06 化“变”为“恒”“动”中求“变”-《中学生数理化》高考理化2025年3月刊

———理想变压器动态变化问题的研究 ■湖南省长沙宁乡市第七高级中学 胡连冬(正高级教师) 理想变压器动态变化问题是高三复习备 考的重点,也是同学们学习中的难点。理想 变压器在交流电路中工作,电流、电压、功率 存在一定的制约关系,导致其动态变化过程 的分析比较复杂烦琐,需要具备较强的模型 建构能力和分析推理能力,因此大多数同学 面对理想变压器动态变化问题时往往会感到 束手无策。化“变”为“恒”,“动”中求“变” 是 基于交流电源电压有效值恒定不变,将理想 变压器原副线圈构成的回路等效成“恒定电 路”,从变压器动态变化的因素入手,结合理 想变压器对电流、电压的制约关系,综合运用 闭合电路欧姆定律,快捷处理理想变压器动 态变化问题的思想方法。 一、处理理想变压器动态变化问题必备 知识 1.滑动变阻器连入电路方式不同引起的 电阻变化。 处理电阻变化的动态电路问题,关键在 于把握闭合电路中的总电阻如何随变化电阻 而变化,当滑动变阻器串联或并联在电路中 时,总电阻是随变阻器接入电路的有效电阻 而变化的。 图1 当滑动变阻器按如图1 所示的方式连入电路中时, 若滑片 P 从a 端滑向b 端, 则E、F 间的电阻先变大后 变小,当滑片P 位于a、b两端间的中点位置 时,E、F 间的电阻最大。 证明:设滑动变阻器a、b两端间的总电 阻为R0,被滑片P 分开的变阻器上下两部分 的电阻分别为R1 和 R2,则 E、F 间的电阻 R= R1R2 R1+R2 ,即R= R1(R0-R1) R0 ,将该式转 化 为 关 于 R1 的 二 次 函 数 得 R = - R1- R0 2 2 R0 + R0 4 ,因此,当 R1=R2= R0 2 时,R 取最大值,即当滑片P 位于a、b 两端 间的中点位置时,E、F 间的电阻最大。 2.理想变压器的等效电路。 如图2所示,理想变压器接电压为u 的 交流电源,原副线圈的匝数分别为n1、n2,原 副线圈两端电压和通过的电流的有效值分别 为U1、I1 和U2、I2,根据 U1 U2 = n1 n2 ,I1 I2 = n2 n1 ,得 U1 I1 = n1 n2 2U2 I2 。因 为U2 I2 =R,所 以 U1 I1 = n1 n2 2 R。令 U1 I1 =R',R'可以视为理想变压器 的等效负载,则R'= n1 n2 2 R。若用R'替代 理想变压器,则如图2所示的电路可以等效 成如图3所示的电路。利用理想变压器的等 效负载并结合其等效电路,可以简化理想变 压器动态变化问题的分析过程。需要注意的 是这种等效方法只适应于有一个副线圈的理 想变压器。 图2 图3 3.理想变压器的三个制约关系和三个回 路的电压关系。 在如图4甲、乙所示的理想变压器工作 电路和等效电路中,根据理想变压器的工作 原理得 U1 U2 = n1 n2 ,I1 I2 = n2 n1 ,P2=P1。理想变压 器副线圈的输出电压U2 由原线圈两端的输 入电压U1 及原副线圈的匝数比 n1 n2 共同决定, 52 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年3月 即U2=U1 n2 n1 ;原线圈的输入电流I1 由副线 圈的输出电流I2 及原副线圈的匝数比 n1 n2 共 同决定,即I1=I2 n2 n1 ;副线圈的输出功率P2 决定原线圈的输入功率P1,即P1=P2。 图4 若交流电源的有效值为U,则根据闭合 电路欧姆定律可知,在如图4所示的三个回 路中存在的电压关系分别为:在交流电源与 原线圈构成的回路中有U=I1R1+U1,在副 线圈与负载构成的回路中有U2=I2R2,在交 流电源与等效负载R'构成的回路中有U= I1(R1+R')。 二、理想变压器动态变化问题分类剖析 理想变压器动态变化问题可以分为两 类,一类是变压器原副线圈的匝数比不变,而 引起变压器动态变化的因素是原线圈回路或 副线圈负载中连接有可变化电阻;另一类是 变压器原副线圈的匝数比可以调节,导致变 压器发生动态变化。不论是哪类问题都能以 交流电源的电压有效值恒定作为条件,先将 变压器交流动态电路转化为“直流动态电 路”,即化“变”为“恒”;再从引起变压器动态 变化的因素入手,厘清电压、电流、功率的三 个因果制约关系,综合运用闭合电路欧姆定 律,列出合适的回路中的电压关系式,从而达 到“动”中求“变” 的目的。 1.变压器原副线圈的匝数比不变。 例 1 (多选) 如图5所示,理想变压 器原副线圈的匝数比为 n1 n2 ,输入端CD 接入 电压有效值U 恒定的交流电源,灯泡L1、L2 的阻值始终与定值电阻R0 的阻值相同。在 滑动变阻器R 的滑片P 从a 端滑到b 端的 过程中,两个灯泡始终发光且工作在额定电 压以内,下列说法正确的是( )。 A.原线圈中的电流不变 B.灯泡L1 先变暗后变亮 C.原线圈的输入功率一直在变大 D.灯泡L2 一直变亮 图5 图6 解析:因为交流电源电压的有效值U 恒 定,变压器原副线圈的匝数比n1 n2 也不变,所以 原副线圈两端电压的有效值U1、U2 均不变。 将图5中变压器副线圈中的负载等效为如图 6所示,当滑片P 从a端滑到b端的过程中, 副线圈中负载的总电阻R总 先变大后变小, 副线圈中的电流I2= U2 R总 先变小后变大,灯泡 L1 消耗的功率PL1=I22R0 先变小后变大,灯 泡L1 先变暗后变亮,选项B正确。根据 I1 I2 = n2 n1 可知,原线圈中的电流I1 与副线圈中的电 流I2 变化一致, 原线圈的输入功率 P1= U1I1 先变小后变大,选项A、C错误。在图6 中,因为灯泡L1、L2 的阻值始终与定值电阻 R0 的阻值相同,所以U3=U2-I2R0。当I2 变小时,U3 变大,灯泡L2 中的电流变大,即 灯泡L2 变亮;当I2 变大时, U3 变小, 定值 电阻R0 中的电流I0= U3 R0+RaP 变小,灯泡L2 中的电流IL2=I2-I0 继续增大,即灯泡L2 一直变亮,选项D正确。 答案:BD 点评:判断副线圈中负载电阻的变化情 况是解决本题的突破口,把变压器副线圈和 负载电阻构成的回路等效为副线圈电压有效 值U2 恒定的直流电路,结合欧姆定律正确判 断I2、U3 及IL2 的变化情况,是解决本题的关 键。由此可见,直流动态电路的分析方法是 62 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年3月 处理理想变压器动态变化问题的基础。 2.变压器原副线圈的匝数比变化。 例 2 (多选) 如图7所示,理想变压 器原、副线圈的总匝数相同,滑动触头P1 的 图7 初始位置在副线圈正中 央,原线圈的输入端接电 压有效值恒定的交变电 源。定值电阻R1 的阻值 为R,滑动变阻器R2 的最 大阻值为9R,滑片 P2 的 初始位置在变阻器的最右端。理想电压表V 的示数用U 表示,理想电流表A的示数用I 表示。下列说法正确的是( )。 A.保持滑动触头P1 的位置不变,将滑片 P2 向左缓慢滑动的过程中,I变小,U 不变 B.保持滑动触头 P1 的位置不变,将滑 片P2 向左缓慢滑动的过程中,R1 消耗的功 率变大 C.保持滑片P2 的位置不变,将滑动触头 P1 向下缓慢滑动的过程中,I变小,U 变大 D.保持滑片 P2 的位置不变,将滑动触 头P1 向下缓慢滑动的过程中,R1 消耗的功 率先变大后变小 解析:保持滑动触头P1 的位置不变,原 副线圈的匝数比 n1 n2 =2保持不变,设交流电 源电压的有效值为U0,原副线圈中的电流和 两端电压的有效值分别为I1、U1 和I2、U2, 对原副线圈所在回路分别运用闭合电路欧姆 定律得U0=I1R2+U1,U2=I2R1,又有R1= R, U1 U2 = n1 n2 ,I1 I2 = n2 n1 ,整理得I1= U0 R2+4R 。将 滑片P2 向左缓慢滑动的过程中,R2 变小,I1 变大,即电流表 A的示数I 变大,电压表 V 的示数U=U0-U1=U0-4I1R 变小,选项 A错误;因为I1 变大,原副线圈的匝数比不 变,I2 也变大,所以R1 消耗的功率变大,选 项B正确。 保持滑片 P2 的位置不变,将滑动触头 P1 向下缓慢滑动的过程中,原副线圈的匝数 比n= n1 n2 变大,将图7中变压器与负载等效 图8 为如图8所示,则交流电 源电压有效值U0 和变压器 等效电路中各部分之间电 压有效值的关系为 U0= 9I1R+n2I1R。当n 变大 时,I1 变小,电流表A的示数I变小,电压表 V的示数U=9I1R 也变小,选项C错误。将 如图8所示等效电路中的U0 等效为电源电 动势,R2 等效为电源内阻,R1'等效为外电路 电阻。当R1'=R2 时,变压器的输出功率最 大,即当n2R=9R,n=3时,R1 消耗的功率 最大,且最大功率Pmax= U20 36R 。因此,当n 变 大时,R1 消耗的功率先变大后变小,选项D 正确。 答案:BD 点评:本题综合了两类理想变压器的动 态变化问题。选项 A、B属于变压器原副线 圈的匝数比不变,原线圈回路串联了可变化 电阻的动态电路问题;选项C、D属于变压器 原副线圈的匝数比变化,原线圈回路串联了 定值电阻的动态电路问题。不论哪类变化问 题,关键是明确变化的因素(外部电阻或内部 变压器原副线圈的匝数比)和不变的条件(电 源电压的有效值),恰当运用原副线圈所在回 路或变压器等效回路存在的电压关系,借助 理想变压器原副线圈中的电流或两端电压与 匝数比的制约关系,找到变压器原副线圈所 在回路中的电流、各部分电压及消耗的功率 随变化因素的变化情况。 综上所述,理想变压器动态变化问题的 研究方法———化“变”为“恒”,“动”中求“变”, 是指将理想变压器的交流动态电路转化为交 流电源电压有效值恒定的“直流动态电路”, 运用解决直流动态电路的基本方法,结合理 想变压器的工作原理,找到解决问题的途径。 因此,在高三物理二轮复习阶段,同学们应当 按必备知识和关键能力的迁移程度重新整合 复习内容,从大单元复习的视角把直流动态 电路与交流动态电路的研究方法融会贯通, 从而达到事半功倍的复习效果。 (责任编辑 张 巧) 72 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2025年3月