精品解析：河北省沧州市泊头市第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

2024-2025学年高一下学期月考数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知复数，则复平面内满足的点的集合围成的图形面积为，则实数（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及圆的面积公式，即可求解． 【详解】因为复平面内满足的点的集合围成的图形是以圆心，为半径的圆，且面积为， 所以，即或（舍）， 故选：B． 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 3. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】首先根据条件求，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】由题意可知：，因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 4. 已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算. 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球体积与圆锥的体积之比为. 故选：C 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列选项的三角形有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理结合三角函数的图象与性质一一计算即可判定. 【详解】对A：根据三角形全等的判定方法，满足条件的三角形只有一解，故A不符合题意； 对B：因为，所以，又为钝角，所以C不存在，所以满足条件的三角形不存在，故B不符合题意； 对C：因为，即.所以满足条件的三角形有2解，故C满足题意； 对D：，所以，所以满足条件的三角形只有1解，故D不符合题意. 故选：C 6. 如图，在中，.若N为AB中点，与交于点P，且，的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别由共线，共线列出方程，然后由条件列出式子，代入计算，即可求得结果. 【详解】因为共线，所以存在实数，使得， 又，， 则，即， 且N为AB中点，则， 又共线，则存在实数，使得， 即， 所以， 联立方程，解得，则， 所以. 故选：D 7. 在矩形中，，，为的中点，将和分别沿，折起，使点与点重合，记为点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断两两互相垂直，再补体成为长方体，利用长方体和四棱锥是同一个外接球，即可求半径，求球的表面积. 【详解】依题意，，，，平面， 则平面， ，，即有，则， 由此可将三棱锥补成以为相邻三条棱的长方体， 若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则该长方体的各顶点亦在球的球面上， 设球的半径为，则该长方体的体对角线长为， 所以球的表面积. 故选：B 8. 有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，且，，，均与球相切，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，，， ，，由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体，根据题意，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，所以三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥，分别是以三棱锥的四个面为底面，且棱长均为2的正四面体，又，，，均与球相切，所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心，作出三棱锥和三棱锥的图，求解即可. 【详解】根据题意，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球， 连接，，，， ，， 由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体， 连接，，，，，，，，，，，， 根据题意，，，，两两相切，，，，两两相切， ，，，两两相切，，，，两两相切， 所以三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥， 分别是以三棱锥的四个面为底面，且棱长均为2的正四面体， 又，，，均与球相切， 所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心， 作出正四面体和的示意图如图所示， 连接，则球的半径为 . 如图，设正四面体的底面的中心为点，连接， 则，正四面体的高， 由图知，到平面的距离即三棱锥内切球的半径， 则，即，得， 故， 则球的半径为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的概念及运算可得. 【详解】对于A，设，当时，， 得，得，即，故A正确； 对于B，令，可知，故B错误； 对于C，令， 可知，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 10. 设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（ ） A. 若，则且 B. 若，则n平行于平面α内的无数条直线 C. 若且，则 D. 若n在平面外，则m与n平行或异面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，则且或或，故A错误； 对于B，若，，因为，过直线可以有无数个平面与相交， 则交线与直线平行，故B正确； 对C，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线， 则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若n在平面外，则或与相交， 当则时，或异面， 当与相交时，相交或异面，故D错误； 故选：BC 11. 已知内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则定为等腰三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用诱导公式以及正弦函数的性质即可求解判断A；利用余弦定理推理判断B；利用向量线性运算判断C；利用三角形心的向量表示判断D. 【详解】对于A,由，,可得或者，故或者,故为等腰三角形或者直角三角形，故A错误， 对于B，由可得,,故为锐角，但无法确定，所以无法确定三角形为锐角三角形，故B错误， 对于C , 由，得，即， 则，的面积是面积的，C错误； 对于D，由，得是的重心，由， 得是的外心，即的重心、外心重合，则为等边三角形，D正确； 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下列命题中：①有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；②有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.其中的真命题有________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于①，如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故①错误； 对于②，棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故②正确； 对于③，平行六面体指的是底面是平行四边形的棱柱，因此平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故③正确； 对于④，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故④错误. 故答案为：②③. 13. 已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据与 的夹角为锐角，由，且与 不共线解不等式求解. 【详解】因为， 所以， 因为与 的夹角为锐角， 所以，且与 不共线， 所以，且， 解得且. 故答案为：且. 14. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求得角B，进而利用正弦定理把表示为角的函数，再利用三角函数的性质求解作答. 【详解】在中，由及正弦定理得：， ， 整理得，而，，于是， 所以. 在中，，，由正弦定理，得，同理， 因此 由锐角，得，解得，则，， 于是在上单调递增，则 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 知复数，复数在复平面内对应的点为 （1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. 【小问2详解】 ， . 16. 如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台. （1）求三棱台的体积； （2）若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 【答案】（1）； （2）最小值为，且取最小值时. 【解析】 【分析】（1）作点在平面内的射影，连接，根据题意可知，是等边三角形的中心，从而求出，利用勾股定理得到，求得结果； （2）将平面与展开到同一平面，可知，在中，利用余弦定理求得，利用求得，在中，由余弦定理得到，即可得出结论. 【小问1详解】 作点在平面内的射影，连接. 根据题意可知，是等边三角形的中心，则， ，即四面体的高为. 所以， 所以. 【小问2详解】 如图所示，将平面与展开到同一平面，可知. 在中，， 由余弦定理得，即. 因为，所以 所以， 在中，设， 由余弦定理得，即， 解得或，结合图可知. 综上，的最小值为，且取最小值时. 17. 已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可. 【小问1详解】 连接AC交BD于点，连接， 在直四棱柱中，， 所以四边形为平行四边形，即，， 又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC中点， 点为的中点，即点为的中点，所以，， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，，所以平面； 【小问2详解】 在直棱柱中平面，平面， 所以， 又因为上底面为菱形，所以， 因为平面， 所以平面， 因为在中，， 且点为BD的中点，所以，即， 所以． 18. 为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建.已知原公园是直径为200 m的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200 m，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B的连线为一条边向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园如图中四边形OACB所示. （1）若，则C与出入口O之间的距离为多少米？ （2）的大小为多少时，公园OACB的面积最大？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）当时，设，在中可表示，进而可表示，则在中利用余弦定理即可得结果； （2）设，利用余弦定理得到以三角形的面积公式得到关于的面积表达式，结合三角函数求最值. 【详解】（1）设，由题可知.由，，， 得，，，. 在中，. ，则. 故C与出入口O之间的距离为. （2）设，则， ，， ， ∴当，即时，公园OACB面积最大为. 【点睛】该题考查了余弦定理以及三角形的面积公式结合的面积最值求法，关键是建立关系式，借助于三角函数的有界性求最值，属于中档题目. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.） ①；②. （1）求A； （2）若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值； （3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解；选②，利用正弦定理化边为角，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，再结合基本不等式即可得解； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积得几何意义即可得解. 【小问1详解】 若选①， 在中，由及正弦定理， 得， 而，则， 显然，因此，， 则，得，解得， 又，所以； 若选②， 由已知条件及正弦定理，得， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 由得，， 又， ∴， ∴（当且仅当时取等）， 即的最大值为； 【小问3详解】 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期月考数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知复数，则复平面内满足的点的集合围成的图形面积为，则实数（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A 1 B. C. D. 3 3. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列选项的三角形有两解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，.若N为AB中点，与交于点P，且，的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 在矩形中，，，为的中点，将和分别沿，折起，使点与点重合，记为点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，且，，，均与球相切，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（ ） A. 若，则且 B. 若，则n平行于平面α内的无数条直线 C. 若且，则 D. 若n在平面外，则m与n平行或异面 11. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则定为等腰三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若平面内有一点满足：，且，则等边三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 下列命题中：①有两个面平行，其他各个面都是平行四边形多面体是棱柱；②有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.其中的真命题有________. 13. 已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________. 14. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 知复数，复数在复平面内对应的点为 （1）若复数是关于方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数. 16. 如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台. （1）求三棱台的体积； （2）若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 17. 已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建.已知原公园是直径为200 m的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200 m，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B的连线为一条边向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园如图中四边形OACB所示. （1）若，则C与出入口O之间的距离为多少米？ （2）的大小为多少时，公园OACB的面积最大？ 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.） ①；②. （1）求A； （2）若面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值； （3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$