1.2.1 等差数列的概念及通项公式课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）高中数学选择性必修第二册

2.1 等差数列的概念 及其通项公式 学习目标 1.能够通过实际问题理解等差数列、公差的概念； 2.掌握等差数列的通项公式及其推导方法，能运用公式解决相关问题； 3.掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列. 2.数列的通项公式： 1.数列的定义： 按一定次序排列的一列数. 复习回顾 【练一练】写出下列数列的一个通项公式 2，4，6，8，... 如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式. 问题1：（1）请看下面几个问题中的数列，你能发现它们的规律吗？ 1.新冠状病毒爆发后，某药店连续5天医用口罩的日销 售量组成数列（单位：包）: (1)50,100,150,200,250 2.在过去的三百多年里，人们观测到哈雷彗星的 年份组成数列（单位：年）： (2)1682,1758,1834,1910,1986 3.姚明刚进NBA一周训练罚球的个数（单位：个）： (3)6000，6500，7000，7500，8000 共同特点：以上三个数列从第 2项起，每一项与 前一项的差都等于同一常数。 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。 问题1:（2）你能给出等差数列的定义吗？ 符号表示： 注意： ① 至少三项； ② 从第二项起； ③ 后项减前项； ④ 差为同一个常数。 问 题1：(3)你能判断下列数列是否为等差数列？ （1）1，6，11，16，…… （2）-8，-6，-4，-2，…… （3）10，5，0，-5，…… （4）21，19，17，15，…… （5）3，3，3，3，…… d=5 d=2 d=-5 d=-2 d=0 问题 2:如何推导等差数列的通项公式？ a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d … an=an-1+d=a1+(n-1)d (n ≥ 2) 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d 方法1： 由等差数列的定义可得 不完全归纳法 an+1-an=d 追问1:还能用其他，推导等差数列的通项公式？ ∴a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d (n ≥ 2) 上述各式两边同时相加，得 an-a1=(n-1)d 方法2：∵由等差数列的定义可得 叠加法 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d an+1-an=d ∴ an=a1+(n-1)d 新知探索 ② 令②①，可得： 移项可得： 你能给出性质1的证明吗？ 等差数列通项公式的推广 ，得到公式( 推广： 归纳总结 （1）若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为： 公差； （2）推广： 公差. 注：在等差数列通项公式中，共有四个量：a1，d，n，an，知道其中 任意三个量可求第四个量. 例1　(1)求等差数列10,8,6，…的第20项； 由于a1＝10，d＝－2， ∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，n∈N＋. ∴a20＝－2×20＋12＝－28. 例题讲解 11 (2)已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项 公式． 解：设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)， 故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)×(－1)＝－15－n，n∈N＋. 例2　(多选)下列命题中正确的是 A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C.数列{2n＋1}是等差数列 D.数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 √ A中，数列是公差为－2的等差数列； B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列； C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2为常数，是等差数列； D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列. √ 13 由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列； B项，d＝3，故是等差数列； C项，d＝ ，故是等差数列； D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. 跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是 A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 √ √ √ 14 例3、在等差数列｛an｝中，根据已知条件填表： 项目 题号 (1) 2 15 -10 (2) 5 26 105 (3) -45 3 45 (4) 5.2 0.4 43 -38 4 31 22 例4、在等差数列{an }中，已知a8=17 ，a16=41 ,求an。 分析:此题已知a8=17，n=8；a16=41 , n=16分别代入通项公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程且都含a1与d两个未知数，组成方程组，可解出a1与d 。 解得 a1 = -4 ，d = 3 ******** 解：设an=a1+(n-1)d，则有 a1+7d=17 (1) a1+15d=41 (2) an=-4+(n-1).3=3n-7 16 求等差数列的通项公式关键是求出两个基本量a1和d ，而在求a1和d 时，往往先根据已知条件列方程(组），由此解出a1和d ，再代入通项公式。 像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。 解法点评： 这是数学中的常用思想方法之一。 17 练习.1已知等差数列{an}. (1)若a1＝3，d＝4，则a10＝______； (2)若a1＝3，d＝2，an＝21，则n＝________； (3)若a2＝9，a8＝39，则d＝________； (4)若d＝，a7＝8，则a1＝________. 10 39 5 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 练习2.数53为等差数列{an}：－5，－3，－1,1，…中的第____项. 由题意可知，等差数列{an}的首项a1＝－5，公差d＝(－3)－(－5)＝2， 所以通项an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，n∈N＋， 令2n－7＝53，解得n＝30， 所以53是数列{an}中的第30项. 30 3.在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列的第43项． (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：设{an}的公差为d， 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋， 所以a10＝13－10＝3. 返回 课后思考 1.已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40， 求这四个数． 解：法一：设等差数列的首项为，公差为， 依题可得： 解得：或， ∴这四个数分别为 2，5，8，11 或 11，8，5，2 课堂小结： 一个定义： 一个公式： 一种思想： 方程思想 an+1 - an=d （n∈ ，d是常数） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课后作业： 1、教材P13页：第3、4题； 2、练习册P3-4：第1-5题； 3、预习等差数列的前n项和。 C.，，1，， D.－3，－2，－1,1,2 $$