07 浅探波动问题多解的成因与解法-《中学生数理化》高考理化2025年3月刊

浅探波动问题多解的成因与解法 ■河南省柘城县第二高级中学 吉星宇 机械振动在介质中传播,形成机械波。 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的 波,叫横波。在沿一条直线传播的横波中,因 波的周期性、波的双向性,以及波形的不确定 性等,常会产生波动问题的多解。如果在求 解波动问题过程中不能透彻分析题意,合理 使用已知条件,那么就会出现解答不完全或 以特解代替通解的情况。下面就让我们一起 来分析造成波动问题多解的主要原因,总结 解答波动多解问题的具体方法吧! 一、造成波动问题多解的主要原因 1.周期性。 (1)时间具有周期性:设波在介质中的传 播周期为T,任取一质点,它在t+kT(k=1, 2,3,…)时刻的振动情况总是与它在t时刻 的振动情况(位移、速度、加速度等)相同,即t 时刻的波形总会在t+kT(k=1,2,3,…)时 刻重复出现。根据波的时间周期性可知,若 找到了在一个周期内满足条件的特例,则需 在表述时间间隔Δt与周期T 的关系式中加 上kT(k=1,2,3,…)。 (2)空间具有周期性:波在介质中传播 时,任取一质点P,质点P 起振后,它的振动 将完全重复波源的振动,只是在时间上比波 源滞后Δt,且Δt= x v= x λT ,其中x 为质点 P 与波源平衡位置间的距离,v 为波速,λ 为 波长。在同一波形图上,平衡位置坐标与质 点P 的平衡位置坐标之差为波长整数倍的 质点,在同一时刻的振动情况(位移、速度、加 速度)相同。根据波的空间周期性可知,若找 到了在一个波长内满足条件的特例,则需在 表述波的传播距离Δx 与波长λ的关系式中 加上kλ(k=1,2,3,…)。 2.双向性。 (1)传播方向双向性:波源的振动形式既 可以沿x 轴正方向传播,也可以沿x 轴负方 向传播。若沿x 轴正、负两方向传播的时间 之和等于周期的整数倍,则波沿x 轴正、负方 向传播到那一时刻的波形将完全相同。在题 目无明确说明的情况下,需要考虑波的传播 存在两种可能的方向。 (2)振动方向双向性:质点的振动方向既 可以沿y 轴正方向,也可以沿y 轴负方向。 波的传播与介质中质点的振动存在密切联 系,波在介质中传播时,介质中各质点的振动 情况是依据波的传播方向来确定的,反之,根 据介质中各质点的振动方向也可以确定波的 传播方向。在根据已知条件不能确定质点的 振动方向的前提下,需要考虑质点的振动存 在两种可能的方向。 3.波形的隐含性。 在有的波动问题中,只给出了完整波形 的一部分或波形中的几个特殊点,而其他信 息均处于隐含状态,这时就会存在多个波形 均满足题述条件的情况,求解时需要全面考 虑,避免错漏。 二、典型多解波动问题剖析 例 1 (多选)一列横波在t1=0时刻 的波形如图1中的实线所示,在t2=0.03 s 时刻的波形如图1中的虚线所示。下列说法 中正确的是( )。 图1 A.这列波的波速可能为500 m/s B.这列波的波速一定为(400k+300)m/s (k=0,1,2,…) C.若T<t2-t1<2T,则这列波的波速 可能为700 m/s D.若T<t2-t1,且波速为1 500 m/s, 则这列波沿x 轴正方向传播 分析:因为题目没有明确给出波的传播 方向,所以需要考虑波的传播方向的双向性; 82 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年3月 因为题中没有明确给出两波形图的时间间隔 Δt=t2-t1 与周期T 的关系,所以需要考虑 波的周期性。 解:根据波形图可知,这列波的波长λ= 12 m。假设这列波沿x 轴正方向传播,则在 时间间隔Δt=t2-t1=0.03 s内,波的最小 传播距离x0= 1 4λ=3 m,波的可能传播距离 x=x0+kλ=(3+12k)m,波速v= x Δt= (400k+100)m/s(k=0,1,2,…),当k=1 时,v=500 m/s,选项A正确;假设这列波沿 x 轴负方向传播,则在时间间隔Δt=0.03 s 内,波的最小传播距离x0'= 3 4λ=9 m,波的 可能传播距离x'=x0'+kλ=(9+12k)m,波 速v'= x' Δt= (400k+300)m/s(k=0,1,2,…), 选项B错误。当T<t2-t1<2T 时,根据波 动与振动的对应性知λ<x<2λ,这时波速的 通解表达式中的k=1。若这列波沿x 轴正 方向传播,则波速v=(400×1+100)m/s= 500 m/s;若这列波沿x 轴负方向传播,则波 速v'=(400×1+300)m/s=700 m/s,选项 C正确。当T<t2-t1,且波速为1 500 m/s 时,根据波动与振动的对应性知λ<x,又有 x=v·Δt=45 m,λ=12 m,所以波沿波的传 播方向传播了 x λ=3 3 4 个波长。根据波形图 易知,这列波沿x轴负方向传播,选项D错误。 答案:AC 点评:判断选项 A、B的正误,既需要考 虑波的传播方向的双向性,还需要考虑波的 空间周期性,即x2-x1=kλ+Δx,其中Δx ∈[0,λ),k=0,1,2,…;判断选项C、D的正 误,既需要考虑波的传播方向的双向性,还需 要考虑时间间隔Δt=t2-t1 与周期 T 之间 的限制条件。 例 2 (多选)一列横波在介质中沿直 线水平向右传播,某一时刻在波的传播方向 上相距为Δx 的P、Q 两质点均位于平衡位 置(质点P 在左,质点Q 在右),且P、Q 两质 点之间仅有一个波峰。若经过时间Δt,质点 Q 恰好到达波峰,则这列波的波速的可能值 为( )。 A. (4k+1)Δx 2Δt (k=0,1,2,…) B. (4k+1)Δx 4Δt (k=0,1,2,…) C. (4k+3)Δx 2Δt (k=0,1,2,…) D. (4k+3)Δx 6Δt (k=0,1,2,…) 分析:因为题目没有明确给出质点P 和 Q 的振动方向、两质点平衡位置的间距 Δx 与波长λ的关系,以及时间间隔Δt与周期T 的关系,所以需要分情况讨论。 解:设这列波的波长为λ,周期为T。 初始时刻,当质点P 正经过平衡位置向 下振动时,满足题设条件的波形有两个,如图 2甲、乙所示。对于图甲,根据波的周期性可 知,质点Q 经过平衡位置到达波峰所需的时 间Δt= k+ 1 4 T(k=0,1,2,…),又有λ= 2Δx,v= λ T ,解得v= (4k+1)Δx 2Δt (k=0,1, 2,…);对于图乙,同理可知,质点 Q 经过平 衡位置到达波峰所需的时间Δt= k+ 3 4 T (k=0,1,2,…),又有λ=Δx,v= λ T ,解得 v= (4k+3)Δx 4Δt (k=0,1,2,…)。 图2 初始时刻,当质点P 正经过平衡位置向 上振动时,满足题设条件的波形也有二个,如 图2丙、丁所示。同理,对于图丙有 Δt= k+ 1 4 T(k=0,1,2,…),λ=Δx,v=λT,解 得v= (4k+1)Δx 4Δt (k=0,1,2,…);对于图丁 92 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年3月