专题8.3 球的切接问题（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题8.3 球的切接问题 【基础知识】 1 【考点1：内切球半径、表面积、体积】 2 【考点2：与内切球有关的最值问题】 3 【考点3：外接球半径、表面积、体积】 4 【考点4：与外接球有关的最值问题】 5 【基础知识】 1.1球的性质 球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则. 1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.3几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为，球的半径为， ①正方体的外接球，则； ②正方体的内切球，则； ③球与正方体的各棱相切，则. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 1.5.解决与球有关的切、接问题的方法： (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． (2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的． 【考点1：内切球半径、表面积、体积】 【知识点：内切球半径、表面积、体积】 1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）某圆锥的轴截面是等边三角形，且其侧面积为，则该圆锥内切球的体积为 ． 2．（2025高二下·四川南充·阶段练习）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为，则该圆锥的内切球体积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（四川省南充市2025届高三高考适应性考试（三诊）数学试题）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三上·江西吉安·阶段练习）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【考点2：与内切球有关的最值问题】 【知识点：与内切球有关的最值问题】 1．（24-25高一下·重庆·期末）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为 . 2．（24-25高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 3．（2025高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则 ；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为 4．（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川·一模）一正四棱锥，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时，为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2025高一下·湖南·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长都是分别是三棱锥外接球和内切球上的点，则（    ） A．三棱锥的体积是 B．三棱锥内切球的半径是 C．长度的取值范围是 D．三棱锥外接球的体积是 【考点3：外接球半径、表面积、体积】 【知识点：外接球半径、表面积、体积】 1．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三下·甘肃白银·阶段练习）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面为正三角形，底面，，且与底面所成的角为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北保定·一模）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三下·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二下·云南·阶段练习）在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 8．（2025高一下·广西南宁·阶段练习）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 【考点4：与外接球有关的最值问题】 【知识点：与外接球有关的最值问题】 1．（2025高二下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2025·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西晋中·模拟预测）已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·专题练习）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，某香包挂件是正四棱锥形状，其高为，底面边长为，若将此棱锥放在一球内可任意转动，则该球表面积的最小值为 . 8．（2025·山东菏泽·一模）如图，在中，，，E是的中点，D是边上靠近A的四等分点，将沿翻折，使A到点P处（P点在平面上方），得到四棱锥.则 ①的中点M运动轨迹长度为 ； ②四棱锥外接球表面积的最小值为 . 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 球的切接问题 【基础知识】 1 【考点1：内切球半径、表面积、体积】 2 【考点2：与内切球有关的最值问题】 8 【考点3：外接球半径、表面积、体积】 15 【考点4：与外接球有关的最值问题】 22 【基础知识】 1.1球的性质 球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则. 1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.3几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为，球的半径为， ①正方体的外接球，则； ②正方体的内切球，则； ③球与正方体的各棱相切，则. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 1.5.解决与球有关的切、接问题的方法： (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． (2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的． 【考点1：内切球半径、表面积、体积】 【知识点：内切球半径、表面积、体积】 1．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）某圆锥的轴截面是等边三角形，且其侧面积为，则该圆锥内切球的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，由圆锥侧面积公式求出等边三角形边长及内切圆半径，再求出内切球的体积. 【详解】设圆锥底面圆半径为，则，解得， 圆锥轴截面等边三角形边长为，其内切圆半径为， 圆锥轴截面等边三角形内切圆是圆锥内切球截面大圆，因此球半径为1，球体积为. 故答案为： 2．（2025高二下·四川南充·阶段练习）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【分析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 【详解】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 3．（2025·广东广州·模拟预测）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为，则该圆锥的内切球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆锥的底面半径为，由题意知圆锥的母线长为，根据圆锥侧面积为，可求出，再计算内切球的半径即可得到内切球的体积. 【详解】 设圆锥的底面半径为,因为圆锥的轴截面为等边三角形, 所以圆锥的母线长为 依题意：,解得. 设圆锥的内切球半径为,又圆锥的轴截面为等边三角形， 所以， 则内切球的体积. 故选：D. 4．（2025高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出轴截面，根据直角三角形的知识计算出底面半径和高，再根据圆锥的体积计算公式即可. 【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积. 故选：C 5．（四川省南充市2025届高三高考适应性考试（三诊）数学试题）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求得圆台的底面半径长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】，， 故，， 故圆台上底面半径： 下底面半径： 如图，取圆台的轴截面，则圆台的高： ， 则该圆台的内切球的半径： 故内切球表面积： 故选：D 6．（2025高三上·江西吉安·阶段练习）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：作出该圆台的轴截面，利用圆台的母线长为，再利用勾股定理求出，由球表面积可得答案；解法二：作出该圆台的轴截面，利用求出，即，再由球表面积可得答案. 【详解】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为 所以圆台的母线长为，故， 故球的表面积为. 解法二：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为， ，所以， 即，又，所以， 可得，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故选：B. 7．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 8．（24-25高三上·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求. 【详解】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形的内切圆，圆心为， 设上下底面的中心分别为． 过作于，连接， 由图可知， 则， 过作于，， 即四棱台的高为， 设外接球球心为，设外接球的半径为， 则 ， 解得， 则外接球表面积为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关于正四棱台的内切球问题，关键是要通过截面法确定内切圆的圆心与半径，从而转换为几何体的内切球，由几何性质确定正四棱台的高度，从而再根据外接球的性质求解外接球半径，即可得所求. 【考点2：与内切球有关的最值问题】 【知识点：与内切球有关的最值问题】 1．（24-25高一下·重庆·期末）已知三棱锥三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且，M为该三棱锥的内切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出到平面的距离，再根据等体积法求出三棱锥内切球的半径，进而求出球面上一点到距离的最小值. 【详解】因为，且三条侧棱两两垂直， 则△是边长为的正三角形， 如图，设三棱锥的内切球与平面相切于， 根据已知条件知三点共线，且为△的中心， 连接与球交于点，此时最小， 连接与交于，由已知得， ，， 而，， 设球的半径为，则由等体积法得， ， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：等体积法是求三棱锥的内切球半径的重要方法，是解决本题的关键. 2．（24-25高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【详解】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于借助等体积求出大球，小球的半径，由此结合表面积公式即可求解. 3．（2025高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥中，是边长为的正三角形，顶点在底面上的射影是的中心，且．三棱锥的内切球为球，外接球为球，若球的半径为，球的半径为，则 ；若为球上任意一点，为球上任意一点，则线段的最小值为 【答案】 【分析】将三棱锥放入正方体中，利用等体积法可得内切球半径，根据正方体的外接球求解，进而可求解空1，根据两球的关系，结合半径的关系即可求解空2. 【详解】由题易知，三棱锥为棱长为1的立方体的一部分，如图 由等体积法求，，即. 又由，即，所以； 的外接圆半径为，故点到平面的距离为， 由于，所以在三棱锥的外部， 故球内含于球，且， 所以. 故答案为：， 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 4．（2025·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设是线段的中点，则，利用勾股定理求出，进而求出，找出当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，再利用弦长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】设是线段的中点，则， 由勾股定理， 球心到距离为， 当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小， 被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为. 故选：A. 5．（2025·四川·一模）一正四棱锥，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正棱锥球的内切或外接确定球心位置，然后求出外接球和内切球半径，然后根据外接球半径与内切球半径之比最小时，求出，即可求解. 【详解】如图，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，则平面， 如图所示，设正四棱锥外接球的球心为，， 连接，则， 因为，所以, 在中， ,即， 如图所示，设正四棱锥内切球的球心为， ， 取的中点，连接, 设内切球与面切于点,与面切于点,易知,, 则， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当即时，等号成立，取得最小值， 所以， 所以， 故选：D 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等. 6．（多选）（2025高一下·湖南·阶段练习）已知三棱锥的所有棱长都是分别是三棱锥外接球和内切球上的点，则（    ） A．三棱锥的体积是 B．三棱锥内切球的半径是 C．长度的取值范围是 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】ACD 【分析】作出棱锥的高，利用体积公式处理A，利用内切球的半径公式处理B，利用勾股定理建立方程求解外接球半径，进而求出体积判断D，C即可. 【详解】 如图，取BC的中点M，连接AM，PM，作平面ABC． 易证H在AM上，且，则， 从而三棱锥P—ABC的体积，故A正确. 设三棱锥P—ABC内切球的半径为r，则， 所以，故B错误. 设三棱锥P—ABC外接球的半径为R，球心为O， 则，即， 解得，所以，则三棱锥P—ABC外接球的体积是， 显然长度的取值范围是，故C，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查求立体几何，解题关键是利用勾股定理求出外接球的半径，然后求解体积和边的取值范围即可． 【考点3：外接球半径、表面积、体积】 【知识点：外接球半径、表面积、体积】 1．（2025·陕西商洛·三模）已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 2．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为. 根据题意列出方程，求解即可. 【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 3．（2025高三下·甘肃白银·阶段练习）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面为正三角形，底面，，且与底面所成的角为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义和已知条件，找出线面角的平面角以及外接球球心，求出球半径即可得球的表面积. 【详解】 因为底面，所以与底面所成的角为，则， 又因为，所以. 设为的外心，因为底面为正三角形，所以， 所以球的半径，球的表面积为. 故选：A. 4．（2025·河北保定·一模）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正弦定理求底面外接圆半径，再根据三棱锥外接球半径求得外接球半径，进而求外接球表面积. 【详解】在中，，， 所以，所以. 设外接圆半径为，则. 又平面，且，设三棱锥的外接球半径为， 则. 所以三棱锥的外接球表面积为：. 故选：D 5．（2025高三下·江西·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一:先找两个关键图形（直角三角形和正方形）外接圆的圆心、，过它们分别作对应平面的垂线，交点就是外接球的球心.接着取中点构造辅助线，根据已知角度和线段关系算出，再结合，用勾股定理求出球半径，最后根据公式算球表面积. 解法二:先通过线面垂直判定定理证明平面，确定球心在平面内射影为.然后算出相关线段长度，用余弦定理求.设，根据勾股定理分别表示出和，利用建立方程求出，进而得到球半径，最后算出球表面积. 【详解】解法一（通法）：设分别为线段的中点，由，知为直角三角形的外接圆圆心； 因为四边形为正方形，所以为正方形外接圆的圆心； 过分别作平面，平面的垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心，即为外接球的半径. 取的中点，连接，则，可证点四点共面， 因为，所以，则， 又，所以，则， 所以球的表面积为.    解法二：如图，过点作于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，又平面，所以平面， 因为，所以，取的中点，则球心在平面内的射影为，即平面，连接，则， 过点作，交直线于点，则， 因为，所以1，又， 由余弦定理，得， 设，则，故，由勾股定理，得，所以，解得， 所以球的半径为，所以球的表面积为. 故选：D.      6．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 【详解】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. 7．（2025高二下·云南·阶段练习）在正四棱台中，，，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的表面积为 . 【答案】或 【分析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，，设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，，进而求得棱台侧高，即可求解. 【详解】设外接球的半径为，由，得， 设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，（根据正方形外接圆半径与边长关系）， 设球心到上下底面的距离分别为，，由，可得，， 则正四棱台的高或， 侧面梯形的高 或， 正四棱台的表面积， 或正四棱台的表面积. 故答案为：或 8．（2025高一下·广西南宁·阶段练习）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为：. 【考点4：与外接球有关的最值问题】 【知识点：与外接球有关的最值问题】 1．（2025高二下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先求出底面内切圆半径，再结合题意得到正方体外接球直径等于该内切圆直径时，棱长最大可得. 【详解】在正三棱柱中，，所以底面三角形内切圆半径为， 因为存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 若正方体棱长最大，可知该球体直径应为底面内切圆直径，即，即， 此时三棱柱的高大于球的直径，符合要求. 故选：D 2．（2025·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一,根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值; 方法二, 根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值. 【详解】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形分析点的位置，根据体积求出球的半径，然后由球的体积公式可得. 【详解】设球的半径为，记的中点为，则， 易知，当点在的延长线上，且棱锥的高等于求的半径时，棱锥体积最大. 因为，所以，. 当点在的延长线上时，的面积最大，为， 四面体体积的最大值为，解得， 从而球的体积为. 故选：D 4．（2025高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，画图找出外接球球心，再利用勾股定理和基本不等式求解即可. 【详解】解：由题易知是等腰直角三角形，则外接圆的圆心在AM的中点处， 过作平面ABC的垂线，则外接球的球心O在上， 过点P作交于点N，则四边形为矩形， 因为，，所以， 在三角形中，由余弦定理：可得， 所以， 设，，三棱锥的外接球的半径为R， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 则三棱锥的外接球表面积 故选：B. 5．（2025·山西晋中·模拟预测）已知棱长为的正方体的中心为，若球的球面与该正方体的棱有公共点，则球的表面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分析得到最小的球为正方体的棱切球，最大的球为正方体的外接球.然后分别求出半径，后求出表面积的范围. 【详解】由题意知，当球是正方体的棱切球时，球与棱有公共点， 如图： 此时球的半径， 当球是正方体的外接球时，球与棱有公共点， 如图： 此时球的半径， 所以球的半径， 故球的表面积. 故选：C. 6．（2025高一·全国·专题练习）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 . 【答案】 【分析】将正四面体放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体的外接球，求出半径，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解. 【详解】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故答案为：. 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，某香包挂件是正四棱锥形状，其高为，底面边长为，若将此棱锥放在一球内可任意转动，则该球表面积的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先求出正四棱锥底面中心到顶点的距离，进而得到侧棱长；然后根据外接球的性质建立等式求出半径；最后代入球的表面积公式计算. 【详解】如图，设该香包挂件的直观图为正四棱锥，其底面的中心为， 则为正四棱锥的高，所以， 由题可知在正方形中，，所以，所以. 由题可知正四棱锥的外接球即为所求，易知正四棱锥外接球的球心在直线上，设其外接球的直径为，因为点在正四棱锥外接球的球面上，所以， 又，所以由几何性质可得，则， 所以，故外接球的表面积为，即所求球的表面积的最小值为. 故答案为：. 8．（2025·山东菏泽·一模）如图，在中，，，E是的中点，D是边上靠近A的四等分点，将沿翻折，使A到点P处（P点在平面上方），得到四棱锥.则 ①的中点M运动轨迹长度为 ； ②四棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】因为到中点的距离等于（定值），且点在平面上方，所以的轨迹是以中点为圆心，为半径的半圆，进而可求周长；确定四棱锥底面外接圆的圆心及半径，当该点为球心时，四棱锥外接球的表面积最小. 【详解】因为到中点的距离等于，且点在平面上方， 所以的轨迹是以中点为圆心，为半径的半圆， 所以的中点运动轨迹长度为； 因为四边形的外心为的中点，所以四边形的外接圆的半径 所以四棱锥外接球的球心在过四边形的外心且垂直平面的直线上， 设四棱锥外接球的半径为，设球心到四边形的外心的距离为， 则，当时，等号成立， 所以四棱锥外接球表面积的最小值为. 故答案为：；. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$