14 复数常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2025年3月刊

■乔书会 题型一:复数的分类 形如a+bi(a,b均为实数)的数为复数, 其中a称为实部,b称为虚部,i为虚数单位。 复数通常用z 表示,即z=a+bi,当z 的虚 部b=0时,则z为实数;当z的虚部b≠0,实 部a=0时,常称z为纯虚数。 例1 下列说法正确的是( )。 A.i表示虚数单位,所以它不是一个虚 数 B.-1的平方根是±i C.bi(b∈R)是纯虚数 D.若z=a(a∈R),则复数z没有虚部 解:i表示虚数单位,也是一个虚数,A错 误。由(±i)2=-1,可知-1的平方根是±i, B正确。当b=0时,bi是实数,C错误。若 复数z=a(a∈R),则复数z 的虚部为0,D 错误。应选B。 跟踪训练1:下列命题中,正确命题的序 号是( )。 ①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若 a,b∈R,且a>b,则a+i3>b+i3;③若 (x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数 x=±1;④两个虚数不能比较大小。 A.①③ B.② C.③④ D.④ 提示:①中,当a=-1时,(a+1)i=0为 实数,①不正确。②中,a+i3=a-i,b+i3= b-i,虚数不能比较大小,②不正确。③中, 由(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,可得 x2-1=0, x2+3x+2≠0, 解得x=1,③不正确。④ 中,两个虚数不能比较大小,④正确。应选 D。 题型二:复数的相等 解决复数相等问题的关键是利用实部与 实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解。 例2 设(1+2i)a+b=-2i,其中a,b 为实数,则( )。 A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1 D.a=-1,b=1 解:因 为 (1+2i)a+b= -2i,所 以 a+b=0, 2a=-2, 解得 a=-1 , b=1。 应选D。 跟踪训练2:已知x,y∈R,i为虚数单 位,若(x-1)+(y+1)i=2+i,则x,y 的值 分别为( )。 A.3,0 B.2,1 C.1,2 D.1,-1 提示:因为(x-1)+(y+1)i=2+i,所 以 x-1=2, y+1=1, 解得x=3,y=0。应选A。 题型三:复数的几何意义 复数有着鲜明的几何背景与浓厚的几何 意义,复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的 点Z(a,b)及平面向量OZ→ 是一一对应的关 系。每一个复数都对应唯一的一个有序实数 对,只要在复平面内找到这个有序实数对所 表示的点,就可根据点的位置判断复数的实 部、虚部的取值。 例3 当1<m<2时,复数m(2+i)- (4+i)在复平面内对应的点位于( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解:设复数z=m(2+i)-(4+i)= (2m-4)+(m-1)i。若1<m<2,则2m- 4<0,m-1>0,所以复数z在复平面内对应 的点位于第二象限。应选B。 跟踪训练3:如果一个复数的实部和虚 部相等,则称这个复数为“等部”复数,若复数 z=2+ai(其中a∈R)为“等部”复数,则复数 z在复平面内对应的点在( )。 A.第一象限 B.第二象限 54 经典题突破方法 高一数学 2025年3月 C.第三象限 D.第四象限 提示:因为复数z=2+ai的实部为2,且 它的实部和虚部相等,所以a=2,所以z= 2+2i,所以复数z 在复平面内对应的点在第 一象限。应选A。 题型四:共轭复数 两个实部相等,虚部互为相反数的复数 互为共轭复数。若虚部为零,其共轭复数就 是自身(当虚部不等于0时也叫共轭虚数)。 例4 若复数z=(m+1)-2mi(m∈R) 为纯虚数,则z的共轭复数是( )。 A.-2i B.-i C.i D.2i 解:由题意知 m+1=0且2m≠0,所以 m=-1,所以z=2i。故z 的共轭复数是 -2i。应选A。 跟踪 训 练 4:下 列 命 题 中,正 确 的 是( )。 A.1-2i的虚部是2 B.|1-2i|= 5 C.1-2i的共轭复数是-1-2i D.1-2i在复平面内对应的点在第二象 限 提示:1-2i的虚部是-2,A错误。|1- 2i|= 12+(-2)2= 5,B正确。1-2i的共 轭复数是1+2i,C错误。1-2i在复平面内 对应的点在第四象限,D错误。应选B。 题型五:复数的模 设复数z=a+bi,其中a,b∈R,则复数 z的模|z|= a2+b2。|z|的变形式为|z|2 =(a+bi)(a-bi)。 例5 已知a,b∈R,若a+4i与3-bi 互为共轭复数,则|a+bi|=( )。 A.8 B.7 C.6 D.5 解:因为a+4i与3-bi互为共轭复数, 所以a=3,b=4,所以|a+bi|=|3+4i|= 32+42=5。应选D。 跟踪训练5:设复数z= 2i 1-i ,则|z|= ( )。 A.2 B.2 C.4 D.5 提示:因为z= 2i 1-i= 2i(1+i) 2 =-1+i , 所以|z|= (-1)2+12= 2。应选B。 题型六:复数的模的几何意义 复数的模的几何意义是复平面上一点 (a,b)到原点的距离。复数z=a+bi,其中 a,b∈R,则复数z的模|z|= a2+b2。 例6 已知复数z满足|z-1|=|z-i|, 则在复平面上z对应点的轨迹为( )。 A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形 解:设复数z=x+yi(x,y∈R)。根据 复数的模的几何意义可知,|z-1|表示复平 面上点P(x,y)与点A(1,0)的距离,|z-i| 表示复平面上点P(x,y)与点B(0,1)的距 离。因为|z-1|=|z-i|,即点P(x,y)到 A,B 两点间的距离相等,所以点P(x,y)在 线段AB 的垂直平分线上,所以在复平面上 z对应点的轨迹为直线。应选A。 跟踪训练6:设z∈C,满足2≤|z+i|≤ 3,其在复平面上对应的点为Z,则点Z 构成 的集合所表示的图形面积为( )。 A.1 B.5 C.π D.5π 提示:设复数z=x+yi(x,y∈R),则 z+i=x+ (y+1)i,所 以|z+i|= x2+(y+1)2。所以2≤|x+(y+1)i|≤3 等价于2≤ x2+(y+1)2 ≤3,即4≤x2+ (y+1)2≤9,所以点Z(x,y)表示复平面上 以(0,-1)为圆心,2,3分别为半径的两个圆 所夹的圆环(包括边界),如图1所示。 图1 64 经典题突破方法 高一数学 2025年3月 所以所夹圆环的面积为9π-4π=5π。 应选D。 题型七:复数的加、减运算 两个复数相加(减),就是把两个复数的 实部相加(减),虚部相加(减)。复数的减法 是加法的逆运算,两个复数相减,也可以看成 是加上这个复数的相反数。当多个复数相加 (减)时,可将这些复数的所有实部相加(减), 所有虚部相加(减)。 例7 若z-3+5i=8-2i,则复数z 等 于( )。 A.5-3i B.11-7i C.8+7i D.8-7i 解:设复数z=a+bi(a,b∈R),则z- 3+5i=a-3+ (b+5)i=8-2i,所 以 a-3=8, b+5=-2, 解 得 a=11 , b=-7, 所 以 复 数 z= 11-7i。应选B。 跟踪训练7:若复数z 满足2(z+z)+ 3(z-z)=2+3i,则z=( )。 A. 1 2+ 1 2i B. 1 2- 1 2i C.2+2i D.2-2i 提示:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a- bi,所以z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a,z-z =(a+bi)-(a-bi)=2bi,所以2(z+z)+ 3(z-z)=4a+6bi=2+3i,所以a= 1 2 ,b= 1 2 ,所以z= 1 2+ 1 2i 。应选A。 题型八:复数的乘、除运算 复数的乘法可以按照多项式的乘法计 算,只是在结果中要将i2 换成-1,并将实部、 虚部分别合并。复数的除法法则在实际操作 中不方便使用,一般将除法写成分式形式,采 用分母“实数化”的方法,即将分子、分母同乘 分母的共轭复数,使分母成为实数,再计算。 例8 已知z(1+i)=7+5i,则z= ( )。 A.6-i B.6+i C.3-2i D.12-2i 解:因 为 z= 7+5i 1+i= (7+5i)(1-i) (1+i)(1-i)= 12-2i 2 =6-i ,所以z=6+i。应选B。 跟踪训练8:已知复数z 满足z-i= 4+3i i ,则z=( )。 A.3+3i B.3-3i C.-3+3i D.-3-3i 提示:因 为 z-i= 4+3i i ,所 以 z= (4+3i)(-i) i·(-i) +i=3-4i+i=3-3i ,则z= 3+3i。应选A。 题型九:复数加、减法的几何意义 向量加、减运算的平行四边形法则和三 角形法则是复数加、减法几何意义的依据。 利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被 减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向 量及其对应的复数。 例9 在复平面内,O 为坐标原点,四边 形OABC 是复平面内的平行四边形,且 A, B,C 三点对应的复数分别为z1,z2,z3,若 z1=1,z3=-2+i,则z2=( )。 A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解:已知O 为坐标原点,四边形 OABC 是复平面内的平行四边形,z1=1,z3=-2+ i,由复数加法的几何意义得z2=z1+z3= 1-2+i=-1+i。应选C。 跟踪训练9:如图2,在复平面上,一个正 方形的三个顶点A,B,O 对应的复数分别为 1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶 点C 对应的复数为( )。 图2 A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i 74 经典题突破方法 高一数学 2025年3月 提示:因为OC→=OA→+OB→,所以OC→ 对 应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,所以点C 对应的复数为-1+3i。应选D。 题型十:虚数单位i的乘方的周期性 i的乘方的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1, i4n+3=-i,i4n=1,n∈N*;i+i2+i3+i4=0; i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,n∈N*。 例10 已知i为虚数单位,则 i2023 1-i= ( )。 A.- 1 2+ 1 2i B. 1 2- 1 2i C. 1 2+ 1 2i D.1-i 解:i 2023 1-i= i2020·i3 1-i = (i4)505·i3 1-i = -i 1-i= -i(1+i) (1-i)(1+i)= 1 2- 1 2i 。应选B。 跟踪训练10:设i是虚数单位,则i+i2+ i3+…+i2025 的值为( )。 A.i+1 B.i-1 C.i D.0 提示:i+i2+i3+i4=0,in(n∈N*)的取 值周期为4,连续4项的和为0,所以i+i2+ i3+…+i2025=506×0+i=i。应选C。 题型十一:解复数方程 实系数一元二次方程的虚根是成对出现 的。若复数a+bi(a,b∈R,b≠0)是实系数 一元二次方程的根,则其共轭复数a-bi是 该方程的另一个根。 例11 已知1+i是关于x 的方程ax2 +bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b= ( )。 A.-1 B.1 C.-3 D.3 解:因为实系数一元二次方程的虚根成 对出现(互为共轭复数),所以1±i为方程的 两个根,所以1+i+1-i=- b a ,(1+i)(1- i)= 2 a ,解得a=1,b=-2,所以a+b=-1。 应选A。 跟踪训练11:已知复数1+i(i为虚数单 位)为实系数方程x2+px+q=0的一个根, 则p+q=( )。 A.4 B.2 C.0 D.-2 提示:因为1+i是方程x2+px+q=0 的一个根,所以(1+i)2+p(1+i)+q=0,所 以p+q+(2+p)i=0。 因为p,q∈R,所以p+q=0且2+p= 0。应选C。 1.已知复数z 是纯虚数, 1+z 1+i 是实数, 则z=( )。 A.-i B.i C.-2i D.2i 提示:由题意设z=bi(b∈R),则 1+z 1+i= 1+bi 1+i= (1+bi)(1-i) (1+i)(1-i)= (1+b)+(b-1)i 2 。 因为 1+z 1+i 是实数,所以b-1=0,解得b=1, 所以z=i,所以z=-i。应选A。 2.已知复数z满足(3+i)z=4-2i,则复 数z=( )。 A.1-i B.1+i C.2+i D.2-i 提示:因为复数z满足(3+i)z=4-2i, 所以z= 4-2i 3+i= (4-2i)(3-i) (3+i)(3-i)= 10-10i 10 = 1-i,所以z=1+i。应选B。 3.已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平 面内的对应点在第三象限,则实数m 的取值 范围为( )。 A.(-∞,1) B.-∞, 2 3 C.23 ,+∞ D.(1,+∞) 提示:z=m(3+i)-(2+i)=(3m-2) +(m-1)i。由 3m-2<0, m-1<0, 解得 m<23,即 实数m 的取值范围是 -∞, 2 3 。应选B。 作者单位:河南大学附属中学 (责任编辑 郭正华) 84 经典题突破方法 高一数学 2025年3月