03 剖析圆锥曲线中三定”问题的解题策略-《中学生数理化》高考数学2025年3月刊

■河南省商丘市高级中学 韩志勇 高考试题中有关圆锥曲线的“三定”问题 经常出现,定点、定值、定直线问题多以直线 与圆锥曲线为背景,常与函数、方程、向量等 知识融合,形成了关于“三定”问题的判断和 证明。本文针对圆锥曲线中的“三定”问题, 分别举例探讨其解题策略。 一、圆锥曲线中的定点问题 对于含参数的直线方程,不论参数如何 变化,该直线都过某个定点,这类问题称为定 点问题。证明直线过定点的基本思想是引进 参变量表示直线方程,结合题目条件,根据方 程的成立与参数值无关得出直线恒过的定点 坐标。有时圆锥曲线中的定点问题也可从特 殊情况入手,对可能的定点有初步的判断,争 取确定出定点,这样可以转化为有方向、有目 标的一般性证明题,从而找到解决问题的突 破口。 例 1 已知椭圆C 的两个焦点分别为 F1(- 3,0),F2(3,0),短轴长为2。 (1)求椭圆C 的标准方程及离心率; (2)若 M 为椭圆C 的左顶点,过点 M 作 两条互相垂直的直线MA,MB 交椭圆于A, B 两点,证明:直线AB 恒过定点。 解析:(1)椭圆C的标准方程为 x2 4+y 2= 1,离心率e= 3 2 。(过程略) (2)由条件知直线AB 的斜率不为0,设 直线AB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2)。 联立 x=ty+m, x2+4y2=4, 消去x 得(t2+4)y2 +2mty+m2-4=0,由题意知Δ=4m2t2- 4(t2+4)(m2-4)>0。 由韦达定理知y1+y2=- 2mt t2+4 ,y1y2= m2-4 t2+4 。 因为 M(-2,0),所以 MA→=(x1+2, y1),MB→=(x2+2,y2)。 因为 MA⊥MB,所以 MA→·MB→=(x1 +2)(x2+2)+y1y2=0,即x1x2+2(x1+ x2)+4+y1y2=0,即(ty1+m)(ty2+m)+ 2[(ty1+m)+(ty2+m)]+4+y1y2=0,即 (t2+1)y1y2+(mt+2t)(y1+y2)+(m2+ 4m+4)=0,即(t2+1)(m2-4)-2mt(mt+ 2t)+(m2+4m+4)(t2+4)=0,整理得5m2 +16m+12=0,解得m=- 6 5 或m=-2。 当m=-2时,直线 AB 过点 M(-2, 0),不符合题意,舍去。 所以x=ty- 6 5 ,所以直线 AB 恒过定 点 - 6 5 ,0 。 总结提升:本题通过引入两个参数,设出 直线AB 的方程,然后根据条件得出两个参 数的关系或求出其中一个参数的值,从而得 出直线恒过的定点坐标,这是求直线过定点 问题的常用方法。 例 2 已知椭圆C 的两个焦点分别为 F1(- 2,0),F2(2,0),且点 M(2,1)在椭 圆C 上。过点P(0,1)的动直线l与椭圆C 相交于A,B 两点,B 关于y 轴的对称点为D (不同于点A)。 (1)求椭圆C 的标准方程; (2)证明:直线AD 恒过定点,并求出定 点坐标。 解析:(1)椭圆C的标准方程为 x2 4+ y2 2= 1。(过程略) (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年3月 方程为y=kx+1(k≠0)。 联立 x2 4+ y2 2=1 , y=kx+1, 消去y 得(2k2+1)x2 +4kx-2=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知 D(-x2,y2),Δ=16k2+8(2k2+1)>0。 由韦达定理知x1+x2=- 4k 2k2+1 ,x1x2 =- 2 2k2+1 。 特别地,当点 A 的坐标为(2,0)时,k= - 1 2 ,所以2x2=- 4 3 ,所以x2=- 2 3 ,y2= 4 3 ,即B - 2 3 ,4 3 ,所以B 关于y 轴的对称 点为D 23 ,4 3 ,所以直线AD 的方程为y= -x+2,此时直线AD 恒过定点(0,2)。 当直线l的斜率不存在时,直线 AD 的 方程为x=0。 如果存在定点Q 满足条件,则为两直线 交点Q(0,2),所以kQA= y1-2 x1 = y1-1-1 x1 =k- 1 x1 ,kQD= y2-2 -x2 =-k+ 1 x2 。 又因 为 kQA -kQD =2k- 1 x1 + 1 x2 = 2k- x1+x2 x1x2 =2k-2k=0,所以kQA=kQD,即 A,D,Q 三点共线,此时直线 AD 恒过定点 (0,2)。 综上可得,直线AD 恒过定点(0,2)。 总结提升:本题先从两种特殊情况入手, 得出可能的定点Q(0,2)。方向明确后,不论 利用斜率相等还是向量共线,都可以转化为 一般性的证明问题。或者整理直线AD 的方 程后,令x=0,计算y 的值是常数2即可,进 而快速求解。 二、圆锥曲线中的定值问题 有些几何量,如斜率、距离、面积、比值、 角度、坐标等基本量与参变量无关,这类问题 称为定值问题。这类题型对同学们的逻辑思 维能力和计算能力等要求很高,解决定值问 题的基本方法是函数法,可以用变量表示题 目中的相关几何量,将要求解的量看作某个 变量的函数,利用方程组、韦达定理、点在曲 线上等条件,分析变量之间的关系,化简消去 变量即得定值。有时也可以从特殊情况出 发,确定所要证明的具体定值,然后根据要分 析的结论直接验算化简。 例 3 已知椭圆 E:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的左焦点和右焦点分别为 F1,F2,点 A 0,- 3 ,直线AF2 的倾斜角为60°,原点 O 到直线AF2 的距离是 3 4a 2。 (1)求椭圆E 的标准方程。 (2)过椭圆E 上任一点P 作直线PF1, PF2,分别交椭圆E 于M,N 两点(异于P), 且F1M→=mPF1→,F2N→=nPF2→,探究 1 m+ 1 n 是否为定值? 若是,求出定值;若不是,请说 明理由。 解析:(1)椭圆E 的标准方程为 x2 2+y 2= 1。(过程略) (2)①当点 P 为椭圆的右顶点时, 1 m= |PF1→| |F1M→| = 2+1 2-1 =3+2 2, 1 n= |PF2→| |F2N→| = 2-1 2+1 =3-22,所以 1 m+ 1 n=6 。 ②当点P 为椭圆的左顶点时,同理可得 1 m+ 1 n=6 。 ③当点P 不为椭圆的左右顶点,即直线 PM,PN 的斜率均不为零时,设直线PM 的 方程为x=-1+ry,直线PN 的方程为x= 1+sy,分别代入椭圆E 的方程 x2 2+y 2=1, 可得(r2+2)y2-2ry-1=0和(s2+2)y2+ 2sy-1=0。 设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),则 y0y1=- 1 r2+2 ,y0y2=- 1 s2+2 。 由F1M→=mPF1→,可得y1=-my0,所以 01 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年3月 1 m=- y0 y1 =y20(r2+2)。 由直线 PM 的方程为x=-1+ry,点 P(x0,y0)在直线PM 上,可得r= x0+1 y0 。 所以 1 m=y 2 0(r2+2)=(x0+1)2+2y20= 3+2x0。 由F2N→=nPF2→,同理可得 1 n=3-2x0 。 所以 1 m+ 1 n=6 为定值。 综上可得,1 m+ 1 n 为定值6。 总结提升:本例从特殊位置入手,确定所 要证明的具体定值,然后根据要分析的结论, 继续利用方程组、韦达定理等知识,直接对一 般情况进行验算化简,消去变量即得定值。 三、圆锥曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动 而产生的动点在定直线上的问题。证明动点 在定直线上是圆锥曲线中的常见题型,解决 这类问题的核心在于确定动点的轨迹。主要 运用动点轨迹法,即通过已知曲线条件将动 点的横纵坐标分别用参数表示,消去参数,从 而得到动点的轨迹方程。另外,如果能解出 动点的横坐标或纵坐标是个常数,也能得到 动点在定直线上。 例 4 已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的左焦点和右焦点分别为F1,F2,上顶 点为A,过点A 与AF2 垂直的直线交x 轴的 负半轴于点Q,且F1 恰是QF2 的中点,若过 A,Q,F2 三点的圆与直线l:x- 3y-3=0 相切。 (1)求椭圆C 的标准方程; (2)设 M,N 为椭圆C 的长轴的两个端 点,直线m 过点P(4,0)交椭圆C 于不同的 两点G,H,证明:四边形 MNHG 的对角线 的交点在定直线上,并求出定直线的方程。 解析:(1)椭圆C 的标准方程为 x2 4+ y2 3= 1。(过程略) (2)由对称性可知,若存在则必为垂直于 x 轴的直线。 依题意,直线m 的斜率存在且不为0,设 直线m:x=my+4,H(x1,y1),G(x2,y2)。 联立 x=my+4, x2 4+ y2 3=1 , 消去x 得(3m2+4)y2 +24my+36=0,则 Δ >0,y1 +y2 = - 24m 3m2+4 ,y1y2= 36 3m2+4 。 故y1y2=- 3 2m (y1+y2)。 不妨设 M(-2,0),N(2,0),则直线 MH 的方程为y= y1 x1+2 (x+2),直线GN 的方程为y= y2 x2-2 (x-2)。 联立 y= y1 x1+2 (x+2), y= y2 x2-2 (x-2), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去y,得x= 2y1(x2-2)+2y2(x1+2) y2(x1+2)-y1(x2-2) = 2 × y1(my2+2)+y2(my1+6) y2(my1+6)-y1(my2+2) =2× my1y2+y1+3y2 3y2-y1 =2× m - 3 2m (y1+y2)+y1+3y2 3y2-y1 =2× 3 2y2- 1 2y1 3y2-y1 =2× 1 2=1 。 故四边形 MNHG 的对角线的交点在定 直线x=1上。 总结提升:本题通过挖掘图形的对称性, 分析出定直线应该垂直于x 轴,只需求对角 线交点的横坐标是一个常数就可以了。另 外,对于非对称韦达定理情况的处理,寻求 y1+y2 与y1y2 的关系代入,下一步整体约 分化简,这是个运算技巧,同学们要学会灵活 运用。从历年高考试题的答案中可以发现: 定直线的结果大多是平行于坐标轴的直线。 因此,同学们在思考方向上可以先尝试求动 点的横坐标或纵坐标,若是一个常数,即得动 点所在的定直线方程。 (责任编辑 王福华) 11 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年3月