期中复习（解答题压轴题58题）八年级数学下学期新教材华东师大版

期中复习（压轴题58题） 一、解答题 1．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 2．在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 3．某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2) 若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 4．已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 5．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 6．（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 7．阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 8．（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 9．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 10． 关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 11．景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 12．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 13．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3） 小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 14．有两块小麦试验田，其中甲试验田是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，乙试验田是边长为的正方形．去年在两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦．为提高单位面积产量，科研小组通过杂交试验，获得两款小麦种子“丰收1号”和“丰收2号”，今年分别播种在甲、乙两块试验田中，共收获小麦总产量为． (1)去年的单位面积产量为 ；（用含的代数式表示） (2)若今年从甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多．根据上述信息，请判断杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能否能提高小麦的单位面积产量？请通过计算说明理由． 15．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 16．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3) 若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 17．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 18．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件． (1)求该商品的单价； (2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变． ①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小． ②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量． 19．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 20．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (4) 在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)连接、， 当时，求点的坐标； 当的面积等于面积的一半时，请直接写出点的坐标为 　 　． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为 ___________，点D的坐标是 ___________； (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交轴于点，交轴于点，直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标． (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值； (3)如图，点是直线上一点，且在点的下方． 求的面积； 以为边在第四象限作等腰直角三角形，求出点的坐标． 24．把一次函数（，为常数，）在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图①就是函数的“”形图象． (1)请在图②中画出一次函数的“”形图象． (2)结合一次函数的“”形图象，下列结论：①函数图象关于直线成轴对称；②当时，随的增大而增大；③当时，；④函数图象与坐标轴围成图形的面积为0.5．其中所有正确结论的序号是：__________． (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点，与直线相交于，两点，求的面积； (4)在矩形中，、、、，若一次函数（为常数，）的“”形图象与矩形的边只有两个交点时，直接写出的取值范围． 25．在函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： 0 1 0 2 0 2 4 6 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (2)研究函数并结合图象，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则　　，　　（填“”，“ ”或“” ； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为 　　；（注：直线为经过且垂直轴的直线） ③当时，的取值范围是 ． (3)设该分段函数的图象与轴交于点，点和点分别是平面内的定点和动点，点是函数图象上的一点，横坐标为，以为边向右作正方形．当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，且，，． (1)求直线与直线的解析式； (2)点E为直线上一动点，若，求点E的坐标； (3)若点F是直线上一点，点G是x轴上一点，当与全等时，请直接写出点F的坐标． 27．如图，已知一次函数的图像经过点，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且． (1)求m的值； (2)点D在x轴上，且的面积是3，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，且点D在x轴正半轴上，设点E为x轴上一动点，当时，求点E的坐标． 28．一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线 和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 29．对于三个数 ，表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数，如： ， ； ，． 请根据材料解决下列问题： 【开胃小菜】 （1）填空： = ；若，则x的取值范围是 ； 【解决问题】 （2） ① 若 ，求x ； ② 根据①你发现了结论“若，则 ．”（填大小关系）； ③ 运用②填空：若 ，则 ； 【拓展延伸】 （4） 在同一直角坐标系中作出函数的图象（不需列表，描点），通过图象，得出最大值为 ． 30．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标．    (1)点的坐标为 ，线段的长为 ； (2)求直线的表达式及点的坐标； (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），，交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明； ②求点移动过程中面积的最大值． 31．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)在直线上是否存在点，使得的面积等于？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：． （1）如图1，若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________； 【模型拓展】 （3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I． ①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明； ②若，，请求出的长． 33．如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)①直接写出点的坐标 ___； ②求直线的函数关系式； (2) 如图，设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．连接，在点的运动过程中是否存在点，使，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，直线经过点A，且与y轴交于点C． (1)点A的坐标为 ， ；（直接写出答案） (2)若点Q为y轴上任意一点． ①连接，当时，请求出点Q的坐标； ②若点P为射线上任意一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于M、N，当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 35．如图，在平面直角坐标系中，分别在轴正半轴、轴正半轴上取A、B两点，若两点坐标分别是、，且a，b满足：． (1)______，______； (2)点C为轴负半轴上一点，连接，于点M，交于N． ①如图1，求证：； ②如图2，若，连接，求的大小； (3) 如图3，若点D为的中点，点F是轴负半轴上一动点，连接，过点D作交轴于点E，设，请问：当点F在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 36．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 37．已知，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足． (1)则______，______； (2)如图1，若点，于点，交于点，点是线段上一点，且，求的长； (3)如图2，点，点在轴上，且，求点的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 39．如图，点，分别是一次函数与轴，轴的交点，为线段的中点，点是直线：上一点，连接，，且轴． (1)求，两点的坐标； (2)若，求的值； (3)连接，是否存在值，使得，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标； (3)如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 41．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当Q点到达点B时，点P也停止运动．连接线段，设点P运动的时间为t秒． (1)经过时，写出此时点P的坐标 ，点Q的坐标 ． (2)当线段时，求此时点P运动的时间t． (3)点M为线段中点，在点P、Q运动过程中，以点P、Q、M三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的t的值． 42．已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中轴和轴于、两点，点坐标为，点坐标为，点在直线上，且点坐标为．    (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当时，求点坐标； (3)如图2，点坐标为，连接，在直线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 43．如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 44．如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D． (1)求点A和点B的坐标； (2)点P在直线上，且的面积为， ①求出点P的坐标； ②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标． 45．如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)当点从向运动时，______，______； 当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）． (2)当直线恰好平分的面积时，求的值． (3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值． 46．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 47．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为28． (1)分别求点A、B、C的坐标． (2)若点M是线段上的一个动点，当M刚好运动到的中点时，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，四边形中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿线段的方向向点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长的速度沿射线的方向运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒． (1)当时，的面积为______； (2)若四边形为平行四边形，求运动时间t； (3)是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 49．如图1，中，，，，交轴于点． (1)请直接写出的面积为 ； (2)如图2，点在轴上，连接，求证：； (3)如图3，点是轴正半轴上一个动点，是线段的中点，连接，点在轴正半轴上运动，当时，求此时的值． 50．如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图1，连接，且． ①求证：：②若，，求的长． (4) 如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 51．已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的面积． (3)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 52．小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点、点，当时，得到图1，作点关于的对称点，连接，，得到图1． (1)在图1中与的数量关系是 ，的度数为 (2)证明：；        证明四边形是平行四边形． (3) 当时，直接写出的度数． 53．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 54．定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则　 　； (2)如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，、为常数），其中满足．若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围． 55．如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）． (1)求B、C两点的坐标； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； (3)当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 56．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 57．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 58．【观察发现】 如图1，和都是等腰直角三角形，连接和，、相交于点P，猜想线段与的数量关系，以及与相交构成角的度数．请说明理由． 【深入探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，且，连接、，Q为中点，连接．试探究线段与的关系，并加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（压轴题58题） 一、解答题 1．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 2．在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【答案】(1)制作一个 A 分子模型需要小球 10 个，塑料管 8 根，制作一个 B 分子模型要小球 12 个，塑料管 10 根 (2)共有四种方案可选择 【分析】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准数量关系正确列出分式方程、一元一次不等式以及一元一次不等式组． （1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80，列出方程式得出塑料管的单价，小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，列出一元一次不等式，再由题意列出一元一次不等式组，解不等式组进而得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得 解得 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根． （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ，， 解得，． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， 是正整数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 3．某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 【答案】(1)①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，安装在后轮上每万千米的损耗量为；② (2)在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由见解析；该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 【分析】本题考查分式的运算的应用，分式方程的应用． （1）①把轮胎完好到报废的损耗量看成单位1，根据每万千米的损耗量等于损耗量除以里程即可解答； ②根据“安装在前轮的损耗量＋安装在后轮的损耗量＝1”列出方程，求解并检验即可； （2）B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为，当行驶万千米后将前后轮对调，原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，若它们同时报废，则，得到，不合题意，即可解答．设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为， 安装在后轮上每万千米的损耗量为． ②根据题意，得， 解得， 经检验，是该方程的解，且符合题意． （2）解：在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由如下： B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为， 当行驶万千米后将前后轮对调， 原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 若它们同时报废，则， 整理，得， ∴，不合题意， ∴在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废． 设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，则 解得：， ∴该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 4．已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析，②见解析． 【分析】本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可． （2）①将进行变形，结合即可解决问题． ②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， 所以， 整理得，， 所以． （2）①证明：由得， ，． 因为， 所以， 整理得，． 因为为正数， 所以， 所以， 即， 所以． ②解：由得， ． 又因为，， 所以， 即， 整理得，． 因为为正数， 所以． 又因为， 所以． 5．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【详解】（1）解： ， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 6．（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（一）（）②；（）的值为或；（二）（）①②③；（），；（）． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （一）（）由“和谐分式”的定义求解即可； （）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （二）（）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （）由原式，再整理可得； （）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”， 故答案为：②； （）∵为“和谐分式”， ∴或或，， ∴或或或， ∵a为正整数， ∴或， 当时，为“和谐分式”， 当时，为“和谐分式”， ∴的值为或； （二）（）①，是和谐分式； ②是和谐分式； ③，是和谐分式． 故答案为：①②③． （）， 故答案为∶，． （） ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又∵分式有意义时、、、， ∴． 7．阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 8．（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、运用乘法公式进行化简．乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，完全平方公式是，平方差公式是． 首先把整理，可得：和，把多项式整理可得：原式，再整体代入进行求值即可； 整理可得，把整理可得：原式，再整体代入求值即可． 【详解】解：， 移项得：， 把两边同时除以可得：， ， ； 解：， 两边同时乘以可得：， 整理得：， ． 9．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 10．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求的范围，最后确定的整数解，再相加即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程是：， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， 关于的分式方程可能会产生增根2， ， ， 解关于的一元一次不等式组得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 综上，且， 为整数， 或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是：． 11．景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克元和每千克元，采摘这两种蔬菜一共支付了元，其中西红柿比土豆少千克． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是元和元，土豆的售价是西红柿售价的，土豆比西红柿多卖出千克，求土豆和西红柿的售价． 【答案】(1)西红柿采摘了，土豆采摘了 (2)土豆的售价是元，西红柿的售价是元 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键． （1）设西红柿采摘了，土豆采摘了，根据题意列出二元一次方程组，解答即可． （2）根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元，根据题意列出分式方程，解答即可． 【详解】（1）解：设西红柿采摘了，土豆采摘了． 根据题意得， 解得． 答：西红柿采摘了，土豆采摘了． （2）解：根据题意可设土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：土豆的售价是元，西红柿的售价是元． 12．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【答案】(1)品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元 (2)共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； (3)． 【分析】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解； （）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元； （2）解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个， 由题意得， 解得， ∵每辆车一次换个雪地胎， ∴为的倍数， ∴或或， ∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； （3）解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工， 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为， 答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为． 13．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 14．有两块小麦试验田，其中甲试验田是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，乙试验田是边长为的正方形．去年在两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦．为提高单位面积产量，科研小组通过杂交试验，获得两款小麦种子“丰收1号”和“丰收2号”，今年分别播种在甲、乙两块试验田中，共收获小麦总产量为． (1)去年的单位面积产量为 ；（用含的代数式表示） (2)若今年从甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多．根据上述信息，请判断杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能否能提高小麦的单位面积产量？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）本题考查了一元一次方程的应用和整式的混合运算，设去年的单位面积产量为，根据“两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦”列出表达式，根据解一元一次的方法和整式混合运算法则即可解题． （2）本题考查利用作差法比较两个分式的大小，设今年甲实验田收获的小麦为，则今年乙实验田收获的小麦为，根据“甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多”列不等式，得到，根据题意表示出“丰收1号”单位面积产量“丰收2号”单位面积产量，再与去年的单位面积产量进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：设去年的单位面积产量为， 根据题意可得：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：设今年甲实验田收获的小麦为，则今年乙实验田收获的小麦为， ， ， ， 又， ，， “丰收1号”单位面积产量为：，“丰收2号”单位面积产量为：， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 即， ， 杂交后获得的“丰收1号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量． 又， ， ， ， ， 又， ，， ， 即， ， 杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量． 15．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)①；②2号 (2)14 (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量； ②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当时，， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 故答案为：，，． 16．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 17．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 【答案】(1)甲品牌每件的进价为30元，乙品牌每件的进价为60元； (2)商场共有三种进货方案：①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件； (3)抽到的二等奖中，购买乙种品牌恤衫有1件或3件． 【分析】（1）根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元； （2）购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出的取值，分别列出进货方案即可； （3）根据（2）中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若为小于等于3的整数，则可满足题意． 【详解】（1）解：设甲品牌恤衫每件的进价为元，则乙品牌恤衫每件的进价为元． 由题意得： 解得： 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：甲品牌恤衫每件的进价为30元．乙品牌恤衫每件的进价为60元． （2）设该商场购进甲品牌恤衫a件，则购进乙品牌恤衫件． 根据题意得： 的整数值为78，79，80． 商场共有三种进货方案． 方案一：购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件； 方案二：购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件； 方案三：购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件． （3）设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件， ①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． ②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为甲品牌， 解得：． 购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为乙品牌， 解得：． ③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． 因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验． 18．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件． (1)求该商品的单价； (2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变． ①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小． ②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量． 【答案】(1)该商品的单价为21元 (2)①甲的平均单价等于乙的平均单价；②或28 【分析】（1）设该商品的单价为x元，根据商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件列出方程求解即可； （2）①分别求出甲、乙两次一共购买的商品数量，进而求出甲、乙的平均单价，然后比较大小即可；②先求出甲商品一月份一共购进的商品数量为件 二月份甲购进的商品数量为件，设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件，再根据销售额成本利润列出方程推出，再由m、n都是正整数，得到，由2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，得到，进而得到且m是正整数，再由也是正整数，得到m必须是偶数，即m的值为或28． 由题意得，， 【详解】（1）解：设该商品的单价为x元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴该商品的单价为21元； （2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为件， 乙两次一共购买的商品数量为， ∴甲的平均单价为， 乙的平均单价为， 即， ∴甲的平均单价等于乙的平均单价； ②甲商品一月份一共购进的商品数量为件 当时，则二月份甲购进的商品数量为件， 设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件， 由题意得，， ∴， ∴； ∴， ∵m、n都是正整数， ∴， ∴， ∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半， ∴， ∴， ∴， ∴且m是正整数， 又∵也是正整数， ∴m必须是偶数， ∴m的值为或28． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式混合计算的实际应用，二元一次方程的解，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键． 19．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真；②， (2)，或或或 (3)36 【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)连接、， 当时，求点的坐标； 当的面积等于面积的一半时，请直接写出点的坐标为 　 　． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或； 或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式； （2）由直线可得，由直线：得，即可得的面积； （3）设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，分别求解即可； 设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， ， 设直线的表达式，把和代入得： ， 解得：，， 的表达式为； （2）解：直线与轴相交于点， ， 直线：与轴相交于点， ， 点， ， ； （3）解：点在轴正半轴时，过点作轴于，如图， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则，，， ， ， 点的坐标为； 点在轴负半轴时，如图， 由图得当点与点重合时，， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； 设点的坐标为， 点在轴正半轴时，如图， ， ， ， ， 点的坐标为； 点在轴负半轴时，如图， ， ， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为 ___________，点D的坐标是 ___________； (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)或 (4)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标； （2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标； （3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 在中，， 由折叠的性质可知，， ， 点D的坐标是， 故答案为：，； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， ， 解得：，即， 点C的坐标为； （3）解：，， ，， ， 设点的坐标为， ， ， ， ， 或， 或， 点M的坐标为或； （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点P的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 同理 可证，， ，， ， 点P的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点，轴于点， 则， ∴； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为， ， ，， ， 解得：， 点P的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 23．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交轴于点，交轴于点，直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标． (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值； (3)如图，点是直线上一点，且在点的下方． 求的面积； 以为边在第四象限作等腰直角三角形，求出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式，点的坐标为； (2) (3) ； ，， 【分析】本题考查一次函数综合应用，掌握求函数解析式方法，求坐标点的方法是解题的关键． （）根据待定系数法求出一次函数的关系式，再将代入关系式，求出，即可得出点的坐标； （）确定点关于x轴的对称点，再根据轴对称说明的值最小，然后根据勾股定理求出答案； （）①先求出，，再根据得出答案； ②先以为直角边作等腰直角三角形，可得出三个符合条件的三角形，分别求出坐标即可； 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，分别把，代入得 ， 解得： ， ∴直线的解析式， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，如图， 当点，，三点共线，即连接交轴于点，此时存在点使的值最小，的值最小为； （3）解：根据题意可知 ，，， ， 以为直角边作等腰直角，，则为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴轴， ∴， 则点，， ∵， ∴ 轴，， 则点， 综上所述：，，． 24．把一次函数（，为常数，）在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“”形图象，例如，如图①就是函数的“”形图象． (1)请在图②中画出一次函数的“”形图象． (2)结合一次函数的“”形图象，下列结论：①函数图象关于直线成轴对称；②当时，随的增大而增大；③当时，；④函数图象与坐标轴围成图形的面积为0.5．其中所有正确结论的序号是：__________． (3)在（1）的条件下，若一次函数的“”形图象与轴交于点，与直线相交于，两点，求的面积； (4)在矩形中，、、、，若一次函数（为常数，）的“”形图象与矩形的边只有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①②④ (3) (4)或 【分析】（1）根据题意作出相应函数图象， （2）根据函数图象即可判断； （3）由一次函数解析式确定点A的坐标即可,然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）先确定一次函数过定点，画出示意图，对的取值范围进行分类讨论，找到临界点，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据图象：①函数图象关于直线成轴对称，正确； ②当时，随的增大而增大，正确； ③当时，或，故错误； ④函数图象与坐标轴围成图形的面积为，正确； 故正确的结论有：①②④． （3）解：令，当时，， ∴点的坐标为 如图： 线段所在直线的解析式为，线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴， ∴的面积； （4）解：设一次函数图象与x轴，y轴分别交于点， 将代入，则， ∴一次函数过定点， 如图，当一次函数的“”形图象右半部分过点时， 一次函数（为常数，）的“”形图象与矩形的边只有一个交点， 此时，，解得：； 如图，的“”形图象右半部分在点下方，且点在左侧时， 此时只有两个交点， 如图，时，一次函数（为常数，）的“”形图象与矩形的边只有一个交点； 如图，当一次函数的“”形图象左半部分过点时， 一次函数（为常数，）的“”形图象与矩形的边只有一个交点， 此时，，解得：； 综上，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的应用及两直线的交点问题、对称的性质，一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． 25．在函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： 0 1 0 2 0 2 4 6 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (2)研究函数并结合图象，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则　　，　　（填“”，“ ”或“” ； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为 　　；（注：直线为经过且垂直轴的直线） ③当时，的取值范围是 ． (3)设该分段函数的图象与轴交于点，点和点分别是平面内的定点和动点，点是函数图象上的一点，横坐标为，以为边向右作正方形．当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)①，．②；③ (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数得图象和性质、正方形的性质等内容，数形结合是解题的关键． （1）根据表格中数据描点连线即可； （2）①根据图象观察或者求出值、值比较即可； ②根据对称性可知这两点关于直线对称，进而即可得解； ③根据图象找到对应范围，进而即可得解； （3）根据图象画出符合题意的图形，找出临界值，进而即可得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据描点连线作图如下． （2）解：①由题意，点，在函数图象上， 根据图象可得，，． ． 又令，结合图象， 有三种情形，且均大于， 又令， 结合图象，． ． 故答案为：，． ②由图象可知，当时，能满足值相等的两个点是在这一段， 且这两点关于直线对称， ， ， 故答案为：； ③如图，当时，取值为黑色加粗这段， 此时最小值为0，最大值为6， 所以， 故答案为：； （3）解：设直线解析式为，将和坐标代入得， ，解得， 直线解析式为， 设直线于线段交于点，则， ， 当时，， ， 设与交点为点，则， 根据图象可知，当点运动到点右边时，此时正方形与没有交点， ； ①当时，如图所示，此时点在上， ， ， ， 此时， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， 由图很明显可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点， ； ②当时，如图所示，点在直线上，并且在点下方，则， ， 若，则，此时点，，满足两个交点，符合题意， 同①方法讨论1个交点情况，找出临界值， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， ； ③当时，此时点在直线上且在点上方，则， ， 由点和点坐标可知直线解析式为， 若点在线段上，此时正方形与线段只有一个交点， ， ， 此时， ， ， 解得， 由图很明显可知可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点，直到点与点重合， ； 综上，的取值范围为或． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，且，，． (1)求直线与直线的解析式； (2)点E为直线上一动点，若，求点E的坐标； (3)若点F是直线上一点，点G是x轴上一点，当与全等时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为； (2)点E的坐标为或 (3)点F的坐标为或或或 【分析】（1）利用坐标与图形，以及勾股定理得到，，的坐标，再设直线的解析式为，设直线的解析式为，结合待定系数法求解，即可解题； （2）根据点E为直线上一动点，分两种情况①点E在线段上时，②点E在延长线上时，结合勾股定理，两直线交点问题，以及平行线判定求解，即可解题． （3）根据题意证明，利用全等三角形性质和判定定理，结合图形分析，待定系数法求一次函数解析式，对称的性质，以及两直线交点情况讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线交y轴于点， ， ， 有， ，， 即，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：点E为直线上一动点， ①点E在线段上时， 连接，记与交于点， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 联立与，有，解得， 当时，， 点E的坐标为； ②点E在延长线上时， ， ，即轴， ， 则， 点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或； （3）解：，，， ， 当点F与点重合，点G与点重合时， ， 则点F的坐标为； 点F关于点C的对称点同样符合题意，此时点F的坐标为； 当，，时，即，如图所示： 满足， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 联立与，有， 解得， 当时，， 则点F的坐标为； 点F关于点C的对称点同样符合题意， 又， 此时点F的坐标为； 综上所述，当与全等时，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，平行线判定定理，全等三角形性质和判定定理，对称的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 27．如图，已知一次函数的图像经过点，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且． (1)求m的值； (2)点D在x轴上，且的面积是3，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，且点D在x轴正半轴上，设点E为x轴上一动点，当时，求点E的坐标． 【答案】(1)4 (2)点D的坐标为或 (3)或 【分析】（1）由函数解析式得C的坐标为，由得，则B的坐标为，即可求得直线的解析式，再令求出y的值即可得m的值； （2）设点D的坐标为，由，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）分以下两种情况：①当E在D左侧时，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，即可得解；②当E在D右侧时，设与相交于点F，设，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，并用含n的代数式表示出点F，再由，根据勾股定理得出关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴、y轴分别相交于B、C两点， ∴C的坐标为， ∵， ∴， ∴B的坐标为， 代入解析式中：， 解得， ∴一次函数解析式为：， ∵一次函数的图像经过点， ∴； （2）解：∵， ∴点， 设点D的坐标为， ∴ ∵，， ∴ ， 整理得 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：分以下两种情况： ①当E在D左侧时， ∵， ∴， ∵点，点D的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵C的坐标为， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点E的坐标为； ②当E在D右侧时，设与相交于点F，设， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，代入C、E坐标得：， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点F同时在直线、上， ∴， 解得， ∴F的坐标为：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）． 点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为：或． 【点睛】本体是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线相交或平行问题，勾股定理，平行线的判定等，解题的关键是熟练掌握相关知识及分类讨论思想在解题过程中的运用． 28．一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线 和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： (1)分别求出小轿车和大客车速度； (2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义； (3)求出发后经过多少小时两车相距？ 【答案】(1)小轿车的速度为：，大客车的速度为：； (2)，两车出发小时后相遇，此时两车距离甲地； (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． (1)分别根据速度路程时间计算即可； (2)根据路程速度时间分别写出线段、所在直线的函数关系式，列关于和的二元一次方程组并求解，从而得到点的坐标并写出其实际意义即可； (3)根据路程速度时间分别写出线段所在直线的函数关系式，按照的取值范围，当两车相距列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：． （2）解：线段所在直线的函数关系式为， 线段所在直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 点的坐标为，其实际意义表示小轿车于出发后小时在从乙地返回甲地的途中与大客车相遇，此时两车距离甲地． （3）解：所在直线的函数关系式为， 小轿车离开甲地的路程与时间的函数关系式为 ， 当，两车相距时，得，解得； 当，两车相距时，得，解得(舍去)； 当，两车相距时，得，解得或； ∴出发后经过或或两车相距． 29．对于三个数 ，表示这三个数的平均数，表示这三个数中最小的数，如： ， ； ，． 请根据材料解决下列问题： 【开胃小菜】 （1）填空： = ；若，则x的取值范围是 ； 【解决问题】 （2） ① 若 ，求x ； ② 根据①你发现了结论“若，则 ．”（填大小关系）； ③ 运用②填空：若 ，则 ； 【拓展延伸】 （3）在同一直角坐标系中作出函数的图象（不需列表，描点），通过图象，得出最大值为 ． 【答案】（1），；（2）①；②；③；（3）或或 【分析】本题考查定义新运算问题，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解二元一次方程组，求代数式的值，一次函数交点坐标． （1）根据题意即可得到第一空答案，由题意列出一元一次不等式组计算即可； （2）①列出一元一次不等式组，即可求解； ②由①即可得到本题答案； ③先将平均数求出，再列出二元一次方程组计算即可； （3）根据题意画出图像，并求出交点，再根据图象求出符合题意的结果即可． 【详解】解：（1）∵表示这三个数中最小的数， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：，； （2）①∵表示这三个数的平均数， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②由①得，时，即， 故答案为：； ③∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：； （3）根据题意画图如下： ，，解得：， ∴当时，最大值为， 当时，最大值为， 当时，最大值为， 综上所述：最大值为或或． 30．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标．    (1)点的坐标为 ，线段的长为 ； (2)求直线的表达式及点的坐标； (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），，交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明； ②求点移动过程中面积的最大值． 【答案】(1)，3 (2) (3)①，证明见解析；② 【分析】本题考查一次函数综合，涉及求一次函数解析式，全等三角形，勾股定理等知识点； （1）由，，可得，把代入得，故直线为，可得； （2）求出，再用待定系数法可得直线解析式为； （3）①证明可得； ②连接，由，得到，通过面积组合得到，即，当最小时，最大，当时最小，此时利用，求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 把代入得： ， 解得， ∴直线为， 令得， ∴； 故答案为：，3； （2）解：把代入得： ， 解得， ∴， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； （3）解：①，证明如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最大， 当时最小，此时， ∴， ∵直线解析式为，当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 31．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)在直线上是否存在点，使得的面积等于？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把代入求得点，设直线的函数表达式为，解方程组即可得到结论； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时的值最小，求得，再根据两点间的距离公式求出，即的最小值； （3）分两种情况讨论：当点在轴的左侧时；当点在轴的右侧时， 根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得， 点， 设直线的函数表达式为， 将，代入得：， 解得：， 的函数表达式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于， 则此时的值最小， ， ， ， 故的最小值为； （3）解：存在，理由如下： 当点在轴的左侧时， ， ， ， 将代入中得：， ， 当点在轴的右侧时， ， ， ， 将代入中得：， ， 综上所述，存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了直线上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，轴对称—最短路径问题，三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 32．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：． （1）如图1，若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________； 【模型拓展】 （3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I． ①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明； ②若，，请求出的长． 【答案】（1）8；（2）；（3）①证明见解析，②5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与平面，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； （2）如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）①如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，即可证明；根据全等三角形的性质得到，再由求解． 【详解】（1）解：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； （2）解：如图2，    过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； （3）①证明：如图3，∵过E作于M，的延长线于N．    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴； ②解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 33．如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)①直接写出点的坐标 ___； ②求直线的函数关系式； (2)如图，设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．连接，在点的运动过程中是否存在点，使，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在点，使，点的坐标为或 【分析】（）①根据函数解析式可得点坐标，进而根据对称性可得点坐标；②利用待定系数法解答可得直线的函数关系式； （）分点在轴的下方和上方两种情况，根据勾股定理列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：（）①当时；当时， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴， 故答案为：； ②设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）存在点，使，理由如下： 如图，当点在轴的下方时， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， 解得， ∴； 当点在轴的上方时， 由对称性同理可得； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 34．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，直线经过点A，且与y轴交于点C． (1)点A的坐标为 ， ；（直接写出答案） (2)若点Q为y轴上任意一点． ①连接，当时，请求出点Q的坐标； ②若点P为射线上任意一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于M、N，当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①点Q的坐标为或；②点P的坐标为或或． 【分析】（1）先得出A点坐标；将A点坐标代入直线从而得出b的值； （2）①分两种情形：当在下方时，过点B作于E，作轴于点F，作于D，，可证得，从而，，设，从而得出方程，进一步得出结果；同理得出当在上方的情形； ②设，当点P在x轴负半轴时，当（或）时，由得方程求解；当时，由得方程求解，同样方法求解当点P在x轴正半轴时情形． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 当，时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：①如图1-1， 过点B作于E，作轴于点F，作于D， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图1-2， 同理可得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点Q的坐标为或； ②设， 如图2-1， 当（或）时， ，， 由得，， ∴； ∴点P的坐标为； 如图2-2， 当时， 由得，， ∴； ∴点P的坐标为； 如图2-3， 当时，， ∴； ∴点P的坐标为； 当（或）， ， ∴（舍去） 综上所述：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰直角三角形． 35．如图，在平面直角坐标系中，分别在轴正半轴、轴正半轴上取A、B两点，若两点坐标分别是、，且a，b满足：． (1)______，______； (2)点C为轴负半轴上一点，连接，于点M，交于N． ①如图1，求证：； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点D为的中点，点F是轴负半轴上一动点，连接，过点D作交轴于点E，设，请问：当点F在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 【答案】(1)3；3 (2)①见解析；② (3)不发生改变，的值为 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、因式分解等知识，熟练掌握以上知识点，学会向角的两边作垂线构造距离判定角平分线是解题的关键． （1）利用因式分解的知识将整理得，再利用绝对值以及完全平方的非负性，即可解答； （2）①利用全等三角形判定即可证明；②作交于点，交于点，由①得，则有，，利用三角形面积公式可得，再利用角平分线的判定定理得到平分，得出的度数，结合，最后利用三角形的外角的性质即可得到的大小； （3）通过证明，得到，再根据，求出的面积，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ，， 解得：，． 故答案为：3；3． （2）①证明：， ， ， ， ， ， 又， ， 由（1）得，，， ，， ， 在和中， ， ； ②解：如图，作交于点，交于点， ，， ，， 由①得，， ，， ， ， 又，， 平分， ， 又， ． （3）解：的值不发生改变，理由如下： ，，点D为的中点， ，，平分，， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，的值不发生改变，的值为． 36．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴，   ， ∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 37．已知，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足． (1)则______，______； (2)如图1，若点，于点，交于点，点是线段上一点，且，求的长； (3)如图2，点，点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，算术平方根的非负性，直角三角形的两锐角互余，坐标与图形，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据算术平方根和完全平方式的非负性求解； （2）过点B作轴交延长线于点M，先证明，再证明，即可求解； （3）在轴上取点，连接，作交延长线于点，作轴于点，连接，先证明，再证明，最后根据面积关系求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点B作轴交延长线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在轴上取点，连接，作交延长线于点，作轴于点，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）当点在点右侧时，由，列出方程求解，得到点；当点在轴右侧时，同理求解即可； （3）先求出点的坐标，再在轴上找点，使得，过点作轴，再进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， 将点的坐标代入函数得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：∵直线， 将代入得：， ∴点， 设直线交轴于点， 又∵直线， 将代入得：， ∴点， ∴， ①当点在点右侧时，如图     ， ， 解得：， ∴， ∴点； ②当点在点左侧时，如图， ，点在轴的左边，   ， ， 解得：， ∴点， 综上所述，点的坐标为：或； （3）解：存在，理由： 直线的表达式为：，令，则， 解得：， 点， 如图，在轴上找点，使得，过点作轴，   ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 作点关于的对称点，则点也符合要求， ∵点，， ∴点， 综上，或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图像及性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． 39．如图，点，分别是一次函数与轴，轴的交点，为线段的中点，点是直线：上一点，连接，，且轴． (1)求，两点的坐标； (2)若，求的值； (3)连接，是否存在值，使得，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，一次函数的图象和性质，正方形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据一次函数的图象和性质，即可求出，的坐标； （2）根据一次函数的图象和性质，得，，求出，根据，，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，求出点，根据点是直线：上一点，即可； （3）过作于，根据正方形的判定和性质，则四边形是正方形，得到，设，，延长到，使，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，根据， 得到，再根据全等三角形的判定和性质，可得 ，推出，根据勾股定理，求出，根据点是直线：上一点，即可． 【详解】（1）解：∵点，分别是一次函数与轴，轴的交点， 当，；当时，； ∴，． （2）解：设直线和的交点为点 ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∵点是直线：上一点， ∴， ∴． （3）答：存在，理由如下： 如图，过作于， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，， 延长到，使， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点， ∵点是直线：上一点， ∴， 解得：． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标； (3)如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）根据，求出，设点D的坐标为，得出，，根据，得出，求出结果即可； （3）先求出，；再分两种情况进行讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：令中得， ∴， 设直线的解析式为 ， 得 直线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴，即； 当在下方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作于点G，如图所示： 则，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当在上方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作，交延长线于点G，如图所示： 则，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质是解题的关键． 41．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当Q点到达点B时，点P也停止运动．连接线段，设点P运动的时间为t秒． (1)经过时，写出此时点P的坐标 ，点Q的坐标 ． (2)当线段时，求此时点P运动的时间t． (3)点M为线段中点，在点P、Q运动过程中，以点P、Q、M三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的分类标准，勾股定理，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键． （1）根据题意，，当时，，直线与坐标轴交于两点，得到，继而得解． （2）根据题意，，得到，，，利用 得到方程，再解方程即可即可． （3）根据点为线段中点，得到，再由得到，，，再分当时，当时，当时三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，当时，， ∵直线与坐标轴交于两点， 当时，； 当时，； ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段，， ∴，即； 解得， ∴； （3）解： ∵，点为线段中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ， 当时，则， 故， 整理得， 解得(舍去)； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 综上所述：或或或或． 42．已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中轴和轴于、两点，点坐标为，点坐标为，点在直线上，且点坐标为．    (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当时，求点坐标； (3)如图2，点坐标为，连接，在直线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，点坐标为 (2)或 (3)点坐标为或 【分析】（1）设直线的表达式为，代入点坐标，点坐标，然后解方程组即可求得和，然后将代入解析式，可求得值，得到点坐标； （2）利用，，求得，从而求得点坐标； （3）当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴垂线，分别过，作，，证明，得到，，从而推出点的坐标，然后利用待定系数法求得的表达式，联立和，求得交点；当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴，交于点，过点作轴，过点作交于，先证明，得到，，通过，求得坐标，接下来利用待定法求直线的解析式，最后联立直线和求得交点即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为，代入点坐标，点坐标，得到 解得 点在直线上，且点坐标为 点坐标为 故直线的表达式为，点坐标为； （2）解：， ， ， 设， ， 或 或 （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，     ， ， 过点作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， 即点坐标为 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立 解得： ②如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴，交于点，过点作轴，过点作交于，   ，， ， 即， 又， 即在中，， ，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组 解得： 综上所述点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与三角形的面积，等腰直接三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 43．如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 【答案】(1)秒 (2)当时间， ；当时间， 【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程列方程求解即可； （2）分类讨论：当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时，利用等边三角形的性质和点M、N的运动规律列出关于t的方程，借助于方程解答即可． 【详解】（1）解： 第一次相遇时间（秒）； 答：若动点M、N同时出发，经过秒钟两点第一次相遇； （2）如图2，当点M在线段上，点N在上时： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 此时； 如图3，当点M在线段上，点N在上时： 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， ， 此时， 如图4，当点M在线段上，点N在上时， 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， （不合题意，舍去）． 综上所述：当时间， ；当时间，． 【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 44．如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D． (1)求点A和点B的坐标； (2)点P在直线上，且的面积为， ①求出点P的坐标； ②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标． 【答案】(1)点、的坐标分别为、 (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）对于，求出时，，时，则，即可求出A、B的坐标； （2）①设直线交y轴于点H，先求出点C的坐标，设，求出直线的解析式为，得到点H的坐标为，根据的面积，由此求解即可；②设点Q的坐标为，分以为对角线，以为对角线，以为对角线，由中点坐标公式列方程组即可得到结论.． 【详解】（1）解：对于，令，则，令，解得， 故点、的坐标分别为、； （2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，， ∴， 设直线交轴于点， 设， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴， 则的面积， 即， 解得：或， ∴点的坐标为或； ②由（1）（2）知，，，，设点， ∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得， ∴， ∴点， Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得， ∴， ∴点； Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得， ∴， ∴， 综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或． 45．如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)当点从向运动时，______，______； 当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）． (2)当直线恰好平分的面积时，求的值． (3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)，， (2)当秒或秒时，直线恰好平分的面积； (3)的值为或． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积，则，分两种情况讨论，列式计算即可求解； （3）分五种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：当点从向运动时，，，，； 当点从向运动时， ；（用含的代数式表示）． 故答案为：，，； （2）解：当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：设平行四边形的高为，则平行四边形的面积为， 当时，，， 由题意得，，解得； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得； 综上，的值为或． 46．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    (1)在点，运动过程中，___________，___________； (2)连接，，若与互相平分，求此时的值； (3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，有两种情况； 点在线段上， 点在线段的延长线上， 【分析】（1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答； （3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可． 【详解】（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．    【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、列代数式、解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 47．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为28． (1)分别求点A、B、C的坐标． (2)若点M是线段上的一个动点，当M刚好运动到的中点时，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或 【分析】（1），分别代入即可求得点B、A的坐标，再根据，即可求得，从而可求点C坐标； （2）先根据中点坐标公式求出中点，然后用待定系数法求解即可； （3）①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的左边时，③当为平行四边形的右边时，分别 求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A与轴交于点B ∴把代入解析式得：， ∴， 把代入解析式得：， ∴， ∴ ∵ 即，而， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵当点刚好运动到的中点时， ∴，， ∴ 设直线解析式为， 把，分别代入解析式得： ，解得：， ∴直线解析式为． （3）解：存在． ①如图，当为平行四边形的对角线时， ∵平行四边形， ∴，即， ∴， 把代入直线解析式，得， ∴， 又∵，且， ∴． ②如图，当为平行四边形的左边时， 同理， 把代入直线解析式，得， ∴ 又∵，且， ∴， ③如图，当为平行四边形的右边时，作轴于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中，， ∴ ∴，即的纵坐标为 把代入直线解析式，得， ∴， 又∵， ∴ 综上，在x轴上存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形． 此时，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的三角形面积，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与性质，平行四边形的性质是解题的关键． 48．如图，四边形中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿线段的方向向点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长的速度沿射线的方向运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒． (1)当时，的面积为______； (2)若四边形为平行四边形，求运动时间t； (3)是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，列出方程求解． （1）作，，证明，从而求得，进而求得和的长，进一步求得结果； （2）由列出方程求得结果； （3）作于，于，以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，即， 据此求解即可． 【详解】（1）如图1， 作于，作于， ， ， ， ，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 故答案为：； （2）， 当时，四边形是平行四边形， ， ； （3）如图，作于，于， 以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，即， ，， ， ， ， 49．如图1，中，，，，交轴于点． (1)请直接写出的面积为 ； (2)如图2，点在轴上，连接，求证：； (3)如图3，点是轴正半轴上一个动点，是线段的中点，连接，点在轴正半轴上运动，当时，求此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【分析】（1）求出，根据三角形的面积公式计算即可． （2）如图2中，作轴于，轴于，连接．利用全等三角形的性质求出点的坐标，再利用两点间距离公式求出，，，利用勾股定理的逆定理证明即可． （3）如图，延长到，使得，连接，．证明即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ，， ． 故答案为：； （2）证明：如图2中，作轴于，轴于，连接． ， ， ，， ， ，， ， ，，， ，，， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到，使得，连接，． ，， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 50．如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图1，连接，且． ①求证：：②若，，求的长． (3)如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再根据角平分线得，进而得，，即可得证； （2）①由角平分线的性质得，进而证明，即可得证；②先证明，得，由①得，即，求解即可； （3）连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出，利用“边角边”证明和全等，得到，，然后求出，再求出，根据等边三角形的判定方法判断即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）①证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵，，四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 由①得， ∴，即， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下：连接， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，作辅助线构造等边三角形及利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 51．已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的面积． (3)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) (3)9.6秒或16秒或19.2秒 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义可得，则可得，再结合可得是等边三角形，进而可得． （2）作于H点，由平行四边形的性质可得，再根据等边三角形面积公式计算即可． （3）根据题意可得， P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次．由四边形是平行四边形可得，因此．若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则，设运动时间为t秒，分4种情况讨论：①，②，③，④，根据列方程，即可求出t的值． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ，， ， ∵平分， ， ， ， 又， ， ∴是等边三角形， ， ． （2）如图，作于H点， ∵四边形是平行四边形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ． （3）由题知P点从A点运动到D点需要，Q点从C点运动到B点需要，因此P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则． 设运动时间为t秒， ①当时，，， ， 此方程无解； ②当时，，， ， 解得； ③当时，，， ， 解得； ④当时，，， ， 解得． 综上，当运动时间为9.6秒或16秒或19.2秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质并进行分类讨论是解题的关键． 52．小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点、点，当时，得到图1，作点关于的对称点，连接，，得到图1． (1)在图1中与的数量关系是 ，的度数为 (2)证明：；        证明四边形是平行四边形． (3)当时，直接写出的度数． 【答案】(1)相等； (2)①证明过程见解析；②证明过程见解析 (3) 【分析】（1）先补全图形，然后根据轴对称的性质即可知道与的数量关系以及的度数； （2）①根据是等边三角形求出，根据三角形外角的关系推出后即可判定； ②先根据推出，再根据，，推出即可用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形； （3）连接，判定是等边三角形，根据，推出与、的关系，用勾股定理逆定理判定为等腰直角三角形，求出的度数后根据即可求出结果． 【详解】（1）解：补全图形后如图1， 点和点关于对称， ，，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：相等；； （2）证明：①，， ， 又，， ； ②， ，， 又， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）解：连接，如图所示： ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， 在中，， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ，， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 53．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，．由E为的中点，推出，根据三角形内角和定理及平角的定义得到，推出，由四边形是平行四边形，得到，继而证明四边形为平行四边形，即可得出结论． （2）同理（1）证明即可； （3）过点A作交CB的延长线于点M，分点F在平行四边形内和点F在平行四边形外；两种情况讨论即可． 【详解】解：（1），，理由如下： 证明：由折叠，可得，． ∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立． 同理（1）证明即可； （3）①当点F在平行四边形内时，过点A作交CB的延长线于点M，如解图1所示． 由（2）可知， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵，， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． 设，则，． 由（2）可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． ②当点F在平行四边形外时，过点A作于点M，如解图2所示． 同理可得．设，则，， 可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上性质是解题的关键． 54．定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则　 　； (2)如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，、为常数），其中满足．若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或且 【分析】（1）将点E的坐标代入衍生函数求值即可； （2）根据点的坐标得出；根据衍生函数分别求出M，N，Q三点的坐标，再根据面积的关系求出k的值，然后求出一次函数的解析式即可； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，把点在一次函数得： 解得：； 当，把点在一次函数得： 解得：； （2）解：连接， ∵过， ∴，则， ∴， 设，，， ∵，，，， ∴，，， 把代入得：， 整理得：， 把，代入得： ， 整理得：， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ （3）解：∵，满足， ∴，则 ∴当时，，即过定点， ∴一次函数的衍生函数过点和， ∴且点在内， 设衍生函数图象与y轴的交点为G， 点G沿y轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点， 将代入得：， 解得，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 点G沿y轴轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，∴且时，图象与有两个交点，符合题意． 综上：或且时，图象恰好与有两个交点． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质，以及正确理解题目所给“衍生函数”的定义是解题的关键． 55．如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）． (1)求B、C两点的坐标； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； (3)当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1)， (2)当时，四边形是平行四边形；， (3)或，是以为腰的等腰三角形 【分析】此题主要考查了二次根式性质、解不等式组，平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解. （1）根据二次根式的性质及解一元一次不等式组得出的值进而得出答案； （2）由题意得: 根据平行四边形的判定可得，再解方程即可； （3）①当时, ，解方程得到的值；②当时， 由题意得：，进而得到方程：再解方程即可. 【详解】（1）解：， ， 解得: , ∴, ∵,, ∴, ∴； （2）解：如图：    由题意得: , 则:，， ∵, ∴当时, 四边形是平行四边形, ∴, 解得: , 故当时，四边形是平行四边形， 此时，点的坐标为，点的坐标为； （3）∵是以为腰的等腰三角形, ∴分两种情况:或. ①当时, 如图, 过作于, ∵, ∴四边形是矩形, ∴, ∴, ∴中: ∵, ，即 解得： ②当时, 过作轴于, ∴, 由题意得:, 则, 解得： ， 综上所述，当或 时, 是以为腰的等腰三角形； 56．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等： （1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题； （3）点有二种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可； 其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【详解】（1）解：的坐标， 则：，， 在中，根据勾股定理得：， 将沿折叠，使点落在对角线上的点处， ，， ， 设,则, 在中，由勾股定理得：, 即, 解得, ． （2）过点作于点， 根据三角形面积可得，， ∴， 故点的横坐标为， 即：， 正比例函数经过， ， ， ， ， ①当点在段时，即：， 如图：过点作于点， ， ， ， ②当点在段时，如下图，过点作于点， ， ，， ， 综上所述：． （3）由（2）知，点， 当时，则点， 而点,设点， ①当为边时， 点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点， 即且， 解得或， 故点的坐标为或； ②当为对角线时， 由中点公式得且， 解得， 综上点的坐标为或或． 57．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，利用，得到，即可得解； （3）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，从而得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为边上的中点， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， 连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ∴， ，即 ， ∴； （3）解：连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， 为直角三角形， 为的中点，为的中点， 设， ， ， 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 58．【观察发现】 如图1，和都是等腰直角三角形，连接和，、相交于点P，猜想线段与的数量关系，以及与相交构成角的度数．请说明理由． 【深入探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，且，连接、，Q为中点，连接．试探究线段与的关系，并加以证明． 【答案】观察发现：，，理由见解析；深入探究，，，理由见解析． 【分析】观察发现：证明，即可求解； 深入探究：如图2中，延长到，使得，连接，，延长交于点，证明四边形是平行四边形，推出，，在证明推出，即可求解． 【详解】观察发现：结论：，，理由如下： 如图1，设与交于点，    ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴； 深入探究：结论：，，理由：    如图2，延长到，使得，连接，，延长交于点， ∵，都为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$