02 深度理解物理模型落实学科核心素养-《中学生数理化》高考理化2025年3月刊

■安徽省芜湖市第一中学 杜 杰 学习高中物理需要借助物理模型,理解 物理规律,掌握物理方法,落实物理学科核心 素养。下面将以一道往返运动类习题为例, 对这类匀变速运动问题进行梳理,以帮助同 学们深度理解这个运动模型的特点,熟练掌 握这个运动模型的物理规律,并拓展到这个 运动模型在力学、能量等方面的应用。 一、习题展示 一个质点由静止开始以加速度a1 做匀 加速直线运动,经过一段时间,其速度大小变 为v1,此时加速度突然反向,且大小变为a2, 若经过相同时间该质点恰好回到出发点,速度 大小变为v2,则下列关系式正确的是( )。 A. a1 a2 =1 B. a1 a2 = 1 3 C. v1 v2 =1 D. v1 v2 = 1 2 答案:BD 说明:这是一道典型的往返类运动学问 题。它的典型不仅体现在运动情境的复杂程 度上,还体现在求解过程中选择运动学公式 的灵活上,更体现在这个运动模型涉及的力 学、能量、动量等知识融合方面。 二、模型分析 这是一个初速度为零的等时往返到初位 置的运动模型。该模型分为两个运动过程, 其一是初速度为零,加速度为a1 的匀加速直 线运动过程,其二是加速度与a1 反向,大小 为a2 的匀变速运动过程。在第二个运动过 程中,加速度突然反向,质点的速度并不是立 刻反向,而是先沿原方向匀减速到零,再反向 图1 做加速度大小为a2 的匀 加速运动到 返 回 至 出 发 点。质点的运动情境如图 1所示。 三、问题梳理 1.位移关系:因为质点返回到了出发点, 所以在这两段相等的时间内,质点的位移大 小相等,方向相反,即x2=-x1。 2.速度关系:根据运动学公式得x1= 0+v1 2 t ,x2= v1-v2 2 t ,解得v2=2v1,即第二 个运动过程的末速度的大小是第一个运动过 程末速度大小的2倍。 3.加速度关系:根据运动学公式得v1= a1t,-v2=v1-a2t,又有v2=2v1,解得a2= 3a1,即第二个运动过程的加速度的大小是第 一个运动过程加速度大小的3倍。 4.时间关系:在第二个运动过程中,设质 点的速度从v1 减小到零所用的时间为t1,反 向由速度为零匀加速到返回至出发点所用的 时间为t2,根据匀变速直线运动的速度公式 得0=v1-a2t1,v2=a2t2,又有v2=2v1,解 得t2=2t1。 四、拓展应用 1.该运动模型在力学问题中的应用:根 据牛顿第二定律F=ma,加速度关系a2= 3a1,可得F1=ma1,F2=ma2,F2=3F1,即质 点在第二个运动过程中受到的合外力的大小 是在第一个运动过程中受到合外力大小的 3倍。 例 1 (多选)如图2所示,光滑绝缘水 平桌面处在电场强度大小为E、方向水平向 图2 右的匀强电场中,某时刻 将质量为 m、带电荷量为 -q的小金属块从A 点由 静止释放,小金属块经过 时间t到达B 点,此时电场突然反向,电场强 度增强为某恒定值E',且仍为匀强电场,又 经过时间t小金属块回到A 点,整个过程中 静电力所做的功为W。若小金属块的电荷量 在运动过程中保持不变,则下列关系式正确 的是( )。 21 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2025年3月 A.E'=2E B.E'=3E C.W=q 2E2t2 m D.W= 2q2E2t2 m 解析:小金属块在静电力的作用下,先向 左做匀加速直线运动,再在突变后的静电力 作用下经过相同时间回到出发点。把原题运 动模型的加速度关系拓展为合外力的关系, 便于本题的分析与求解。 根据牛顿第二定律F=ma,可得qE= ma1,qE'=ma2,又有加速度关系a2=3a1, 可得E'=3E,选项 A错误,B正确。小金属 块第一个运动过程的末速度v1=a1t= qEt m , 根据速度关系得小金属块第二个运动过程的 末速度v2=2v1= 2qEt m 。对小金属块的整个 运动过程应用动能定理得W= 1 2mv 2 2-0,解 得W= 2q2E2t2 m ,选项C错误,D正确。 答案:BD 点评:本题是原题的运动模型在电场中 的应用,熟悉原题的运动模型的速度关系和 加速度关系,并把加速度关系拓展为合外力 的关系,便能快速理解题意,并顺利求出电场 强度和静电力做的功。 2.该运动模型在能量问题中的应用:根 据功的定义 W=Fx,合外力关系F2=3F1, 可得W2=3W1,根据平均功率的定义 P= W t ,可得P2=3P1,即质点在第二个运动过程 中合外力做的功是在第一个运动过程中合外 力做功的3倍,质点在第二个运动过程中合 外力做功的平均功率是在第一个运动过程中 合外力做功平均功率的3倍。 图3 例 2 (多选)如图3 所示,一个质量为m 的物体 在沿斜面向上的恒力F 作 用下,从倾角为θ的光滑斜 面的底端由静止开始沿斜 面向上做匀加速运动,经过时间t,力F 做功 为60 J。此后撤去恒力F,物体又经时间t 回到出发点。若以地面为零势能面,重力加 速度为g,则下列说法正确的是( )。 A.物体回到出发点时的动能为60 J B.物体所受恒力F=2mgsin θ C.撤去力F 时,物体的动能为45 J D.撤去力F 后,重力做功为45 J 解析:这是一道常见的物体在斜面上运 动的习题,在恒定外力F 作用下,物体由静 止开始先沿斜面向上做匀加速运动,撤去力 F 后,物体继续沿斜面向上做匀减速运动,到 达最高点后反向做匀加速运动至返回到出发 点。把原题运动模型的速度关系拓展为动能 关系,把加速度关系拓展为合外力做功的关 系,便于本题的分析与求解。 对物体沿斜面的整个运动过程应用动能 定理得WF=Ek-0,其中 WF=60 J,所以物 体回到出发点时的动能为60 J,选项A正确。 根据速度关系可知,撤去力F 时的速度是返 回到出发点时速度的 1 2 ,因此撤去力F 时的 动能是返回到出发点时动能的 1 4 ,即等于 15 J,选项C错误。第一段时间t内,物体的 加速度a1= F-mgsin θ m ,第二段时间t内, 物体的加速度a2=gsin θ,又有加速度关系 a2=3a1,解得F= 4 3mgsin θ,选项B错误。 整个过程中合外力做功为60 J,根据合外力 做功的关系W2=3W1 可知,撤去力F 后,重 力做功为45 J,选项D正确。 答案:AD 点评:本题是原题的运动模型在功能转 化中的应用,把速度关系拓展为动能关系,把 加速度关系拓展为合外力的关系,把合外力 的关系拓展为合外力做功的关系,这样就能 很容易地厘清各物理量之间的关系,便于利 用能量的观点进行分析与求解。 五、跟踪训练 1.应用原题运动模型的加速度关系求解 电容器问题。 例 3 原有一油滴静止在极板水平放 置的平行板电容器中,给电容器再充一些电 荷ΔQ,油滴开始向上运动,经过时间t后,电 31 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2025年3月 容器突然放电失去一部分电荷ΔQ',又经过 时间t,油滴回到原来位置。假设油滴的电 荷量在运动过程中保持不变,则ΔQ'∶ΔQ 为( )。 A.2∶1 B.3∶1 C.4∶1 D.5∶1 解析:平行板电容器充电后板间为匀强 电场,设两极板间距为d,电容为C,当再充 电荷ΔQ 时,板间场强的增大量ΔE= ΔQ Cd ,油 滴向上做匀加速运动,加速度a1= qΔE m = qΔQ Cdm 。同理,当电容器放电失去电荷量ΔQ' 时,比初始状态共失去电荷量(ΔQ'-ΔQ), 板间场强的减小量ΔE'= ΔQ'-ΔQ cd ,油滴的 加速度a2= qΔE' m = q(ΔQ'-ΔQ) Cdm 。根据加 速度关系a2=3a1,解得 ΔQ' ΔQ= 4 1 。 答案:C 点评:求 解 本 题 时,如 果 进 行 详 细 的 推 导,那么将费时费力,且不易得出结果。而利 用原题运动模型的加速度关系,找出油滴的 加速度和电容器极板所带电荷量变化之间的 关系,就很容易找到问题的突破口。 2.应用原题运动模型的速度关系和加速 度关系求解复杂曲线运动问题。 例 4 如图4所示,水平放置的平行板 电容器,其正对的两极板 A、B 的板长均为 L,在距A、B 两极板右边缘L 处有一竖直放 置的足够大荧光屏,平行板电容器的水平中 轴线OO1 垂直于荧光屏交荧光屏于O2 点。 电容器的内部可视为匀强电场,场强为E,其 外部电场不计。现有一质量为 m、带电荷量 为q的小球从O 点沿轴线OO1 射入电场,最 后恰好打在荧光屏上的O2 点。已知小球运 动过程中没有碰撞A 板或B 板,重力加速度 为g,则下列说法正确的是( )。 A.小球一定带负电 B.小球一定垂直打在荧光屏上的O2 点 C.小球在电容器中运动时受到的静电力 为 4 3mg D.小球在电容器中运动时受到的静电 力为2mg 图4 解析:小球在电容器外受到重力的作用, 将向下偏转,在电容器内运动时受到的静电 力方向应向上且大于重力,向上偏转,这样小 球最后才可能恰好打在荧光屏上的O2 点,因 此小球应该带正电,选项A错误。小球在整 个运动过程中,沿水平方向做匀速运动,在电 容器内的电场中与在电容器外的重力场中运 动的时间相等;沿竖直方向先向上做匀加速 运动,再做匀减速运动经相同时间返回到原 高度。显然,小球在竖直方向上的分运动符 合原题运动模型,根据加速度关系a2=3a1 可知,小球所受静电力与重力的大小关系满 足关系式g=3 qE-mg m ,因此qE= 4 3mg , 选项C正确,D错误。根据速度关系v2=2v1 可知,小球打到O2 点时有竖直分速度,因此 小球不可能垂直打在荧光屏上的O2 点,选项 B错误。 答案:C 点评:本题中小球在电容器两极板间的 匀强电场中和电容器外的重力场中做复杂的 曲线运动,这一复杂的曲线运动可以分解为 水平方向的匀速运动和竖直方向的等时往返 运动,其中竖直方向的分运动正是原题的运 动模型。可见,熟悉原题的运动模型,就很容 易洞悉本题中小球的运动规律。 总结:以一个典型的往返类运动问题为 例,梳理运动模型的特点,拓展其在其他知识 体系中的应用,不仅可以促使同学们建立起 不同知识点之间的联系,完善知识结构,还可 以培养同学们的发散思维,提升同学们的物 理学科核心素养。 (责任编辑 张 巧) 41 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2025年3月