09 提纲挐领 纲举目张-《中学生数理化》高考数学2025年3月刊

■四川省绵阳实验高级中学 黄 芹 解析几何是高中数学的重要内容,用代 数思想来解决几何问题是重要的解题方法, 这要求同学们能够灵活地进行数形转换和具 备良好的数学运算素养。由于基础知识、基 本技能和基本思想不熟悉,数学思维不深刻 或者意志力不强都会导致丢分。下面对解析 几何解答题的易错点进行归类剖析,希望对 同学们的复习备考有所帮助。 一、不能对已知条件进行合理转化致错 例 1 已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)经过点E 1, 3 2 ,P 为椭圆C 的右顶 点,O 为坐标原点,△OPE 的面积为 3 2 。 (1)求椭圆C 的方程; (2)过点D(-1,0)作直线l与椭圆C 交 于A,B 两点,A 关于原点O 的对称点为C, 若|BA|=|BC|,求直线AB 的斜率。 易错点分析:本题易错点有两个:一是直 线AB 的方程设为点斜式,忽略了斜率不存 在的情况导致出错;二是没有将|BA|=|BC| 的条件结合O 是中点转化为OA⊥OB,选择 两点间距离公式或者弦长公式去直接计算 |BA|,|BC|,使得计算繁杂导致出错。 解:(1)因为△OPE 的面积为 3 2 ,所以 1 2×a× 3 2 = 3 2 ,解 得 a=2。又 因 为 点 E 1, 3 2 在椭圆C 上,所以14+ 34b2=1,解 得b=1,所以椭圆C 的方程为 x2 4+y 2=1。 (2)因为|BA|=|BC|,O 为AC 的中 点,所以OA⊥OB。 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB 的方 程为x=my-1,代入椭圆的方程得(m2+ 4)y2-2my-3=0,所以y1+y2= 2m m2+4 , y1y2= -3 m2+4 。 因为 OA⊥OB,所以 OA→·OB→=0,则 x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2-m(y1+ y2)+1=(m2+1)× -3 m2+4 -m× 2m m2+4 +1 = 1-4m2 m2+4 =0,解得 m=± 1 2 ,所以直线AB 的斜率为±2。 二、在运算过程中不会有效分析选择运 算方向致错 例 2 已知双曲线C:x 2 a2 -y2=1(a> 0)的焦距为2 5,且左、右顶点分别为 A1、 A2,过点T(4,0)的直线l与双曲线C 的右支 交于 M、N 两点。 (1)求双曲线C 的方程; (2)记直线 A1M,A2N 的斜率分别为 k1,k2,证明: k1 k2 是定值; (3)设G 为直线A1M 和A2N 的交点, 记△GMN,△GA1A2 的面积分别为S1,S2, 求 S1 S2 的最小值。 易错点分析:本题易错点有四个:一是没 有注意到方程(m2-4)y2+8my+12=0有 一正一负两个根,导致 m 的范围求错;二是 求 k1 k2 = y1 x1+2 y2 x2-2 = y1(x2-2) y2(x1+2) = y1(my2+2) y2(my1+6) = my1y2+2y1 my1y2+6y2 的值时,下一步运算的方向不明 确,即由y1+y2=- 8m m2-4 和y1y2= 12 m2-4 不会转而去分析y1y2 与y1+y2 之间的关 系,即2my1y2=-3(y1+y2),导致后续运算 受阻,原因是缺乏用方程的思想来理解y1+ y2=- 8m m2-4 和y1y2= 12 m2-4 ,以整体思维 52 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年3月 去找my1y2 和y1+y2 的关系;三是不会应 用第(2)问的结论去做第(3)问,导致不能正 确求出点G 的横坐标;四是不能灵活运用三角 形相似对应边成比例的性质将 S1 S2 的表达式化 简,原因是基础知识不扎实,基本技能不熟练。 解:(1)由双曲线C: x2 a2 -y2=1(a>0)的 焦距为25,得a2+1=(5)2,解得a2=4, 所以双曲线C 的方程为 x2 4-y 2=1。 (2)依题意,设直线l的方程为x=my+ 4,M(x1,y1),N(x2,y2)。 联立 x=my+4, x2-4y2=4, 消去x 整理得(m2- 4)y2+8my+12=0。 由直线l与双曲线C的右支交于M,N 两 点,得 Δ=64m2-48(m2-4)>0, m2-4≠0, y1y2= 12 m2-4 <0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解 得-2< m<2。 由韦达定理得y1+y2=- 8m m2-4 ,y1y2 = 12 m2-4 ,所以2my1y2=-3(y1+y2)。 因为 A1(-2,0),A2(2,0),所以 k1 k2 = y1 x1+2 y2 x2-2 = y1(x2-2) y2(x1+2) = y1(my2+2) y2(my1+6) = my1y2+2y1 my1y2+6y2 = - 3 2 (y1+y2)+2y1 - 3 2 (y1+y2)+6y2 = 1 2y1- 3 2y2 - 3 2y1+ 9 2y2 =- 1 3 ,即k1 k2 为定值。 (3)由(2)知k2=-3k1,直线A1M:y= k1(x+2),直线 A2N:y=-3k1(x-2),则 点G 的横坐标为xG=1。 于是 S1 S2 = 1 2|GM||GN|sin ∠MGN 1 2|GA1||GA2|sin ∠A1GA2 = |GM| |GA1| · |GN| |GA2| = x1-1 3 ·x2-1 1 = (my1+3)(my2+3) 3 = m2y1y2+3m(y1+y2)+9 3 = 4m2 4-m2 +3≥3,当且仅当m=0时取等号。 所以 S1 S2 的最小值为3。 三、审题不清楚,理解出现偏差致错 例 3 已知椭圆C:x 2 4+ y2 b2 =1(0< b<2)的右焦点为F,点A,B 在椭圆C 上,且 AF→=λFB→(λ>0)。当λ=1时,|AB|=3。 (1)求椭圆C 的方程。 (2)已知异于F 的动点P,满足 |AP| |PB|= λ。 ①若A,B,P 三点共线,证明:点P 在定 直线上; ②若A,B,P 三点不共线,且λ= 3 5 ,求 △ABP 面积的最大值。 易错点分析:本题易错点有三个:一是 受定式思维的影响,将点 P 理解成在椭圆 C 上,导 致 后 续 全 错;二 是 不 能 将 AF→= λFB→(λ>0)和|AP||PB|=λ 转 化 成 为 坐 标 运 算即代数运算;三是当λ= 3 5 为定值时,A, B 的坐标是确定的,而 P 是动点,由 |AP| |PB| = 3 5 不 能 和 圆 联 系 起 来(即 阿 波 罗 尼 斯 圆),导致想不到要去求点 P 的轨迹方程, 从而由圆的性质求出△ABP 面积的最大 值,原因是基础知识掌握不牢固,缺乏整体 思维。 解:(1)当λ=1时,由对称性可知AB⊥ x 轴,所以|AB|=2b 1- c2 4=b 2=3,所以 椭圆C 的方程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)①因为点P 异于点F,所以λ≠1,直 线AB 的斜率存在。 设A(x1,y1),B(x1,y2),直线AB 的方 62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年3月 程为x=my+1(m≠0)。 联立 x2 4+ y2 3=1 , x=my+1, 消去x 得(3m2+4)y2 +6my-9=0,所以y1+y2=- 6m 3m2+4 , y1y2=- 9 3m2+4 。 由AF→=λFB→ 可知 x1+λx2=1+λ, y1+λy2=0。 因为 A,B,P 三点共线,且 |AP| |PB|=λ (λ>0且λ≠1),所以点P 在线段AB 的延长 线或反向延长线上,则PA→=λPB→。 设P(x,y),则x= x1-λx2 1-λ 。 由y1+λy2=0,得λ=- y1 y2 。 所 以 x = x1-λx2 1-λ = x1+ y1 y2 x2 1+ y1 y2 = x1y2+x2y1 y1+y2 = (my1+1)y2+(my2+1)y1 y1+y2 = 2my1y2+(y1+y2) y1+y2 = 2my1y2 y1+y2 + 1 = 2m - 9 3m2+4 - 6m 3m2+4 +1=4。 当直线AB 的斜率为0时,不妨设A(-2, 0),B(2,0)。因为F(1,0),AF→=λFB→(λ>0且 λ≠1),所以λ=3, |AP| |BP|=3 ,则P(4,0)。 综上,点P 在定直线x=4上。 ②当λ= 3 5 时,由①可知 x1+ 3 5x2= 8 5 , y1+ 3 5y2=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故 x1+ 3 5x2= 8 5 , 31- x21 4 =925×31-x 2 2 4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 x1= 8 5 , x2=0。 不妨设A 在第一象限,将 x1= 8 5 , x2=0 代入 椭圆C 的方程,得A 8 5 ,33 5 ,B(0,- 3), 则|AB|= 85-0 2 + 33 5 + 3 2 = 16 5 。 直线AB 的方程为y+ 3= 33 5 + 3 8 5-0 x, 化简得y= 3(x-1)。 设P(x,y)(y≠ 3(x-1)),由 |AP| |PB|= λ 可 知 x- 8 5 2 + y- 33 5 2 = 3 5 × x2+(y+ 3)2,两边平方化简得 x- 5 2 2 + y- 33 2 2 =9。 所以点P 在以M 5 2 ,33 2 为圆心,3为 半径的圆上,且不在直线y= 3(x-1)上。 因为点 M 5 2 ,33 2 在直线AB 上,所以 △PAB 面积的最大值为 1 2× 16 5×3= 24 5 。 四、对于新定义、新情景问题,不能有效 使用题干信息致错 例 4 在平面内,若直线l将多边形分 为两部分,多边形在直线l两侧的顶点到直 线l的距离之和相等,则称直线l为多边形 的一条“等线”。若双曲线 E: x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离 心率为2,P 为双曲线E 右支上一动点,直线 m 与双曲线E 相切于点P,与双曲线E 的渐 近线交于A、B 两点,且点A 在点B 上方,则 当PF2⊥x 轴时,直线y=1为△PF1F2 的 等线。已知双曲线E: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b> 0)在其上一点 P(x0,y0)处的切线方程为 x0x a2 - y0y b2 =1。 (1)求双曲线E 的方程; (2)若y= 2x 是四边形AF1BF2 的一 72 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年3月 条“等线”,求四边形AF1BF2 的面积; (3)已知O 为坐标原点,设OG→=13OP →, 点G 的轨迹为曲线Γ,证明:Γ 在点G 处的切 线n为△AF1F2 的等线。 易错点分析:本题的易错点有三个:一是 题目的新定义有两个,即等线和切线方程,由 于没有理解题干中“等线”的定义,导致不能 利用“y=1为△PF1F2 的等线”这个条件求 出双曲线E 的方程,也会导致第(3)问中不 能转化为代数运算进行证明;二是第(2)问中 不会去分析点P 在线段AB 上的位置,即不 能通过代数运算发现P 是AB 的中点导致计 算不了四边形AF1BF2 的面积;三是F1、F2、 A 到切线n的距离d1、d2、d3 的表达式都很 复杂,导致意志力薄弱及数学运算能力弱的 同学放弃继续运算。 解:(1)在双曲线E: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0)中,令x=c,解得y=± b2 a 。 因为直 线y=1为△PF1F2 的 等 线, 显 然 点 P 在 直 线 y=1 的 上 方,故 有 P c, b2 a 。 由F1(-c,0),F2(c,0),又 b2 a-1=2 , e= c a=2 ,c2=a2+b2,解得a=1,b= 3。 所以双曲线E 的方程为x2-y 2 3=1 。 (2)设P(x0,y0),由题意知直线m 的方 程为x0x- y0y 3 =1 。 ① 又渐近线方程为y=± 3x,与①式联立 得xA= 1 x0- y0 3 ,xB= 1 x0+ y0 3 ,故xA+xB= 1 x0- y0 3 + 1 x0+ y0 3 =2x0,所以 P 是线段AB 的中点。 因为F1、F2 到过坐标原点 O 的 直 线 的距离相等,所以过坐标原点 O 的等线必 定满足:A、B 到该等线的距离相等,且分 居两侧,所以该等线必过点 P,即直线 OP 的方程为y= 2x。 联 立 y= 2x, x2-y 2 3=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 x= 3, y= 6, 所 以 P(3,6)。 所以yA= 3xA= 3 x0- y0 3 = 3 3x0-y0 = 6+3,yB=- 3xB=- 3 x0+ y0 3 = -3 3x0+y0 = 6-3,所以|yA-yB|=6。 所以S四边形AF1BF2= 1 2|F1F2| ·|yA-yB| =2|yA-yB|=12。 (3)设G(x,y),因为OG→=13OP →,所以 x0=3x,y0=3y,故曲线Γ 的方程为9x2- 3y2=1(x>0)。 由①式知切线n 为 9x0 3x- 3y0 3y=1 ,即 3x0x-y0y-1=0。 易知A 与F2 在切线n 的右侧,F1 在切 线n的左侧,分别记F1、F2、A 到切线n的距 离为d1、d2、d3。 由(2)知xA= 1 x0- y0 3 ,yA= 3 x0- y0 3 。 所 以 d3 = 3x0 x0- y0 3 - 3y0 x0- y0 3 -1 9x20+y20 = 3x0- 3y0-x0+ y0 3 x0- y0 3 9x20+y20 = 2 9x20+y20 。 由 x0 ≥ 1 得 d1 = |-6x0-1| 9x20+y20 = 6x0+1 9x20+y20 ,d2= |6x0-1| 9x20+y20 = 6x0-1 9x20+y20 。 82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年3月