04 动静互化：圆锥曲线定值问题的思维“元指导”-《中学生数理化》高考数学2025年3月刊

■江苏省宜兴市丁蜀高级中学 王丽媛 涉及圆锥曲线中的定值问题,是近几年 高考、模拟卷及竞赛等命题中的一个热点与 难点问题,变化多端,形式各样。特别是解答 题,渗透圆锥曲线中的定值问题,巧妙借助数 值运算、推理证明、探索应用等方式来创新设 置。此类问题通过“动态”场景与“静态”数值 的巧妙融合,合理创设场景,进而从“动”中取 “静”,以“动”致“静”,在“动”中找规律,在 “动”中取“定”,知识交汇性强,能力融合度 高,能很好地考查同学们对数学知识的掌握 情况与数学能力,充分体现试题的选拔性与 区分度,备受各级各类考试命题者的青睐。 一、基本要素的定值问题 这里的基本要素包括直线的倾斜角、直 线的斜率、对应的参数值、相应角的大小、圆 的半径等,类型众多,形式多样。 例 1 已知抛物线C:y2=2px(p>0) 的焦点F 与椭圆 x2 4+ y2 3=1 的右焦点重合, M 是 抛 物 线 C 的 准 线 上 任 意 一 点,直 线 MA,MB 分别与抛物线C 相切于点A,B。 (1)求抛物线C 的标准方程及其准线方 程。 (2)设直线 MA,MB 的斜率分别为k1, k2,试问:k1k2 是否为定值? 若是,求出该定 值;若不是,请说明理由。 解析:(1)因为a2=4,b2=3,所以c2= a2-b2=4-3=1,所以c=1。 所以椭圆 x2 4+ y2 3=1 的右焦点为(1,0), 可得抛物线C 的焦点为F(1,0),所以p=2。 所以抛物线C 的标准方程为y2=4x,准 线方程为x=-1。 (2)因为M 是抛物线C 的准线上任意一 点,所以可设 M(-1,t)。 因为直线 MA,MB 分别与抛物线C 相 切于点A,B,所以直线 MA,MB 的斜率都存 在且不为0。 设过点 M(-1,t) 的直线方程为y= k(x+1)+t,联立 y2=4x, y=k(x+1)+t, 消去x 得ky2-4y+4k+4t=0。 所以Δ=16-16k(k+t),令Δ=0,得 k2+tk-1=0,由韦达定理知k1k2=-1。 故k1k2 为定值-1。 点评:涉及此类基本要素的定值问题,关 键是通过相关要素的基本概念、基本公式等 合理构建与设置,通过直线与圆锥曲线的位 置关系的转化,结合函数与方程思维加以分 析与处理。还可以借助点差法、坐标法及其 他一些相关的方法,从不同视角切入,由于切 入的视角不同,解题过程也会长短不一。 二、距离式的定值问题 这里的距离涉及两点间的距离、点到直 线的距离,以及与距离相关的形式(如距离的 乘积、比值或平方和)等,结合题设条件并利 用对应的距离公式得到相应的表达式,再利 用题设条件化简、变形,即可得到答案。 例 2 已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 a2 =1(a> 0)的左、右焦点分别为F1、F2。过F2 的直线 l交双曲线C 的右支于M,N 两点,当直线l 垂直于x 轴时,点 M,N 到双曲线C 的一条 渐近线的距离之和为22。 (1)求双曲线C 的方程; (2)证明: |MF1| |MF2| + |NF1| |NF2| 为定值。 解析:(1)由题意知F2(2a,0),双曲线 C 的一条渐近线方程为y=x。 当直线l垂直于x 轴时,将x= 2a 代 入双曲线C 的方程得 M(2a,a),N(2a, -a)。 所以点 M,N 到直线y=x 的距离之和 21 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年3月 为 |2a-a| 2 + |2a+a| 2 =2a=2 2,所以 a= 2。 所以双曲线C 的方程为 x2 2- y2 2=1 。 (2)当直线l垂直于x 轴时,由(1)可知, |MF2|=|NF2|=a= 2。 由双曲线的定义知|MF1|=|NF1|= a+2a=3a=32,故 |MF1| |MF2| + |NF1| |NF2| =6。 当直线l 不垂直于x 轴时,设l:y= k(x-2),代入双曲线C 的方程得(1-k2)x2 +4k2x-4k2-2=0。 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= 4k2 k2-1 ,x1x2= 4k2+2 k2-1 。 所以 |MF1| |MF2| + |NF1| |NF2| = 2x1+ 2 2x1- 2 + 2x2+ 2 2x2- 2 = 2x1x2-2 x1x2-(x1+x2)+1 = 8k2+4 k2-1 -2 4k2+2 k2-1 - 4k2 k2-1 +1 =6。 综上可得,|MF1| |MF2| + |NF1| |NF2| 为定值。 点评:解决此类距离式的定值问题,往往 要通过相应的距离公式(包括两点间的距离、 点到直线的距离等),结合直线与圆锥曲线的 位置关系,通过函数与方程思维来综合与应 用。解题时,借助点的坐标的设置,通过距离 式的转化与应用,设而不求,实现定值的求解 或证明。 三、参数式的定值问题 这里的参数式涉及参数的线性代数式, 其他一些要素所对应的代数式(如面积)等, 解决参数式的定值问题的关键是依题设条件 得出与参数式中对应参数有关的等式,代入 所求参数式,化简得出定值。 例 3 已知 M(4,m)是抛物线C:y2= 2px(p>0)上一点,且点 M 到抛物线C 的焦 点的距离为5。 (1)求抛物线C 的方程及点M 的坐标。 图1 (2)如图1所示,过点P(1,0) 的直线l与抛物线C 交于A,B 两 点,与 y 轴 交 于 点 Q,设 QA→ = λPA→,QB→=μPB→。试判断λ+μ 是 否为定值。若是,求出该定值;若不 是,请说明理由。 解析:(1)由抛物线定义得4+p2=5 ,解 得p=2,所以抛物线C 的方程为y2=4x,点 M 的坐标为(4,4) 或(4,-4)。 (2)由题意知,直线l 的斜率存在且不为 0,设l:x=ty+1(t≠0),则Q 0,- 1 t 。 将x=ty+1 代入y2=4x,整理得y2- 4ty-4=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),结合韦达定理 可得y1+y2=4t,y1y2=-4。 由QA→=λPA→ 得 x1,y1+ 1 t =λ(x1-1, y1),所以y1+ 1 t=λy1 ,整理得λ=1+ 1 ty1 。 同理,由QB→=μPB→ 得μ=1+ 1 ty2 。 所以λ+μ=2+ 1 ty1 + 1 ty2 =2+ y1+y2 ty1y2 =2+ 4t -4t=1 ,故λ+μ 是定值,定值为1。 点评:解决此类参数式的定值问题,其关 键是利用题设合理设置或构建相应的直线方 程,进而与圆锥曲线方程联立,通过函数与方 程思维的转化与应用,结合参数式的表示与 转化,从“代数”的视角来逻辑推理与数学运 算,从而确定相应的定值。 总之,在解决圆锥曲线中的定值问题时, 往往借助函数与方程思维,合理化归与转化, 巧妙借助各种不同的方法判断相关的定值问 题。合理利用“动”“静”结合,借助解析几何 的问题背景,全面发散数学思维,提高数学能 力,提升数学品质,培养数学核心素养。 注:本文系江苏省教育科学“十四五”规 划重点课题“学习进阶理论下高中数学单元 学习元指导研究”(编号:B/2022/03/65)的阶 段性研究成果。 (责任编辑 王福华) 31 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年3月