第六章 平行四边形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第六章 平行四边形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面关于平行四边形的说法中错误的是（   ） A．平行四边形的两条对角线相等 B．平行四边形的两条对角线互相平分 C．平行四边形的对角相等 D．平行四边形的对边相等 2．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 3．如图，在中，，分别是边，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．平行四边形中，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 5．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 6．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 7．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 8．如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 9．如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 10．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，则下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若一个正多边形的每一个内角都是，则这个正多边形的边数为 ． 12．如图，在中，若三条边的长分别为和，则 ． 13．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 ． 14．如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为 15．如图，在中，，，，分别是边，的中点，若，则的长度是 ． 16．如图，平面直角坐标系中，点两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 17．在平行四边形中，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则的周长为 ． 18．如图，在中，，，，点D，E分别是，的中点，点G，F在边上(均不与端点重合)，．将绕点D顺时针旋转，将绕点E逆时针旋转，拼成四边形，则四边形周长l的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19．如图，在中，点，分别在，上，且，求证：． 20．如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，且，求的周长． 21．如图，中，点E、F在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 22．如图所示，求． 23．如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 24．如图，△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE． (1)求证：MD=ME； (2)若D为AB的中点，且AB=10，求ME的长． 25．在中，E是的中点，相交于点F，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点O，若，则的长为_____________． 26．如图，在中，，D为内一点，连接，将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，连接． (1)若，求的长； (2)连接，若F、G、H分别为的中点，连接，求证：． 27．如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点，点．满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并，平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)直接写出 ___________ ，___________ ，B点坐标是___________； (2)点分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．当分别在边上运动时，的最小值是___________； (3)如图2，将线段绕点逆时针旋转至，连接，P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平行四边形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．下面关于平行四边形的说法中错误的是（   ） A．平行四边形的两条对角线相等 B．平行四边形的两条对角线互相平分 C．平行四边形的对角相等 D．平行四边形的对边相等 【答案】A 【分析】利用平行四边形的性质进行判断即可． 【解析】平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分， B、C、D说法正确； 平行四边形的对角线不一定相等，故A说法错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键． 2．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得，求解方程即可解答． 【解析】设这个多边形的边数为n，则 ， 解得：， ∴这个多边形的边数为10． 故选：B 3．如图，在中，，分别是边，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【解析】解：，分别是边，的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 4．平行四边形中，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形得出两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答． 【解析】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【解析】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 6．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 7．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值． 【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意，得 ， 解得：． 故这个多边形是六边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 8．如图，已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，，若的面积为5，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行线间的距离和三角形的面积．与是等底等高的两个三角形，它们的面积相等． 【解析】解：直线，点、、在直线上， 点到直线的距离与点到直线的距离相等． 又， 与是等底等高的两个三角形， ， 故选：C． 9．如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 由平行四边形的性质及周长为38得到 ，由点E是的中点得到是的中位线，，则，由的周长为15得到，求出，即可得到长． 【解析】解：∵四边形是平行四边形，其周长为38，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵的周长为15， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，则下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可作判断；⑤由求解，再进一步可得答案． 【解析】解：①∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③由②知：， ∴，故③正确； ④由②知：是的中位线， ∴， ∵， ∴，故④正确； ⑤∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 本题正确的有：①②③④，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含的直角三角形性质、三角形的中位线性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 二、填空题 11．若一个正多边形的每一个内角都是，则这个正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角的关系，一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数，由外角和求正多边形的边数是解题关键． 【解析】解：由题意可得：每个外角是：， 则， ∴这个正多边形是正十二边形， 故答案为：． 12．如图，在中，若三条边的长分别为和，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，列出等式，即可求解． 【解析】解：四边形是平行四边形， ， ， 解得：， ． 故答案为：6． 13．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 ． 【答案】1260 【分析】本题主要考查了多变形的内角与外角．首先根据外角和与一个外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形的内角和公式进行计算即可． 【解析】解：一个多边形的每一个外角都等于， 这个多边形的边数为：， 这个多边形的内角和为：， 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．根据平行四边形可得，从而得到，可证明，从而得到，即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8 15．如图，在中，，，，分别是边，的中点，若，则的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，中位线的判定和性质，掌握中位线的性质是解题的关键． 根据题意，由勾股定理可得（负值舍去），由，分别是边，的中点，得到是中位线，由中位线的性质即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∵，分别是边，的中点， ∴， 故答案为： ． 16．如图，平面直角坐标系中，点两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标，平行四边形的性质，中点坐标公式，熟练掌握点的坐标，平行四边形的性质，中点坐标公式是解决问题的关键． 连接交于点，根据平行四边形性质得点为线段，线段的中点，再根据点得点，然后根据点，点可得点的坐标． 【解析】解：连接交于点，如下图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴点为线段，线段的中点， ∵点两点的坐标分别为， ∴点的坐标为， ∵点，点是线段的中点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17．在平行四边形中，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形的，继而可得的周长等于． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：． 18．如图，在中，，，，点D，E分别是，的中点，点G，F在边上(均不与端点重合)，．将绕点D顺时针旋转，将绕点E逆时针旋转，拼成四边形，则四边形周长l的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，作于，首先证明，要求四边形周长的取值范围，只要求的最大值和最小值即可． 【解析】解：如图，连接，作于． 在中， ， ， ， ， 根据旋转可得， ∴，是的中位线， ，三点共线， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， 根据题意， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， ∴当时，可得四边形周长取得最小值，最小值， 当与重合时可得周长取得最大值，最大值， ∵不与重合， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，勾股定理，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会取特殊点解决问题． 三、解答题 19．如图，在中，点，分别在，上，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明即可． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，且，求的周长． 【答案】26 【解析】本题主要考查了平行四边形的性质， 首先根据平行四边形的性质和对角线的和求得的长，然后根据的长求得的长，从而求得的周长． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴的周长． 21．如图，中，点E、F在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．连接交于，则可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【解析】证明：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 22．如图所示，求． 【答案】 【分析】此题考查三角形外角的性质，多边形内角和，设与、的交点为、，根据三角形外角的性质得到,，即可求出答案，正确理解三角形外角性质将角度进行转化是解题的关键 【解析】解：设与、的交点为、， ∵, ∴ ∴ 23．如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质： （1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴， ∵，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 24．如图，△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE． (1)求证：MD=ME； (2)若D为AB的中点，且AB=10，求ME的长． 【答案】(1)见解析 (2)ME=5 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，求出BM=CM，根据全等三角形的判定得出△DBM≌△ECM，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据三角形的中位线求出DM=AC，代入求出即可． 【解析】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵M是BC的中点， ∴BM=CM， 在△DBM和△ECM中， ， ∴△DBM≌△ECM（SAS）， ∴MD=ME； （2）解：∵M是BC的中点，D为AB的中点， ∴DM=AC， ∵AB=10， ∴AC=AB=10， ∴ME=DM=5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中位线的应用，能求出△DBM≌△ECM和DM=AC是解此题的关键． 25．在中，E是的中点，相交于点F，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点O，若，则的长为_____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得是的中位线，推出，结合即可求证； （2）由题意得，，，故可求出，，结合即可求解； 【解析】（1）证明：∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 即：， ∵， ∴四边形为平行四边形 （2）解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 26．如图，在中，，D为内一点，连接，将绕点A按逆时针方向旋转到的位置，连接． (1)若，求的长； (2)连接，若F、G、H分别为的中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，由勾股定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）解：∵绕点A逆时针旋转到， ∴≌，， ∴， ∴； （2）解：∵≌， ∴， ∵F、G、H分别为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键． 27．如图1，已知平行四边形中，于于相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，且以、、为边构成的三角形的面积为10，此时平行四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)35 【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，得，再利用直角三角形两锐角互余可证，进而可证，得，结合平行四边形的性质即可证得结论； （2）过点作，交于，可知，，，得，可证，得，在中，，在中，，求得得，结合在中，，即可证明结论； （3）结合平行四边形的性质，由（1）可知，，，得，，设，则，，根据勾股定理得，，，可知以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边，结合其面积得，即，进而可得平行四边形的面积． 【解析】（1）证明：∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴，则 ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：过点作，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴ ， 即：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， 在中，， ∴，则以、、为边构成的三角形为直角三角形，且为斜边， ∴， ∴，即：， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：35． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定及性质，构造直角三角形，利用勾股定理进行求解是解决问题的关键． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点，点．满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并，平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)直接写出 ___________ ，___________ ，B点坐标是___________； (2)点分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．当分别在边上运动时，的最小值是___________； (3)如图2，将线段绕点逆时针旋转至，连接，P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，求的面积． 【答案】(1)6，4， (2) (3) 【分析】（1）利用绝对值、算术平方根的非负性求出，，根据平移性质求点的坐标； （2）由是的中位线，得出，当时，取最小值，取最小值，因此利用面积法求出最小值即可； （3）由题意得到，，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，过作于，得到，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）解：满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并， ，， ，； ，， ， 即， 故答案为：6，4，； （2）解：连接，如图1， 、分别是、的中点， 是的中位线， ． 当时，有最小值，即有最小值， ，，， ，， 由题意可知四边形是平行四边形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （3）解：由题意可知，，， ， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， 如图2，过作于， ， ， ， ， ， △的面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$