精品解析：河南省部分学校2024-2025学年高一下学期4月质量检测数学试卷

2024~2025学年度4月质量检测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黒；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本类主要考查内容：北师大版必修第二册第一章~第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义计算可得结果. 【详解】对于A，因为，不是的整数倍，故A错误； 对于B，因为，此时与相差的整数倍，故B错误； 对于C，因为，不是的整数倍，故C错误； 对于D，因为，不是的整数倍，故D错误. 故选：B. 2. 在中，，，且的面积为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积公式列式求解. 【详解】根据题意，， ，解得. 故选：A. 3. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解. 【详解】由，得，解得. 故选：D. 4. 若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以， 设向量与的夹角为， 则. 故选：B. 5. 已知，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可求出的最小正周期. 【详解】因为， 设的周期为，则，即， ，，即， 所以的最小正周期为. 故选：C. 6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果. 【详解】根据题意可得， 所以， 又向量为非零，则， 则在方向上的投影向量为 . 故选：A. 7. 若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（ ） A. 先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B. 先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换和周期变化的原则逐一判断即可. 【详解】对于A，先将的图象向右平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得，故A错误； 对于B，先将的图象向左平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，故B错误； 对于C，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向左平移个单位，得，故C正确； 对于D，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向右平移个单位，得，故D错误. 故选：C. 8. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理求出，再由平面向量的线性运算和数量积的定义求解即可. 【详解】因为，分别为，中点，所以，， 有，所以， 分别过作，则， 所以，在直角三角形中，易得， 设， 因为D，O，F三点共线，所以，即， 故， ， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第一象限角，则是锐角 B. C. 若，则为第三或第四象限角 D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】BD 【解析】 【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案. 【详解】对于A，当时，是第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，若，则为第三或第四象限角或在轴的负半轴，故C错误； 对于D，为第二象限角，则， 所以为第一或第三象限角，故D正确. 故选：BD. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 已知，则 C. 已知，，，则最小内角的度数为 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质即可判断A；利用余弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 又因为， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，由， 得， 所以， 则， 又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以角为最小角， 则， 又，所以，即最小内角的度数为，故C正确； 对于D，因为， 满足条件的三角形不存在，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若且，则是的一条对称轴 B. 若且点是的一个对称中心，则的最小值为 C. 若且在区间上单调递增，则的取值范围为 D. 若，且方程在上恰有一解，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性即可判断AB；根据正弦函数的单调性即可判断C；根据正弦函数的图象即可判断D. 【详解】对于A，若且，则， 因为，所以不是的一条对称轴，故A错误； 对于B，若，则， 因为是的一个对称中心， 所以，所以， 又因为，所以的最小值为，故B正确； 对于C，若，则， 因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，故C正确； 对于D，若，则， 因为，所以， 因为方程在上恰有一解， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，进行计算，即可得到答案. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为， 由扇形的面积公式，可得该扇形的面积为. 故答案为：. 13. 若为的外心，，则的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用外心的性质，向量的数量积运算即可求. 【详解】取的中点，连接， 因为为的外心， 所以，所以， 因为， 所以. 故答案为：2 14. 已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的范围求出的范围，结合余弦函数的性质列不等式可求结论. 【详解】当时，， 因在区间内既有最大值，又有最小值， 所以或，解得或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知为坐标轴原点，角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点. （1）求与同向的单位向量； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）先根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简，再利用商数关系化弦为切即可得解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点， 所以， . 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若. （1）求角； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】应用正弦定理，边化角可得解； 已知两边和一边对角求面积，可用余弦定理求出第三边，套入面积公式即可. 【小问1详解】 因为，据正弦定理可得， 且，则，可得，解得：； 【小问2详解】 由余弦定理，可知， 代入数值，可得， 解方程可得， 则. 17. 已知，为单位向量，且与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理求解即可； （2）根据结合数量积的运算律求解即可； （3）由题意可得且向量与不共线，再根据数量积的运算律和平面向量共线定理求解即可. 【小问1详解】 因为与共线， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以， 则； 【小问3详解】 因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与不共线， 由，得， 即，解得， 当向量与共线时， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 因为向量与不共线，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 18. 如图，某大风车的半径为2米，按逆时针方向匀速转动，每12秒旋转一周，它的最低点离地面0.5米.风车圆周上一点从最低点开始，运动秒后与地面的距离为米. （1）求函数的关系式； （2）求转动一周，点距离地面不超过1.5米的时长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，得到，根据大风车的半径为2米，最低点离地面0.5米，结合，即可求得函数的解析式； （2）由（1）知，令，得到，求得不等式的解集，进而得到答案. 【小问1详解】 解：如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系， 则圆心为，圆的半径为， 因为每12秒旋转一周，可得每秒弧度，则秒后转弧度，即， 又因为大风车的半径为2米，最低点离地面0.5米， 过点作，可得 所以运动秒后与地面的距离为， 即函数的关系式为. 小问2详解】 解：由（1）知， 令，即，可得， 解得，所以， 因为， 当时，可得，时长为秒； 当时，可得，时长为秒； 所以转动一周点距离地面不超过1.5米的时长为秒. 19. 在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. （1）求角的大小； （2）若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式结合余弦定理即可得解； （2）（i）先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求出，再向量化求解即可； （ii）利用等面积法将用表示出来，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，进而可得出答案. 【小问1详解】 因， 所以， 所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 （i）由，得， 由余弦定理得， 所以， 因为为的中线， 所以， 则， 所以； （ii）由余弦定理得， 所以， 因为为的角平分线，所以， 由，得， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，取得最大值， 即长的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度4月质量检测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黒；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本类主要考查内容：北师大版必修第二册第一章~第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，且的面积为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 3. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小正周期为（ ） A B. C. D. 6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（ ） A. 先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B. 先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C. 先将图象上所有点横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 8. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（ ） A B. 2 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若第一象限角，则是锐角 B. C. 若，则为第三或第四象限角 D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 已知，则 C. 已知，，，则最小内角的度数为 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若且，则是的一条对称轴 B. 若且点是的一个对称中心，则的最小值为 C. 若且在区间上单调递增，则的取值范围为 D. 若，且方程在上恰有一解，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为________. 13. 若为的外心，，则的值为________. 14. 已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知为坐标轴原点，角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点. （1）求与同向的单位向量； （2）求的值. 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若. （1）求角； （2）若，，求的面积. 17. 已知，为单位向量，且与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 如图，某大风车的半径为2米，按逆时针方向匀速转动，每12秒旋转一周，它的最低点离地面0.5米.风车圆周上一点从最低点开始，运动秒后与地面的距离为米. （1）求函数的关系式； （2）求转动一周，点距离地面不超过1.5米的时长. 19. 在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. （1）求角大小； （2）若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$