精品解析：江西省上饶市弋阳县第一中学、横峰中学、铅山县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

高一数学试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 角是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，再利用终边相同角集合即可求出结果. 【详解】因为，根据终边相同角的集合知，与终边相同，又是第二象限角. 故选：B. 2. 已知角的终边上有一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的定义求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C. 3. 已知函数，则的增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代换法求正弦型函数的增区间. 【详解】令， 解得， 所以函数的增区间是. 故选：C. 4. 如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【详解】设，由，得，即， 所以 故选：D 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据函数值的符号，可排除C. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D 6. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将所得点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解． 【详解】由题意可知， 所以， 所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象， 即的图象， 故选：A 7. 已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 以为周期的函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出可判断A；利用和得出可判断B正确；利用周期函数的定义和求出周期可判断C；赋值法求出，结合周期可判断D. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以，， 对于A，令，可得， 因为，可得，故A正确； 对于B，因为， 所以， 可得， 从而， 又因为，可得， 所以，可得， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因， 所以，所以， 可得，所以有， 所以以6为周期的函数，故C正确； 对于D，，，令可得，可得， 令可得，可得， 令可得，可得， 令可得，可得，所以， 所以，故D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键，求解抽象函数问题，要有扎实的基础知识和较强的抽象思维和逻辑推理能力. 8. 已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】，，其中，解得：， 则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①， ，令，解得：；或要满足②，， 令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件， 综上：的取值范围是. 故选：C 【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可结合选项逐一求解. 【详解】由，， ，. 故选：BC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 B. C. ，都有 D. 为函数的一条对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数图象求函数解析式，代入自变量求函数值判断A、B；根据正弦型函数的性质判断C；代入法判断D. 【详解】由题设知，，则， 所以，又， 所以，则，，可得， 所以， 由，故A错； ，B对； 由的最小值、最大值分别为， 所以，都有，C对； ，显然不是对称轴，D错. 故选：BC 11. 如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（ ） A. 经过12分钟，点首次到达最低点 B. 第16分钟和第32分钟点距离地面一样高 C. 从第28分钟至第40分钟点距离地面的高度一直在降低 D. 摩天轮在旋转一周的过程中，点有8分钟距离地面的高度不低于80米 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式可得，根据题意结合余弦函数性质逐项分析判断即可. 【详解】设为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟， 则. 对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈， 因为，则，令，解得， 所以经过12分钟，点P首次到达最低点，故A选项正确； 对于B选项，因为， 即，所以第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高，B选项正确； 对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈， 所以第28分钟至第40分钟，相当于第4分钟至第16分钟， 根据A选项可知，经过12分钟，点P首次到达最低点， 所以第4分钟至第12分钟，摩天轮高度降低，第12分钟至第16分钟，摩天轮高度上升，所以C选项错误； 对于D选项，由，则， 其中，即， 则或，解得或， 故摩天轮在旋转一周的过程中点P有分钟距离地面不低于80米， D选项正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式，即可求出答案. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 13. 若，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】换元设，则.然后代入已知条件化简，即可得出，进而得出，然后根据诱导公式化简，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 设，则. 代入已知可化为， 所以， 解得， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 当时，不等式的解集是_______ 【答案】 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，第一种求导研究函数单调性从而解不等式，第二种和第三种均可利用函数的正负性来验证恒成立. 【详解】令， ①当时，， 因，则，则在上单调递增， 又，则得； ②当时，，则恒成立； ③当时， ， 因，则恒成立， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）求证: 函数的最小正周期为. 【答案】（1）1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合诱导公式化简即可； （2）根据周期的定义求证即可. 【详解】（1）； （2）对于函数，， ， 所以是函数的一个周期， 假设存在，使得对于恒成立， 则对于恒成立， 令，则，此时，， 即，，显然不存在满足的值，与假设矛盾， 所以函数的最小正周期为. 16. 函数的一个对称中心是. （1）求以及函数的单调递减区间、最大值； （2）用“五点法”画出函数在上的简图. 【答案】（1），单调递减区间为，，最大值为2； （2）作图见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知有求参数，结合正弦型函数性质求最大值和单调减区间； （2）应用五点法画出区间函数图象即可. 【小问1详解】 由题设，则，， 故，，，则， 所以，其最大值为2， 令，，则，， 所以函数单调递减区间为，. 【小问2详解】 0 2 0 0 在上的简图如下， 17. 如图是函数的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M､N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点. （1）求函数的解析式及上的单调增区间； （2）若时，函数有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1），单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）点是线段DM的中点，得到，，从而得到，然后将点D坐标代入求解，即可的出函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求单调增区间即可； （2）根据，得到，再将函数有两个零点，转化为方程有两个不等实数根求解. 【小问1详解】 因为点是线段DM的中点， 所以，， 则，， 所以， 所以， 由， 故，， 所以，， 又因为，则． 所以， 由，得， 令，得， 所以函数在上的单调增区间为； 【小问2详解】 因为，则， 令， 因为函数有两个零点，则方程有两个不等实数根， 即方程有两个不等实数根，即有两个不等实数根， 即函数的图象与在上有两个交点， 如图所示，作出函数的图象， 由图可知，． 18. 已知二次函数 （1）若恒成立，求的取值范围. （2）令，若时有唯一零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的性质求解即可； （2）令，转化问题为方程在时有唯一解，令，，转化问题为方程在时有唯一解，进而结合函数图象求解即可. 小问1详解】 由题意，对于二次函数，， 要使恒成立，则，解得， 即的取值范围为. 【小问2详解】 由，令， 则， 因为函数在时有唯一零点， 所以方程在时有唯一解， 当时，方程为，显然不成立，不符合题意； 当时，等价于方程在时有唯一解， 令，， 则等价于方程在时有唯一解， 画出函数，的图象（实线部分）： 由图可知，要使方程在时有唯一解， 则，即的取值范围为. 19. 已知函数，如果对于定义域内的任意实数及给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；若恒有成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为． （1）判断函数是不是上的类周期为1的“2级递减类周期函数”，并说明理由． （2）已知是在上的“级类周期函数”，类周期，且在上严格单调递增，当时，．求当时，函数的解析式，并求实数的取值范围． （3）是否存在非零实数，使函数是上的类周期为的“级类周期函数”？给出结论并证明你的结论． 【答案】（1）函数是上的类周期为1的2级递减类周期函数，理由见解析 （2）， （3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答. （2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答. （3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答. 【小问1详解】 依题意，函数的定义域是， ， 即任意成立，所以函数是上的类周期为1的2级递减类周期函数． 【小问2详解】 因为是在上的级类周期函数，类周期，所以， 即，而当时，， 当时，，； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 并且有当时，；当时，；当时，；当时，． 因为在上严格单调递增，则有解得， 所以当时，，且． 【小问3详解】 假定存在非零实数，使函数是上的类周期为的级类周期函数， 即任意，恒有成立，则任意， 恒有成立， 即任意，恒有成立． 当时，，则， 于是得，要使恒成立，则有： 当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解， 此时恒成立，则，即； 当，即时，若，则，，无解． 若，即，令，即，由和的图象可知，，两者无交点，故无解． 综上，，符合题意，其中满足． 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 角是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 2. 已知角的终边上有一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C D. 6. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 7. 已知函数为定义在上偶函数，，且，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 图象关于点对称 C. 以为周期的函数 D. 8. 已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 B. C. ，都有 D. 为函数的一条对称轴 11. 如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（ ） A. 经过12分钟，点首次到达最低点 B. 第16分钟和第32分钟点距离地面一样高 C. 从第28分钟至第40分钟点距离地面的高度一直在降低 D. 摩天轮在旋转一周的过程中，点有8分钟距离地面的高度不低于80米 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，则____. 13. 若，则_______ 14. 当时，不等式解集是_______ 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：； （2）求证: 函数的最小正周期为. 16. 函数的一个对称中心是. （1）求以及函数的单调递减区间、最大值； （2）用“五点法”画出函数在上的简图. 17. 如图是函数的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M､N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点. （1）求函数的解析式及上的单调增区间； （2）若时，函数有两个零点，求实数a的取值范围. 18. 已知二次函数 （1）若恒成立，求的取值范围. （2）令，若时有唯一零点，求的取值范围. 19. 已知函数，如果对于定义域内的任意实数及给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的“级递减类周期函数”，类周期为；若恒有成立，则称函数是上的“级类周期函数”，类周期为． （1）判断函数是不是上的类周期为1的“2级递减类周期函数”，并说明理由． （2）已知是在上的“级类周期函数”，类周期，且在上严格单调递增，当时，．求当时，函数的解析式，并求实数的取值范围． （3）是否存在非零实数，使函数是上的类周期为的“级类周期函数”？给出结论并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$