01 以课本为本，夯实基础，才能登峰造板-《中学生数理化》高考数学2025年3月刊

■河南省商丘市第一高级中学 张志华 我们常说:“怎么教,看课标;怎么学,看 教材;怎么评,看高考。”新一轮的高考改革 并不旨在消除高考“指挥棒”效应,反而是在 利用高考“指挥棒”的影响,促进我们更加科 学地学习和备考。通过对2024年全国高考 新课标Ⅰ卷试题的分析,我们能够发现,基 本上所有考题都是来源于课本。这就是高 考命题的初 衷,也 是 高 考 命 题 给 我 们 的 信 号,更是为同学们的复习备考指明精准的方 向。这就要求同学们利用好课本,培养自身 的学习 能 力,用 已 知 的 砖,敲 开 未 知 的 门。 本文以圆锥曲线知识为例,对课本上的例题 和习题进行梳理,带领同学们一起感悟教材 和高考之间的桥梁该如何修建。 一、圆锥曲线的原始定义 例 1 (数学选择性必修第一册第115 页第1题)如果点 M(x,y)在运动过程中,总 满足关系式 x2+(y-3)2+ x2+(y+3)2 =10,那么点 M 的轨迹方程是什么曲线? 为 什么? 写出它的方程。 解析:设A(0,3),B(0,-3),则|MA|= x2+(y-3)2,|MB|= x2+(y+3)2。由 x2+(y-3)2 + x2+(y+3)2 =10,知 |MA|+|MB|=10。又|AB|=6,则|MA|+ |MB|>|AB|。由椭圆的定义知,点 M 的轨 迹是以A(0,3),B(0,-3)为焦点,长轴长为 10的椭圆。设所求椭圆方程为y 2 a2 + x2 b2 =1 (a>b>0),则有a=5,b= 52-32=4,故所 求轨迹方程为y 2 25+ x2 16=1 。 说明:本题并非是要我们利用椭圆标准方 程的推导那般烦琐的求解,而是可以利用定 义,使得问题的解答简洁化。因此,在利用定 义解题的时候,首先,要遵循“先定型,再定量” 的原则,看清焦点所在的坐标轴,而非先入为 主地以为焦点在x 轴上。其次,定义是有条件 限制的,即动点到两定点的距离和一定大于两 定点之间的距离。这些都是同学们做题时易 犯的错误,在平时要多加注意。 图1 例 2 (数学选择性必修第 一册第115页第6题)如图1,圆 O 的半径为定长r,A 是圆O 内 的一个定点,P 是圆O 上任意一 点,线段 AP 的垂直平分线l和 半径OP 相交于点Q,当点 P 在 圆上运动时,点Q 的轨迹是什么? 为什么? 解析:因为点Q 在线段AP 的垂直平分线 上,所以|QA|=|QP|,则|QA|+|OQ|= |QP|+|OQ|=|OP|=r>|OA|,由椭圆的 定义知,点Q 的轨迹是以O,A 为焦点的椭圆。 说明:本题注重基础,考查圆的性质,线段 垂直平分线的性质。利用圆内一点到圆心的 距离小于圆的半径这一性质,巧妙构造椭圆定 义条件。同学们在运用数形结合思想的同时, 可以提高分析问题与解决问题的能力,从而感 受“数学是思维的体操”的真正魅力。 图2 例 3 (数学选择性必修第 一册第127页第5题)如图2,圆 O的半径为定长r,A 是圆O 外 的一个定点,P 是圆O 上任意一 点,线段AP 的垂直平分线l和 直线OP 相交于点Q,当点P 在 圆O上运动时,点Q 的轨迹是什么? 为什么? 解析:因为点Q 在线段AP 的垂直平分线 上,所以|QA|=|QP|,则|QA|-|OQ|= |QP|-|OQ|=|OP|=r<|OA|,由双曲线 的定义知,点Q 的轨迹是以O,A 为焦点的双 曲线。 说明:本题是对例2的呼应,旨在强调双 曲线定义和椭圆定义的本质区别。引导同学 们思考问题的全面性和辩证性,更是为了引导 同学们“做一道题,会一类题,更要会改编题, 甚至原创题”,进而达到学习能力提升的目的。 二、圆锥曲线的第二定义 例 4 (数学选择性必修第一册第113 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年3月 页例6)动点 M(x,y)与定点 F(4,0)的距 离和 M 到定直线l:x= 25 4 的距离的比是常 数 4 5 ,求动点 M 的轨迹。 图3 解析:如 图 3,设 d 是 点 M 到 直 线 l 的 距 离,由 题 意 知|MF| d = (x-4)2+y2 25 4-x = 4 5 ,两 边平方并化简得9x2+25y2=225,即 x2 25+ y2 9 =1。故点 M 的轨迹是长轴长和短轴长分别 为10,6的椭圆。 说明:本题一方面是为了介绍求椭圆方程 的另一种方法,也是为了强调求轨迹方程的一 般步骤。另一方面,是利用特殊情况悄然植入 椭圆的第二定义。旨在让同学们感受特例的 背后其实掩藏着特定的自然规律,为进一步探 究埋下伏笔。 例 5 (数学选择性必修第一册第127页 第10题)设动点M 与定点F(c,0)(c>0)的距离 和M 到定直线l:x= a2 c 的距离的比是 c a (a<c), 求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹的形状。 解析:设 M(x,y),d 是点M 到直线l的 距离,由题意得|MF| d = (x-c)2+y2 x- a2 c = c a , 两边平方得(x-c)2+y2= c2 a2 x- a2 c 2 ,化简 得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)。因为a< c,所以 x2 a2 - y 2 c2-a2 =1,它表示中心在原点,焦 点在 x 轴 上,实 半 轴 长 为 a,虚 半 轴 长 为 c2-a2的双曲线。 说明:该习题的设置起到了画龙点睛的作 用,能够让同学们的疑问和猜想得以验证。虽然 这道习题只是针对双曲线的第二定义,但是同学 们肯定能够类比总结出椭圆相应的规律。这样 能培养同学们“不同找相同,相同找区别”的思维 素养,从而体会“千古数学一大猜”的真正魅力。 三、圆锥曲线的第三定义 图4 例 6 (数学选择性必 修第一册第108页例3)如图 4,设A,B 两点的坐标分别 是(-5,0),(5,0),直 线 AM,BM 相交于点 M,且它 们的斜率之积是- 4 9 ,求点 M 的轨迹方程。 解析:设点 M 的坐标为(x,y),因为点 A 的坐标是(-5,0),所以直线 AM 的斜率 kAM= y x+5 (x≠-5)。同理,直线BM 的斜 率kBM= y x-5 (x≠5)。由 已 知 得 yx+5× y x-5=- 4 9 (x≠±5),化简得点 M 的轨迹 方程为 x2 25+ y2 100 9 =1(x≠±5)。故点 M 的 轨迹是焦点在x 轴上,除去(-5,0),(5,0) 两点的椭圆。 说明:数学知识是数学方法的载体,数学 方法是解决问题的手段。本题考查的是求轨 迹方程的一般步骤。同时,也是为了呈现椭圆 方程的第三种求解方式。在平时做题过程中, 只需明白“知啥? 求啥? 借助啥?”将问题具体 化,思路就会清晰化。还要注意“咋想? 咋做? 咋不错?”使得解题过程更完美。 例 7 (数学选择性必修第一册第121 图5 页探究)如图5,点 A,B 的 坐标 分 别 是(-5,0),(5, 0),直 线 AM,BM 相 交 于 点 M,且它们的斜率之积是 4 9 ,试求点 M 的轨迹方程, 并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状,与 3.1节例3比较,你有什么发现? 解析:设 M(x,y),则kAM = y x+5 (x≠ -5),kBM= y x-5 (x≠5)。由题意知kAM·kBM = yx+5× y x-5= 4 9 (x≠±5),化简得 x2 25- 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年3月 y2 100 9 =1(x≠±5)。故点 M 的轨迹是焦点在x 轴上,除去(-5,0),(5,0)两点的双曲线。 与3.1节例3比较可以发现,若一个动 点 M 与两个定点 A(-a,0),B(a,0)(a> 0)连线的斜率之积为一个常数k,则:(1)当 k= b2 a2 时,轨迹为双曲线(除去 A,B 两点), 方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1(x≠ ±a);(2)当 k= - b2 a2 时,轨迹为椭圆(除去A,B 两点),方程 为 x2 a2 +y 2 b2 =1(x≠±a);(3)当k=-1时, 轨迹为圆(除去A,B 两点),方程为x2+y2 =a2(x≠±a)。 说明:本探究旨在引导同学们体会由特殊 到一般的归纳逻辑思维。本题中的A,B 两点 分别为椭圆长轴的两顶点,或双曲线实轴的两 顶点,或圆上直径两端点。其实,A,B 两点只 要在椭圆或双曲线或圆上关于原点对称,M 为该曲线上不同于A,B 的点,均有这个性质。 例 8 (数学选择性必修第一册第139页 第11题)已知A,B 两点的坐标分别是(-1, 0),(1,0),直线AM,BM 相交于点 M,且直线 AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2,求点 M 的轨迹方程。 解析:设点 M 的坐标为(x,y),则kAM= y x+1 (x≠-1),kBM= y x-1 (x≠1)。由题意知 kAM-kBM= y x+1- y x-1=2 (x≠±1),所以 x2=1-y(x≠±1),即点 M 的轨迹方程为 x2=1-y(x≠±1)。 说明:本习题的出现能让同学们发现常规 问题中的非常规呈现,引导同学们多角度思考 问题,具有一题多变的思维意识,增强同学们 另辟蹊径的思辨能力。 四、圆锥曲线的综合应用 例 9 (数学选择性必修第一册第146 页第16题)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点 F 作直线与抛物线交于A,B 两点,以AB 为 直径画圆,观察它与抛物线的准线l的关系, 你能得到什么结论? 相应于椭圆、双曲线如 何? 你能证明你的结论吗? 图6 解析:设AB 的中点为M,分 别过 A,B,M 作准线l 的垂线 AP,BQ,MN,垂足分别是P,Q, N,如图6所示。 由抛物线定义可知,|AP|= |AF|,|BQ|=|BF|。 在直角梯形APQB 中,|MN|= 1 2 (|AP| +|BQ|)= 1 2 (|AF|+|BF|)= 1 2|AB| ,故 圆心 M 到准线l的距离等于该圆的半径,所 以以AB 为直径的圆与抛物线的准线l相切。 设F 为椭圆或双曲线的右焦点,l为椭圆 或双 曲 线 的 右 准 线,AB=2r,则|AP|= 1 e|AF| ,|BQ|= 1 e|BF| ,所以|MN|= 1 2 · (|AP|+|BQ|)= 1 2e (|AF|+|BF|)= 1 2e · |AB|= r e 。 对于椭圆,因为0<e<1,所以|MN|= r e>r ,所以以AB 为直径的圆与椭圆的相应 准线相离。同理可知,对于双曲线,以 AB 为 直径的圆与椭圆的相应准线相交。 说明:复杂问题是由简单问题综合而成,只 要利用基本知识搞定一个个常见的简单模型, 复杂问题就会迎刃而解。复杂问题能培养同学 们发现问题、探索问题、解决问题的能力,从而 培养逻辑推理和数学运算等数学核心素养。 课本中例题与习题的设计是为了帮助同 学们夯实基础,逐步提高,层层突破,从而熟练 掌握相应知识。由课本上的例题和习题,我们 能够感受到高考考查的深度、广度和灵活度。 我们能够发现,做题不是目的,通过不同问题 找到相同的规律,用自己的语言表达出来,形 成自己解决问题的本能性反应,这才是能力, 这才是学习的最终目的。只是对题下功夫,做 再多的题,也提高不了。而从根本上着手,熟 能生巧,至于衍生的题型,只是考查知识的载 体,也就是个形式。 (责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年3月