8.4用因式分解法解一元二次方程（三大题型提分练） -【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（鲁教版）

8.4用因式分解法解一元二次方程 题型一 用因式分解法解一元二次方程 1．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）一元二次方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，移项后，左边提取公因式，将左边因式分解，再进一步求解即可，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， 或， 解得：，， 故答案为：或． 2．（2025·山东泰安·一模）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知一元二次方程的两个根分别是点P的横纵坐标，则点P在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程、判断点所在的象限，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先利用因式分解法解方程得到，，得出点P的坐标为或，即可判断点P所在的象限． 【详解】解：， 解得：，， 一元二次方程的两个根分别是点P的横纵坐标， 点P的坐标为或， 点P在第二象限或第四象限． 故选：D． 4．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解题关键． （1）运用因式分解法分解成两个一元一次方程，解方程即可； （2）移项后运用因式分解法分解成两个一元一次方程，解方程即可 【详解】（1）解：， ， 或， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． 5．（24-25九年级上·西藏林芝·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 6．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用公式法与因式分解的方法解方程是解本题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：方程变形得：， 分解因式得：， ， 可得或， 解得：，． （2）解：方程变形得， 解得：． 题型二 利用换元思想解一元二次方程 1．（23-24八年级下·浙江·期中）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用换元法解方程是解题的关键． 设，则方程可化为，，是方程的解；方程可化为，得或，从而求出的值即可． 【详解】解：设，则方程可化为， ∴，是方程的解， 则方程可化为， ∴或，即或， ∴或，即，． 故选：． 2．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，即可求出结论． 【详解】解：由得到， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，利用换元法将原方程化为关于y的方程，再通过去分母得到整式方程，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 原方程可化为， 去分母，得：， 整理得：， 原方程可化为关于y的整式方程是． 故答案为：． 4．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法． 设，可得一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【详解】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 题型三 一元二次方程的综合应用 1.（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当时，求原方程的解． (2)求证：在实数范围内，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，． (2)见详解 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．掌握这些知识是解题的关键． （1）把代入方程，利用因式分解法解方程即可． （2）证明即可． 【详解】（1）解：当时，则原方程变成， 或 解得：， （2）证明：∵ ∴在实数范围内，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）； (3)如果此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，已知第三边长为5，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2和 (3) 【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式组，解题的关键是掌握根的判别式． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，结合偶次方的非负性，可得出，进而可证出此方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解原方程即可； （3）根据三角形的三边关系，可列出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：证明： ， 此方程总有两个实数根； （2）解：解：， ， ，， 此方程的两个根分别为2和； （3）解：此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长， 三角形的两条边长为2，， 又此三角形的第三条边长为5， ， 解得： 答：k的取值范围为 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则（    ） A．3 B． C．3或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法．也考查了新定义．先利用因式分解法解方程得到，，然后讨论：根据新定义，当，，则；当，，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 所以，， 当，，则； 当，，则； 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）若等腰三角形的某两边的长是方程的两根，则它的周长为（     ） A．9或12 B．9 C．10或12 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形三边关系；先解一元二次方程，求得两边分别为2与5，分腰为2与腰为5两种情况考虑，结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：解得：； 由题意，当腰为2时，则底边为5，但，不符合三角形三边关系，不符合题意； 当腰为5时，则底边为2，，符合三角形三边关系， 所以周长为； 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则的值为（　　） A．或1 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键． 设，而，可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设， ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：，（不符合题意舍去）； ∴， 故选：C 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·新疆昌吉·一模）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解的定义及方程的解法． 把代入方程求出的值即可求解． 【详解】解：把代入方程，得， 解得， 把代入原方程，得， 解得． 故答案为：2． 6．（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有， 当6是的 2 倍时，即有． 故答案为：或． 7．（2025八年级下·浙江·专题练习）若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程的解是，， ∴关于的方程的解为或， 解得：或， ∴关于y的方程的解为，． 故答案为：，． 8．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是， ∴设，则可化为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． （2）设，则可化为，即， ∵关于x的方程的解是， ∴，即， ∴，解得：． 故答案为：． 9．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知为实数，且满足，那么的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查解一元二次方程，常见的错误是没有舍去的情况．将某个代数式当作整体求出其值后，要注意检查答案的合理性，可有效避免上述错误的发生．将看做整体，利用因式分解法解方程，再根据一元二次方程根的判别式排除错误结果即可． 【详解】解：原方程可化为， 或， 在中，即， ∵， ∴没有实数解，故舍去． ． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）解方程： (1)（用配方法） (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴，， 解得：，． 11．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）解下列方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可得； （2）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解一元二次方程即可得； （3）方程可以配方为，利用配方法解一元二次方程即可得； （4）方程可变形为，利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， 或， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ， ， 或， ． 12．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ∴ ， 解得，． （2）解：， 解得， （3）解：， ， ，， 解得：，． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）利用公式法解方程即可； （2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 14．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两个根中只有一个根小于4，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x的值，结合方程有一个根小于4，即可得出m的取值范围． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴关于x的一元二次方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 解得：，， ∵方程的两个根中只有一个根小于4， ∴． 答：m的取值范围是． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若该是等边三角形，求该方程的根； (2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可； （2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为：，即 ， ， ， （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ，即， 是直角三角形． 16．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）在学习一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：． 嘉嘉同学的解答过程如下： 方程两边同时除以，第一步 得，第二步 所以，第三步 因此，方程的解为．第四步 (1)判断嘉嘉的解法是否正确，若不正确，请说明原因； (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法不正确．原因见解析 (2)，．过程见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是关键； （1）由方程两边不能同时除以，不符合等式的性质可得答案； （2）先移项，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【详解】（1）解：嘉嘉的解法不正确． 原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以，不符合等式的性质； （2）解： ， ，即， 或， ∴方程的解为，． 17．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4用因式分解法解一元二次方程 题型一 用因式分解法解一元二次方程 1．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）一元二次方程的解是 ． 2．（2025·山东泰安·一模）一元二次方程的解为 ． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知一元二次方程的两个根分别是点P的横纵坐标，则点P在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 4．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 5．（24-25九年级上·西藏林芝·期中）解方程： (1) (2) 6．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）解方程： (1) (2) 题型二 利用换元思想解一元二次方程 1．（23-24八年级下·浙江·期中）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．2022 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是 ． 4．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）已知，求的值． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 题型三 一元二次方程的综合应用 1.（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当时，求原方程的解． (2)求证：在实数范围内，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）； (3)如果此方程的两个根刚好是某个三角形的两条边长，已知第三边长为5，求k的取值范围． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则（    ） A．3 B． C．3或 D．以上都不对 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）若等腰三角形的某两边的长是方程的两根，则它的周长为（     ） A．9或12 B．9 C．10或12 D．12 3．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则的值为（　　） A．或1 B． C．1 D．3 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 5．（2025·新疆昌吉·一模）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一根是 ． 6．（2025·河南驻马店·一模）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 7．（2025八年级下·浙江·专题练习）若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ． 8．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 9．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知为实数，且满足，那么的值为 ． 10．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）解方程： (1)（用配方法） (2) 11．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）解下列方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 12．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程． (1) (2) (3) 13．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 14．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两个根中只有一个根小于4，求m的取值范围． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若该是等边三角形，求该方程的根； (2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 16．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）在学习一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：． 嘉嘉同学的解答过程如下： 方程两边同时除以，第一步 得，第二步 所以，第三步 因此，方程的解为．第四步 (1)判断嘉嘉的解法是否正确，若不正确，请说明原因； (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 17．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$