13 评析解析几何中的探索性问题-《中学生数理化》高考数学2025年3月刊

■四川省泸州市龙马高中 向体仁 解析几何中的探索性问题具有一定的开 放性、发散性,是根据数学学科特点创设而成, 其特征是条件不完备或结论不确定。在命题 用语上,常以“是否存在”“是否可能”“试探求” 等形式出现。它要求解答者经历一个发现问 题、研究问题、解决问题的过程。近年来,高考 试卷中多次出现探索性试题,同学们需要具备 扎实的基础和敏锐的思维才能将其攻克。下 面就一些常见的探索性问题进行剖析。 题型一、探索性问题之使特定关系式为定值 在解析几何中,特定关系式为定值的探 索性问题是常见考点,通常在曲线(如椭圆、 双曲线、抛物线等)与直线特定的位置关系 下,研究直线斜率、线段长度等相关元素,探 索是否存在满足特定关系式为定值的情况。 例 1 已知椭圆 E:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的一个焦点到直线l:x-3y=0的距 离为 10 5 ,离心率为25 5 ,抛物线 G:y2= 2px(p>0)的焦点与椭圆E 的焦点重合,斜 率为k 的直线m 过抛物线G 的焦点与椭圆 E 交于点A,B,与抛物线G 交于点C,D。 (1)求椭圆E 及抛物线G 的方程。 (2)是否存在常数λ,使得 1 |AB|+ λ |CD| 为常数? 若存在,求出λ 的值;若不存在,请 说明理由。 解析:(1)设椭圆E 与抛物线G 的焦点 为F(c,0),所以dF-l= |c| 10 = 10 5 ⇒c=2 , 所以e= c a= 25 5 ⇒a=5 ,则b2=a2-c2=1。 所以椭圆E: x2 5+y 2=1; 抛物线G:y2=8x。 (2)设直线m:y=k(x-2),A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。 联立 y=k(x-2), x2+5y2=5, 消去y 得(5k2+1)· x2-20k2x+20k2-5=0,所以 x1+x2= 20k2 1+5k2 ,x1x2= 20k2-5 1+5k2 。 所以|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2= 25(k2+1) 1+5k2 。 联立 y=k(x-2), y2=8x, 消 去 y 得k2x2- (4k2+8)x+4k2=0,所以x3+x4= 4k2+8 k2 。 因为CD 是焦点弦,所以|CD|=x3+ x4+4= 8(k2+1) k2 。 所以 1 |AB|+ λ |CD|= 1+5k2 25(k2+1) + λk2 8(k2+1) = 4+(20+ 5λ)k2 85(k2+1) 。 若 1 |AB|+ λ |CD| 为常数,则20+ 5λ= 4,解得λ=- 165 5 。 故存在λ=- 165 5 ,使得 1 |AB|+ λ |CD| 为常数。 点评:发展数学运算素养是解决解析几 何综合性问题的有力保障,本题只需要联立 直线方程和曲线方程,通过韦达定理可以将 1 |AB|+ λ |CD| 表示出来,要使之为定值,即一 个与所设参数无关的固定值,那就说明存在 满足特定关系式为定值的情况,反之,则不存 在这样的情况。解决这类问题的关键是合理 设参、巧用韦达定理和准确化简推导。 题型二、探索性问题之存在曲线使之与 直线满足特定关系 在圆锥曲线的解答题中,有一类探索性 问题,直接求解目标较为困难,此时不妨先用 一两种特殊情况将问题的答案求出来,再论 证该结果对一般的情形也成立。因此,由特殊 04 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年3月 到一般是一种重要的探索问题的思想方法。 例 2 已知双曲线E:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2: y=-2x。 (1)求双曲线E 的离心率。 (2)已知动直线l分别交直线l1、l2 于A、 B 两点(A、B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为8。试探究:是否总存在与直线l 只有一个交点的双曲线E? 若存在,求出双曲 线E 的方程;若不存在,请说明理由。 解析:(1)由题意知 b a=2 ,则b=2a,所 以b2=c2-a2=4a2,所以c2=5a2,故离心率 e= c a= 5 。 (2)由(1)知b=2a,双曲线E 的方程可 化为 x2 a2 -y 2 4a2 =1。 当直线l⊥x 轴时,设其方程为 x=t (t>0),代入y=±2x,可得y=±2t,所以 S△OAB= 1 2×4t×t=2t 2=8,解得t=2或-2 (舍去),显然此时与直线l只有一个交点的 双曲线为 x2 4- y2 16=1 ,故满足条件的双曲线E 存在,且其方程为x 2 4- y2 16=1 。 当直线l不垂直于x 轴时,可设直线l 的方程为y=kx+m。 因为直线l 与两条渐近线分别交于第 一、四象限,所以k>2或k<-2,直线l与x 轴的交点为 - m k ,0 。 设A(x1,y1),B(x2,y2)。 联立 y=kx+m, y=2x, 解得y= 2m2-k,所以 y1= 2m 2-k 。 联立 y=kx+m, y=-2x, 解得y= 2m2+k,所以 y2= 2m 2+k 。 故S△AOB= 1 2 - m k · 2m 2-k- 2m 2+k = 8,整理得m2=4(k2-4)。 ① 联立 y=kx+m, x2 4- y2 16=1 , 消去 y 整理得(4- k2)x2-2kmx-m2-16=0,则Δ=-16(4k2 -16-m2),将①式代入得Δ=0,即直线l与 双曲线E: x2 4- y2 16=1 只有一个交点。 综上可得,总存在与直线l只有一个交 点的双曲线E: x2 4- y2 16=1 。 点评:本题考查双曲线的方程与性质、直 线与圆锥曲线的位置关系,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查特殊与一般、分类讨 论、函数与方程等思想方法。 题型三、探索性问题之曲线过定点 在解析几何中,曲线过定点的探索性问题 就是要判断是否存在某个定点,使得满足条件 的曲线恒过该点。通常涉及各种曲线,如直 线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等,条件可能与直 线斜率、曲线参数方程、交点情况等相关。 例 3 已知椭圆 E:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率 e= 1 2 ,过F1 的直线交椭圆E 于A、B 两点, 且△ABF2 的周长为8。 (1)求椭圆E 的方程。 (2)设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有 且只有一个交点P,且与直线x=4相交于点 Q。试探究:在坐标平面内是否存在定点 M, 使得以PQ 为直径的圆恒过点M? 若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 解析:(1)由椭圆定义及题意知,|AB|+ |AF2|+|BF2|=4a=8,所以a=2。 又因为离心率e= c a= a2-b2 a = 1 2 , 所以b= 3,故椭圆E 的方程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)联立 y=kx+m, 3x2+4y2=12, 消去y 整理得 (4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0。 由Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12) 14 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年3月 =0,得m2=4k2+3,显然m≠0。 设P(x0,y0),则x0=- 4km 4k2+3 =- 4k m , y0=kx0+m=- 4k2 m +m= m2-4k2 m = 3 m ,所 以P - 4k m ,3 m 。 联立 x=4, y=kx+m, 得Q(4,4k+m)。 假设平面内存在定点 M 满足题意,由图 形的对称性知点 M 必在x 轴上。 取k=0,m= 3,则以 PQ 为直径的圆 的方程为(x-2)2+(y- 3)2=4,与x 轴的 交点为M1(1,0),M2(3,0)。 取k=- 1 2 ,m=2,则以PQ 为直径的圆 的方程为 x- 5 2 2 + y- 3 4 2 = 45 16 ,与x 轴 的交点为M1(1,0),M3(4,0)。 故若符合条件的点 M 存在,则其坐标必 为(1,0),下面证明 M(1,0)即为所求。 只需证 MP→·MQ→=0对任意k 和m 恒 成立。因为 MP→= -4km-1, 3 m ,MQ→=(3, 4k+m),所 以 MP→·MQ→= -4km-1 × 3+ 3 m (4k+m)=- 12k m -3+ 12k m +3=0 。 综上所述,存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点M。 点评:本 题 考 查 椭 圆 的 方 程、定 义 和 性 质,圆的性质,直线与椭圆的位置关系,考查 转化思想及运算能力。第(1)问运用椭圆的 定义和离心率公式,得到a,b,c的关系,进而 得到椭圆的方程。第(2)问联立直线与椭圆 方程,根据条件利用判别式得到 m2=4k2+ 3,分别表示出点P,Q 的坐标,假设存在满足 题意的点 M,根据图形的对称性知点 M 必在 x 轴上,再根据直径所对圆周角等于 π 2 ,即 MP→·MQ→=0对任意k 和m 恒成立即可得 解。存在定点问题的解法之一:先假设存在, 引入参变量建立方程,再根据其性质,找到可 能解,最后验证其合理性。 题型四、探索性问题之存在点使等式恒 成立或角度相等 在解析几何中,探索等式恒成立问题时, 通常会给出一些曲线(如椭圆、双曲线、抛物 线等)及相关的条件,比如直线与曲线相交、 点在曲线上等,然后要求判断是否存在某些 元素(如点、直线等)使得某个等式恒成立。 例 4 已知椭圆 E:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的离心率是 2 2 ,过点P(0,1)的动直线l 与椭圆E 交于A、B 两点。当直线l平行于x 轴时,直线l被椭圆E 截得的线段长为22。 (1)求椭圆E 的方程。 (2)在平面直角坐标系中,是否存在与点P 不同的定点Q,使得 |QA| |QB|= |PA| |PB| 恒成立? 若 存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 解析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题 意知,e= a2-b2 a = 2 2 ,故a2=2b2。 ① 由 y=1, x2 a2 +y 2 b2 =1, 解得 x=±a b2-1b , 所以|x2-x1|= 2a b2-1 b =22 。 ② 联立①②可得a2=4,b2=2,故椭圆E 的方程为 x2 4+ y2 2=1 。 (2)当直线l平行于x 轴时, |PA| |PB|=1 , 故若符合题意的点Q 存在,则 |QA| |QB|=1 ,所 以点Q 只能在y 轴上,设Q(0,m)。 当直线l⊥x 轴时,不妨设 A(0,2), B(0,- 2),由 |PA| |PB|= |QA| |QB| ,得 2-1 2+1 = |m- 2| |m+ 2| ,解得m=2或1(舍去),故若符合 题意的点Q 存在,只能为(0,2)。 下面证明:当点 Q 的坐标为(0,2)时, |PA| |PB|= |QA| |QB| 恒成立。 (下转第48页) 24 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年3月 0,则x0= 39 6 · r2-b2,b<r< 13b。 因为动圆C2:x2+y2=r2 在P(x0,y0) 处的切线l的方程为x0x+y0y=r2,又切线 l过焦点F(c,0),所以x0c-r2=0。 所以f(x0,c)=x0c-r2,其中x0= 39 6 · r2-b2,b<r< 13b。 (3)当b=1时,椭圆C1: x2 13+y 2=1,1< r< 13。 设A(x1,y1),B(x2,y2),则椭圆C1 在 点A 处的切线为 1 13x1x+y1y=1 ,动圆C2 在点B 处的切线为x2x+y2y=r2。 由直线AB 与椭圆C1,动圆C2 均相切, 得 x2 1 13x1 = y2 y1 = r2 1 ,即x2= r2 13x1 ,y2=r2y1。 联立 x22+y22=r2, 1 13x 2 1+y21=1, 得 r4 169x 2 1+r4y21=r2, 1 13x 2 1+y21=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得x21= 169 12 1- 1 r2 ,y21=11213r2-1 。 故|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= 13-r2 13 2 x21+(r2-1)2y21= 13-r2 13 2 · 169 12 1- 1 r2 +(r2-1)2·11213r2-1 =14- r2+ 13 r2 ≤14-2 r2·13r2 =14-2 13,当 且仅当r2= 13 r2 ,即r= 413时取等号,所以 |AB|2 的最大值为14-2 13,所以|AB|的 最大值为 14-2 13= 13-1。 (责任编辑 王福华) 􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨 (上接第42页) 当直线l不与坐标轴垂直时,可设直线l 的方程为y=kx+1(k≠0)。 所 以 要 证 |PA| |PB| = |QA| |QB| ,只 需 证 1+k2·|x1| 1+k2·|x2| = x21+(y1-2)2 x22+(y2-2)2 ,即证x22· x21+(kx1-1)2 =x21 x22+(kx2-1)2 ,故 只需证2kx1x2-(x1+x2)=0。 联立 y=kx+1, x2 4+ y2 2=1 , 消 去 y 整 理 得(1+ 2k2)x2+4kx-2=0,易得Δ>0恒成立,由 韦达 定 理 得 x1+x2= - 4k 1+2k2 ,x1x2= - 2 1+2k2 。 从 而 2kx1x2 - (x1 +x2)=2k · - 2 1+2k2 - - 4k1+2k2 =0,所以|PA||PB|= |QA| |QB| 恒成立。 综上可得,存在点Q(0,2),使得 |PA| |PB|= |QA| |QB| 恒成立。 点评:当题干描述的几何关系不容易直接 进行代数翻译时 如本题的 |PA| |PB|= |QA| |QB| ,可 以先用一些特殊情况来探路,获得问题的结 果,再证明该结果在一般情况下也成立,这种 由特殊到一般的思想,是解决探索性问题的 一种非常重要的思想方法。 探索性问题主要考查同学们探索解题途径, 解决非传统确定性问题的能力,是命题者根据数 学学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情 境创设而成,它要求同学们能观察、分析、创造性 地运用所学的知识和方法解决问题。 解析几何中 的探索性问题,主要有存在性问题、定点定值问题 等。解决问题的策略往往是承认结论、变结论为 条件,然后通过特例归纳,或由演绎推理证明其合 理性或不合理性。探索过程要充分挖掘已知条 件,注意条件的完备性,不要忽略任何可能的因 素。解答时,不仅需要熟练掌握圆锥曲线的概念 和性质,以及方程、不等式、判别式等知识,还要具 备较强的审题能力、逻辑思维能力、运算能力,以 及运用数形结合的思想方法分析问题、解决问题 的能力。 (责任编辑 王福华) 84 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2025年3月