8.1.1 向量数量积的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.1.1 向量的数量积的概念 1 向量的数量积 问题 θ s F 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量. 同时 就是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量。 向量的数量积 向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作 ， ，则 叫做向量a 和b 的夹角，记作<a , b>． O A B a b O A B b a 若 ，a 与b 同向 O A B b a 若 ，a 与b 反向 O A B a b 若 ，a 与b 垂直， 记作 向量的数量积 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方 向上的力做功． θ s F ，过点B作 垂直于直线OA，垂足为 ，则 | b | cosθ O A B a b O A B a b ，| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． θ为锐角时， | b | cosθ＞0 θ为钝角时， | b | cosθ＜0 θ为直角时， | b | cosθ=0 B O A a b 向量的数量积 例题讲解 例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 ， 求a在b上的正投影 及b在a上的正投影. 解：a在b上的正投影为|a | cosθ b在a上的正投影为|b | cosθ 向量的数量积 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号（正负）由夹角决定。 （2） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算． 向量的数量积 例题讲解 例2．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 ，求a ·b. 解： a ·b =|a | |b |cosθ 向量的数量积 讨论总结性质： （1）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （2）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |， 当a 与b 反向时， a · b = - | a | · | b | ． （4） （5）|a · b |≤| a | · | b | （3） 常用此性质进行实数与向量的转化。 向量的数量积 例题讲解 例3．已知|a |=5，|b |=4，|a+b |=6 ，求a 与b夹角的余弦值. 解： |a+b |=6 充要 向量的数量积 练习： 向量的数量积 例4、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。 B A C o 向量的数量积 例5： D 例6： A 例7： A $$