第六章 平行四边形（压轴专练）（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第六章 平行四边形（压轴专练）（十大题型） 目录： 题型1：平行四边形—传统解答证明题 题型2：平行四边形—动点问题 题型3：平行四边形—旋转问题 题型4：平行四边形—翻折问题 题型5：平行四边形—倍长中线法构造平行四边形 题型6：平行四边形—情景探究题 题型7：平行四边形—在平面直角坐标系中的应用 题型8：三角形的中位线——在三角形中的综合应用 题型9：三角形的中位线——在平行四边形中的综合应用 题型10：三角形的中位线——在平面直角坐标系中的应用 题型1：平行四边形—传统解答证明题 1．在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形； (3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 题型2：平行四边形—动点问题 2．在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．    (1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段上时，求证：； (3)点在射线上运动，若，，求线段的长． 3．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接、，且，点F是上一动点，连接．    (1)如图1，若点F是的中点，，求平行四边形的面积． (2)如图2，若，连接，试探究、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，以为直角边作等腰直角，，连接，若，请直接写出当点F在运动过程中，周长的最小值． 题型3：平行四边形—旋转问题 4．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 5．如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：． 题型4：平行四边形—翻折问题 6．如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． (1)证明：； (2)当时，求折痕的长； (3)当为等腰三角形时，求的长． 7．在中，，对角线平分，点M为射线上一点，连接，将沿直线翻折得到，连接．    (1)如图1，点在边上，，求的度数； (2)射线与射线交于点F，在射线上取一点G，使，连接，交于点H． ①如图2，点M在线段上，求证：； ②点M在线段延长线上，和，之间有何数量关系？写出你的结论并证明． 题型5：平行四边形—倍长中线法构造平行四边形 8．我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 题型6：平行四边形—情景探究题 9．【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 10．数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 题型7：平行四边形—在平面直角坐标系中的应用 11．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． (1)如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； (2)如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 12．如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． 题型8：三角形的中位线——在三角形中的综合应用 13．在中，，，，点是射线上一点，交射线于点． (1)如图，当点在线段上时，且，求的长； (2)如图，若，求的长； (3)如图，点在的延长线上，取中点，连接并延长交的延长线于，且，求证：． 14．在四边形中，、分别是、的中点． (1)如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长． (2)如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：． (3)如图3，在中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 题型9：三角形的中位线——在平行四边形中的综合应用 15．平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 16．如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若，，，求四边形的面积； (3)如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 17．在中，．点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到（）． (1)如图1，当时，求； (2)如图2，在旋转过程中，连接，取中点 F，作射线交直线于点G．当时， 求证：； (3)如图3．当时，点P为线段上一动点，过点E作射线于点N，M为中点，直接写出的最大值与最小值． 题型10：三角形的中位线——在平面直角坐标系中的应用 18．在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．    (1)如图①，当时，求与的交点的坐标； (2)如图②，连接，当经过点A时，求的长； (3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 19．如图1，在平面直角坐标系中，，，满足，． (1)求A、B两点的坐标； (2)点C在上，且平分，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，点M为第四象限内一点，点D为y轴正半轴上一点，交x轴于点H，，点E为的中点，点F为的中点，与交于点G，连接、，当，且时，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平行四边形（压轴专练）（十大题型） 目录： 题型1：平行四边形—传统解答证明题 题型2：平行四边形—动点问题 题型3：平行四边形—旋转问题 题型4：平行四边形—翻折问题 题型5：平行四边形—倍长中线法构造平行四边形 题型6：平行四边形—情景探究题 题型7：平行四边形—在平面直角坐标系中的应用 题型8：三角形的中位线——在三角形中的综合应用 题型9：三角形的中位线——在平行四边形中的综合应用 题型10：三角形的中位线——在平面直角坐标系中的应用 题型1：平行四边形—传统解答证明题 1．在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形； (3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，从而证得，然后利用平行四边形面积公式得，最后利用三角形面积公式得． （2）取的中点H，连接，，先证明，再利用直角三角形的性质证得，残存后由等腰三角形“三线合一”性质得到垂直平分，即可由垂直平分线性质得出结论． （3）过点E作交延长线于H，过点A作于M，利用直角三角形的性质先求出，再求出，，然后由求解即可． 【解析】（1）解：如图， ∵ ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． （2）证明：取的中点H，连接，， 由（1）可知：四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：过点E作交延长线于H，过点A作于M，如图， ∵， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，梯形面积公式和三角形面积公式．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 题型2：平行四边形—动点问题 2．在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．    (1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段上时，求证：； (3)点在射线上运动，若，，求线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）连接，可知是等腰直角三角形，再证明，得； （2）过点作交于点，首先证明，得，再证明是等腰直角三角形，可得结论； （3）分点在线段和的延长线上两种情形，分别画出图形，利用，得，从而解决问题． 【解析】（1）解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，， ，    ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点，    ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； （3）解：当点在线段上时，如图②，作，交延长线于，    则是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 由（2）得，； ， ， ， 当点在的延长线上时，作，交延长线于，    同理可得， ， ， ， ， 综上：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 3．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接、，且，点F是上一动点，连接．    (1)如图1，若点F是的中点，，求平行四边形的面积． (2)如图2，若，连接，试探究、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，以为直角边作等腰直角，，连接，若，请直接写出当点F在运动过程中，周长的最小值． 【答案】(1)20 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求解，，再求解的面积，从而可得平行四边形的面积； （2）如图，延长，交于点，先证明，再证明，再结合平行四边形的性质可得； （3）如图，过作，交的延长线于，过作，交于，先证明在上运动，作关于的对称点，连接，交于，，确定三角形周长最小时的位置，再过作于 分别求解再利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：是的中点， 设 ，，， ， 解得：，（负根舍去） ， 作于点， ，则，   ； （2）．理由如下： 如图，延长，交于点， 在中，，，，   ，，， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， （3）如图，过作，交的延长线于，过作，交于，   ， ， ，， ， ， 等腰直角三角形， ， ， 在上运动，， 如图，作关于的对称点，连接，交于， ， 此时周长最短，    过作于，由（2）可知：，而，， ，， ，， 则，是等腰直角三角形，则， ， ，， ， ， ， ， 即的周长的最小值是 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，轴对称的性质，动点的轨迹，灵活应用以上知识是解题的关键. 题型3：平行四边形—旋转问题 4．如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不变；4 【分析】（1）可证得，进而证得，从而； （2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出； （3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果． 【解析】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1， 设直线交于， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下， 连接，作，交于，作于， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由得： ， ， ， ∴四边形的面积为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 5．如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，证明，进而可求的度数； （2）如图1，连接，则，由，可得，由，可得，证明，证明四边形是平行四边形，进而结论得证； （3）如图2，延长至点H，使，证明，则，，，证明，则，进而结论得证． 【解析】（1）解：∵是由线段绕点D顺时针旋转得到的， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）证明：如图1，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与相互平分； （3）证明：如图2，延长至点H，使，    ∵N是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 题型4：平行四边形—翻折问题 6．如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． (1)证明：； (2)当时，求折痕的长； (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)折痕的长为； (3)的长为或． 【分析】（1）由，得，故，而沿着翻折得，有，即得； （2）设交于K，由，可得，而沿着翻折得，可证，即可得，故，，设设，则，知，解得，即，，设，则，有，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，当时，利用勾股定理列式计算，即可得到答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∴； （2）解：设交于K，如图：    ∵， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴折痕的长为； （3）解：当时，过B作于T，如图：    设， 由（1）知， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，如图：    设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，即； ∵E在边上， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 7．在中，，对角线平分，点M为射线上一点，连接，将沿直线翻折得到，连接．    (1)如图1，点在边上，，求的度数； (2)射线与射线交于点F，在射线上取一点G，使，连接，交于点H． ①如图2，点M在线段上，求证：； ②点M在线段延长线上，和，之间有何数量关系？写出你的结论并证明． 【答案】(1)； (2)①详见解析；②，详见解析 【分析】（1）利用翻折和平行四边形性质得出：，，，，再证得和均为等边三角形，推出，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得出，即可求得答案； （2）①设，利用翻折的性质和三角形内角和定理可得，再利用等边三角形判定和性质得出，，即可证得，再由全等三角形的性质即可证得结论；②连接、，设，可证得，得出，再利用线段的和差关系即可求得答案． 【解析】（1）解：如图1，    由翻折得：，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：设，    由翻折得：，，，， 由（1）知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：结论：，理由如下： 如图3，连接，，设，    由翻折得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由翻折得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换的性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找复杂的数量关系． 题型5：平行四边形—倍长中线法构造平行四边形 8．我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①；②； (2)图见解析； (3)，证明见解析． 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （）根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点； （）证明四边形′′是平行四边形，得到，，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【解析】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”． ∴， ∴， ∴， 故答案为； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为； （2）解：作线段、的垂直平分线，交点即为点， （3）解：，理由如下：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在′和中， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 题型6：平行四边形—情景探究题 9．【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理； 提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可． 【解析】解：提出问题：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 【答案】（1）任选一种，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）连接，可得，利用勾股定理，即可证明； （3）过点作，取的中点，连接，可得，设，利用勾股定理列方程，即可解得． 【解析】解：（1）①小芳同学的解法 证明：如图1， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②小芮同学的解法： 证明：如图2，延长与的延长线相较于点 G ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明: 如图，连接 ， ， 由(1) 得， ∴在中, ∵四边形是平行四边形        ； （3）如图，过点作，取的中点，连接， ， ， ，， ， ，， 的面积为12，， , ， 是的中点， ，， ， 根据勾股定理可得， ， 设， 根据勾股定理可得， ， 即 解得， 题型7：平行四边形—在平面直角坐标系中的应用 11．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． (1)如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； (2)如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，或，或 【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，过点作的垂线交于，利用勾股定理求出，从而求出平行四边形的面积； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形； （3）点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，作出符合要求的的点、、，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式即可求解． 【解析】（1）解：四边形为半对角四边形， ， ， ， ， 过点作的垂线交于，如图： ， ， ， ， 由勾股定理得：， ． （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是半对角四边形； （3）解： ，，四边形为平行四边形， ，， ，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 如图3，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 轴，， 当为对角线时，构成平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分， 的中点坐标为，， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：； 综上，点的坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；（3）分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值． 12．如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． 【答案】(1)①；②直线的函数表达式为； (2)点的坐标为或或； (3)． 【分析】（1）先求得的坐标，根据勾股定理即可求出AB的长度，根据轴对称的性质求得的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据直线和直线关于y轴对称求出直线的解析式，根据点R在直线上，可设点的坐标为，然后分类讨论，结合平行四边形的性质和平移的性质，可用含有m的式子表示点T的坐标，再根据点T在直线上求出m的值，即可求出点的坐标； （3）求出点，进而求出的长度，然后再结合点求出直线和直线的解析式，进而求出点和，即可得到与的长度，最后再代入计算即可． 【解析】（1）解：①∵直线交x轴于A，交y轴于B， 令，． ∴，． ∴，． ∴，． ∴，． ∵， ∴； ②∵点与点C关于轴对称， ∴． ∵直线经过点C． ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵．， ∴设直线． ∴． 解得：． ∴直线． ∵点R在直线上， ∴设点的坐标为． ①如下图所示，当点R在线段上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ②如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ③如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：由题意得， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线与x轴交于点Q， ∴． ∴． 解得：． ∴． ∴． 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴． 解得：和（舍去）． ∴直线的解析式为． ∵直线与直线交于点M． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及坐标与长度的关系，勾股定理，轴对称和平移的性质，平行四边形的性质和判定定理，代数式求值，应用一次函数的性质正确求出点的坐标是解题关键． 题型8：三角形的中位线——在三角形中的综合应用 13．在中，，，，点是射线上一点，交射线于点． (1)如图，当点在线段上时，且，求的长； (2)如图，若，求的长； (3)如图，点在的延长线上，取中点，连接并延长交的延长线于，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得，再证明，即得，设，则，利用勾股定理解答即可求解； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，设，则，利用勾股定理求出即可求解； （3）取的中点，连接，则，可得为的中位线，得到，，进而可证，得到，再求出即可求证． 【解析】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）证明：取的中点，连接，则， ∵， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∵ 点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 14．在四边形中，、分别是、的中点． (1)如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长． (2)如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：． (3)如图3，在中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同位角相等可得，于是结论得证； （3）连接，取的中点，连接、，由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，则，由两直线平行同位角相等可得，由对顶角相等可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，再结合，进而可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，于是可得，然后根据即可得出结论． 【解析】（1）解：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ； （2）证明：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ； （3）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接，取的中点，连接、， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即：是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理及平行线的性质是解题的关键． 题型9：三角形的中位线——在平行四边形中的综合应用 15．平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 【答案】(1)8 (2) (3)8 【分析】（1）根据平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）过点作于点，交于点，与延长线交于点，根据等腰直角三角形的性质，得到，，结合平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得出，进而得到，证，得出，，再由勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长、交于点，取、的中点、，连接，当点在点位置时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点位置时，点与点重合，中点与中点重合，从而得出中点的运动路径长为的长，证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形中位线定理，求出的长，即可求解． 【解析】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2，过点作于点，交于点，与延长线交于点， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如图3，延长、交于点，取、的中点、，连接， ，， ， 当点在点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 当点运动到点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 中点的运动路径长为的长， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由（2）可知，， ， 、为、的中点， 是的中位线， ， 即线段中点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，正确作辅助线，推出中点的运动路径长为的长是解题关键． 16．如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若，，，求四边形的面积； (3)如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明，得，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）如图，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质和含度角的直角三角形的性质求出，的值，即可解决问题； （3）结合分两种情况讨论：如图，当点落在的边上时，如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，分别画图进行计算即可． 【解析】（1）∵， ， 点是边的中点， ， ， ∴， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2）如图，过点作于点， ，，， ，， ， 四边形的面积； （3）如图，当点落在的边上时， 由题意可知：是的中点， ， 在平行四边形中，， ，， ≌， ， ； 如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点， 同理可证≌， ，， 是的中位线， ，，，， 在中，． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是分类讨论解决问题 17．在中，．点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到（）． (1)如图1，当时，求； (2)如图2，在旋转过程中，连接，取中点 F，作射线交直线于点G．当时， 求证：； (3)如图3．当时，点P为线段上一动点，过点E作射线于点N，M为中点，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最大值，的最小值， 【分析】（1）如图1，过点E作交的延长线于点H， 根据题意求得，再根据特殊直角三角形的性质进而求得上的高，代入面积公式算出结果； （2）①如图，在线段上截取，连接，可证得四边形是平行四边形，得出，可证，得出，由，即可推出结论； （3）连接AE，取的中点，的中点Q，连接，可证是等腰直角三角形，得出：，再由点是的中点，可得：，且，利用勾股定理得，当B、Q、M三点共线时，的最小值，当点P与点E重合时，此时，的最大值．． 【解析】（1）解：如图1，过点E作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到． ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）如图，在线段上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：连接，取的中点，的中点Q，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点S是的中点， ∴，且， ∵M是的中点，S是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， 在中，， 当B、Q、M三点共线时，的最小值， 当点P与点E重合时，， 此时，的最大值． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型10：三角形的中位线——在平面直角坐标系中的应用 18．在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．    (1)如图①，当时，求与的交点的坐标； (2)如图②，连接，当经过点A时，求的长； (3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点D的纵坐标，从而得解； （2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解； （3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围． 【解析】（1）解：如图，过点作轴，垂足为．    ∵点， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形， ∵，轴 ∴． ∴． ∴点的坐标为． （2）解：如图，过点作轴，垂足为．    由旋转得，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． （3） 解：取线段的中点N，连接、，则    ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键． 19．如图1，在平面直角坐标系中，，，满足，． (1)求A、B两点的坐标； (2)点C在上，且平分，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，点M为第四象限内一点，点D为y轴正半轴上一点，交x轴于点H，，点E为的中点，点F为的中点，与交于点G，连接、，当，且时，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平方的性质可得出求出a，b的值，即可得出A、B两点的坐标． （2）过点C作与点H，证明 ，由全等三角形的性质可得出，，由勾股定理得出，进一步得出，，则，由勾股定理可得出关与x的方程求解即可得出点C的坐标． （3）过点M，作轴于点T，可证得，则，得，有，进一步得到，则有，即平分．取的中点P，利用平行线判定为直角三角形，利用角平分得到，可求得，同理求得，根据三角形中位线求得和，即可求得答案． 【解析】（1）解：， 整理得：， 即，， 解得：，． ∴， （2）过点C作与点H， 则， ∵平分， ∴， 由， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得：， ∴． （3）过点M，作轴于点T， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即平分． 取的中点P， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴，， ∴为直角三角形， 设点D到线段的距离为h， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则， 那么，， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， 则， 【点睛】本题主要考查平方的非负性、角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形中位线定理，解题的关键是找到全等三角形和作出恰当的辅助线． 学科网（北京）股份有限公司2 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$