斜边上的中线，若，则__________． 14. 已知a是关于x方程x2﹣2x﹣8=0的一个根，则2a2﹣4a的值为_______． 15. 如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，，的面积为2，则平行四边形的面积为________． 16. 如图，平行四边形中，点在轴正半轴上，点在反比例函数的图象上，且轴，，的延长线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为______． 三、解答题（共96分） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 19. 有一块三角形余料，它的边长，高．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？ 20. 校园文化是学校的灵魂，实外西区校长肖明华推出《读100本名著》、《听100首名曲》、《赏100幅名画》、《懂100个名人》每一系列文化活动，为了解学生对这些文化活动的喜爱情况，我校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《读100本名著》（记为A）、《听100首名曲》（记为B）、《赏100幅名画》（记为C）、《懂100个名人》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，它可以写出一个自己喜爱的其他校园文化栏目（记为E），根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答句题： （1）在这项调查中，共调查了__________名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为__________； （3）在选择“E”的学生中抽取2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生参加座谈会，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值． 23. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点，连接，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求线段的长度． 24. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若P是y轴上一点，且满足的面积是5，求点P坐标． 26. 如图，已知点D、F在边上，点E在边上，且， （1）求证：； （2）如果，，求的值． 27. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $