12 聚焦解析几何中的证明问题-《中学生数理化》高考数学2025年3月刊

■江苏省天一中学 陶 辉 解析几何中的证明问题在近几年的新高 考中频繁出现,这类题目形式多样,主要涉及 等量关系、不等关系及位置关系的证明,通常 需要结合函数、方程、不等式、向量等数学工 具进行分析和求解。这类题目不仅考查相关 的数学知识,也能够有效地检验同学们的逻 辑推理、数学运算等核心素养。 题型一、证明等式或定值 证明解析几何中的等式或定值问题,要 先根据问题背景将相关几何对象(如点、直 线、圆锥曲线等)用坐标或方程准确表达出 来,然后利用已知条件和几何性质,通过代数 运算和逻辑推理,验证该等式或定值在给定 条件下是否恒成立。整个过程要求准确理解 几何对象的性质,并熟练运用代数方法进行 推导和证明。 例 1 (2024年江苏省盐城市联考)已 知椭圆Γ: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左焦点为 F1,上、下顶点分别为A、B,且∠AF1B= π 2 , 点 1, 2 2 在椭圆Γ 上。 (1)求椭圆Γ 的方程; 图1 (2)如图1,过左焦点 F1 的直线交椭圆Γ 于M, N 两点,交直线x=-2于 点P,设 PM→=λMF1→,PN→ =μNF1 →,证明:λ+μ 为定 值。 解析:(1)由题意可知,∠AF1B= π 2 ,所 以a= 2b。 因为点 1, 2 2 在Γ 上,所以 12b2+ 12b2= 1,解得b=1,所以a= 2。 所以椭圆Γ 的方程为 x2 2+y 2=1。 (2)由题意知,直线 MN 的斜率必存在, 设直线 MN 的方程为y=k(x+1),代入椭 圆方程,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2- 2=0,Δ=8k2+8>0。 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= - 4k2 1+2k2 ,x1x2= 2(k2-1) 1+2k2 。 又因为P(-2,-k),F1(-1,0),所以 PM→=(x1+2,y1+k),MF1→=(-1-x1, -y1),PN→=(x2+2,y2+k),NF1→=(-1- x2,-y2)。 由 PM→=λMF1→,PN→=μNF1→,得λ= - x1+2 x1+1 ,μ=- x2+2 x2+1 。 所 以 λ +μ = - x1+2 x1+1 - x2+2 x2+1 = - 2x1x2+3(x1+x2)+4 (x1+1)(x2+1) 。 因为 2x1x2+3(x1+x2)+4=2· 2(k2-1) 1+2k2 +3· - 4k2 1+2k2 +4=0,所以λ+ μ=0为定值。 点评:本题第(1)问,由∠AF1B= π 2 ,得 a= 2b,再把 点 1, 2 2 代 入 椭 圆 方 程 求 出 a,b。第(2)问,设出直线 MN 的方程,与椭 圆方程联立,然后根据PM→=λMF1→ 和PN→= μNF1 →,用x1,x2 表示出λ+μ,最后利用韦达 定理化简得定值。 题型二、证明不等关系 在解析几何中,证明不等关系时要根据 73 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年3月 题目条件和几何性质,利用距离公式、向量运 算、面积公式等知识,建立相关几何对象的代 数表达式。然后,通过代数变形和不等式的 性质,推导出所需的不等关系。在证明过程 中,需注意保持逻辑的严密性,确保每一步都 有充分的依据。 例 2 (2024年湖南省长沙市模拟)已 知F 为抛物线E:x2=4y 的焦点,过点(0,2) 的直线l与抛物线E 交于A,B 两点,抛物线 E 在A,B 两点处的切线交于点L。 (1)设P(x0,y0)是抛物线E 上一点,证 明: 抛物线E 在点P 处的切线方程为y= x0 2x-y0 ,并利用切线方程求点L 的纵坐标。 图2 (2)如图2,C 为抛物线E 上异于A,B 的点,过点C 作 抛物线E 的切线,分别与线段 AL,BL 交于点M,N。证明: |FA|+|FB|+|FC|>|FL| +|FM|+|FN|。 解析:(1)由题意,曲线y= x2 4 ,求导得y' = x 2 ,则y'|x=x0= x0 2 ,故点P(x0,y0)处的切 线方程为y= x0 2 (x-x0)+y0,即y= x0 2x- x20 2+y0 ,又x20=4y0,代入得y= x0 2x-y0 。 由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB:y=kx+2,A(xA,yA),B(xB,yB), L(xL,yL),联立 y=kx+2, x2=4y, 消去y 整理得 x2-4kx-8=0,所以xAxB=-8。 由切线方程可知,抛物线在点A,B 处的 切线分别为y= xA 2x-yA ,y= xB 2x-yB ,消 去y 得xL= xA+xB 2 ,消去x 得(xB-xA)y =xAyB-xByA。 故yL= xAyB-xByA xB-xA = xAx2B-xBx2A 4(xB-xA) = xAxB 4 =-2 。 (2)由抛物线的性质知,|FA|=yA+1= x2A+4 4 ,同理|FB|= x2B+4 4 ,|FC|= x2C+4 4 。 所 以 |FL | = x2L+(yL-1)2 = xA+xB 2 2 + xAxB 4 -1 2 = 1 4 · (x2A+4)(x2B+4),同 理|FM|= 1 4 · (x2A+4)(x2C+4),| FN | = 1 4 · (x2B+4)(x2C+4)。 由均值不等式可知,|FA|+|FB|= x2A+4 4 + x2B+4 4 ≥2 (x2A+4)(x2B+4) 16 = 1 2 (x2A+4)(x2B+4)=2|FL|,同理|FA|+ |FC|≥2|FM|,|FB|+|FC|≥2|FN|,但 取等条件x2A=x2B,x2B=x2C,x2A=x2C 不能同 时成立,因此|FA|+|FB|+|FC|>|FL| +|FM|+|FN|。 点评:本题中由于抛物线的方程可以化 为函数y= x2 4 ,所以可以利用导数的几何意 义求点P 处的切线方程。第(2)问先结合抛 物线的性质计算焦半径|FA|,|FB|,|FC|, 再由两点间的距离公式及第(1)问中得到的 xL= xA+xB 2 和yL= xAxB 4 简化运算,从而得 到|FL|= 1 4 (x2A+4)(x2B+4),同 理 求 出 |FM|和|FN|,最后根据均值不等式得出结 论。值得注意的是,根据所证不等式的特点, 需要说明取等条件x2A=x2B,x2B=x2C,x2A= x2C 不能同时成立。 题型三、证明几何元素的位置关系 在解析几何中,证明几何元素的位置关 系主要通过代数方法进行。首先,根据需要 证明的关系类型,选择相应的几何元素的代 数表示形式。然后,利用这些代数表达式和 已知的几何性质,通过代数运算来验证给定 条件是否成立。这些方法综合运用了解析几 何的基本公式,将几何问题转化为代数问题 进行解决。 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年3月 例 3 (2024年浙江省宁波市模拟)已 知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的离心率 e∈ 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 ,P(0,2)为椭圆C 的上顶点,D 为椭圆C 上任意一点,且满足|PD|的最大 值为4。 (1)求椭圆C 的方程; (2)已知 M - 5 2 ,3 2 ,T(-2,1),过点 T 的直线l(斜率存在且不为1)与椭圆C 交 图3 于A,B 两点,如图3。证明: MT 平分∠AMB。 解析:(1)由题意知b= 2,又因为e= c a= 1- b2 a2 = 1- 4 a2 ∈ 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 ,所以12≤1-4a2<1,解得 a2≥8。 设D(x0,y0),则|PD|2=x20+(y0- 2)2。 又因 为 x20 a2 + y20 4 =1 ,所 以|PD|2 = a2 1- y20 4 +(y0-2)2= 1-a 2 4 y20-4y0+ a2+4。 因为y0∈[-2,2],a2≥8,所以对称轴 y0= 8 4-a2 ∈[-2,0)。 因为1- a2 4<0 ,所以 1- a2 4 84-a2 2 -4× 8 4-a2 +a2+4=16,整理得a4-16a2+ 64=0,解得a2=8。 所以椭圆C 的方程为 x2 8+ y2 4=1 。 (2)设直线l:y-1=k(x+2)(k≠1), A(x1,y1),B(x2,y2)。 联立 y-1=k(x+2), x2 8+ y2 4=1 , 消去 y 得(1+ 2k2)x2+(8k2+4k)x+8k2+8k-6=0,所 以x1+x2=- 8k2+4k 1+2k2 ,x1x2= 8k2+8k-6 1+2k2 。 设直线 MB 的倾斜角为α,直线 MA 的 倾斜角为β。 因为 kMT = 3 2-1 - 5 2+2 =-1,所 以 直 线 MT 的倾斜角为 3π 4 。 故α= 3π 4- (π-∠TMB)=∠TMB- π 4 ,β= 3π 4-∠AMT 。 所以α+β= π 2+∠TMB-∠AMT 。 所以要证 MT 平分∠AMB,只需证α+ β= π 2 ,即证α= π 2-β ,即证kMB ·kMA = tan αtan β=1。 因为kMB·kMA= 3 2-y1 - 5 2-x1 · 3 2-y2 - 5 2-x2 = 1 2-k (x1+2) 12-k(x2+2) 5 2+x1 52+x2 = k2x1x2+2k2- 1 2k (x1+x2)+4k2-2k+14 25 4+ 5 2 (x1+x2)+x1x2 , 将x1+x2=- 8k2+4k 1+2k2 ,x1x2= 8k2+8k-6 1+2k2 , 代入化简得kMB·kMA= 1 2k 2-2k+ 1 4 1 2k 2-2k+ 1 4 =1, 所以 MT 平分∠AMB。 点评:本 题 第 (1)问 在 求|PD|2 = 1- a2 4 y20-4y0+a2+4的最大值时,要结 合该二次函数图像的开口方向和对称轴位 置,再结合定义域y0∈[-2,2]求出a 的值。 第(2)问根据直线 MT 的倾斜角为 3π 4 ,把要 证的 MT 平分∠AMB 转化为证明直线 MA 和MB 的倾斜角互余,进而将问题转化成求 证kMB·kMA=1,再联立直线与椭圆的方程, 即可证明所要的结论。(责任编辑 王福华) 93 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年3月